1 CAMPO LONTANO DI UNA ANTENNA

1 CAMPO LONTANO DI UNA ANTENNA
Uno dei problemi più importanti in elettromagnetismo è il calcolo del campo prodotto
da una data struttura fisica (antenna), opportunamente alimentata. Questo problema può essere
decomposto in due sottoproblemi
• calcolare la corrente che si induce su di una antenna a causa della alimentazione;
• calcolare il campo prodotto dalla distribuzione di corrente indotta.
Il primo sottoproblema dipende in maniera essenziale dalla struttura della antenna, che
può essere molto varia. Pertanto andrà affrontato caso per caso, e nel seguito vedremo alcuni
dei casi di interesse per questo corso. Il secondo sottoproblema, invece, ammette una soluzione
generale relativamente semplice, che si semplifica ulteriormente se il campo che ci interessa è
quello a grande distanza dalla antenna. Vedremo quindi come prima cosa come si esprime il
campo elettromagnetico prodotto da una distribuzione di correnti elettriche J(r), che occupa un
volume VJ finito, nei punti al di fuori di VJ .
Una delle proprietà della delta di Dirac è
Z
J(r) =
J(r0 ) δ(r − r0 ) dV 0
(1)
in cui l’integrale dovrebbe essere esteso a tutto lo spazio. Tuttavia, essendo J diverso da zero
solo in VJ , basta estenderlo solo a questo volume.
Ricordando che un integrale è una somma, la (1) afferma che la distribuzione di corrente
J può essere considerata come la somma di tante distribuzioni elementari
Je (r) = J(r0 ) dV 0 δ(r − r0 )
(2)
che sono dipoli elementari di ampiezza J(r0 ) dV 0 , posti in r0 . Per la sovrapposizione degli effetti,
detto dEe (r) il campo elettrico1 della corrente elementare (2), il campo elettrico complessivo
E(r) della distribuzione di correnti J(r) è pari a
Z
dEe (r)
(3)
E(r) =
VJ
E’ evidente che la espressione (3) śolo formalmente semplice, ma il suo utilizzo, nella
forma completa, richiede una valutazione numerica. Se peró ci limitiamo a distanze grandi tra
punto sorgente e punto campo, sono possibili alcune semplificazioni della (3), dipendenti però
dalla distanza a cui si ci trova.
La prima semplificazione si può fare se
β |r − r0 | 1
ovvero se la distanza tra il punto campo e un qualunque punto della sorgente è grande rispetto
alla lunghezza d’onda.
1
Analoga relazione vale ovviamente anche per il campo magnetico, e anche a questa possono
essere applicate le semplificazioni che vedremo per il campo magnetico. Tuttavia, in molti dei
casi di interesse, il campo magnetico potrá essere ottenuto in modo immediato una volta noto
il campo elettrico.
1
In tal caso anche la relazione diretta tra correnti e campo può essere espressa in termini
semplici. Se la corrente ha solo componente z 2 il campo del dipolo (2) vale
ζ Jz (r0 ) dV 0 −jβ|r−r0 |
e
sin θ 0 i0θ
(4)
2λ |r − r0 |
dove l’angolo θ 0 è l’angolo tra la congiungente il punto sorgente e il punto campo, e l’asse polare
z. Di conseguenza il versore i0θ dipende anch’esso dalle posizoni del punto sorgente e del punto
campo.
Sommando su tutti i dipoli della sorgente segue allora
Z
ζ
Jz (r0 ) −jβ|r−r0 |
E(r) = j
e
sin θ 0 i0θ dV 0
(5)
2λ VJ |r − r0 |
dE(r) = j
in cui θ 0 e i0θ variano al variare del dipolo che consideriamo nella somma (5), e quindi non possono
essere portati fuori dall’integrale.
La (5) è ancora abbastanza complessa. Ulteriori semplificazioni sono possibili solo se
la distanza |r − r0 | è grande rispetto alle dimensioni della sorgente medesima. Per valutare
numericamente quest’ultima, si può considerare la minima sfera che include completamente la
antenna, e assegnare come dimensione della antenna il diametro D di tale sfera.
Se la distanza r tra il punto campo e il centro di tale sfera è grande rispetto al semidiametro della sorgente
D
2
allora un osservatore, posto nel punto campo, vede la sorgente come puntiforme. In tal caso
possiamo considerare, dal punto di vista geometrico, tutti i dipoli posti nello stesso punto, e
quindi considerare θ 0 e i0θ costanti (al variare del punto campo). Se indichiamo con θ e iθ i valori
relativi al centro della sorgente, la (5) diventa, in questa ipotesi
Z
Jz (r0 ) −jβ|r−r0 |
ζ
e
dV 0 sin θ iθ
(6)
E(r) = j
2λ VJ |r − r0 |
r
Altre semplificazioni sono possibili esaminando i termini contenenti |r − r0 | nella (5) (e
quindi, anche, nella (6) ), sempre nella ipotesi che la distanza r sia grande rispetto al diametro
della sorgente.
Risulta
|r − r0 |2 = (r − r0 )2 = r 2 − 2 r · r0 + (r 0 )2 = r 2
"
i r · r0
+
1−2
r
essendo r = rir . Estraendo la radice quadrata segue
s
0 2
ir · r 0
r
0
|r − r | = r 1 − 2
+
r
r
2
r0
r
2 #
(7)
Una corrente qualunque può essere sempre decomposta in tre parti, ciascuna con una sola
componente x, y, z. Basterà applicare la sovrapposizione degli effetti per vedere che tutte
le conclusioni di questa sezione sono valide in generale (mentre molte delle formule vanno
modificate)
2
Il secondo fattore a secondo membro è, per r grande, la radice quadrata di 1 + X, con
ir · r 0
+
X = −2
r
e piccolo. L’espansione di Taylor di tale radice è
√
0 2
r
r
X2
X
−
+ ...
2
8
che va applicata tenendo conto dell’ordine di piccolezza relativa dei vari termini che risultano
nello sviluppo. Partendo dallo sviluppo completo
s
( "
0 2
0 2 #)
ir · r 0
r
r
1
ir · r 0
1−2
+
+
'1+
−2
r
r
2
r
r
 "

0 2 #2 
1
0
r
ir · r
−
−2
+
+ ...
8

r
r
1+X '1+
possiamo arrestarci al secondo ordine, e quindi conservando solo un termine del quadrato, ottenendo
s
ir · r0
1−2
+
r
r0
r
2
( "
0 2 #) ( 2 )
ir · r0
r
1
ir · r 0
1
−2
+
−
'1+
−2
2
r
r
8
r
2
2
ir · r0
1 r0
1 ir · r0
=1−
+
−
r
2 r
2
r
(8)
Sostituendo la (8) nella (7) si ottiene infine
i
1 h 0 2
2
(9)
(r ) − (ir · r0 )
|r − r0 | = r − ir · r0 +
2r
Tuttavia, essendo interessati al campo, la (9) può essere usata solo se l’errore relativo
sul campo è piccolo. Per valutare questo errore occorre considerare che la (9) dovrebbe essere
sostituita sia nel termine di ampiezza |r − r0 |−1 , sia nel termine di fase.
Nel termine di ampiezza basta approssimare |r − r0 | ' r, arrestandosi al primo termine.
L’errore relativo che si commette vale infatti
ir · r0 r0
D
≤
≤
r
r
2r
0
in quanto r è la distanza di un punto interno alla sfera di diametro D dal centro. Se r D/2,
allora si può approssimare |r − r0 |−1 con r −1 . Poichè questa è la stessa condizione geometrica
che abbiamo utilizzato per gli angoli, possiamo dire che se
r
D
2
allora
ζ
E(r) = j
2λ r
Z
Jz (r0 ) e−jβ|r−r | dV 0 sin θ iθ
0
VJ
3
(10)
Diverso, e indipendente, è il discorso relativo all’esponenziale.
Possiamo considerare l’approssimazione della (9) con due termini (sempre assumendo
che r D/2)
e−jβ|r−r | ' e−jβr e−jβ
0
− ir · r 0
per le proprietà dell’esponenziale. L’errore assoluto vale, usando la (9)
e−jβ|r−r | − e−jβr e−jβ
0
−ir ·r0
β
−j 2r
'e
2
(r0 )
2
−(ir ·r0 )
− 1 ' −j
i
β h 0 2
2
(r ) − (ir · r0 )
2r
Pochè il modulo del valore vero è unitario, il modulo di quest’ultima quantità (errore
assoluto) è anche l’errore relativo, che vale quindi
β 0 2
0 2
errore relativo =
(r ) − (ir · r ) 2r
Nella espressione precedente, stiamo calcolando la differenza tra il modulo quadro del
2
2
2
2
vettore r0 e il quadrato di una sua componente. Quindi (r 0 ) − (ir · r0 ) ≤ (r 0 ) ≤ D /4. Pertanto
errore relativo ≤
β D2
2r 4
e risulterà piccolo oppure no a seconda anche della lunghezza d’onda.
Infatti stiamo sostanzialmente approssimando un esponenziale con 1, e questo è possibile
(o no) indipendentemente dagli altri termini. La condizione precedente, infatti, prescinde dagli
altri termini dello sviluppo (9).
Per dare forma quantitativa a tale condizione, possiamo ricordare che un esponenziale
è approssimabile con 1 se il suo argomento è, in modulo, minore di π/8. Quindi se vale
π
β D2
≤
2r 4
8
=⇒
r≥
2D 2
λ
(11)
allora possiamo approssimare l’esponenziale nella (10) con i primi due termini della (9). Se vale
la (11), e si dice allora che il punto campo è in campo lontano, o in zona di Fraunhofer, si ha
quindi
ζ
e−jβr
E(r) = j
2λ r
Z
Jz (r0 ) ejβ (ir ·r ) dV 0 sin θ iθ
0
(12)
VJ
Notiamo infine che i campi prodotti, in zona di Fraunhofer, da correnti lungo ix o lungo
iy hanno una espressione del tutto simile alla (12). L’unica differenza (oltre al fatto di usare Jx
o Jy nell’integrale) e’ nel fattore sin θ iθ , che va riferito alla direzione della corrente. Per correnti
totali, quindi, vanno sommati tre termini come (12).
