Luca firma un contratto di lavoro per due anni. Il contratto prevede

Luca …rma un contratto di lavoro per due anni. Il contratto prevede una
retribuzione il primo anno
M1 = 1000 e M2 = 1100
Luca può prendere e dare a prestito ad un tasso r=10%
Indichiamo con C1 il consumo presente e con C2 il consumo futuro e supponiamo che il prezzo (p) dei beni di consumo sia costante nei due periodi.
1) Scrivere il vincolo intertemporale, rappresentare gra…camente indicando
l’intercetta, pendenza e paniere delle dotazioni iniziali D.
Per calcolare VBI è necessario riportare tutte le x (reddito e consumo) allo
stesso dato.
M2
VA attuale reddito. Present Value PV(M) M1 + 1+r
C2
VA attuale consumo. Present Value PV(C) C1 + 1+r
VA del VBI : PV(M)=PV(C)
M2
C2
M1 + 1+r
= C1 + 1+r
da cui
C2 = M1 (1 + r) + M2 (1 + r)C1
Pendenza : -(1+r)
M2
Intercetta orizzontale : C2 = 0
C1 = M1 + 1+r
Intercetta verticale : C1 = 0
C2 = M1 (1 + r) + M2
Dotazioni : C1 = M1
C2 = M2
In…ne sostituendo i valori: C2 = 1000(1:1) + 1100
2)
Le preferenze di Luca sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità
intertemporale
U(C1 ; C2 ) = min f1; C1 ; C2 g
Determinate i livelli di ottimo dei consumi nei due periodi e rappresentate
gra…camente la scelta di Luca.
Le preferenze di Luca indicano che consumo presente e consumo futuro sono
perfetti complementi.
Quindi il paniere ottimo per Luca si troverà all’intersezione tra VB e utilità:
C2 = 1000(1:1) + 1100
1:1C1 = C2
2:2C1 = 2200
1:1C1 = C2
1:1C1 = 1:1C1 + 2200
1:1C1 = C2
C1 = 1000
C2 = 1100
3) Sulla base dei risultati determinare se Luca è risparmiatore o mutuatario
Il paniere ottimo di Luca coincide con le sue dotazioni, Luca non è nè mutuatario nè risparmiatore.
S=M1 C1 = 1000 1000 = 0
1
SCAMBIO
Due individui A e B presentano una struttura di preferenze sui beni data
da:
i=A,B
Ui = x2i yi2
Le quantità disponibili di x e y sono 20 e 40.
Dotazioni di A=(90%x, 80%y)
a) Rappresentate gra…camente la scatola di Edgeworth e l’allocazione corrispondente alle dotazioni iniziali.
WA =(90%x, 80%y)=(90%20, 80%40)
WB =(10%x, 20%y)=(2,8)
b) Calcolate la funzione di domanda dei due beni per entrambi, la funzione
di eccesso di domanda e la curva dei contratti.
2
UA = x2A yA
UA = 2 ln x + 2 ln y
@U=@x
x
In equilibrio: @U=@yA = P
Py
A
quindi :
2=xA
2=yA
Px
Py
x
yA /xA = P
Py
=
quindi:
Vincolo di bilancio A
xA Px + yA Py = 18Px + 32Py
P
xA = 9 + 16 Pxy
x
yA = 16 + 9 P
Py
Stesso procedimento per il consumatore B
P
xB = 1 + 4 Pxy
x
yB = 1 + 4 P
Py
Funzione di eccesso della domanda di bene x=somma della domanda degli
agenti A e B per il bene x meno le dotazioni iniziali.
Eccesso domanda bene x
Z(x)=xA + xB wxA wxB
P
P
P
9 + 16 Pxy + 1 + 4 Pxy 18 2 = 10 + 20 Pxy
Stesso procedimento per Y
x
Z(y)= 20 + 10 P
Py
La curva dei contratti è il luogo dei punti pareto e¢ cienti ed è de…nita da
SM SA = SM SB
SM SA =
SM SB =
2=xA
2=yA
2=xB
2=yB
=
=
yA
xA
yB
xB
2
yA
xA
xA + xB
y A + yB
yB
quindi xA xB = yA xB
xB
= 20 quindi xA = 20 xB
= 40 quindi yA = 40 yB
=
xA xB = yA xB
(20 xB )yB = (40 yB )xB
Espressione curva contratti
yB = 2xB
c) Calcolare il prezzo relativo di equilibrio e l’allocazione che corrisponde all
Equilibrio rappresentandolo gra…camente
In equilbrio eccesso di domanda =0
Z(x)=0
P
-10+20 Pxy = 0
Py
Px
= 1=2 Prezzo relativo di equilibrio
L’allocazione corrispondente all’Equilibrio si ottiene sostituendo l’espressione
del prezzo relativo di equilibrio nella funzione di domanda.
P
xA = 9 + 16 Pxy = 9 + 16 1=2
xA = 17
P
yA = 9 Pxy + 16 = 9 1=2 + 16
yA = 34
xB = 3
yB = 6
3