Cinematica del punto
Consideriamo il moto di una particella: per particella si intende sia
un corpo puntiforme (ad es. un elettrone), sia un qualunque corpo
esteso che si muove come una particella, ovvero ogni sua parte si
muove solidalmente nella stessa direzione e con la stessa velocità.
La cinematica non si preoccupa del perché del moto e delle sue
variazioni (accelerazione, cambio di direzione, decelerazione), ma
semplicemente della descrizione dei parametri del moto in
funzione del tempo.
Inizialmente consideriamo moti rettilinei, cioè che seguono una linea
retta → non abbiamo bisogno dei vettori.
Spostamento
Velocità
Accelerazione
A.A. 2014/15
parametri della cinematica
Fisica 1
1
Spostamento
Fissiamo sulla retta lungo cui avviene il moto un punto che chiamiamo
origine, automaticamente otteniamo due versi positivo (da sx a dx) e
negativo (da dx a sx).
O
x
negativo
positivo
Una particella che muovendosi passa dalla posizione x1 alla posizione
x2 compie uno spostamento definito come
Δx = x 2 − x1
Se Δx è positivo il moto avviene in verso positivo, se Δx è negativo
il moto avviene in verso negativo.
Lo spostamento dipende
€ solo dal punto iniziale e dal punto finale
(in tre dimensioni ci si rende conto che lo spostamento è una
grandezza vettoriale).
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Fisica 1
2
Velocità
Grafico della funzione x(t) (legge oraria)
Velocità vettoriale media v
v=
Δx x 2 − x1
=
€
Δt t 2 − t1
L’unità di misura per la velocità è m/s
€
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Fisica 1
3
Equazione dimensionale per la velocità
[ v ] = [ L ][ T ]
−1
La velocità rappresenta la pendenza media della curva x(t) nell’
intervallo determinato dai punti di coordinate (x1,t1) e (x2,t2).
La velocità vettoriale
media ha sempre lo stesso segno dello
€
spostamento (Δt è sempre > 0).
Δx 6m
m
v=
=
=2
Δt
3s
s
€
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Fisica 1
4
Velocità scalare media u
Δs
u=
Δt
Δs è il percorso effettivo
La velocità scalare media è un numero sempre positivo e in
€
generale è diversa dalla velocità vettoriale media.
€
Velocità vettoriale istantanea v
Determina la velocità in un istante preciso
Δx dx
lim
=
€ v = Δt→0
Δt dt
La velocità vettoriale istantanea è la pendenza della retta tangente
alla curva x(t) nel punto di ascissa t.
Velocità scalare istantanea u
€
La velocità scalare istantanea è il modulo della velocità vettoriale
istantanea, in quanto al limite per Δt → 0 dx e ds coincidono.
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Fisica 1
5
Accelerazione
Accelerazione vettoriale media a
Δv v 2 − v1
a=
=
Δt
t 2 − t1
€
L’unità di misura dell’accelerazione è m/s2. L’equazione dimensionale
−2
è
a = L T
[ ] [ ][ ]
€
Accelerazione vettoriale istantanea a
Δ v dv
a = lim
=
€
Δt→0 Δt
dt
€
L’accelerazione vettoriale istantanea
è la pendenza della curva v(t)
nel punto di ascissa t.
Essa rappresenta la rapidità di variazione del vettore velocità
€
2
istantanea.
dv d ⎛ dx ⎞ d x
a=
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dt
=
⎜ ⎟ = 2
dt ⎝ dt ⎠ dt
Fisica 1
6
A.A. 2014/15
Fisica 1
7
Moto rettilineo uniformemente accelerato
a è costante, cioè non è funzione del tempo. Ricaviamo le
funzioni v(t) e x(t).
dv
a=
⇒ dv = adt
dt
Integrando si ottiene
€
d
v
=
a
dt,
d
v
∫
∫ ∫ = a ∫ dt
v = at + C
Per determinare la costante di integrazione C, scegliamo l’istante t
= t0 in cui la velocità assume il valore v = v0.
