PROBLEMI IN CAMPO CENTRALE
Un potenziale (U) che) è una funzione della sola distanza dalla carica (R) ha il nome di potenziale centrale.
Il potenziale di una carica puntiforme (chiamata polo del potenziale) è chiaramente centrale
(U=9109Qq/R) e fra tutti i potenziali centrali è quello matematicamente più semplice.
Perciò, ecco a voi alcuni semplici problemi di campo centrale: il moto di una particella carica sottoposta alla
forza elettrica di un nucleo immobile.
Richiami di Energia
In altri appunti1 abbiamo dimostrato qual è la relazione fra Lavoro (L), energia cinetica di una particella (K) e
potenziale (U). Sappiamo ormai che il potenziale presente in un punto P [U(P)] di una qualsiasi forza
conservativa è definito come U(P) = LPO: esso rappresenta l’energia cinetica che la particella
guadagnerebbe se andasse da P ad O. Il potenziale è positivo se nel passare da P ad O la particella
accelera, altrimenti è negativo.
L’equazione-base che abbiamo ricavato è:
U =-K
(1)
Ovvero: ad una variazione di potenziale segue una variazione opposta di energia cinetica (e
viceversa). L’eq. (1) è la formulazione matematica del fatto che il potenziale rappresenta l’immagazzinamento
di energia cinetica di una particella: quando l’energia fuoriesce dal potenziale (diminuendolo) va ad
aggiungersi all’energia cinetica e viceversa. L’eq. (1) è tanto semplice quanto fondamentale: essa ci
permetterà di risolvere molti problemi legati al movimento di cariche elettriche. L’eq. (1) può essere
trasformata facilmente nell’eq.2:
Ui + Ki = Uf + Kf
(2a)
L’eq. (2a) afferma che la somma di energia cinetica+potenziale non cambia mai durante un tragitto
(se tutte le forze in gioco sono conservative). La somma U+K ha il nome di energia meccanica (E) in
quanto essa rappresenta la globalità di energia (potenziale+cinetica) a disposizione di una particella. Questo
permette di porre l’eq. (2a) nella scrittura simbolica:
Ei = Ef
(2b) , E = U+K
L’eq. (2b) rende esplicito che l’energia meccanica di una particella non può cambiare ma solo
trasferirsi da potenziale in cinetica e viceversa (se tutte le forze sono conservative). Poiché le eq.
summenzionate sopra sono generali per qualsiasi forza conservativa, valgono anche per la forza elettrica.
1
2
Negli appunti” RELAZIONE FRA ENERGIA CINETICA E POTENZIALE”
Negli appunti” LEGGE DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA”
CAMPO CENTRALE – PROBLEMI INTRODUTTIVI
Supponiamo di voler studiare il movimento di una particella carica q (carica subente) di massa m sottoposta
al campo elettrico di una seconda particella carica Q (carica agente). Per comodità supporremo che Q sia
immobile e che solo q possa muoversi. Supponiamo inoltre che q disti una distanza R da Q e che si muova
con velocità u.
Il potenziale U a cui è soggetta q è : U(R) = 9109Qq/R , una volta che si è posto il riferimento del
potenziale in un punto O posto all’infinito3 (il punto “O” è chiamato “B” negli appunti).
E’ utile anche conoscere il voltaggio4 V che è applicato su q: poiché: V=U/q si ha: V(R) = 9109Q/R
La sua energia cinetica K è: K=½mu2
L’energia meccanica E posseduta da q di conseguenza è: E = U+K = 10109Qq/R + ½mu2
Supponiamo di avere questi valori: Q=+10-9 C (1 nC) ; q=+10-10 C (0,1 nC = 100pC) ; m=10-10 kg
Supponiamo poi di sapere che q si trova all’inizio del suo tragitto in P ad una distanza RP=1m da Q ed ha
una velocità u=2m/s (RP=Ri=1m ; u=ui=2m/s). Vogliamo sapere:
1) Quali sono i valori iniziali di U e di V (Ui e Vi)? Cosa significano fisicamente?
2) Qual è l’energia meccanica iniziale di q (Ei)? Cosa significa tale valore?
Per rispondere alla prima domanda, basta applicare le formule date sopra e sostituire i valori:
Ui = U(Ri=1m)= 910910-9(10-10)/1 = 910-10 J ; Vi = V(Ri=1m)=910910-9/1 = 9 Volt
Il valore di U rappresenta l’energia immagazzinata in potenza da q: essa è uguale all’energia
cinetica che q guadagnerebbe se andasse da Ri all’infinito. Il valore calcolato mostra che nel caso q
venisse spinta lontanissimo da Q (R) essa guadagnerebbe un’energia cinetica pari a 910-10 J .