4
2 ANTENNE – ALTEZZA EFFICACE
Il dipolo corto è il più semplice caso di antenna effettivamente realizzabile. Una antenna
è un dispositivo che, se opportunamente alimentato, produce un campo elettromagnetico nello
spazio.
Le forme possibili delle antenne sono le più svariate. Per i nostri scopi, comunque, le
proprietà che ci interessano sono solo due:
• Ogni antenna ha una porta di ingresso per alimentarla. Se attraverso tale porta viene
fatta scorrere una corrente IA , l’antenna produce nello spazio un campo elettromagnetico
(effetto) il cui valore è, in ogni punto, proporzionale alla corrente di alimentazione IA
(causa), in quanto, in elettromagnetismo, le relazioni causa–effetto sono lineari.
• Ogni antenna ha una dimensione massima. Per valutarla numericamente si può considerare la minima sfera che include completamente la antenna, e assegnare come dimensione
della antenna il diametro D di tale sfera.
Se esiste una porta di ingresso, e quindi una corrente IA la densità di corrente risulta
proporzionale ad IA . La (12) può allora essere ulteriormente modificata, scrivendo
Z
Jz (r0 ) jβ (ir ·r0 )
ζ
−jβr
e
IA
dV 0 sin θ iθ
(13)
e
E(r) = j
2λ r
IA
VJ
R
0
0
L’ultima parte della (13) ovvero VJ JzI(Ar ) ejβ (ir ·r ) dV 0 sin θ iθ , contiene tutte le informazioni sulla forma della distribuzione di corrente. Questo termine (o la sua generalizzazione al
caso di distribuzioni di corrente tridimensionali) prende il nome di altezza efficace della antenna.
L’altezza efficace è una funzione di (θ, φ) che si indica con h (e si misura in m). Tenendo anche
conto che il campo deve essere localmente una onda piana, possiamo scrivere il campo in zona
di Fraunhofer di qualunque antenna, alimentata da una corrente IA nella forma
E=j
H=
ζIA −jβr
e
h(θ, φ)
2λr
1
ir × E
ζ
(14)
in cui l’altezza efficacce h(θ, φ) è caratteristico della singola antenna e fornisce le proprietà
direzionali della antenna stessa, ovvero come il campo varia rispetto alle direzioni angolari θ, φ.
Inoltre h indica anche la polarizzazione del campo elettrico (che viene detta polarizzazione della
antenna). Sempre dalle proprietà del campo lontano, risulta che h deve essere ortogonale a ir
h · ir = 0
Per un dipolo elementare di lunghezza ∆z risulta
h(θ, φ) = ∆z sin θ iθ
(15)
h(θ, φ) = ` sin θ iθ
(16)
e per un dipolo corto di lunghezza 2`
Le altezze efficaci (e quindi i campi) di tali antenne sono indipendenti da φ per la
simmetria delle antenne stesse.
5
Le espressioni (14) valgono nella zona lontana della antenna (detta anche zona di Fraunhofer) caratterizzata dal verificarsi di tutte le seguenti condizioni per la distanza r tra il punto–
campo e la antenna
D
1
β r−
2
r
D
2
r>
2D 2
λ
che possiamo riscrivere, per avere tutte valutazioni quantitative (e con errori paragonabili), come
D
5λ
10
r−
=
>
2
β
π
r > 5D
r>
2D 2
λ
Naturalmente, al variare della frequenza e della dimensione della antenna, il collo di
bottiglia sarà una o l’altra di esse.
Conviene allora considerare, in un diagramma, tutte le possibili condizioni. Il diagramma può essere in due dimensioni in quanto ciò che conta sono r/λ e D/λ. Le relazioni
precedenti diventano allora
r
1 D
5
>
+
λ
2 λ
π
r
>2
λ
r
D
>5
λ
λ
D
λ
(17)
2
(18)
ciascuna di queste condizioni dividono il diagramma r/λ in funzione di D/λ riportato in Fig. 1
in due regioni. I confini di tali regioni sono due rette per le condizioni (17), e un arco di parabola
per la condizione (18).
r/λ
Fr
zona di Fraunhofer
12.5
zona delle sorgenti
5/π
zona dei campi reattivi
10/9π
2.5
D/λ
Fig. 1: Regioni di campo lontano e campo vicino.
6
La zona di Fraunhofer è quella in alto a sinistra. La restante parte viene detta di campo
vicino, ed è divisa in due regioni. Quella in cui non vale la prima delle condizioni (17) viene
detta zona dei campi reattivi. Si può infatti verificare che al di fuori di questa zona le densità di
energia elettrica e magnetica sono uguali, mentre in questa zona sono diversi, e quindi vi è flusso
di potenza reattiva. La zona intermedia è detta zona delle sorgenti perchè in essa la sorgente
non viene vista come puntiforme ma estesa, benchè il flusso di potenza sia puramente reale.
Nella Fig. 1 è poi evidenziata anche un’altra zona, che esiste solo per sorgenti grandi,
ed è indicata con Fr. Tale zona è detta di Fresnel, ed in essa il campo ha tutte le caratteristiche
della zona lontana, salvo il fatto che l’onda e’, anche localmente, sferica.
Il campo in zona lontana è quello che viene generalmente considerato per i collegamenti
radio. L’interesse per la zona vicina è cresciuto solo di recente in quanto i limiti normativi sulle
esposizioni della popolazione vanno essenzialmente verificati nella zona delle sorgenti, in quanto,
per le antenne che tipicamente si usano nelle aree urbane, il campo nella zona di Fraunhofer
è molto più basso dei limiti stessi. La zona dei campi reattivi è invece molto piccola. Per le
antenne per telefonia cellulare, ad esempio, tale zona termina a 2–3 metri dalla antenna, una
zona in cui l’accesso della popolazione è normalmente interdetto. Il campo in tale zona, quindi,
interessa soprattutto per chi si occupa della manutenzione degli impianti.
3 PARAMETRI DELLE ANTENNE IN TRASMISSIONE
Una antenna in trasmissione é completamente caratterizzata dalla sua altezza efficace.
Sono peró utili anche altri parametri, ovviamente collegati alla altezza efficace h(θ, φ).
Ricordiamo che il vettore di Poynting di una antenna, calcolato a grande distanza, é
reale e diretto lungo ir . Usando l’espressione genrale del campo lontano di una antenna (14) si
ha
2
ζ |IA |2 1
h(θ, φ) ir
|E|2 ir =
2
2ζ
2 (2λr)
Si definisce diagramma di radiazione il rapporto
S(r, θ, φ) =
(19)
h(θ, φ)2
S(r, θ, φ)
F (θ, φ) =
= 2
SM AX (r)
h
M AX
dove S(r, θ, φ) é la componente radiale del vettore di Poynting a grande distanza, dato da (19).
Il diagramma di radiazione risulta funzione di (θ, φ), ed é normalizzato al suo valore massimo.
A partire da (19) si ottiene la potemza irradiata da una antenna generica, come
Z
Z
ζ |IA |2
h(θ, φ)2 dΩ
(20)
Pirr =
S(r, θ, φ) · ir r 2 dΩ =
2
2 (2λ)
essendo dΩ = sin θ dθ dφ, e l’integrale esteso a tutto lo spazio.
Si definisce resistenza di radiazione di una antenna il parametro Rirr (dimensionalmente una resistenza) definito da
7
Pirr =
1
Rirr |IA |2
2
=⇒
Rirr = 2
Pirr
|IA |2
(21)
Per un dipolo elementare o corto, con altezza efficace massima pari ad hM si ha1 , usando
l’espressione giá calcolata della potenza irradiata,
2
2
2πζ
hM
hM
Rirr =
= 800
[Ω]
3
λ
λ
Dal teorema di Poynting segue che la potenza irradiata da una antenna deve entrare
dai morsetti di ingresso della antenna stessa. Se la antenna non é ideale, vi sará anche potenza
dissipata PD nella antenna, e quindi la potenza totale di ingresso vale
Pin = Pirr + PD
Ma sia la potenza irradiata, Pirr , sia quella dissipata, PD , sono proporzionali a |IA |2 .
Si puó allora definire, oltre alla resistenza di irradiazione (21), una resistenza di dissipazione RD
tramite
PD
1
RD |IA |2
=⇒
RD = 2
(22)
2
|IA |2
Se l’antenna è usata in trasmissione, presenterà ai suoi morsetti una impedenza Zin =
Rin + jXin , detta impedenza di ingresso della antenna. La potenza in ingresso alla antenna vale
allora
PD =
1
Rin |IA |2
2
per cui la parte reale della impedenza di ingresso é pari a
i
h
Rin = Re Zin = Rirr + RD
Pin =
(23)
(24)
Possiamo introdurre una efficienza η (dovuta alle perdite) data da
η=
Potenza irradiata
Potenza irradiata
=
Potenza totale in ingresso
Potenza irradiata + Potenza dissipata
(25)
Ricordando le espressioni (21,22,24) segue
Pirr
Pirr
Rirr
Rirr
=
=
=
(26)
Pin
Pirr + PD
Rirr + RD
Rin
L’altezza efficace é una misura della irradiazione, espressa tramite il campo irradiato.
Conviene introdurre una misura differente, legata alla potenza irradiata, che é la direttivitá
η=
S(r, θ, φ)
(27)
1
P
irr
4πr 2
dove il limite non dipende da r in quanto S a grande distanza é proporzionale a r −2 . In termini
di campo o di altezza efficace la (27) diventa
D(θ, φ) = lim
r→∞
1
La lunghezza del dipolo é pari ad hM se il dipolo é elementare e a 2hM se corto
8
1
|E|2
|h(θ, φ)|2
2ζ
Z
Z
D(θ, φ) = lim
=
(28)
1
1
r→∞ 1
2
2
|E| dΩ
|h(θ, φ)| dΩ
4π
2ζ
4π
Il valore massimo della direttivitá si ottiene considerando a numeratore il massimo della
altezza efficace, e puó quindi essere espresso tramite il diagramma di radiazione F (θ, φ)
DM AX =
1
4π
Z
|h|2M AX
|h(θ, φ)|2 dΩ
= R
4π
F (θ, φ) dΩ
Gli integrali in (28) sono estesi a tutto lo spazio. La direttivitá D rappresenta il rapporto
tra la potenza irradiata in una direzione, e quella media irrdiata, e quindi misura la capacitá
di una antenna di concentrare la pootenza irradiata in una direzione. Si noti anche che la
definizione(27) di direttivitá si puó applicare anche a una distribuzione generica di correnti,
senza riferimento ad antenne o morsetti di ingresso (al contrario delle altre definizioni di questo
paragrafo). In tal caso solo la prima espressione della (28) é applicabile.
