07/11/2012
Lez. 12 – Forze d’attrito e lavoro
Prof. Giovanni Mettivier
1
Dott. Giovanni Mettivier, PhD
Dipartimento Scienze Fisiche
Università di Napoli “Federico II”
Compl. Univ. Monte S.Angelo
Via Cintia, I-80126, Napoli
[email protected]
+39-081-676137
2
1
07/11/2012
Un magazziniere pone una cassa su una superficie in
pendenza che è inclinata di 30° rispetto all’orizzontale.
Se la cassa scivola giù lungo il piano inclinato con
un’accelerazione di modulo g/3, determinare il
coefficiente d’attrito dinamico fra la cassa e la superficie
d’appoggio.
_________________________________________________________________________________________________
3
Lez. 9 - INTRODUZIONE
Giovanni Mettivier
Consideriamo una particella in moto circolare uniforme.
Secondo la seconda legge di Newton, se c’è
un’accelerazione, deve esserci una forza risultante che
la produce. Poiché l’accelerazione è diretta verso il
centro della circonferenza, la forza risultante deve
essere diretta verso il centro della circonferenza.
Quindi, quando una particella viaggia lungo una
traiettoria circolare, una forza deve agire sulla particella
verso l’interno causando il suo moto circolare.
_________________________________________________________________________________________________
4
Lez. 9 - INTRODUZIONE
Giovanni Mettivier
2
07/11/2012
Si consideri un oggetto di massa m legato ad un filo di
lunghezza r che è fatto girare rapidamente lungo una
circonferenza orizzontale su un tavolo privo di attrito. Si
assuma che l’oggetto si muova con velocità costante in
modulo. L’inerzia dell’oggetto tenderebbe a mantenere il
moto lungo un percorso in linea retta, secondo la prima
legge di Newton; però il filo impedisce questo moto,
esercitando
una
forza
radiale F, sull’oggetto tale da
mantenerlo
sulla
sua
traiettoria circolare. Questa
forza, il cui modulo è la
tensione del filo, è diretta
verso
il
centro
della
circonferenza,
lungo
la
direzione del filo.
_________________________________________________________________________________________________
5
Lez. 9 - INTRODUZIONE
Giovanni Mettivier
_________________________________________________________________________________________________
Lez. 9 - INTRODUZIONE
Giovanni Mettivier
6
3
07/11/2012
Un’auto di 1500 kg, che si
muove su una strada
orizzontale piana, affronta
una curva di 35 m di raggio.
Se il coefficiente di attrito
statico tra gli pneumatici ed il
terreno asciutto è 0,523,
trovare la velocità massima
che l’auto può mantenere
per
affrontare,
con
successo, la curva.
_________________________________________________________________________________________________
7
Lez. 9 - INTRODUZIONE
Giovanni Mettivier
Un
ingegnere
civile
desidera
riprogettare la strada curva dell’
esempio precedente in modo che
un’auto
non
dovrà
dipendere
dall’attrito per percorrere la cirva
senza sbandare. In altre parole,
un’auto che viaggia alla velocità
prevista è capace di superare la curva
anche se la strada è coperta di
ghiaccio. Tale curva viene di solito
soprelevata, intendendo con ciò che la
carreggiata è inclinata verso l’interno
della curva. Supponi che la velocità
progettata per la curva sia 233.4 m/s
(48.2 km/h) e che il raggio della cirva
sia di 35 m. A quale angolo la curva
dovrebbe essere soprelevata?
_________________________________________________________________________________________________
8
Lez. 9 - INTRODUZIONE
Giovanni Mettivier
4
07/11/2012
La forza d’attrito agente su un
corpo che si muove in un mezzo
viscoso è proporzionale alla
velocità.
La
rappresentazione
matematica di questa forza di
viscosità si può esprimere come
R = -bv
dove v è la velocità dell’oggetto e b
è una costante che dipende dalle
proprietà del mezzo, dalla forma e
dalle dimensioni dell’oggetto. Il
segno negativo rappresenta il fatto
che la forza viscosa è opposta alla
velocità.