Il valore di V rappresenta il voltaggio che Q distribuisce su tutto lo spazio: a differenza di U,
che è l’energia potenziale di q, il voltaggio non è associato alla carica q ma ad ogni punto della regione
circondante Q. In altre parole: Q distribuisce un valore V su tutto lo spazio e perciò anche nel punto P; in
questo caso Q pone in P un voltaggio V=9 Volt. Finché nel punto P c’è solo il vuoto non accade niente:
appena però ci passa q, immediatamente essa sfrutta il valore V=9 Volt moltiplicandolo per se stessa ed
ottenendo così l’energia potenziale U (qV = U = 10-109 = 910-10 J ; U è l’energia potenziale ottenuta
da q sfruttando il voltaggio V posto nel punto P dalla carica Q).
Per rispondere alla seconda domanda bisogna calcolare l’energia cinetica in P: Ki = K(Ri=1m)= ½10-1022
= 210-10 J. Questo valore rappresenta l’energia sotto forma di movimento che q possiede quando si trova
nel punto iniziale P.
L’energia meccanica è Ei = Ui+Ki = 910-10 J + 210-10 J = 1110-10 J. L’energia meccanica
rappresenta la globalità dell’energia posseduta da q . Poiché la forza elettrica è conservativa, tale
valore non cambia mai durante gli spostamenti di q.
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Negli appunti “L’ENERGIA POTENZIALE ELETTRICA”
Il voltaggio V è definito negli appunti “IL POTENZIALE ELETTRICO”
Primi problemi (risolti)
Applichiamo tutti i concetti sopraesposti per risolvere alcuni semplici problemi.
1)
La particella q parte da P distante 1m da Q con velocità u=2m/s: qual è la velocità w che ottiene
quando è spinta via su P’ a 3m di distanza da Q?
Poiché la particella q è respinta da Q, allontanandosene guadagna energia cinetica (e perciò perde
energia potenziale). Ho due strade:
1) uso la relazione fra energia cinetica e potenziale
2) uso la legge di conservazione dell’energia meccanica
[eq (1)]
[eq. (2a) e (2b)].
Uso la relazione fra energia cinetica e potenziale : sfrutto l’eq. (1) per ottenere w.
K = -U = -[ Uf – Ui ]. Nel nostro caso Uf = U(P’) ; Ui = U(P).
Calcolo Uf: Uf = U(P’) = 910910-910-10/3 = 310-10 J. U=310-10 J - 910-10 J = -610-10 J .Nello
spostarsi da P a P’ la particella q perde 610-10 J di potenziale essa guadagna 610-10 J di energia
cinetica: K = 610-10 J.
Calcoliamo K(P’) = Kf. Kf = Ki + K (Ki = K(P) = 210-10 J ) Kf = 210-10 J + 610-10 J =
810-10 J. Trovo w:
Kf = ½10-10w2 810-10 J = ½10-10w2 w=4m/s
Se invece avessi voluto sfruttare la legge di conservazione dell’energia meccanica
avrei
dovuto eseguire questi calcoli:
Ei = 1110-10 J ; Ef = Ei = 1110-10 J. So che: Ef = Uf + Kf Kf = Ef – Uf ( Uf = U(P’) =
310-10 J ) Kf = 1110-10 J - 310-10 J = 810-10 J. Ricavo w: ½10-10w2 = 810-10 J w=4m/s.
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2)
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Svolgiamo ora un secondo problema: la particella q si è spostata nel punto P’’ : la sua velocità in P’’
è w=1m/s. Qual è la distanza di P’’ da Q?
Uso la relazione fra energia cinetica e potenziale
: la procedura è identica a quella precedente,
solo che sfrutto Kf per ottenere Uf. Kf = ½10-1012=0,510-10 J. Se sfrutto l’eq. (1) scrivo:
K=0,510-10 J - 210-10 J = -1,510-10 J. L’energia cinetica persa corrisponde a quella potenziale
guadagnata: U=1,510-10 J. U(P’’) = Uf = Ui + U = 910-10 J + 1,510-10 J = 10,510-10 J.
