Cinematica del punto

Cinematica del punto
Consideriamo il moto di una particella, dove per particella si intende
sia un corpo puntiforme (ad es. un elettrone), sia un qualunque corpo
esteso che si muove come una particella, ovvero ogni sua parte si
muove solidalmente nella stessa direzione e con la stessa velocità.
La cinematica non si preoccupa del perché del moto e delle sue
variazioni (accelerazione, cambio di direzione, decelerazione), ma
semplicemte della descrizione dei parametri del moto in funzione del
tempo.
Inizialmente consideriamo moti rettilinei, cioé che seguono una linea
retta → non abbiamo bisogno dei vettori.
Spostamento
Velocità
Accelerazione
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}
parametri della cinematica
Fisica Generale I
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Spostamento
Fissiamo sulla retta lungo cui avviene il moto un punto che chiamiamo
origine, automaticamente otteniamo due versi positivo (da sx a dx) e
negativo (da dx a sx).
O
x
negativo
positivo
Una particella che muovendosi passa dalla posizione x1 alla posizione
x2 compie uno spostamento definito come
∆x = x2 − x1
Se ∆x è positivo il moto avviene in verso positivo, se ∆x è negativo il
moto avviene in verso negativo.
Lo spostamento dipende solo dal punto iniziale e dal punto finale
(in tre dimensioni ci si rende conto che lo spostamento è una
grandezza vettoriale).
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Velocità
Grafico della funzione x(t)
Velocità vettoriale media v
v=
∆x x2 − x1
=
∆t t2 − t1
L’unità di misura per la velocità è m/s
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Equazione dimensionale per la velocità
[v ] = [L ][T ]−1
La velocità rappresenta la pendenza media della curva x(t) nell’
intervallo determinato dai punti di coordinate (x1,t1) e (x2,t2).
La velocità vettoriale media ha sempre lo stesso segno dello
spostamento (∆t è sempre > 0).
v=
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∆x 6m
m
=
=2
∆t 3s
s
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Velocità scalare media
u =
∆s
∆t
u
∆s è il percorso effettivo
La velocità scalare media è un numero sempre positivo e in generale è
diversa dalla velocità vettoriale media.
r
Velocità vettoriale istantanea v
Determina la velocità in un istante preciso
r
r
r
∆x dx
v = ?lim
=
t →0
∆t dt
La velocità vettoriale istantanea è la pendenza della retta tangente alla
curva x(t) nel punto di ascissa t.
Velocità scalare istantanea u
La velocità scalare istantanea è il modulo della velocità vettoriale
istantanea, in quanto al limite per ∆t → 0 ∆x e ∆s coincidono.
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Accelerazione
Accelerazione vettoriale media a
a=
∆v v2 − v1
=
∆t t2 − t1
L’unità di misura dell’accelerazione è m/s2. L’equazione dimensionale è
[a ] = [L][T ]−2
Accelerazione vettoriale istantanea
r
a
r
r
r
∆v dv
a = lim
=
∆t →0 ∆t
dt
L’accelerazione vettoriale istantanea è la pendenza della curva v(t) nel
punto di ascissa t.
Essa rappresenta la rapidità di variazione del vettore velocità istantanea.
r
r
r
r dv d  dx  d 2 x
a=
=  =
dt dt  dt  dt 2
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Moto rettilineo uniformemente accelerato
a è costante, cioè non è funzione del tempo. Ricaviamo le funzioni
v(t) e x(t).
r
r dv
r r
a=
⇒ dv = a dt
dt
Integrando si ottiene
r
r
r r
d
v
=
a
dt
,
d
v
∫ ∫ ∫ = a ∫ dt
r r
v = at + C
Per determinare la costante di integrazione C, scegliamo l’istante t = t0
in cui la velocità assume il valore v = v0.