Il termine direttivitá, comunque, oltre che la funzione2 D(θ, φ) data dalla (28), indica
anche il suo valore massimo DM AX .
Una grandezza analoga alla direttivitá, ma di maggiore interesse, é il guadagno. La
definizione di guadagno é analoga alla (27)
1
|E|2
S(r, θ, φ)
2ζ
G(θ, φ) = lim
= lim
(29)
1
1
r→∞
r→∞
P
P
in
in
4πr 2
4πr 2
ma coinvolge la potenza entrante nella antenna, e quindi risulta piú utile nelle applicazioni.
Infatti la (29) collega l’effetto (il campo prodotto in una data direzione) alla causa di interesse
(la potenza che deve essere fornita alla antenna per produrre quel campo). Invece la (27) usa,
come causa, la potenza irradiata, che non tiene conto delle eventuali perdite3 .
Evidentemente risulterá
G(θ, φ) = η D(θ, φ)
Viene anche talvolta usato il guadagno realizzato, in cui al denominatore va la potenza
disponibile dal generatore, e che quindi tiene conto di eventuali disadattamenti. Se la alimentazione della antenna é fatta con una linea, allora il guadagno realizzato vale
GR = (1 − |Γ|2 ) G
essendo Γ il coefficiente di riflessione sulla linea.
Possiamo esprimere il guadagno in termini della resistenza di ingresso della antenna.
Dalla definizione (29) e dalla (23) segue
2
La funzione direttivitá coincide, a meno di una costante, con il diagramma di radiazione. Piú
precisamente, quest’ultimo é anche la direttivitá normalizzata al suo massimo
3
Si tenga anche conto che, al contrario della direttivitá, il guadagno puó essere definito solo per
antenne, coinvolgendo i morsetti di ingresso della antenna.
9
1
1 ζ 2 |IA |2
|E(r, θ, φ)|2
|h(θ, φ)|2
π ζ |h(θ, φ)|2
2ζ
2ζ 4λ2 r 2
G(θ, φ) = lim
= lim
=
1
1 1
r→∞
r→∞
λ2 Rin
Pin
Rin |IA |2
2
2
4πr
4πr 2
(30)
mentre la direttivitá, per una antenna, vale
D(θ, φ) =
π ζ |h(θ, φ)|2
λ2 Rirr
Per un dipolo, da (15,16), si trova, da (30), che
D(θ, φ) =
3
π ζ h2M sin2 θ
2
2 = sin θ
2
hM
2πζ
λ2
3
λ
=⇒
G(θ, φ) =
3
η sin2 θ
2
corrisponente a 1.76 dB per una antenna ideale. Segue che un dipolo, elementare o corto, non é
in grado di concentrare il campo in una data zona, e quindi produce campo sostanzialmente in
tutto lo spazio. Per avere guadagni piú elevati, occorre utilizzare antenne piú grandi.
4 ANTENNE FILIFORMI
Un’asta metallica di lunghezza 2` e raggio a costituisce una antenna filiforme se il fattore
di snellezza1
Ω = log
2`
a
2
risulta abbastanza grande (superiore a 5-10). L’asta é divisa in due parti con una piccola
interruzione, detta gap, tramite cui l’antenna viene alimentata.
L’alimentazione é costituita da un campo elettrico Ei , orientato tra i duel lati dal gap
(come tra le armature di un condensatore), ovvero mediante un anello di corrente magnetica (frill
current), ad esso equivalente. Per effetto di questa alimentazione sulla corrente si induce una
corrente superficiale Js , che produce un campo diffuso Ed , ad essa proporzionale. Imponendo
che sulla superficie metallica della antenna il campo diffuso e quello di alimentazione abbiano
complessivamente componente tangente all’antenna nulla si ottiene una equazione (integrale)
nella corrente indotta, la cui soluzione consente di calcolare tale corrente.
1
Qui e nel seguito log indica il logaritmo naturale.
10
M
Ei
Fig. 1: Alimentazioni di una antenna filiforme
Un coefficiente di snellezza grande consente di assumere la densitá di corrente allineata
con la antenna (ovvero avente solo la componente z), e indipendente da φ. La piccolezza di a
consente poi di imporre che la densitá di corrente si annulli sul bordo della antenna (ovvero non
vi sia corrente sulle basi del cilindro)
Js (z, φ) = Js (z) iz
con
Js (±`) = 0
La particolare forma della corrente, e la piccolezza di a consente di calcolare il campo
di una tale antenna considerando una distribuzione lineare (e non tridimensionale) di dipoli di
ampiezza I(z) dz, essendo I(z) la corrente totale che scorre sulla antenna. La (13) diventa allora
E(r) = j
ζ
e−jβr IA
2λ r
Z
`
−`
I(z) jβ (ir ·r0 ) 0
dz sin θ iθ
e
IA
(31)
con r0 = z 0 iz . Ricordando che ir · iz = cos θ, la altezza efficace diventa
`
I(z) jβz 0 cos θ 0
e
dz sin θ iθ
−` IA
La (32) mostra che la altezza efficace, e quindi il diagramma di radiazione, é (a meno di termini lentamente variabili) la trasformata di Fourier della distribuzione di corrente
sulla antenna filiforme, considerando come variabili coniugate
z e u = β cos θ.
Questa relazione di trasformata di Fourier vale (in forma simile) anche per tutti gli altri tipi di antenne, ed ha una
conseguenza molto importante. Il campo irradiato, come funzione degli angoli1 , può variare tanto più rapidamente, quanto
più l’antenna è grande, in quanto il campo è una funzione a
banda limitata, con banda (spaziale) pari alla dimensione della
antenna (espressa in termini di lunghezza d’onda). Ne segue
che antenna con guadagno elevato, dovendo avere una variazione molto rapida del campo in funzione degli angoli, devono
necessariamente essere grandi rispetto alla lunghezza d’onda.
Si puó dimostrare che la distribuzione di corrente su di
una antenna filiforme a sezione omogenea é ben approssimabile
da
h(θ) =
Z
I(z) = IA
1
sin [β(` − |z|)]
sin β`
(32)
z
θ
ir
(33)
In realta’ le variabili da cui dipende la trasformata sono i coseni direttori delle direzioni sotto
cui l’antenna vede il punto campo.
11
Questa approssimazione cade in difetto solo se β` = nπ, ovvero per antenne lunghe un
multiplo intero di λ. In tal caso, infatti, la corrente di alimentazione predetta dalla (33) sarebbe
nulla (mentre la corrente vera é certamente diversa da zero). Conviene allora parametrare la
corrente alla corrente massima IM scrivendo I(z) = IM sin [β(` − |z|)]. Se β` 1, allora la
corrente varia linearmente
I(z) = IA
1−
|z|
`
e l’antenna filiforme é in realtá un dipolo corto
L’altezza efficace si ottiene da (32) e vale
h(θ) =
λ cos(β` cos θ) − cos β`
iθ
π
sin β` sin θ
(34)
L’andamento vero (ottenuto tramite un programma di simulazione numerica di antenne
filiformi, chiamato NEC-2 ), e il diagramma di radiazione di varie antenne filiformi é mostrato
nel file aggiuntivo IVa
Particolare interesse hanno le antenne a λ/2, ovvero quelle per cui β` = π/2
In tal caso risulta
I(z) = IA cos βz
e
π
λ cos( 2 cos θ)
h(θ) =
iθ
π
sin θ
(35)
e la sua resistenza di irradiazione vale circa 75 Ω.
La direttivitá massima si ottiene dalla (30) e vale 1.64 (2.15 dB). Pertanto neanche
una antenna a λ/2 é in grado di concentrare il campo in una direzione. Tuttavia, avendo una
resistenza di ingresso molto piú alta di quella di un dipolo corto, ha normalmente una efficienza
molto alta, e, come vedremo, puó essere adattata molto meglio alla rete di alimentazione.
Per quanto riguarda, infine, la reattanza di ingresso, questa dipende in maniera essenziale dal campo nella zona reattiva, e dai dettagli costruttivi della antenna stessa. Una buona
approssimazione della reattanza di ingresso per antenne sottili è
Xin = −
ζ
(Ω − 3.4) cot β0 `
2π
(36)
La precisione della (36) è buona se Ω > 10 e ragionevole per valori poco più piccoli.
In particolare, per antenne corte,
Xin ' −
1
ζ
(Ω − 3.4)
2π
β0 `
che mostra che un dipolo corto non solo ha una resistenza di ingresso molto piccola, ma ha anche
una reattanza di ingresso molto più grande, con un fattore di merito che può arrivare anche al
migliaio, e quindi con una banda utile molto piccola.
Per una antenna a λ/2, invece, la (36) mostra che la reattanza di ingresso è nulla. In
realtà la reattanza si annulla per antenne leggermente più corte, con un accorciamento dipendente dal raggio a della antenna. Tuttavia nel seguito considereremo come caratteristiche della
antenna a λ/2 una impedenza di ingresso pari a 75 + j0 Ω e altezza efficace data da (35).
12
4 SISTEMI DI ANTENNE
Le antenne filiformi, e in generale tutte le antenne di dimensioni confrontabili (o piccole)
alla lunghezza d’onda, hanno prestazioni paragonabili, e non particolarmente elevate.