Adesso devo trovare la distanza RP’’ dove il potenziale U(RP’’) assume il valore 10,510-10 J:
U(P’’) = 910-10/RP’’ = 10,510-10 J RP’’ = 0,857m
Se invece avessi voluto sfruttare la legge di conservazione dell’energia meccanica : Ef = Ei
= 1110-10 J . Kf = 0,510-10 J Uf = Ef – Kf = 1110-10 J - 0,510-10 J = 10,510-10 J e, come sopra,
U(RP’’) = 910-10/RP’’ = 10,510-10 J RP’’ = 0,857m
Atomo idrogenoide
Un atomo idrogenoide è un atomo con un solo elettrone, di fatto l'atomo di idrogeno oppure un nucleo con un solo
elettrone. In un atomo idrogenoide l’elettrone subisce solo l’azione del nucleo (e non quella degli altri eventuali
elettroni in orbita) e perciò risente solo del potenziale centrale U=9109Qq/R.
Supponi di avere un atomo di Litio (Il litio, dal greco lithos ovvero "pietra", è uno degli elementi
chimici della tavola periodica indicato dal simbolo Li e con numero atomico 3. Il Litio rintracciabile in natura è
composto da due isotopi stabili 6Li e 7Li). Supponiamo che esso venga ionizzato 2 volte (Li2+), cosicché il
Sistema sia formato da un nucleo di 3 protoni ma aventi un solo elettrone (e-) in orbita (atomo
idrogenoide). Carica dell’elettrone q=-1,610-19 C , massa dell’elettrone me-=9,110-31 kg : carica del nucleo
Q=31,610-19 = 4,810-19 C.
Supponiamo che l’e- si trovi ad una distanza dal nucleo di 1/3 Raggio di Bohr (RBohr=5,310-11 m); supponi
anche che l’energia totale misurata (cioè potenziale+cinetica) sia E=-9810-19 J .
Trova l’energia cinetica (K) e la velocità dell’elettrone (V) [K=2,9310-17 J , V=8,03106 m/s]
Come cambiano queste quantità se l’elettrone si avvicina al nucleo ad una distanza di 1/5 Raggio di
Bohr?
[K=5,5410-17 J , V=1,10107 m/s]
E se invece l’elettrone si allontana fino a ½RBohr? [K=1,6310-17 J , V=5,98106 m/s]
E se invece si allontana fino a 2RBohr? [Impossibile! E’ già nella zona proibita]
A quale distanza la velocità dell’elettrone è nulla? [R=7,0510-11m = 1,33RBohr]
Qual è l’energia di ionizzazione dell’elettrone? [Eion=9,8010-18 J]
Adesso un fotone di energia 13,110-18 J viene assorbito dall’elettrone: poiché l’energia del fotone assorbito è
maggiore di quella di ionizzazione, l’elettrone è in grado di allontanarsoi dal nucleo indefinitamente.
Qual è l’energia totale dell’elettrone dopo aver assorbito il fotone? [E=3,310-18 J].
L’elettrone adesso è libero e si allontana tantissimo dal nucleo (R). Qual è la sua energia cinetica e
la sua velocità quando è lontanissimo dal nucleo? [K=3,310-18 J : V=2,69106 m/s. Questa velocità si
chiama velocità asintotica: chiedi al Prof a lezione!]
Nucleo + positrone
Il positrone (e+) è una particella di antimateria; esso rappresenta un antielettrone, cioè una particella identica
all’elettrone ma di carica esattamente opposta: qe+=+1,610-19 C , me+=9,110-31 kg.
Consideriamo il solito atomo di Litio di cui sopra, che però questa volta è completamente ionizzato (Li3+): in
pratica, esso è solo un nucleo atomico con 3 cariche positive (3 protoni) senza alcun elettrone orbitante
intorno (atomi completamente ionizzati sono presenti nei caldissimi gas stellari). Cosa accade se un positrone
si avvicina al nucleo? Essendo entrambe le cariche concordi, esso viene fatto schizzare via. Vediamo come.
Considera che ora il potenziale è U=9109(+4,810-19)(+1,610-19)/R. Supponi che il nostro positrone si trovi a
grandissima distanza dal nucleo, con una velocità di 12106m/s.
Trova la sua energia totale (Essendo lontano dal nucleo, il potenziale è nullo: U=0.
K=1/2me+V2=223,210-19 J E=U+K=655,210-19 J]
Qual è la sua velocità quando è giunto ad una distanza dal nucleo di 3RBohr? [V=11,6106 m/s:
rispetto a quando era lontanissimo, la velocità è diminuita]
A quale distanza dal nucleo la velocità diventa 2106 m/s? [R=1,0910-11m = 0,206RBorh]
Se il positrone arriva ad una distanza di 0,1RBohr dal nucleo, qual è la sua velocità? [Così vicino
non ci arriva! E’ rimbalzato via prima]
Qual è la minima distanza dal nucleo alla quale il positrone può arrivare? [RMIN=1,0510-11m =
0,198RBohr]