_________________________________________________________________________________________________
9
Lez. 9 - INTRODUZIONE
Giovanni Mettivier
Considerando il moto verticale e
scegliendo
come
positiva
la
direzione rivolta verso il basso
abbiamo
ΣFy = may
mg-bv = ma
L’accelerazione
diventa
nulla
quando la forza viscosa diventa
uguale al peso. A questo punto, il
corpo raggiunge la sua velocità
limite vl e da questo momento
continua
a
muoversi
con
accelerazione nulla. Dopo questo
punto, il moto è quello di una
particella con velocità costante. La
velocità limite può ricavarsi dall’eq.,
ponendo a = 0. Il risultato è
mg – bvl = 0
vl = mg/b
_________________________________________________________________________________________________
10
Lez. 9 - INTRODUZIONE
Giovanni Mettivier
5
07/11/2012
Per oggetti di grandi dimensioni che
si muovono nell’aria con velocità
elevate
come
gli
aerei,
i
paracadutisti, e le palle da baseball,
il modulo della forza di attrito è
approssimativamente proporzionale
al quadrato della velocità:
R = ½ DρAv2
dove ρ è la densità dell’aria, A è
l’area della sezione dell’oggetto in
moto, misurata in un piano
perpendicolare alla sua velocità, e D
è una grandezza adimensionale
determinata empiricamente, nota
come coefficiente di resistenza.
resistenza
_________________________________________________________________________________________________
11
Lez. 9 - INTRODUZIONE
Giovanni Mettivier
1
ΣF = ma ⇒ mg − DρAv 2 = ma
2
DρA 2
a = g −
v
2m
vl =
2mg
DρA
_________________________________________________________________________________________________
12
Lez. 9 - INTRODUZIONE
Giovanni Mettivier
6
07/11/2012
Il lavoro W svolto da un agente che esercita una forza
costante su un corpo è il prodotto del modulo F della
forza, del modulo ∆r dello spostamento, e cosθ, con θ
l’angolo fra i vettori forza e spostamento.
W ≡ F∆rcosθ
Il lavoro è una grandezza scalare. Nel sistema SI
l’unità di misura del lavoro è il newton x metro (Nm),
detto anche joule (J
J).
_________________________________________________________________________________________________
Lez. 11 - LAVORO
Giovanni Mettivier
13
Il lavoro compiuto da una forza è zero quando la forza
è perpendicolare allo spostamento.
Il segno del lavoro dipende dalla direzione di F rispetto
a ∆r. Il lavoro svolto dalla forza applicata è positivo se il
vettore associato alla componente Fcosθ è nello
stesso verso dello spostamento. Se è nel verso
opposto allora W è negativo.
Se la forza costante applicata F agisce parallelamente
alla direzione e nel verso dello spostamento, allora θ=0
e cosθ = 1. In questo caso
W = F∆r
_________________________________________________________________________________________________
Lez. 11 - LAVORO
Giovanni Mettivier
14
7
07/11/2012
Un uomo preso dalle pulizie del suo appartamento
tira un aspirapolvere con una forza di modulo F = 50
N. la forza forma un angolo di 30° con l’orizzontale.
L’aspirapolvere è tirato per unna distanza di 3 m
verso
destra.
Calcolare
il
lavoro
svolto
sull’aspirapolvere.
W = (F cos θ) ∆r
= (50 N) (cos 30°) (3 m)
= 130 Nm = 130 J
_________________________________________________________________________________________________
Lez. 11 - LAVORO
Giovanni Mettivier
15
Consideriamo una particella che si sposta lungo l’asse
delle x sotto l’azione di una forza di modulo Fx, nella
direzione x, che varia con la posizione, come nella
rappresentazione grafica in fig. In una tale situazione,
per calcolare il lavoro svolto dalla forza, non possiamo
usare la formula precedente, poiché essa si può
applicare soltanto nel caso in cui la forza F è costante in
modulo e direzione.
Se, tuttavia, si immagina che la
particella compia uno spostamento ∆r
= ∆x, molto piccolo allora la
componente è costante in questo
intervallo e si può esprimere il lavoro
svolto dalla forza per questo piccolo
spostamento come
W1 ≈ Fx∆x
_________________________________________________________________________________________________
Lez. 11 - LAVORO
Giovanni Mettivier
16
8
07/11/2012
Allora il lavoro totale svolto, nello spostamento che va
da xi a xf, è uguale approssimativamente, alla somma di
xf
un grande numero di tali termini:
W ≈ ∑ Fx ∆x
Se gli spostamenti ∆x tendono a xero,
xf
xf
xi
xi
xi
lim ∑ Fx ∆x = ∫ Fx dx
∆x →0
I limiti nell’integrale, x = xi a x = xf definiscono quello
che è chiamato integrale definito.
Se su una particella agisce più di una forza, il lavoro
totale svolto sul sistema è proprio il lavoro compiuto
dalla forza risultante.
_________________________________________________________________________________________________
Lez. 11 - LAVORO
Giovanni Mettivier
17
Un blocco, su una
superficie
orizzontale
liscia, è collegato ad una
molla. Se la molla è
allungata o compressa di
un piccolo tratto dalla sua
posizione di equilibrio x =
0, essa eserciterà una
forza sul blocco data da
F = -kx
Visto che la forza varia
con x, possiamo usare
l’espressione precedente
per calcolare il lavoro
compiuto
alla
forza
elastica
sulla
massa.
