Lez. 11 – Moto armonico
Prof. Giovanni Mettivier
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Dott. Giovanni Mettivier, PhD
Dipartimento Scienze Fisiche
Università di Napoli “Federico II”
Compl. Univ. Monte S.Angelo
Via Cintia, I-80126, Napoli
[email protected]
+39-081-676137
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Un blocco, su una superficie orizzontale liscia, è collegato ad una
molla. Se la molla è allungata o compressa di un piccolo tratto
dalla posizione di equilibrio x = 0, essa eserciterà una forza sul
blocco data da:
F = -kx
dove k è una costante positiva detta costante elastica della molla.
Questa legge per le molle è nota come legge di Hooke.
Hooke Il valore
di k è una misura della rigidità della molla.
Il segno negativo significa che la forza esercitata dalla molla è
sempre diretta in verso opposto a quello dello spostamento dalla
posizione di equilibrio. Per questo motivo essa è talvolta indicata
col nome di forza di richiamo.
richiamo
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Lez. 6 - CONCETTO DI FORZA
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Una volta che il blocco è stato
spostato a una certa posizione
–xmax e quindi rilasciato libero,
esso si muoverà da –xmax a +
xmax, passando attraverso lo
zero, per poi tornare a –xmax.
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Lez. 6 - CONCETTO DI FORZA
Giovanni Mettivier
Il pendolo semplice è un altro
sistema meccanico che si
muove di moto periodico. Esso
consiste di un punto materiale
di massa m, sospeso a un filo
leggero di lunghezza L, la cui
estremità superiore è fissata.
Quando l’oggetto è tirato lateralmente e rilasciato, esso
oscilla intorno al punto più basso, che è la posizione di
equilibrio.
equilibrio Il moto avviene in un piano verticale ed è
determinato dalla forza di gravità. Le forze agenti
sull’oggetto sono la forza T, agente lungo il filo, e la
forza di gravità mg. La componente tangenziale della
forza di gravità, mgsenθ, agisce sempre verso θ = 0,
opposta allo spostamento. Quindi la forza tangenziale è
una forza di richiamo.
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Lez. 6 - CONCETTO DI FORZA
Giovanni Mettivier
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Lez. 5 - MOTO BIDIMENSIONALE
Giovanni Mettivier
Se studiamo il moto della componente di r lungo l’asse
x di un punto che si muove lungo una traiettoria
circolare, otteniamo che:
x(t) = r cos(ωt+φ)
v(t) = -ωr sen(ωt+φ)
a(t) = -ω2r cos(ωt+φ)
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Lez. 5 - MOTO BIDIMENSIONALE
Giovanni Mettivier
x(t) = A cos(ωt+φ)
dove A, ω, e φ sono delle costanti.
Per dare significato fisico a queste
costanti, è conveniente predisporre
una rappresentazione grafica del
moto disegnando un grafico di x in
funzione di t. Per prima cosa
notiamo che A, detta ampiezza del
moto,
moto è semplicemente il valore
massimo della posizione della
particella nella direzione x sia
positiva che negativa. La costante
ω si chiama frequenza angolare e
ha unità di rad/s. La costante φ,
invece, rappresenta il valore
dell’angolo all’istante iniziale e
viene detta fase iniziale.
iniziale
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Lez. 5 - MOTO BIDIMENSIONALE
Giovanni Mettivier
Il periodo T del moto è il tempo necessario alla
particella per compiere un ciclo completo del suo moto.
Cioè, i valori di x e v per la particella al tempo t sono
uguali ai valori di x e v al tempo t+T. Possiamo correlare
il periodo con la frequenza angolare usando la
circostanza che la fase aumenta di 2π radianti nel tempo
T:
[ω(t+T) + φ] – (ωt+φ) = 2π
Semplificando questa espressione, vediamo che ωT =
2π, ossia:
T = 2π/ω
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Lez. 5 - MOTO BIDIMENSIONALE
Giovanni Mettivier
L’inverso del periodo si chiama frequenza f del
moto. Mentre il periodo è l’intervallo di tempo
per una oscillazione, la frequenza rappresenta
il numero di oscillazioni che la particella compie
nell’unità di tempo:
f = 1/T = ω/2π
L’unità di f sono i cicli per secondo, o hertz
(Hz
Hz). Quindi
ω = 2πf = 2π/T
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Lez. 5 - MOTO BIDIMENSIONALE
Giovanni Mettivier
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Lez. 5 - MOTO BIDIMENSIONALE
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Moto
Armonico
ω = 2πf =
T=
2π
T
2π
ω
Moto di Moto di un
una molla pendolo
ω=
T = 2π
k
m
m
k
ω=
T = 2π
g
L
L
g
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Lez. 5 - MOTO BIDIMENSIONALE
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Quando un corpo è in movimento su una superficie
scabra, o attraverso un mezzo viscoso quale l’aria o
l’acqua, c’è una resistenza al moto dovuta all’interazione
del corpo con ciò che lo circonda. Chiameremo una tale
resistenza forza di attrito.