Antenne con prestazioni piú elevate devono necessariamente essere grandi rispetto alla
lunghezza d’onda. Questo di puó ottenere o con strutture grandi (ad esempio, le antenne a
riflettore), oppure utilizzando assieme piú antenne piccole, alimentate in modo coerente, ovvero
in modo che le correnti di alimentazione abbiano la stessa frequenza e una precisa relazione di
fase tra esse.
In questo corso ci occupiamo di questo secondo caso, considerando sia insiemi di antenne connesse a un unico generatore mediante una rete (detta rete di beam–forming, in genere
abbreviata con BFN ), sia antenne con generatori singoli (ovviamente sincronizzati tra loro).
Consideremo dapprima il calcolo del campo di un sistema di antenne, per occuparci
successivamente del calcolo delle correnti di alimentazione delle varie antenne. Consideriamo
allora due antenne (ma il discorso si generalizza in modo ovvio al caso di tre o piú antenne),
poste in rA ed rB rispettivamente. Qui e nel seguito considereremo come posizione di una
antenna il unto in cui si trova il suo centro di fase , punto da cui si misura la distanza tra
antenna e punto campo, ovvero il centro delle sfere equifase del campo lontano.
Le antenne hanno correnti di alimentazione IA e IB e altezze efficaci1 hA (θA , φA ) e
hB (θB , φB ).
P
P
θA
r
rA
O
O
r
θ
θB
rB
Fig. 1: Geometria per il calcolo del campo di due antenne
(per semplicitá sono state considerate due antenne filiformi coplanari)
Scelto un sistema di riferimento (con il centro O nella zona delle antenne, e spesso
coincidente col baricentro dei due centri di fase, o con il centro di fase di una delle due antenne),
sia r = (r, θ, φ) la posizione del punto campo P . Il campo complessivo delle due antenne, se r é
in campo lontano di ciascuna delle due antenne, vale, grazie alla linearitá del problema,
E(r) = j
1
ζIB −jβRB
ζIA −jβRA
e
e
hA (θA , φA ) + j
hB (θB , φB )
2λRA
2λRB
(37)
Il valore delle due altezze efficaci nel punto campo puó essere diverso sia perché le due antenne
sono differenti, oppure orientate differentemente, ma anche perché gli angoli, relativi ai sistemi
di riferimento solidali con le due antenne possono essere diversi.
13
essendo RA = |r − rA | e RB = |r − rB |. La (37) puó essere ulteriormente semplificata se r = |r| é
in zona di Fraunhofer sel sistema complessivo delle due antenne. Indichiamo con DS il diametro
del sistema di correnti indotte sulle due antenne. Se r > 5DS allora, in modo analogo a (10), si
possono considerare coincidenti tutti i termini geometrici, e in particolare RA = RB = r, anche
se solo al denominatore dei campi. Ovviamente, nell’esponenziale, tale apporssimazione non puó
essere fatta. Tuttavia possiamo sommare e sottrarre r in ciascun esponenziale e scrivere la (37)
come
E(r) = j
i
ζ −jβr h
IA hA (θ, φ) e−jβ(RA −r) + IB hB (θ, φ) e−jβ(RB −r)
e
2λr
(38)
Il termine in parentesi quadre prende il nome di fattore di interferenza, e coinvolge tutte
e sole le grandezze che, nelle ipotesi fatte, possono essere diverse tra le due antenne. I termini
RA − r e RB − r vengono detti differenze di cammino, ed esprimono il ritardo di fase dovuto alla
propagazione su tratti di lunghezza differente. Il loro valore dipende solo dalle posizioni relative
dei vari centri di fase delle singole antenne rispetto al punto O scelto come origine.
Una ulteriore semplificazione puó essere ottenuta se r é in campo lontano del sistema
2
complessivo delle antenne r > 2DS/λ.
In tal caso, analogamente a (8,9), segue
RA ' r − ir · rA
RB ' r − ir · r B
(39)
e il campo diventa
i
ζ −jβr h
(40)
IA hA (θ, φ) ejβ(ir ·rA ) + IB hB (θ, φ) ejβ(ir ·rB )
e
2λr
Se le due antenne sono connesse da una rete di Beam–forming, allora il rapporto tra
il termine della (40) in parentesi quadra e la corrente di alimentazione complessiva Iin,S é la
altezza efficace hS del sistema di antenne (considerato come una unica antenna)
E(r) = j
hS =
1
h
IA hA (θ, φ) e−jβ(−ir ·rA ) + IB hB (θ, φ) e−jβ(−ir ·rB )
Iin,S
L’utilizzo delle (39) per il calcolo delle differenze di cammino si presta spesso ad una semplice
valutazione grafica.
Consideriamo riferimento la Fig. 2, in cui
é indicato il centro di fase di una antenna (posta in
A) e l’origine O del riferimento. Il punto cacmpo
é a grande distanza, per cui nella scala del disegno
le varie congiungenti risultano parallele. Si ha per
la differenza di cammino
RA − r = −ir · rA = d cos α
essendo d = |rA |, e ricordando che il vettore rA
punta verso il punto A. Consideriamo il triangolo rettangolo OAO0 . La differenza di cammino
d cos α risulta uguale a AO0 , ed é positiva, essendo
14
i
(41)
r
O
d
α
O’
A
Fig 2: Calcolo della differenza
di cammino
A piú lontano. Segue cioé che le differenze di cammino (se vale la (39) ) possono essere calcolate assumendo le congiungenti parallele. Proiettando
l’origine sulle varie congiungenti si ottengono le corrispondenti differenze di cammino.
MUTUA IMPEDENZA: Vedi file aggiuntivo IVc
5 POTENZA DISSIPATA ED EFFICIENZA DI IRRADIAZIONE
Abbiamo giá visto che l’efficienza η, definita da
Potenza irradiata
Potenza irradiata + Potenza dissipata
é uno dei parametri di interesse nell’utilizzo di antenne. Per calcolarla occorre determinare la
potenza dissipata nella antenna. Per calcolare la potenza dissipata da una antenna filiforme di
conducibilitá σ, dobbiamo considerare la struttura della antenna, e in particolare se il filo da cui
é costituita é pieno o vuoto (ovvero é un tubo). Qui ci limiteremo al caso di filo pieno. Si puó
allora assumere una densitá di corrente che varia con z come la corrente totale, mentre varia
con la distanza r dall’asse come
R−r
(42)
exp −
δ
essendo R il raggio della antenna, e δ la profonditá di penetrazione nel materiale di cui é
costituita.
Se la corrente sulla antenna é data dalla (33), la relativa densitá di corrente J(r, z) =
J(r, z)iz tenendo conto dell’andamento (42), vale
R − r sin [β(` − |z|)]
J(r, z) = JA exp −
(43)
δ
sin β`
η=
dove la ampiezza JA puó essere calcolata imponendo la corrente pari alla (33):
2π
R
sin [β(` − |z|)]
sin β`
0
0
L’andamento con z si semplifica, il primo integrale vale 2πR e resta
Z
2πR JA
Z
R
0
L’integrale vale
Z
J(r, z) dr Rdφ = IA
Z R
hri
R−r
R
exp −
dr = IA
exp
dr = 2π JA exp −
δ
δ
δ
0
h r iR
R
−1
= δ exp
δ exp
δ 0
δ
15
da cui
2πR JA δ
R
1 − exp −
δ
= IA
=⇒
IA
JA =
2πR δ
R
1 − exp −
δ
'
IA
2πR δ
(44)
se R δ.
La potenza dissipata PD puó essere ottenuta dal Teorema di Poynting:
σ
PD =
2
Z
0
2π
Z
R
0
Z
`
−`
1
2πR
|E| dz dr Rdφ =
2σ
2
Z
R
0
Z
`
[J(r, z)]2 dz dr
−`
Limitandoci a considerare solo dipoli corti, la (43) diventa
|z|
R−r
1−
J(r, z) = JA exp −
δ
`
e segue quindi
2
Z R
Z `
πR
R−r
|z|
2
PD =
|JA |
dz
dr 2
exp −2
1−
2σ
δ
`
0
0
πR
R δ
`3
R
`2
2
=
|JA | exp −2
exp 2
−1 2 `−2 + 2
2σ
δ 2
δ
2` 3`
πRδ`
R
πRδ`
=
|JA |2 1 − exp 2
|JA |2
'
6σ
δ
6σ
se R δ. Sostituendo JA da (44) segue infine
`
1
πRδ`
|IA |2 =
|IA |2
(45)
2
2
2
6σ 4π R δ
24πσδR
La (45) mostra che la potenza dissipata in un dipolo corto cresce con ` ma in modo
lineare (e non quadratico, come la potenza irradiata). Anche per antenne filiformi generiche la
dipendenza di PD dalla lunghezza è approssimativamente lineare. Ne segue quindi che, per tutte
le antenne filiformi, l’efficienza di irradiazione aumenta in maniera molto rapida al crescere della
sua lunghezza.
PD =
6 DIAGRAMMA DI RADIAZIONE E MASSIMI DI IRRADIAZIONE
Il diagramma di radiazione di una antenna F (θ, φ) è stato definito come la distribuzione
spaziale normalizzata del guadagno G(θ, φ), o di grandezze ad esso proporzionali, come |h(θ, φ)|2 .
A partire dal diagramma di radiazione, vengono definite alcune direzioni caratteristiche
del campo irradiato da una antenna, e precisamente:
• Massimo di irradiazione: direzione in cui il diagramma di radiazione ha un massimo;
• Nullo: direzione in cui il diagramma di radiazione è nullo.
16
Si introduce anche, talvolta, il minimo di irradiazione, come la direzione in cui il diagramma di radiazione ha un minimo.
Nel seguito indicheremo spesso una direzione (θ, φ) con Ω, per semplicità di scrittura.
Tuttavia, molti esempi saranno di diagrammi funzione solo di θ, e quindi costanti rispetto a φ.
In tal caso, la direzione sarà considerata solo rispetto a θ (ovvero la direzione di massimo sarà
in realtà un cerchio a θ costante). Vediamo alcuni esempi.