_________________________________________________________________________________________________
Lez. 11 - LAVORO
Giovanni Mettivier
18
9
07/11/2012
Se il blocco compie uno
spostamento arbitrario da x = xi
a x = xf, il lavoro svolto dalla
forza della molla è dato da
xf
1
1
W = ∫ (−kx)dx = kxi2 − kx 2f
2
2
xi
Da questa equazione si vede
che il lavoro compiuto dalla
forza della molla sul blocco è
zero per qualsiasi moto i cui
estremi coincidono (xi = xf).
_________________________________________________________________________________________________
Lez. 11 - LAVORO
Giovanni Mettivier
19
Un’estremità di una molla orizzontale (k = 80 N/m) è
tenuta fissa mentre una forza esterna è applicata
all’estremità libera, allungandola da xa = 0 a xb = 4.0
cm.
a) Trovare il lavoro svolto dalla forza esterna sulla
molla.
W=
1 2 1 N
2
kxB = 80 (0.04m ) = 0.064 J
2
2 m
b) Trovare il lavoro addizionale svolto nell’allungare
la molla da xb = 4 cm a xc = 7 cm.
[
]
1
1
1 N
2
2
W = kxC2 − kxB2 = 80 (0.07m) − (0.04m) = 0.13J
2
2
2 m
_________________________________________________________________________________________________
Lez. 11 - LAVORO
Giovanni Mettivier
20
10
07/11/2012
L’energia è uno dei concetti più importanti in tutte le
discipline scientifiche. L’energia di un sistema è la
misura della sua capacità di compiere lavoro.
Per descrivere l’energia associata a diverse condizioni
di un sistema, si usano termini diversi. L’ energia
cinetica è l’energia associata al moto. L’ energia
potenziale è l’energia associata alla configurazione
del sistema, per esempio la distanza che separa due
corpi che si attraggono. L’ energia termica è
associata al moto caotico degli atomi, molecole e ioni
che costituiscono un sistema, ed è strettamente legata
alla sua temperatura.
_________________________________________________________________________________________________
Lez. 11 - LAVORO
Giovanni Mettivier
21
Quando su un corpo agiscono delle forze, abbiamo
Fx = max
Se la forza risultante è costante, lo è anche
l’accelerazione, e lo spostamento può essere messo
in relazione con le velocità iniziale e finale, vi e vf,
tramite l’equazione del moto uniformemente
accelerato:
2
2
v f = vi + 2a x ∆x
Da cui, ricavando ax, segue:
ax =
(
1
v 2f − vi2
2 ∆x
)
Sostituendo e moltiplicando entrambi i membri per ∆x
otteniamo:
1
1
Fx ∆x = mv 2f − mvi2
2
2
_________________________________________________________________________________________________
Lez. 11 - LAVORO
Giovanni Mettivier
22
11
07/11/2012
Il membro a sinistra è esattamente il lavoro totale
compiuto sul punto materiale, per cui:
1
1
W = mv 2f − mvi2
2
2
(½)mv2 è una quantità scalare che rappresenta
l’energia associata al moto del punto materiale e viene
chiamata energia cinetica K del punto materiale:
K=
1 2
mv
2
Si osservi che l’energia cinetica dipende solo dalla
velocità e dalla massa del punto materiale, non dalla
direzione del moto. Inoltre, l’energia cinetica non può
mai essere negativa ed è nulla solo quando il punto
materiale è a riposo.
_________________________________________________________________________________________________
Lez. 11 - LAVORO
Giovanni Mettivier
23
La quantità espressa dal membro a destra
dell’equazione rappresenta allora la variazione di
energia cinetica del punto materiale. Quindi l’equazione
ci dà una relazione tra il lavoro totale compiuto su un
punto materiale e la sua energia cinetica; il lavoro totale
è uguale alla variazione di energia cinetica:
W = ∆K
Questo risultato è noto come teorema del lavoro e
dell’energia cinetica.
cinetica Ci dice che quando W è positivo,
l’energia aumenta. Se W è negativo, l’energia cinetica
diminuisce.
Le unità di misura dell’energia sono le stesse del lavoro
e quindi il joule (J).
_________________________________________________________________________________________________
Lez. 11 - LAVORO
Giovanni Mettivier
24
12
07/11/2012
Un blocco di 6 kg, inizialmente fermo, è tirato verso
destra su una superficie orizzontale liscia da una
forza costante orizzontale F di 12 N. Trovare la
velocità del blocco dopo che si è spostato di 3 m.
W = F∆x = (12 N )(3m) = 36 Nm = 360 J
1
W = K f − K i = mv 2f − 0
2
2W
2(36 J )
vf =
=
= 3.46m / s
m
6kg
_________________________________________________________________________________________________
Lez. 11 - LAVORO
Giovanni Mettivier
25
13
