Leban - Fondamenti di meccanica e biomeccanica

ACCOPPIAMENTI CINEMATICI
Finora si è considerato il moto di un singolo punto materiale o corpo rigido nel
piano.
Più frequentemente occorre affrontare il problema dello studio del moto di sistemi
complessi, costituiti da più corpi (in genere deformabili) ed in moto relativo tra loro.
In meccanica applicata, quando è possibile, si trascurano gli effetti della variazione
della geometria dei corpi e la cinematica dei sistemi complessi è basata sulla
modellazione delle possibilità di moto relativo tra i corpi: gli accoppiamenti tra
corpi rigidi.
Ovviamente, come tutte le modellazioni, le coppie cinematiche costituiscono una
approssimazione più o meno fedele del comportamento reale del sistema.
In biomeccanica, specie nelle applicazioni che interessano direttamente i sistemi
biologici (es: apparato muscolo-scheletrico), tali approssimazioni sono ancora più
evidenti.
ACCOPPIAMENTI CINEMATICI
Durante il “funzionamento” di un sistema complesso, le interazioni tra i corpi si
sviluppano nelle regioni superficiali in cui essi sono in contatto reciproco (superfici
coniugate).
Dalla forma delle superfici coniugate dipende il tipo di moto relativo: esse
costituiscono una coppia cinematica.
In genere si classificano gli accoppiamenti cinematici in:
• coppia prismatica
• coppia rotoidale
• coppia cilindrica
• coppia elicoidale
• coppia sferica
•…
ACCOPPIAMENTI DI FORZA
Sono coppie cinematiche in cui la garanzia dell’accoppiamento è affidata all’azione
delle forze scambiate tra i corpi.
GRADI DI LIBERTÁ E VINCOLI
Un corpo rigido libero di
muoversi nel piano
possiede 3 gradi di libertà
Un corpo rigido libero di
muoversi nello spazio
possiede 6 gradi di libertà
Sono necessarie 3
informazioni per
determinare univocamente
la sua posizione in un SDR
(es: xA, yA, ϑ)
Sono necessarie 6
informazioni per
determinare univocamente
la sua posizione in un SDR
(es: xA, yA, zA , α, β, γ)
Y
yA
γ
A
α
q
xA
X
A
β
coppia rotoidale o cerniera
1
2
ϑ, ω ...
Consente la rotazione relativa (un grado di libertà)
coppia prismatica
1
2
x, x& ...
Consente la traslazione relativa (un grado di libertà)
coppia cilindrica
x, x& ...
1
2
coppia elicoidale
x, x& ...
ϑ, ω ...
Consente sia la traslazione
che la rotazione relativa
(due gradi di libertà)
coppia sferica
α,α& ...
γ,γ& ...
β,β& ...
Consente la rotazione intorno
al centro del giunto nello
spazio (tre gradi di libertà)
1
2
ϑ, ω ...
Consente sia la traslazione che
la rotazione relativa.
I due moti sono legati dal
passo dell’elica (un grado di
libertà)
ϑ=
x
⋅ 2π
P
ω=
v
⋅ 2π
P
GRADI DI LIBERTÁ E VINCOLI:
vincoli ESTERNI
INCASTRO: blocca tutti i movimenti
Se libero da vincoli, un corpo nel piano
ha 3 Gradi di Libertà (GdLiniz.= 3)
x(A)=0
y(A)=0
3 equaz.
q=0
GdV = N° eq. = 3
GdL = GdLiniz.- GdV = 0
CERNIERA: blocca le traslazioni di un punto
x(A)=xA
y(A)=yA
2 equaz.
GdV = N° eq. = 2
GdL = GdLiniz.- GdV = 1
q= libero
CARRELLO: consente la rotazione e la traslazione lungo un asse.
x(A)=libero
y(A) =yA
q= libero
1 equaz.
GdV = N° eq. = 1
GdL = GdLiniz.- GdV = 2
GRADI DI LIBERTÁ E VINCOLI:
vincoli ESTERNI
INCASTRO: blocca tutti i movimenti
Se libero da vincoli, un corpo nel piano
ha 3 Gradi di Libertà (GdLiniz.= 3)
x(A)=0
y(A)=0
3 equaz.
q=0
GdV = N° eq. = 3
GdL = GdLiniz.- GdV = 0
CERNIERA: blocca le traslazioni di un punto
x(A)=xA
y(A)=yA
q= libero
2 equaz.