1 Un diagramma F (θ) = sin2 θ ha un massimo in θ = π/2, e nulli in θ = 0, π.
2 Per un diagramma F (θ) = (sin θ+cos θ)2 , le direzioni di massimo si ottengono derivando
la funzione rispetto a θ, e imponendo che la derivata si annulli. Segue allora
2(sin θ + cos θ)(cos θ − sin θ) = 0
e solo i nulli del secondo termine possono essere massimi. Segue allora come possibile
massimo θ = π/4, in cui la funzione vale 2. Poichè agli estremi, ovvero per θ = 0, π, la
funzione vale 1, θ = π/4 è effettivamente il massimo. Invece θ = − π/4 è un nullo.
3 Un diagramma F (θ) = 2 − cos2 θ ha un massimo in θ = π/2, e minimi in θ = 0, π, che
si ottengono calcolando gli zeri della derivata, ma non ha nulli.
4 Per un diagramma F (θ, φ) = | sin(2θ) cos φ|, i punti estremali sono gli zeri delle derivate,
ovvero le soluzioni del sistema
(
2 cos(2θ) cos φ = 0
− sin(2θ) sin φ = 0
Questi zeri sono gli zeri di cos(2θ) e sin φ, oppure gli zeri di sin(2θ) e cos φ. Quindi sono
θ = ± π/4 e φ = 0, π, oppure θ = 0, π/2, π, e φ = ± π/2. È facile verificare che il primo gruppo
sono massimi di irradiazione1 , mentre i valori del secondo gruppo sono nulli. Si noti che, essendo
il diagramma 3D, sono nulli anche le curve θ = 0, π/2, π con φ qualunque, e φ = ± π/2 con θ
qualunque.
Notiamo poi che per un diagramma del tipo F (Ω) = A F̂ (Ω), è possibile determinare i
massimi, nulli e minimi di irradiiazione su F̂ (Ω) se
• A è costante con le direzioni Ω = (θ, φ);
• A è lentamente variabile con le direzioni Ω = (θ, φ).
Nel secondo caso, ovviamente, le direzioni di massimo e minimo sono solo approssimate,
mentre quelle di nullo sono, altrettanto ovviamente, esatte, ma incomplete: infatti sono nulli del
diagramma anche gli zeri della sola A. Caso tipico di A lentamente variabile è il caso del campo
(41) ma con le altezze efficaci uguali. In tal caso si può considerare l’altezza efficace lentamente
variabile, e calcolare massimi e minimi (e una parte dei nulli) sul solo fattore di interferenza.
Passiamo ora a considerare il caso in cui il campo della antenna, e quindi il suo diagramma di irradiazione, dipenda da un certo numero di parametri Li . Le definizioni precedenti
sono ancora valide, ma le varie direzioni dipenderanno dai parametri Li .
Pertanto ha senso porsi il problema della scelta dei parametri in modo che il massimo di
irradiazione sia in una certa direzione Ω0 . In tal caso, se indichiamo con F (Ω; Li ) il diagramma
1
Si noti che il diagramma di radiazione è sempre non engativo. Nel nostro caso abbiamo derivato
sin(2θ) cos φ senza tener conto del modulo. Questo è possibile se poi si tiene conto che punti
che danno come valore +1 o −1 sono entrambi massimi.
17
di radiazione, occorre determinare i punti ΩM (Li ), soluzione, per le direzioni di massimo, del
problema
max F (Ω; Li )
Ω
(analogamente per minimi e nulli) e poi scegliere i parametri Li in modo che ΩM (Li ) = Ω0 .
Consideriamo, come esempio, un fattore di interferenza dato da una somma di esponenziali del tipo:
2
F (θ; L1 ) = e−jβL1 cos θ + 2jejβL1 cos θ di cui si vuole un massimo (o un minimo) in θ0 . Poichè abbiamo a che fare con una somma di
due numeri complessi a modulo costante, il massimo si ha quando i due addendi hanno la stessa
fase, e il minimo quando hanno fase che differisce di π. Quindi, per il massimo si ha
π
+ βL1 cos θ + 2nπ
2
=⇒
βL1 cos θ = −
π
+ nπ
4
π
+ βL1 cos θ + π + 2nπ
2
=⇒
βL1 cos θ = −
π π
− + nπ
4
2
−βL1 cos θ =
e per il minimo
−βL1 cos θ =
In particolare imponendo θM (L1 ) = θ0 si ottiene
π
− 4 + nπ
θM (L1 ) = ± arccos
= θ0
=⇒
βL1
βL1 =
− π4 + nπ
cos θ0
che è la stessa soluzione che si sarebbe ottenuta imponendo direttamente l’uguaglianza di fase
per θ = θ0
Se il fattore di interferenza è la somma di più di due termini esponenziali del tipo
considerato sopra, sempre con modulo costante, la condizione di massimo (ma non quella di
minimo) è ancora analoga: si ha un massimo quando (e se) tutte le fasi sono uguali, a meno
di multipli di 2π. Per vedere questo, rappresentiamo ogni addendo come un vettore nel piano
dei numeri complessi. Se per θ = θ0 le fasi sono tutte uguali, i vettori corrispondenti sono
allineati, e quindi il modulo della somma è pari alla somma dei moduli. Per un qualunque
cambio dell’angolo, piccolo a piacere, le varie fasi saranno diverse, i vettori non saranno più
allineati e la loro somma sarà più piccola.
Conviene a questo punto notare che esiste un altro problema di massimizzazione legato
a questo caso, e precisamente il problema di massimizzare il campo lontano per Ω = Ω0 . In tal
caso le derivate vanno fatte rispetto a Li . Ovviamente, se il fattore di interferenza è la somma
di due o più di due termini esponenziali con modulo costante, e il resto del campo è costante
rispetto a Li , la condizione sulle fasi consente di trovare anche questo massimo. Se però moduli
e fattore comune variano, il massimo del campo non può essere trovato in questo modo, ma
occorre derivare il modulo quadro rispetto a tutti gli Li .
Consideriamo infine la ricerca del massimo (o del minimo) di irradiazione quando il
fattore di interferenza è la somma di due o più termini esponenziali con moduli variabili, ma in
cui l’angolo θ è solo negli esponenti.
Se è possibile porre, scegliendo i parametri Li , tutte le fasi uguali per θ = θ0 , allora
questa è la condizione di massimo. Infatti, una volta fissati i parametri Li , i moduli dei termini
18
esponenziali diventano costanti1 e quindi il ragionamento precedente può essere ripetuto in
maniera analoga. Ovviamente, se vogliamo un minimo, e i termini sono solo due, basterà
imporre che le fasi differiscano di π.
Consideriamo come esempio
2
−ja cos θ 1
e
1
ja cos θ +e
+ 1 + 2Re
=
F (θ; x) = 2
1 + jx
1+x
1 + jx
2
1
+1+
[cos(a cos θ) − x sin(a cos θ)]
=
1 + x2
1 + x2
1 + 2 cos(a cos θ) − 2x sin(a cos θ)
=1+
1 + x2
Il massimo di irradiazione in θ0 si ha quando la fase del primo termine è pari a quella del
secondo, ovvero se − arctan(x) = a cos θ0 . il massimo del campo (campo più grande possibile,
al variare di x) si ottiene invece derivando F (θ; x) rispetto a x, e imponendo la derivata nulla
in θ0 . In tal caso si ha l’equazione
ovvero
−2 sin(a cos θ0 ) (1 + x2 ) = (1 + 2cos(a cos θ0 ) − 2x sin(a cos θ0 ) 2x
x2 sin(a cos θ0 ) − x [1 + 2 cos(a cos θ0 )] − sin(a cos θ0 ) = 0
Scelto θ0 = π/3, e a = π/4, il massimo di irradiazione si ha per x = −1. Invece l’equazione
per il massimo del campo diventa
√
√
√
2 2
2
x + [1 + 2] x −
=0
2
2
e le soluzioni sono x = −0.27 e x = 3.685, a cui corrispondono valori del campo proporzionali
a 3.6 e 0.8 rispettivamente. Quindi il masimo si ha in x = −0.27. Per confronto, il valore del
campo in x = −1, che corrisponde al massimo di irradiazione in θ0 , vale solo 2.9.
1
È qui che occorre l’ipotesi che θ sia solo nell’esponente.
19
7 ANTENNE IN RICEZIONE
Vedi file aggiuntivo IVb
8 COLLEGAMENTI TRA ANTENNE
Vedi file aggiuntivo IVc
Si noti che la formula di Friis vale nel vuoto. Nella realtà, un collegamento tra due
antenne è influenzato dagli agenti atmosferici (in particolare dalla pioggia e, a frequenze più
elevate, dall’assorbimento dell’aria e della ionosfera), che riducono, anche fortemente, la potenza
ricevuta.
Una caratteristica importante della formula di Friis è che la potenza trasmessa non entra
direttamente, ma sempre in prodotto col guadagno. In altri termini, la causa del collegamento
è il prodotto GT PT che viene detto ERP. Poichè il valore dell’ERP è la causa dei collegamenti,
anche di quelli non voluti, le normative sulla protezione delle interferenze elettromagnetiche
fanno normalmente riferimento ai valori di ERP, e non di potenza trasmessa.
20
9 SEZIONE RADAR
Un RADAR (Radio Detection And Ranging) una antenna che funziona sia come
trasmittente che come ricevente ed in grado di misurare la distanze e talvolta la velocit di
un oggetto, utilizzando le emissioni radio. La trasmittente invia un segnale che induce delle
correnti sulloggetto, questo oggetto re-irradia un campo che viene ricevuto dal radar in modalit
ricevente. In questo modo si riesce ad avere informazioni sulla distanza delloggetto dal radar.
Il trasmettitore invia un segnale nella direzione delloggetto da individuare, al quale
associato un vettore di Poynting:
Si =
GT PT
4πRT2
(46)
essendo GT il guadagno della antenna trasmittente nella direzione dell’oggetto, posto a distanza
RT , e PT la potenza trasmessa.