€
Infine si ottiene
€
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v 0 = at 0 + C ⇒ C = v 0 − at 0
v = v 0 + a (t − t 0 )
Fisica 1
(1)
8
Per lo spostamento si ha
dx
v=
⇒ dx = vdt
dt
∫ dx = ∫ vdt
x = ∫ [ v 0 + a (t − t 0 )]dt
x = v 0t + a ∫ (t − t 0 )dt
2
1
x = v 0t + a (t − t 0 ) + C '
2
Prendendo x = x0 per t = t0 si ottiene (file)
'
'
x 0 = v 0t 0 + C ⇒ C = x 0 − v 0t 0
€
Sostituendo si ottiene
2
1
x = x 0 + v 0 (t − t 0 ) + a (t − t 0 )
2
(2)
€
Combinando le equazioni (1) e (2) si ricava v(x)
2
€
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2
0
v = v + 2a (x − x 0 )
Fisica 1
(3)
9
Esercizio
Un oggetto puntiforme viene lanciato verso l’alto con velocità
iniziale v0 = 98 m/s parallela e concorde all’asse delle y. Il lancio
avviene da un’altezza y0 = 100 m. Se l’accelerazione di gravità
vale g = 9.8 m/s2 ed è antiparallela all’asse delle y, determinare:
• il tempo tmax necessario a raggiungere l’apice della traiettoria,
• la quota massima ymax ,
• il tempo tf necessario a percorrere l’intera traiettoria
• e la velocità vf con cui l’oggetto tocca terra.
Dati
v0 = 98 j m/s
y
y0 = 100 m
ymax
2
g
=
-9.8
j
m/s
g
Richieste
tmax
v0
ymax
tf
y0
vf
vf
O
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Fisica 1
10
Se y = ymax → t = tmax e vmax = 0. Infatti ogni volta che la velocità si
annulla si ha una inversione nella direzione del moto. Utilizzando
le formule appena ricavate si ha:
v = v 0 + a (t − t 0 )
e posto t0 = 0, si ottiene (equazione scalare)
v − v0
t=
a
t max
v max − v 0
=
a
€vmax = 0 otteniamo
Ricordando che
v0 v0
t
=
−
=
=10 s
max
€
a
g
€
quindi per ymax si ha
y max
€
y max
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2
1
= y 0 + v 0 (t max − t 0 ) + a (t max − t 0 )
2
1
2
= y 0 + v 0t max − gt max = 590 m
2
Fisica 1
11
Abbiamo tf quando yf = 0
1
0 =100 + 98t f − 9.8t 2f
2
t f = −0.96 s,t f = 20.96 s
1
2
tf1 corrisponde all’istante ipotetico in cui l’oggetto sarebbe dovuto
partire se il moto avesse avuto inizio da y0 = 0.
Vediamo ora la €
velocità di impatto al suolo
v f = v 0 − gt f = 98 − 9.8 ⋅ 20.96 = −107.41 ms −1
Il modulo di vf risulta negativo perché il vettore velocità è rivolto
verso il basso.
Soluzione
alternativa
€
v 2 = v 20 + 2a (y − y 0 ),y max → v max = 0
v 20 − 2g(y max −100) = 0
y max
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98 2
=100 +
=100 + 490 = 590 m
2 ⋅ 9.8
Fisica 1
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Vediamo ora vf
v 2f = v 20 − 2g(y f − y 0 ),y f = 0
1/ 2
(v )
2
f
(
1/ 2
)
2
= 98 + 2 ⋅ 9.8 ⋅100
=107.54 ms −1
Procedendo in questo modo perdiamo l’informazione sul verso
della velocità finale.
€
Scelta alternativa
del sistema di riferimento
Prendiamo ora y0 = 0 e yf = -100 m
Per il calcolo di tmax non cambia nulla, invece per ymax abbiamo
1
y max = 0 + 9.8 ⋅10 − 9.8 ⋅100 = 490 m
2
Vediamo adesso tf
€
1
y f = y 0 + v 0t f − gt 2f
2
1
−100 = 0 + 98t f − 9.8t 2f
2
t f = −0.96 s,t f = 20.96 s
1
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2
Fisica 1
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Infine per vf otteniamo
v 2f = v 20 − 2g(y f − y 0 )
v 2f = 98 2 − 2 ⋅ 9.8(−100 − 0)
v f =107.54 ms −1
Nota sui tempi
t caduta
€
= t f − t max =10.96 s = t max − t f = t salita
2
1
Si osserva che il tempo necessario per andare da y = 0 a ymax è lo
stesso necessario per andare da ymax a y = 0 le due parti del moto sono
quindi
€ simmetriche.
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Fisica 1
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