GdV = N° eq. = 2
GdL = GdLiniz.- GdV = 1
GRADI DI LIBERTÁ E VINCOLI:
vincoli ESTERNI
CARRELLO: consente la rotazione e la traslazione lungo un asse.
x(A)=libero
y(A) =yA
1 equaz.
q= libero
GdV = N° eq. = 1
GdL = GdLiniz.- GdV = 2
COPPIA PRISMATICA: consente
x(A)=f(s)
y(A)=f(s)
q= fisso
2 equaz.
GdV = N° eq. = 2
GdL = GdLiniz.- GdV = 1
GRADI DI LIBERTÁ E VINCOLI:
vincoli INTERNI
Se libero da vincoli, ciascun corpo nel piano ha 3 Gradi di Libertà. I gradi di libertà di
un sistema costituito da N corpi rigidi sono N×3 (in caso di 2 corpi: GdLiniz.= 2×3 = 6)
INCASTRO: blocca tutti i movimenti relativi
xA,1= xA,2
yA,1= yA,2
3 equaz.
q2-q1=cost
GdV = N° eq. = 3
GdL = GdLiniz.- GdV = 3
CERNIERA: consente la rotazione relativa tra i due corpi intorno ad un punto
xA,1= xA,2
yA,1= yA,2
q1=libero
q2=libero
2 equaz.
GdV = N° eq. = 2
GdL = GdLiniz.- GdV = 4
GRADI DI LIBERTÁ E VINCOLI
COPPIE CINEMATICHE
I vincoli considerati finora costituiscono degli accoppiamenti cinematici.
Il moto relativo tra il riferimento (es: telaio) ed il corpo rigido oppure tra due corpi
rigidi è determinato unicamente dalla geometria delle superfici di contatto (superfici
coniugate).
ACCOPPIAMENTI DI FORZA
Sono detti accoppiamenti di forza quegli accoppiamenti in cui il moto relativo tra le
superfici coniugate non dipende solo dalla geometria, ma anche dalle forze applicate
ai membri della coppia.
ω
F
Esempi di accoppiamenti di forza: camma - punteria, ruota - manto stradale
F
Quadrilatero articolato
1 = manovella
2 = bilanciere
3 = biella
E
3
B
1
α
α
β
δ
β
ω1
N° corpi rigidi = 3
Vincoli = 2 cerniere esterne + 2 interne
GdL = 3×3-(2+2)×2=1
2
δ
Si supponga di conoscere la velocità
angolare ω1 della manovella 1 e la
geometria (lunghezze dei segmenti e
posizioni angolari nella configurazione in
esame).
D
A
Si vuole determinare la velocità
angolare ω2 del bilanciere
r
r
r
r
r
v B = v A + v B/A = v B/A = ω1 ∧ AB
r
vE
r
r
r
r
r
v E = v B + v E/B = v B + ω3 ∧ BE
r
vE
M
D
V
?
⊥ ED
?
=
r
vB
ω1 ⋅ AB
δ
r
v E/B
+
⊥ BE
→ ω1
?
90 + β − δ
α
r
vB
? = ω3 ⋅ BE
⊥ AB
δ
r
vB
β
r
v E/B
90 − α − β
α
r
v E/B
r
vE
=
=
sin (90 + β − δ ) sin (α + δ ) sin (90 − α − β )
r
r sin (90 − α − β )
vE = vB ⋅
sin (90 + β − δ )
r
r
v E = ω2 ∧ DE
r
vE
r
ω2 =
DE
Il verso di ω2 si
determina analizzando
il verso di vE
Si può determinare la cinematica del meccanismo
ricorrendo al Centro di Istantanea Rotazione:
dalla geometria è nota immediatamente la direzione
della velocità di due punti della biella. Il CIR si trova
immediatamente dall’intersezione del prolungamento
dei segmenti manovella e bilanciere.
