Soluzioni - Osservatorio di Arcetri

COMPITO 1 (15/07/09)
Soluzioni degli esercizi
★ Solo per esame da 9CFU. Una sfera omogenea di raggio r=5 cm è completamente
immersa in una piscina piena dʼacqua ed è mantenuta in equilibrio da una molla di
costante elastica k=190 N/m, allungata di 2.7 cm. Qualʼè la densità della sfera? La sfera
viene poi lasciata cadere da unʼaltezza di 3 m dal fondo della piscina. Qualʼè
lʼaccelerazione della sfera, con quale velocità arriva sul fondo della piscina e quanto
tempo impiega? Qual'è il rapporto tra il tempo di caduta nellʼacqua e quello
corrispondente nel vuoto?
Allʼequilibrio la forza che agisce sulla sfera deve essere nulla ovvero la forza peso della
sfera deve essere bilanciata dalla forza della molla e dalla forza di Archimede esercitata
dallʼacqua (entrambe dirette verso lʼalto) ovvero
P = FA+FM
detto V il volume della sfera (V = 4/3 π r3), dS la sua densità
dS V g = da V g + k Δl
da densità dellʼacqua, Δl allungamento molla ovvero
dS = da + k Δl / ( V g ) = da + 1000 kg m-3 = 2 da = 2 g cm-3
Mentre la sfera cade in acqua è soggetta all forza di gravità ed alla forza di Archimede
per cui applicando il secondo principio della dinamica si ottiene che lʼaccelerazione della
sfera (diretta verso il basso) è
a = g (1-da/dS) = 0.5 g
il moto è uniformemente accelerato, la sfera parte da ferma per cui la velocità finale è
vf = (2 a h)0.5 = 5.4 m/s
il tempo si ricava dalla relazione h = 1/2 a t2 ovvero
t = (2h/a)0.5 = 1.1 s
Nel caso che la caduta avvenga nel vuoto basta sostituire a con g per cui t0 = (2h/g)0.5
ovvero
t/t0 = (g/a)0.5 = 20.5 = 1.41
★ Solo per esame da 6CFU. Un elettrone viene accelerato tra le lamine di un
condensatore di capacità C = 1μF contenente una carica Q = 2×10-5 C. Qualʼè la sua
velocità finale? Quale deve essere la temperatura di un gas perfetto biatomico perchè le
sue molecole abbiano in media la stessa energia cinetica dellʼelettrone? Qualʼè la
lunghezza dʼonda del fotone con la stessa energia dellʼelettrone?
La differenza di potenziale tra le armature del condensatore è
ΔV = Q/C = 20 V (1μF = 10-6 F)
data la definizione di energia potenziale e potenziale il lavoro compiuto dal campo
elettrico sullʼelettrone è dato da
L = e ΔV = 1.6 10-19 C * 20 V = 3.2 10-18 J
Il lavoro è pari alla variazione di energia cinetica e siccome lʼelettrone inizialmente è
fermo si ha L = 1/2 m v2 ovvero
v = (2 L /m)0.5 = 2.65 106 m/s
Lʼenergia finale posseduta dallʼelettrone è solo energia cinetica ovvero Eel = L; questa è
pari allʼenergia media di una molecola di un gas biatomico ovvero Eel = 5/2 kBT da cui
T = 2/5 Eel/kB = 9.3 104 K
Per quanto riguarda il fotone, lʼenergia del fotone è E = hν ovvero
Eel = hν = hc/λ da cui λ = hc/Eel = 6.21 10-8 m = 621 Å
★ Un recipiente perfettamente isolante è diviso in due parti uguali da una parete anchʼessa
isolante. Una delle due parti del recipiente è vuota mentre lʼaltra contiene una massa m
= 0.32 kg di O2 alla pressione P = 0.5 atm ed alla temperatura T = 40 °C. Qualʼè il
volume occupato dal gas? Si calcolino poi la pressione e le variazioni di energia interna
ed entropia del gas dopo che la parete isolante è stata rimossa e il gas si è espanso.
Come cambiano i risultati se nel secondo contenitore esiste un corpo con capacità
termica C =24.6 cal/°C alla temperatura di 0 °C? Si calcoli infine la variazione di entropia
del sistema isolato (gas + corpo) e se ne discuta il segno.
Il numero di moli del gas è n = 320 g / 32 g mol-1 = 10 mol (16 peso atomico O).