L’oggetto sar sede di correnti indotte e quindi originer un campo diffuso. Possiamo
considerare questo oggetto come una antenna, i cui morsetti di ingresso sono chiusi su di una linea
adattata, ma terminata in corto circuito. La potenza che l’oggetto scarica sulla linea dipenderà
dalla sua area efficace Ao nella direzione della antenna trasmittente, e sarà data da Ao Si . Questa
potenza viene riflessa dal corto circuito, e rientra nell’oggetto per essere reirradiata, in maniera
diversa nelle varie direzioni. Per caratterizzare le proprietà di diffusione degli oggetti si introduce
la sezione radar σ dell’oggetto (in inglese RCS, ovvero Radar Cross Section), data dal rapporto
tra il valore dell’ERP reirradiato nella direzione della antenna ricevente del RADAR, pari a
Go (Ao Si ), e il vettore di Poynting incidente:
σ=
ERPreirr
= Go Ao
Si
(47)
Se l’antenna ricevente, di area efficace AR è posta a distanza RR , la potenza ricevuta
vale allora
PR = AR
Si
GT PT
ERPreirr
= AR
σ = AR
2
2
2) σ
4πRR
4πRR
(4πRT2 ) (4πRR
(48)
La (48) che prende il nome di Equazione del radar. Si osservi che nel ricavarla si
implicitamente assunto che non vi sia perdita di polarizzazione. Si assume cioè che l’antenna
ricevente abbia la stessa polarizzazione del campo diffuzo dall’oggetto.
La (48) vale sia per radar bistatici, in cui le due antenne sono fisicamente separati, sia nel
caso, molto più comune, di radar monostatici, in cui la antenna trasmittente e quella ricevente
coincidono. In quest’ultimo caso, l’equazione del radar diventa
λ2 GT GT PT
σ 2
GT PT
G
σ
=
σ=
PR = AT
2
2
2
2
(4πRT )
4π (4πRT )
4π T
λ
4πRT2
2
PT
(49)
Come si vede la potenza ricevuta decresce con la quarta potenza della distanza. La
misura di questultima viene effettuata trasmettendo un impulso elettromagnetico e misurando
il tempo di arrivo dellimpulso diffratto dalloggetto. Il tempo che intercorre tra i due impulsi,
diviso per la velocit della luce fornisce il doppio della distanza tra antenna radar e oggetto.
21
10 ANTENNE A RIFLETTORE
Antenne di prestazioni elevate debbono necessariamente essere grandi rispetto a λ. Per
tali antenne, quindi, l’ingombro diventa un parametro fondamentale.
Il modello ideale di antenna di prestazioni elevate é quella che produce una distribuzione
di correnti (vere o equivalenti) distribuita su di una superficie piana di area (fisica) AF , costante
su tale superfice, e che irradi solo da uno dei lati.
Si dimostra che la direttività di una tale distribuzione vale
4π
AF
(50)
λ2
e quindi che, per una tale antenna, area efficace e area fisica coincidono. Il valore di DF è la
massima direttività ottenibile con una antenna di area AF . Per ogni altra antenna, quindi, la
direttività D risulta inferiore a DF .
Le antenne effettivamente usate, a microonde, per ottenere direttività elevate sono di
due categorie: antenne a riflettore e allineamenti (o array) di antenne. In questo corso vedremo
solo qualche dettaglio di utilizzo delle antenne a riflettore.
Per una descrizione delle antenne a riflettore si rimanda a qualunque testo di antenne,
oppure alle pagine di Wikipedia
DF =
http://it.wikipedia.org/wiki/Antenna parabolica
http://en.wikipedia.org/wiki/Parabolic antenna
Le antenne a riflettore hanno una polarizzazione nominale, ma il campo prodotto non
è mai esattamente in quella polarizzazione. Pertanto la definizione di guadagno di una tale
antenna va modificata rispetto alla (29) come
S (c) (r, θ, φ)
(51)
1
r→∞
Pin
4πr 2
in cui S (c) è il vettore di Poynting della sola parte del campo nella polarizzazione nominale
(componente co–polare del campo). Detta S (x) l’altra parte del vettore di Poynting (componente
cross–polare), il vettore di Poynting complessivamente prodotto vale S = S (c) + S (x) . Definiamo
(c)
efficienza di cross–polarizzazione il rapporto ηx = S /S , per cui G risulta pari al prodotto del
guadagno definito dalla (29) e di ηx .
Possiamo esprimere il guadagno G di un riflettore di diametro 2R mediante la efficenza
totale del riflettore ηT come
G(θ, φ) = lim
G = ηT DF
con
ηT = ηL ηap ηS ηp
(52)
essendo
ηL efficenza dovuta alla dissipazione nei conduttori non perfetti, normalmente prossima
al 100% nei riflettori metallici ma notevolmente più piccola nei riflettori in plastica
conduttiva usati per la televisione da satellite (DVB–S );
ηap efficenza di apertura, rapporto tra la direttivitá effettiva delle correnti equivalenti presenti sulla bocca del riflettore, di area AF = π R2 , e la direttivitá massima DF ottenibile
con tale apertura;
22
[dB]
0
Diagramma di irradiazione
ηS efficienza di spill–over, legata alla potenza PS che il feed irradia ma non viene intercettata
dal riflettore; Se PF è la potenza complessivamente irradiata dal feed, si ha ηS = PS/PF ;
ηp efficenza dovuta alla perdita di potenza per altre cause: potenza che viene riflessa
ma bloccata dal feed e dalle strutture di supporto; rugosità superficiale del riflettore;
potenza irradiata nella polarizzazione ortogonale a quella nominale1 .
In particolare l’efficienza di spill–over e quella di apertura hanno un comportamento
opposto: al crescere della direttività del feed, la prima aumenta e la seconda si riduce. Esiste
quindi una configurazione ottimale, in cui efficienza di apertura ed efficienza di spill–over sono
praticamente uguali, con un valore intorno al 90% ciascuna. L’efficienza ηp dipende invece
molto dalla configurazione del riflettore, e dalla precisione realizzativa, e varia dal 65% fino a
oltre il 90%. L’efficienza totale tipica di un riflettore è quindi variabile tra il 50% e il 65%,
ma può raggiungere il 75% per riflettori realizzati con particolare cura (ad esempio, quelli per
applicazioni spaziali). I riflettori per DVB–S hanno invece efficenze intorno al 40–45%.
Il diagramma di radiazione presenta un lobo centrale e dei lobi laterali con ampiezza
massima inferiore di 20–30 dB al massimo del lobo centrale. Un esempio di diagramma di
radiazione è riportato in Fig. 1.
-10
-20
-30
-40
-50
0
5
10 15 20 25 30 35 40 45
angolo (dal broadside) [deg]
Fig. 1: Diagramma di un riflettore con diametro 2R = 10 λ.
Poichè la zona di interesse è tipicamente quella del lobo centrale, possiamo approssimare
il diagramma di radiazione di un riflettore con una espressione semplice. Per un riflettore a
simmetria di rotazione (caso tipico), assumendo un riferimento polare con asse z ortogonale alla
bocca del riflettore (che è anche la direzione di massimo), possiamo approssimare il diagramma
di irradiazione F (θ) assumendo
p
|h(θ, φ)| = hM cos θ
|h(θ, φ)|
F (θ) =
hM
=⇒
2
= cos2p θ
(53)
per θ ∈ (0, π2 ), e nulla per θ > π2 .
L’esponente p può essere trovato a partire dalla semilarghezza di fascio a 3 dB, che
indichiamo con θ3 . Si ha infatti, risolvendo:
1
L’efficienza di cross–polarizzazione ηx é quindi uno dei fattori di ηp .
23
cos2p θ3 =
1
2
la relazione tra p e θ3 :
2p =
0.693
log 0.5
=−
log cos θ3
log cos θ3
(54)
Per θ3 piccolo, si ha anzi
1
cos θ3 ' (1 − θ32 )
2
=⇒
1
1
log cos θ3 ' log(1 − θ32 ) ' − θ32
2
2
e quindi
2p '
1.386
4550
=
2
2
θ3
θ3[deg]
(55)
Per quanto riguarda la direttività, questa può essere espressa tramite il diagramma di
irradiazione come
D(θ, φ) = DM cos2p θ
(56)
e tiene conto non solo della direttivitá della apertura, ma anche della potenza persa per spill–over
o perché intercettata dalle strutture del riflettore. Tale potenza viene comunque irradiata, anche
se in direzioni diverse da quella ortogonale alla bocca del riflettore, e quindi viene considerata
persa per quanto riguarda il funzionamento del riflettore. Pertanto l’efficienza da considerare
per legare guadagno e direttivitá é solo quella dovuta alla dissipazione ηL e alla componente
cross–polare del campo irrdiato ηx
D(θ, φ) =
1
G(θ, φ)
ηL ηx
(57)
La direttività massima DM , può essere ottenuta dalla definizione (28) come1
DM = R
4π
4π
=
= 2(2p + 1) ' 4p
R1
2p
cos θ dΩ
2π 0 x2p , dx
(58)
e sostituendo il valore di p si arriva a una relazione tra direttività e larghezza di fascio, che è di
largo uso:
1.386
2.772
9100
0.693
(59)
'2 1+
'
=
DM = 2 1 −
2
log cos θ3
θ32
θ32
θ3[deg]
per antenne direttive. La (59) può essere espressa in funzione del raggio R del riflettore. Si ha
infatti, da (40):
DM = ηap DF = ηap
1
4π
9100
πR2 =
2
2
λ
θ3[deg]
=⇒
15 λ
θ3[deg] = √
ηap R
La espressione (56) vale sia per antenne con direttività elevata, sia per antenne con direttività
piccola, come i feed per riflettore, o le antenne stampate. In tal caso DM = 2(2p + 1), senza
approssimazione, nè vale la approssimazione (55) (oocorre usare la (54) ) e le sue conseguenze.
24
esatto
approx.
-5
2
[dB]
0
1.5
Errore di approssimazione
Diagramma di irradiazione
[dB]
Per valutare la precisione della approssimazione (56), in Fig. 2 sono riportati sovrapposti
il diagramma vero di Fig. 1 e la sua approssimazione, e la differenza tra i due diagrammi.
-10
-15
-20
-25
-30
0
2
4
6
8
10
12
angolo (dal broadside) [deg]
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
14
0
1
2
3
4
5
6
7
8
angolo (dal broadside) [deg]
9
Fig. 2: confronto tra diagramma vero e approssimazione (56)
(a sinistra) ed errore di approssimazione (a destra).