AD
AC
DC
=
=
sin(α + δ ) sin(90 − δ ) sin(90 − α )
AD
AC =
⋅ sin(90 − δ )
sin(α + δ )
AD
DC =
⋅ sin(90 − α )
sin(α + δ )
AC ⋅ cosα = DC ⋅ cosδ = HC
La biella è in rotazione intorno a C.
C
α
La velocità del punto B può essere
scritta come
r
r
v B = ω3 ∧ BC
r
v B = ω3 ⋅ BC = ω3 ⋅ (AC − AB)
δ
da cui :
r
vB
ω3 =
BC
r
nota ω3 si calcola facilmente v E
r
v E = ω3 ⋅ EC = ω3 ⋅ (DC − DE)
r
v E = ω2 ⋅ DC
E
3
B
1
α
A
α
β
δ
β
ω1
2
δ
uguagliando :
D
H
ω 2 = ω3
(DC − DE)
DC
Quadrilatero articolato
r
3
B
r
n1
1
ω3 , ω& 3
r τ 3 τr
2
n3
r
n2
E
Una volta calcolate le velocità, si
possono calcolare le accelerazioni.
A tale fine, può essere conveniente
associare dei sistemi di riferimento ai
corpi rigidi
2
ω2 , ω& 2
ω1
D
A
(
)
r
r
r
r
2
2
a B = ω1 ∧ ω1 ∧ AB = −ω 1 AB = ω 1 AB ⋅ n1
considerando il punto E come appartenente al corpo 3 si trova
(
)
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
2
a E = a B + a E/Bt + a E/Bn = a B + ω& 3 ∧ EB + ω3 ∧ ω3 ∧ BE = a B + ω& 3 BE ⋅τ 3 + ω3 BE ⋅ n3
considerando il punto E come appartenente al corpo 2 si trova
(
)
r
r
r
r
r
r
r
r
r
2
a E = a D + a E/Dt + a E/Dn = ω& 2 ∧ DE + ω2 ∧ ω 2 ∧ DE = ω& 2 DE ⋅τ 2 + ω2 DE ⋅ n2
uguagliando le due espressione di aE si trova:
r
r
r
r
r
2
2
&
&
a B + ω3 BE ⋅τ 3 + ω3 DE ⋅ n3 = ω2 DE ⋅τ 2 + ω2 DE ⋅ n2
È possibile risolvere il problema considerando nota la geometria e le velocità angolari trovate
precedentemente
Quadrilatero articolato
r
r τ 3 τr
2
n3
r
n2
E
3
B
r
n1
1
ω3 , ω& 3
2
r
ω2 , ω& 2
ω1
r
n1
r
aB
r
D
A
r
r
r
r
a E = a B + a E/Bt + a E/Bn
r
a E/Bt
r
r
r
r
a E = a D + a E/Dt + a E/Dn
r
r
r
r
r
a B + a E/Bt + a E/Bn = a E/Dt + a E/Dn
r
r
r
r
r
r
r
r
ω1 ∧ ω1 ∧ AB + ω& 3 ∧ EB + ω3 ∧ ω3 ∧ BE = ω& 2 ∧ DE + ω2 ∧ ω2 ∧ DE
(
)
(
r
r
)
r
(
r
r τ3
n3
r
a E/Bn
τ2
r
n2 r
a E/Dn
r
a E/Dt
)
r
ω12 AB ⋅ n1 + ω& 3 BE ⋅τ 3 + ω3 2 BE ⋅ n3 = ω& 2 DE ⋅τ 2 + ω2 2 DE ⋅ n2
gli elementi ancora incogniti sono i termini che contengono le accelerazioni
angolari, si può risolvere costruendo il poligono delle accelerazioni.