r r
r r
v0 = at0 + C ⇒ C = v0 − at0
Infine si ottiene
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r r r
v = v0 + a (t − t0 )
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(1)
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Per lo spostamento si ha
r
r dx
r r
v=
⇒ dx = v dt
dt
r
r
∫ dx = ∫ v dt
r
r r
x = ∫ [v0 + a (t − t0 )]dt
r r
r
x = v0 t + a ∫ (t − t0 )dt
r r
1r
2
x = v0 t + a (t − t 0 ) + C '
2
Prendendo x = x0 per t = t0 si ottiene
r r
r r
x0 = v0t0 + C ' ⇒ C ' = x0 − v0t 0
Sostituendo si ottiene
r r r
1r
2
x = x0 + v0 (t − t0 ) + a (t − t0 )
2
Combinando le equazioni (1) e (2) si ricava v(x)
v 2 = v02 + 2a ( x − x0 )
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(2)
(3)
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Esercizio
Un oggetto puntiforme viene lanciato verso l’alto con velocità iniziale
v 0 = 98 m/s parallela e concorde con l’asse delle y. Il lancio avviene da
un’altezza y0 = 100 m. Sapendo che l’accelerazione di gravità vale
g = 9.8 m/s2 ed è antiparallela all’asse delle y, determinare:
• il tempo tmax necessario a raggiungere l’apice della traiettoria,
• la quota massima ymax ,
• il tempo tf necessario a percorrere l’intera traiettoria
• e la velocità v f con cui l’oggetto tocca terra.
y
Dati
v 0 = 98 j m/s
ymax
y0 = 100 m
g = -9.8 j m/s 2
g
Richieste
tmax
v0
ymax
tf
y0
vf
vf
O
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Se y = ymax → t = tmax e vmax = 0. Infatti ogni volta che la velocità si
annulla si ha una inversione nella direzione del moto. Utilizzando le
formule appena ricavate si ha:
r r r
v = v0 + a (t − t0 )
e posto t0 = 0, si ottiene (equazione scalare)
t=
v − v0
a
t max =
vmax − v0
a
Ricordando che vmax = 0 otteniamo
t max = −
v0 v0
= = 10 s
a
g
quindi per ymax si ha
ymax = y0 + v0 (t max − t0 ) +
1
2
a(tmax − t0 )
2
1
2
ymax = y0 + v0tmax − gtmax = 590 m
2
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Abbiamo tf quando yf = 0
1
0 = 100 + 98t f − 9.8t 2f
2
t f1 = −0.96 s, t f 2 = 20.96 s
tf1 corrisponde all’istante ipotetico in cui l’oggetto sarebbe dovuto partire
se il moto avesse avuto inizio da y0 = 0.
Vediamo ora la velocità di impatto al suolo
v f = v0 − gt f = 98 − 9.8 ⋅ 20.96 = − 107.41 ms −1
Il modulo di vf risulta negativo perché il vettore velocità è rivolto verso
il basso.
Soluzione alternativa
v 2 = v02 + 2a ( y − y0 ), ymax → vmax = 0
v02 − 2 g ( ymax − 100 ) = 0
ymax
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98 2
= 100 +
= 100 + 490 = 590 m
2 ⋅ 9.8
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Vediamo ora vf
v 2f = v02 − 2 g ( y f − y0 ), y f = 0
(v )
2 1/ 2
f
(
= 98 2 + 2 ⋅ 9.8 ⋅100
)
1/ 2
= 107 .54 ms −1
Procedendo in questo modo perdiamo l’informazione sul verso della
velocità finale.
Scelta alternativa del sistema di riferimento
Prendiamo ora y0 = 0 e yf = -100 m
Per il calcolo di tmax non cambia nulla, invece per ymax abbiamo
1
ymax = 0 + 9.8 ⋅10 − 9.8 ⋅100 = 490 m
2
Vediamo adesso tf
1 2
gt f
2
1
− 100 = 0 + 98t f − 9.8t 2f
2
t f1 = −0. 96 s, t f2 = 20.96 s
y f = y0 + v0t f −
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Infine per vf otteniamo
v 2f = v02 − 2 g ( y f − y 0 )
v 2f = 98 2 − 2 ⋅ 9.8(− 100 − 0 )
v f = 107 .54 ms −1
Nota sui tempi
tcaduta = t f 2 − t max = 10.96 s = t max − t f1 = t salita
Si osserva che il tempo necessario per andare da y = 0 a ymax è lo stesso
necessario per andare da ymax a y = 0 le due parti del moto sono quindi
simmetriche.
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