attrito
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Lez. 9 - INTRODUZIONE
Giovanni Mettivier
Se, per trascinare il bidone, si applica una forza orizzontale F
verso destra il bidone può rimanere fermo se la forza è piccola. La
forza che contrasta F e impedisce al bidone di muoversi agendo
verso sinistra si chiama forza di attrito statico fs. Fino a quando il
bidone non si muove, esso è descrivibile come particella in
equilibrio e fs = F; quindi, se F aumenta, anche fs aumenta. Allo
stesso modo, se F diminuisce anche fs diminuisce. Gli esperimenti
mostrano che questa forza proviene dalla natura delle sue
superfici.
Se aumentiamo il modulo di F, il bidone alla fine comincerà a
muoversi. Quando il bidone è sul punto di muoversi, fs è massimo.
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Lez. 9 - INTRODUZIONE
Giovanni Mettivier
Se F supera fs,max, il bidone si muove e accelera verso
destra. Quando il bidone è in moto, la forza di attrito
diventa minore di fs,max. Chiamiamo la forza d’attrito per
un oggetto in moto forza di attrito dinamico,
dinamico fd. La
forza netta F-fd nella direzione x, produce
un’accelerazione verso destra, secondo la legge di
Newton. Se riduciamo l’intensità della forza F fino a
rendere F = fd, l’accelerazione è zero, e il bidone si
muove verso destra con velocità costante.
Se la forza applicata
viene rimossa, allora la
forza di attrito agente
verso sinistra fornisce
un’accelerazione nella
direzione –x e alla fine
lo riporta in quiete.
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Lez. 9 - INTRODUZIONE
Giovanni Mettivier
Sperimentalmente si trova, con buona
approssimazione, che tanto fs,max quanto fd per
un oggetto su una superficie sono proporzionali
alla forza normale esercitata dalla superficie
sull’oggetto;
il modulo della forza d’attrito statico fra due
qualsiasi superfici a contatto può assumere
valori dati da
F s ≤ µ sN
dove la costante adimensionale µs è detta
coefficiente di attrito statico e N è il modulo
della forza normale.
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Lez. 9 - INTRODUZIONE
Giovanni Mettivier
L’eguaglianza nell’eq. sussiste quando il blocco
è sul punto di iniziare a scivolare, cioè quando fs
= fs,max =µsN. Questa situazione si chiama moto
imminente.
Il modulo della forza di attrito dinamico agente
fra due superfici è
Fd = µdN
dove µd è il coefficiente di attrito dinamico.
La direzione della forza di attrito agente su un
oggetto è opposta al moto.
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Lez. 9 - INTRODUZIONE
Giovanni Mettivier
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Lez. 9 - INTRODUZIONE
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Il seguente è un semplice metodo per misurare i
coefficienti d’attrito. Supponiamo che un blocco sia
posto su una superficie scabra inclinata rispetto
all’orizzontale, come in fig. L’angolo di inclinazione θ può
essere incrementato fino a quando il blocco inizia a
muoversi.
a)Qual è il coefficiente d’attrito statico correlato
all’angolo critico θc per il quale il blocco inizia a
muoversi.?
b)Com’è possibile misurare il coefficiente d’attrito
dinamico?
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Lez. 9 - INTRODUZIONE
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Una palla e un cubo sono collegati da un filo leggero
attraverso una puleggia priva di attrito, come in fig. Il
coefficiente d’attrito dinamico tra il cubo e la superficie è
0,3. Determinare l’accelerazione dei due oggetti e la
tensione del filo.
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Lez. 9 - INTRODUZIONE
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