Per l’esempio scelto si ha D = 900 e θ3 = 3.2o . L’errore é molto piccolo fino a circa
5 = 1.5 θ3 ed accettabile, inferiore a 1 dB, fino a 2θ3 , e questi limiti della approssimazione (56)
sono indipendenti dal diametro del riflettore.
o
Può essere utile anche esprimere DM in funzione della ampiezza dell’ angolo solido Ωp
corrispondente al lobo principale della antenna. Poichè
Ωp = π θ32
risulta
DM =
8.72
Ωp
Per antenne a riflettore di forma rettangolare (o ellittica), la zona illuminata è sostanzialmente ellittica. Non è quindi usabile la (53), ma (se l’area è grande rispetto alla lunghezza
d’onda) possiamo usare come approssimazione
D(θ, φ) = DM cos2p θ cos2 φ + cos2q θ sin2 φ
purchè p e q non siano troppo diversi tra loro (ovvero siano all’ interno dello stesso ordine di
grandezza).
I valori di 2p e 2q si possono determinare a partire dai due angoli a 3 dB, θ3H e θ3E ,
esattamente come nel caso di fascio a simmetria di rotazione, e quindi utilizzando la (54) o la
(55). Il valore di DM risulta invece
DM =
1
1
4π
Z
cos2p θ cos2 φ dΩ +
Calcolando gli integrali si ottiene
25
Z
cos2q θ sin2 φ dΩ
DM =
1
1
1
1
+
4 2p + 1 2q + 1
=
8pq
2(2p + 1)(2q + 1)
'
p+q+1
p+q
Essendo l’antenne molto direttiva, si può utilizzare la approssimazione (55) ottenendo
DM =
4
(θ3H )2
1.386
+
(θ3E )2
=
5.544
+ (θ3E )2
(θ3H )2
1.386
11 SENSORI DI CAMPO
La tensione a vuoto indotta su di una antenna di piccole dimensioni può essere calcolata
agevolmente anche senza assumere alcuna propietà particolare per il campo che produce tale
tensione.
Infatti la piccolezza delle dimensioni rende valide, nella zona occupata dalla antenna, le
equazioni della statica, e in particolare i principi di Kirchhoff. Ne segue che su una tale antenna
collegata a vuoto, anche se immersa in un campo elettromagnetico, non si inducono correnti.
Di conseguenza il campo totale, in presenza della antenna, coincide con quello in assenza della
antenna, ovvero col campo incidente 1 .
Nel seguito considereremo la tensione a vuoto indotta su di un dipolo elementare, e quella
su di una spira piana elementare, ovvero una spira di forma regolare e con un raggio piccolo
rispetto alla lunghezza d’onda. Le tensioni a vuoto indotte su tali antenne verranno calcolate a
partire direttamente dalle equazioni di Maxwell. Per ovviare alle difficoltà realizzative dei dipoli
elementari, vedremo poi che anche la tensione a vuoto su di un dipolo corto può essere calcolata
altrettanto agevolmente.
Tutti questi oggetti possono essere utilizzati come sensori di campo, ovvero per misurare
il campo (o, più precisamente, una componente del campo) presente in un dato punto (prima
dell’introduzione del sensore). In particolare i dipoli sono sensori di campo elettrico, mentre la
spira è un sensore di campo magnetico.
Relativamente al loro uso, va considerato che, mentre per una onda piana, usare un
sensore di E o di H è equivalente, per misurare completamente campi vicini occorre usare due
sensori, uno per E e uno per H. In alternativa, se la misura serve a valutare il superamento
o meno dei limiti di esposizione, allora si può usare solo il sensore del campo che si considera
critico ai fini del rispetto delle normative.
1
Più precisamente, le correnti indotte sono molto piccole, e quindi il campo prodotto da esse, che
si somma al campo incidente per produrre il campo totale, risulta molto più piccolo di quello
incidente, e soprattutto localizzato solo nelle immediate vicinanze del conduttore costrituente
l’antenna
26
Dipolo elementare
Ricordiamo che un dipolo elementare è una antenna filiforme, di lunghezza ∆z λ, sui
cui scorre una corrente costante con z.
Questo può essere ottenuto aggiungenA’
do al filo verticale due dischi orizzontali (vedi
Fig. 1, in cui il dipolo è riportato in sezione)
A
di raggio grande rispetto a ∆z, ma sempre piciD
it
coli rispetto a λ, costituenti un condensatore
B
con una capacità sufficientemente grande da
accumulare carica sufficiente ad evitare che la
B’
corrente debba annullarsi all’estremità del filo
(come avviene in una qualunque antenna filiFig 1: Dipolo elementare
forme).
Per il dipolo di Fig. 1, i morsetti di ingresso (e quindi di uscita) sono i terminali A e B.
La tensione a vuoto è quindi, per definizione
V0 = −
Z
A
E · iD d` = VA − VB
B
(60)
essendo E il campo totale presente nella zona del gap della antenna. Data la piccolezza del
dipolo, comunque, il campo totale può essere considerato irrotazionale, e quindi è possibile
spostare il cammino di integrazione lungo il C.E.P. ottenendo
V0 = VA − VB = VA0 − VB 0 = −
Z
A0
B0
E · it d`
(61)
Nella zona della integrazione della eq. (61) il campo prodotto dalla antenna è trascurabile, e quindi si può assumere E ' Ei , essendo Ei il campo incidente, ovvero il campo in
assenza del dipolo elementare. Tale campo può essere considerato costante in tutta la zona del
dipolo elementare (che, ricordiamo, è piccola rispetto alla lunghezza d’onda), e quindi portato
fuori dall’integrale;
V0 ' −
Z
A0
B0
i
i
E · it d` ' −E ·
Z
A0
it d`
B0
Ovviamente anche it è costante (e pari a iD ) sul cammino di integrazione e si ottiene,
in definitiva
i
V0 ' −E ·
Z
A0
B0
i
it d` = −E · iD
Z
A0
B0
d` = −Ei · iD ∆z
(62)
in quanto l’integrale vale la lunghezza del cammino di integrazione. La (62) ci dice che un dipolo
elementare può essere usato come sensore di campo, ovvero come dispositivo atto a misurare il
campo elettromagnetico in un punto dello spazio. Più precisamente, un dipolo elementare misura
una componente del campo. Una misura completa richiede quindi tre dipoli indipendenti, oppure
un dipolo che venga fatto ruotare nello spazio.
27
Spira elementare
Consideriamo una spira costituita da un filo di C.E.P., di forma regolare e di area
S λ2 . Una tale spira è detta elementare. Nel seguito supporremo per semplicità che sia anche
piana, e, inizialmente, che sia costituita da un solo anello.
Un esempio di tale spira è riportata
A
in Fig. 2. La spira di questa figura è circolare, ma sono possibili ovviamente anche altre
A
forme (es., quadrata, rettangolare, ellittica),
it
it
senza che questo alteri il calcolo della tensione
in
a vuoto. È solo richiesto che la forma sia reB
golare.
Indichiamo ancora con A e B i morsetB
ti di ingresso (e quindi di uscita) della spira.
Fig 2: Spira elementare piana
In maniera del tutto analoga a (22) possiamo
scrivere
V0 = VA − VB = −
Z
A
B
E · it d`
dove l’integrale è fatto sulla curva tratteggiata nella parte destra di Fig. 2. Poichè l’integrale di
linea di E lungo il C.E.P. della spira è nullo, possiamo estendere l’integrale a tutto il contorno
(circolare, nel caso di Fig. 2) della spira, ottenendo
V0 = −
Z
A
B
E · it d` = −
I
E · it d`
(63)
L’ultimo integrale di (63) può essere calcolato ricorrendo alla Legge di Faraday e si ha
quindi
V0 = jω
Z
S
B · in dS
(64)
dove l’integrale è esteso alla superfice della spira. Su tale superfie si può ancora approssimare
il campo totale con quello incidente, B ' Bi = µHi . Poichè anche Hi può essere considerato
costante sulla spira (e in è costante essendo la spira piana) segue infine
V0 ' jωµ
Z
i
S
i
H · in dS ' jωµ H ·
Z
S
i
in dS = jωµ H · in
Z
S
dS = jωµ Hi · in S
(65)
La relazione (65) ci dice che una spira elementare piana3 è un sensore di campo magnetico, ovvero è in grado di misurare il campo magnetico (o meglio, una componente del campo
magnetico) presente in un punto.
Tuttavia una spira con un unico anello non è un sensore particolarmente efficiente. Per
vederlo, possiamo confrontare la risposta, ad una fissata onda piana, di una spira di raggio R
3
Se la spira non è piana, si può ancora portare Hi fuori dall’integrale, ma non più la normale,
che va invece integrata. Ne risulta che una tale spira misura ancora una componente del campo
magnetico incidente, ma questa non sarà più una componente cartesiana.
28
con quella di un dipolo elementare lungo 2R 4 (ortogonale alla spira) soggetto alla stessa onda
piana. Sia H0 la ampiezza del campo magnetico dell’onda piana; di conseguenza quella del
campo eletrico vale ζH0 .
Risulta, da (65) e (62)
per cui
|V0S | = ωµ0 πR2 |H0 |
|V0D | = 2R |ζH0 |
ωµ0 πR2 |H0 |
ωµ0 πD
πR
π
|V0S |
=
=
=β
= βR 1
|V0D |
2R |ζH0 |
ζ
4
2
2
essendo, per l’ipotesi di dipolo e spira elementare, R molto più piccolo di λ.
Questa notevole differenza (a parità di campo da misurare) rende le misure di campo
magnetico molto meno precise5 .
Per aumentare, a parità di campo, la tensione a vuoto e quindi migliorare la misura, le
spire elementari vengono normalmente realizzate con un avvolgimento di N anelli, in modo però
che lo spessore complessivo sia trascurabile rispetto al raggio. In tal caso la tensione a vuoto
diventa 6
V0 = jωµ Hi · in N S
(66)
ed è N volte quella di una singola spira, in modo da compensarne la piccolezza della tensione a
vuoto.