meccanismo biella – manovella
l2
l1
A
β
B
r
G
q
ω
O
ω= 1500 giri/min
r = 125 mm
l1 = 250 mm
l2 = 100 mm
ϑ = 60°
Determinare VA , VG , β&
meccanismo biella – manovella
l2
l1
ωgm= 1500 giri/min
Definisco:
r
G
q
β
A
B
ω
O
ω= 1500 giri/min
r = 125 mm
l1 = 250 mm
l2 = 100 mm
ϑ = 60°
Determinare VA , VG , β&
ωrad = ωgm∙2π/60 rad/s = 1500 ∙2π/60 =157 [s-1]
ltot = l1 + l2 =250+100 = 350 mm = 0.350 [m]
Si analizza prima la manovella, per la quale i dati sono sufficienti a caratterizzare
completamente il moto:
r
r
r
r
r r
r
v B = v O + v B/O = v B/O = ω ∧ rB→O
La v O è nulla perchè in O c' è una cerniera
r
r
v B = v B/O = ω ⋅ r
r
125
v B = ω ⋅ r = 157 ⋅
= 19.63 [m/s]
1000
r
r
La direzione di v B è ortogonale a OB e verso concorde con ω
meccanismo biella – manovella
B
q
r
G
r
vB
q
β
A
r
vB
p/2-q
ω
O
γ
r
vA
r
= vB
M
?
ω⋅r
D
// OA
⊥ OB
V
?
→ω
+
r
v A/B
?
⊥ AB
p/2-q
r
vB
β
β
a
?
(l1 + l 2 ) ⋅ sinβ = r ⋅ sinϑ
 r 





125
125


 ⋅ sinϑ  = asin 
β = asin 
 ⋅ sin60  = asin 
 ⋅ 0.866  = asin(0.309) = 18°
 250 + 100 

 250 + 100 

 l1 + l 2 

α=
π
− β = 90 − 18 = 72°
2
γ = 180 − α − (90 − ϑ ) = 90 − α + ϑ = 90 − 72 + 60 = 78°
r
vB
meccanismo biella – manovella
B
G
r
vB
A
q
r
q
β
p/2-q
ω
O
Sono noti tutti gli angoli: si
può applicare il teorema dei
seni al triangolo…
v A/B
vB
v
vB
19.63
=
= A
=
= 20.64
sinα sin 72
sinα sin (90 - ϑ ) sinγ
v
v
20.64 = A/B = A
sin 30 sin78
v A/B = 20.64 ⋅ sin 30 = 20.64 ⋅ 0.5 = 10.32 [m / s ]
r
vB
p/2-q
r
vA
v A = 20.64 ⋅ sin 78 = 20.64 ⋅ 0.978 = 20.189 [m / s ]
r& r
r
v A/B = β ∧ ltot
→
r&
r
v A/B = β ⋅ ltot
→
r&
β =
r
v A/B
ltot
γ
=
10.32
= 29.5 [ s −1 ]
0.350
r
r
Il verso di si deduce dal verso di v A/B : poichè v A/B è dato dal prodotto
r& r
r
r
vettoriale β ∧ ltot , ed il risultato ( v A/B ) è diretto verso il basso, si deduce che ω è
uscente dal piano di moto.
r
v A/B
a
meccanismo biella – manovella
r
vB
r
vG
G
r
v G/B
r
r
r
r
v G = v B + v G/B
O
A
r
v A/B
r
r
l
100
v G/B = v A/B ⋅ 1 = 10.32 ⋅
= 2.94 [m/s]
l tot
350
r
r r
v G/B = ω2 ∧ l1
r
v G/B = ω2 ⋅ l1
resta da calcolare la velocità
del punto G: si applica ancora
la legge fondamentale della
cinematica al corpo 2 (biella):
r
r&
con ω2 = β
r
r
l
100
v G/B = v A/B ⋅ 1 = 10.32 ⋅
= 2.94 [m/s]
l tot
350
Dati
D = 26” (diametro ruote)
L = 175 mm (lungh.
pedivelle)
v = 18 km/h
i = ω1/ω2 = 15/46
r
v
Determinare la posizione
del centro di Istantanea
rotazione del blocco
pedivelle
n° denti moltipliche
28
38
46
Rapporto di trasmissione = ω ruota / ω pedali
Rapporto di trasmissione = n° denti moltiplica / n° denti pignone
\n° denti pignoni
28
25
22
19
17
15
1.000
1.120
1.273
1.474
1.647
1.867
1.357
1.520
1.727
2.000
2.235
2.533
1.643
1.840
2.091
2.421
2.706
3.067
13
2.154
2.923
3.538