Algebra Lineare Numerica - A.A. 2016

Algebra Lineare Numerica - A.A. 2016-2017
Esercitazione n◦ 1
• Esercizio 1
Sia A una matrice unitaria. Si dimostri che
1. |det(A)| = 1.
2. Gli autovalori di A hanno modulo 1.
3. Se A e B sono matrici ortogonali e det(A)=−det(B), allora A+B è singolare.
• Esercizio 2
n×n
Se U∈ C
è una matrice triangolare superiore e normale, allora è diagonale.
(Oss Una matrice A è normale ⇐⇒ A∗ A=AA∗ ).
• Esercizio 3 (T-B 2.5)
n×n
Sia S ∈ C
una matrice skew-hermitian, cioè S ∗ = −S. Si dimostri che
1. gli autovalori di S sono immaginari puri;
2. I − S è non singolare;
3. la matrice Q = (I − S)−1 (I + S) è unitaria.
• Esercizio 4 (T-B 3.3)
Si dimostrino le seguenti disuguaglianze e per ognuna si trovi un vettore o matrice
che soddisfi l’uguaglianza, x è un m-vettore e A è una matrice m × n.
1. kxk∞ ≤ kxk2 ,
√
2. kxk2 ≤ mkxk∞ ,
√
3. kAk∞ ≤ nkAk2 ,
√
4. kAk2 ≤ mkAk∞ .
• Esercizio 5
Si scriva uno script MATLAB che disegni
S = {x ∈
1 2
l’immagine di S secondo la matrice A =
.
0 2
Si ripeta l’esercizio in
R3 con A ∈ R3×3 .
1
R2 |kxkp
= 1}, per p ≥ 1, e
Numerical Linear Algebra - A.A. 2016-2017
Session n◦ 1
• Exercise 1
Let A be an unitary matrix. Prove that
1. |det(A)| = 1.
2. the eigenvalues of A have modulus 1.
3. If A and B are orthogonal and det(A)=−det(B), then A+B is singular.
• Exercise 2
n×n
If U∈ C
is triangular and normal matrix, then it is a diagonal matrix.
(Remark A is normal ⇐⇒ A∗ A=AA∗ ).
• Exercise 3 (T-B 2.5)
n×n
Let S ∈ C
be a skew-hermitian matrix, i.e. S ∗ = −S. Show that
1. the eigenvalues of S are pure imaginary;
2. I − S is nonsingular;
3. the matrix Q = (I − S)−1 (I + S) is unitary.
• Exercise 4 (T-B 3.3)
For each of the following, verify the inequality and give an example of a nonzero
vector or matrix for which equality is achieved. In this problem x is an m-vector
and A is an m × n matrix.
1.
2.
3.
4.
kxk∞ ≤ kxk2 ,
√
kxk2 ≤ mkxk∞ ,
√
kAk∞ ≤ nkAk2 ,
√
kAk2 ≤ mkAk∞ .
• Exercise 5
2
Write a MATLAB program which plots the setsS = {x ∈ R |kxkp = 1}, for p ≥ 1,
1 2
and their images under the matrix A =
.
0 2
Repeat the exercise in
R3 with A ∈ R3×3 .
2