Il volume inizialmente occupato dal gas si ottiene applicando lʼequazione di stato dei gas
perfetti (ricordando che 1 atm = 105 Pa):
V1 = n R T1/P1 = 10 mol * 8.31 J mol-1 K-1 * (273.15+40) K / 0.5 105 Pa = 0.52 m3
Quando si rimuove la parete isolante il gas effettua unʼespansione libera (nellʼaltra metà
del recipiente cʼè il vuoto) fino ad occupare un volume doppio. Siccome il sistema è
isolato il calore ricevuto è Q=0, il lavoro compiuto è L=0 (espansione libera) per cui
applicando il primo principio
ΔEint = Q-L = 0
combinato con ΔEint = n CV ΔT si ottiene ΔT=0 ovvero la temperatura non varia.
La variazione di entropia in una espansione libera (non reversibile) è uguale alla
variazione di entropia di una trasformazione isoterma reversibile che porta dallo stesso
stao iniziale allo stesso stato finale (entropia è funzione di stato) per cui
ΔS= nR ln(V2/V1) = nR ln (2) = 57.6 J/K
Se nel secondo contenitore esiste un corpo con capacità termica C questo non
ostacolerà lʼespansione del gas che quindi sarò ancora libera ma scambierà calore con
esso. La temperatura di equilibrio si ottiene eguagliando il calore ceduto dal gas col
calore assorbito dal corpo ovvero
Qgas,ceduto = Qcorpo,assorbito
Qcorpo,assorbito = C (Teq-T0)
per quanto riguarda il calore scambiato dal gas, la trasformazione non è a P o V
costante e quindi non si può scrivere immediatamente, ma si può applicare nuovamente
il I principio della termodinamica al gas con la differenza, rispetto a prima, che stavolta il
calore scambiato dal gas non è nullo
ΔEint = Qgas,assorbito-L = Qgas,assorbito
ovvero Qgas,ceduto= -Qgas,assorbito= -ΔEint= -n CV ΔT= -n CV(Teq-T1)= 5/2 n R (T1-Teq)
infine si deve risolvere lʼequazione
5/2 n R (T1-Teq) = C (Teq-T0)
con soluzione
Teq = (CT0+ 5/2 n R T1) / (C+ 5/2 n R) = 26.7 °C = 300 K
siccome per gli scambi di calore si considerano variazioni di temperatura, in questo caso
si possono usare indifferentemente le temperature in K o °C. Conviene usare i °C
perchè T0 = 0 °C.
La variazione di energia interna del gas è
ΔEint= n CV ΔT= n CV(Teq-T1) = -2763 J
Per la variazione di Entropia del gas è necessario considerare una la relazione ricavata
a lezione per una qualsiasi trasformazione del gas perfetto
ΔSgas= nR ln(V2/V1)+nCV ln(T2/T1) con T2 = Teq
alla fine si ottiene
ΔSgas= 48.7 J/K (ricordarsi che le temperature in questo caso devono essere in K!). Si
noti che la variazione di entropia del gas è minore di prima perchè il gas oltre a
espandersi si raffredda.
La variazione di entropia del corpo è semplicemente
ΔScorpo = C ln(Teq/T0) = 9.7 J/K (anche qui T in K!).
La variazione di entropia totale è ΔS = ΔSgas+ΔScorpo = 58.4 J/K. Questa è la variazione
di entropia di un sistema isolato ed il fatto che sia positiva indica che la trasformazione
del sistema è irreversibile; infatti sia lʼespansione libera del gas che lo scambio di calore
tra sistemi a T diverse (corpo e gas) sono trasformazioni irreversibili.
★ Un cavallo può fare in 24 ore un lavoro equivalente a quello necessario a sollevare un
peso di 108 N fino allʼaltezza di 0.3 m. Il fieno ed il granturco consumati in questo tempo
sono equivalenti ad una riserva di energia interna pari a 1.2×108 J. Quale frazione di
questa energia interna è stata usata dal cavallo per fare lavoro meccanico? Se
lʼefficienza del cavallo è del 30%, qualʼè la sua potenza metabolica basale?
Il lavoro compiiuto dal cavallo è pari allʼenergia potenziale del peso P = mg = 108 N
posto a h = 0.3 m ovvero
L = mgh = 3 107 J
Se il cavallo acquisce dal cibo una riserva di energia interna pari a ΔEint = 1.2×108 J ne
utilizzerà una frazione
f = L / ΔEint = = 0.25 = 25%
Il rendimento per attività biologiche è dato da
η = L / (ΔEint - ΔEbas)
dove ΔEint è lʼenergia interna “consumata” (quella acquisita col cibo) e ΔEbas è lʼenergia
interna che serve a mantenere il metabolismo basale. Quindi
ΔEbas = ΔEint - L / η = 2 107 J
Per ottenere la potenza metabolica basta dividere per il tempo (24h) ovvero
Pbas = ΔEbas/Δt = 2 107 J / 24 h = 231 W