Dipolo corto
La tensione a vuoto ricevuta da un dipolo corto può essere ottenuta a partire da quella
di un dipolo elementare.
Infatti abbiamo visto che il campo prodotto da un dipolo elementare o quello di un
dipolo corto (con lo stesso momento di dipolo) sono uguali (almeno al di fuori della zona delle
sorgenti, che nel nostro caso è molto piccola).
D’altra parte (e lo vedremo anche più avanti) il comportamento in trasmissione di una
antenna e quello in ricezione sono corrispondenti. Conseguenza di ciò è che due antenne che
producono lo stesso campo (a parità di IA ) in una regione R, riceveranno anche la stessa tensione
a vuoto (a parità di Ei ), purchè la sorgente del campo incidente sia nella regione R.
4
Il confronto deve essere eseguito non solo a parità di causa, ovvero di campo incidente, ma anche
a parità di dimensioni, in quanto l’ingombro è uno dei parametri importanti di un sensore
5
La tensione a vuoto che verrà poi misurata è affetta da rumore, che è indipendente dal valore
della tensione. Pertanto l’effetto del rumore aumenta al ridursi della tensione da misurare.
6
Per dimostrare questa relazione occorre considerare che l’ultimo integrale della (63) va ora
esteso a tutto il filo che costituisce il sensore, e quindi sugli N anelli. Possiamo scrivere questo
integrale come somma di integrali, ciascuno su di un anello, e per ognuno di questi applicare
la legge di Faraday come in (64)
V0 = −
I
f ilo
E · it d` = −
XI
n
Sn
E · it d` = jωN
Z
S
B · in dS
in quanto, essendo lo spessore del sensore trascurabile, tutti gli integrali di flusso sono uguali.
29
Per un dipolo elementare di lunghezza L e un dipolo corto di lunghezza 2L, la regione
R inizia a 10L, ovvero comprende sostanzialmente tutto lo spazio2 .
Pertanto anche un dipolo corto di lunghezza
2` può essere usato come sensore di campo elettrico
con
A
iD B
V0 = −Ei · iD `
(67)
essendo iD il versore parallelo ed equiverso col dipolo.
Fig 3: Dipolo corto
12 RISPOSTA AD UNA ONDA PIANA
Se il campo incidente è una onda piana, o almeno localmente piana (ovvero con tutte le
caratteristiche di una onda piana nella zona della antenna ricevente 3 l’espressione della tensione
a vuoto ricevuta assume una espressione particolarmente semplice.
Cominciamo a considerare un dipolo elementare, su cui incide una onda piana (vedi Fig.
3) da un angolo θ. Indichiamo con ik il versore del vettore di propagazione k. Risulta (vedi Fig.
4)
iD = −ik cos θ − iθ sin θ
E
θ
i
k
iD
iD
Fig. 3: Dipolo elementare in ricezione.
θ
ik
iθ
Fig. 4: Versori per il caso di Fig. 3.
Dalla (62) segue
2
3
Ricordiamo che deve risultare L λ; nella pratica un dipolo è considerabile corto se 2L < λ/8
e quindi la regione R è l’esterno di una sfera di raggio poco superiore a λ
Per una antenna molto piccola rispetto alla lunghezza d’onda, l’unica caratteristica da verificare
è che E e H siano ortogonali, e con ampiezze nel rapporto ζ. In tal caso la direzione di arrivo
dell’onda (ovvero la sua direzione di propagazione) è quella del vettore di Poynting. Infatti,
essendo la zona della antenna piccola rispetto a λ, i campi di una onda piana sono costanti
come tutti gli altri, e non è quindi possibile controllarne la variazione spaziale per determinare
se il campo è localmente piano, o la sua direzione di arrivo.
30
V0 = −Ei · iD ∆z = −Ei · (−ik cos θ − iθ sin θ) ∆z
(68)
V0 = (∆z sin θ iθ ) · Ei
(69)
V0 = h · E i
(70)
ed essendo Ei · ik = 0 per le proprietà delle onde piane, segue, riordinando i termini,
La grandezza fra parentesi nella (69) è la altezza efficace del dipolo elementare h. Si ha
quindi, per onda piana incidente
La relazione (70) ha una portata molto più generale Infatti si dimostra che vale per
qualunque antenna, se il campo incidente è una onda localmente piana.
La relazione (70) può essere usata anche in direzione opposta, ovvero per determinare le proprietà di irradiazione di una antenna a partire da quelle in ricezione.
Se consideriamo una spira elementare, piana,
i
la tensione a vuoto, per un qualunque campo inciH
dente, è data dalla (65) che qui riportiamo
θ
k
V0 = jωµ Hi · in N S
essendo N ≥ 1 il numero di avvolgimenti della spira.
Se il campo incidente è una onda piana (vedi
Fig. 5), allora
1
H i = ik × E i
ζ
e sostituendo nella espressione della tensione a vuoto
V0 segue
V0 = j
in
Ei
Fig 5: Spira in ricezione
ωµ
ωµ
ik × E i · in N S = j
N S in × ik · Ei
ζ
ζ
(71)
avendo permutato circolarmente i tre termini del prodotto misto. Dal confronto con la (70)
segue allora, per una spira elementare
h=j
e ricordando (vedi Fig. 6) che
ωµ
N S in × ik = jN βS in × ik
ζ
iφ
in = −ik cos θ − iθ sin θ
segue
in × ik = (−ik cos θ − iθ sin θ) × ik = − sin θ iθ × ik
= − sin θ iφ
e in definitiva
h = −jN βS sin θ iφ
(72)
in
θ
ik
Fig 6: Versori coinvolti
Riguardo ai segni, va ricordato che la corrente
deve entrare nella spira dal terminale positivo della tensione a vuoto. In altri termini, la (72) vale se la corrente IA gira nello stesso verso di iφ .
31
iθ
13 DIPOLO MAGNETICO E SPIRA
Dalla fisica generale è noto che una spira percorsa da corrente continua è equivalente
a un dipolo magnetico (equivalenza di Ampère).
In realtà questa equivalenza vale anche per correnti sinusoidali. Una spira elementare
piana di area S, con N avvolgimenti, percorsa da una corrente IA equivale a un dipolo magnetico
di momento Q pari a
Q = µ 0 N S I A in
(73)
essendo in la normale alla spira (vedi Fig. 5 del paragrafo precedente).
Per determinare il campo di un tale dipolo magnetico, cominciamo col notare che, utilizzando come sorgente solo un dipolo elettrico di momento P, le equazioni di Maxwell diventano
∇ × E = −jωB = −jωµH
∇ × H = jωD = jωε0 E + jωP
Queste equazioni presentano una elevatissima simmetria tra le grandezze elettriche e
quelle magnetiche, che è ulteriormente incrementata se includiamo nelle equazioni anche il dipolo
magnetico:
∇ × E = −jωµH − jωQ
∇×H=
jωε0 E + jωP
Ne segue che, a parte un eventuale segno, scambiare in una affermazione i termini
elettrico e magnetico conduce in genere ad una affermazione anch’essa vera. Proprietà di questo
tipo sono dette proprietà di dualità.
Consideriamo allora il campo Ee , He prodotto da un dipolo elettrico di momento P e
dato dalle (35). Per dualità, si dimostra che il campo di un dipolo magnetico Q, parallelo ad P,
vale:
1 h ei
(74)
E
Q
Q
ζ
P=−
P=−
ζ
ζ
La presenza dei fattori ζ occorre solo per motivi dimensionali, e il segno meno in una
delle due equazioni è legato alla differenza di segno tra le due equazioni di Maxwell.
Sostituendo le (35) nelle (74) e sviluppando si ottiene il campo 2 di Q, espresso in un
sistema sferico con l’asse z allineato con Q:
ωQ
1
Eφ =
1+
e−jβr sin θ
2λr
jβr
1
1
1 ωQ
+
(75)
e−jβr 2 cos θ
Hr = −
ζ 2λr
jβr (jβr)2
1
1 ωQ
1
+
e−jβr sin θ
Hθ = −
1+
ζ 2λr
jβr (jβr)2
h i
E = ζ He
2
H=−
Le espressioni ottenute valgono però solo se la distanza r tra il centro della spira e il punto
campo è molto più grande del raggio della spira stessa. Non è invece richiesto che r sia grande
rispetto a λ.
32
In zona di Fraunhofer il campo del dipolo magnetico vale
ωQ −jβr
e
sin θ iφ
2λr
1
H = ir × E
ζ
E=
(76)
e sostituendo la (73) si ottiene il campo lontano di una spira
ωµ0 N S IA −jβr
e
sin θ iφ
2λr
e, usando la definizione (14), la sua altezza efficace
E∞ =
E∞
h=
j
ζIA −jβr
e
2λr
=
ωµ0 N S IA −jβr
e
sin θ iφ
2λr
j
ζIA −jβr
e
2λr
= −j
ωµ0
N S sin θ iφ
ζ
identica, ovviamente, alla (72) se si ricorda che ωµ0/ζ = β.
La potenza irradiata da un dipolo magnetico, o da una spira, può essere calcolata
analogamente a quella di un dipolo elettrico.
Si trova, per un dipolo magnetico
Pirr =
1
1
ω 4 |Q|2
2 6πc2 ζ
(77)
e per una spira
Pirr
1 2πζ
=
|IA |2
2 3
N βS
λ
2
=
S2
1 2πζ
|IA |2 4π 2 N 2 4
2 3
λ
(78)
Dalla (28) possiamo ricavare la resistenza di irradiazione di una spira
Rirr
2πζ
2πζ 2 2 S 2
4π N 4 =
=
3
λ
3
βS
N
λ
2
(79)
in cui il primo fattore vale 800 Ω.
Notiamo che, anche in trasmissione, occorre usare spire con più avvolgimenti (nonostante
la relativa induttanza sia N volte più grande). Se confrontiamo la potenza (28) irradiata da
una spira di raggio R con quella di un dipolo elementare lungo 2R, 5 a parità di corrente di
alimentazione IA troviamo
Pirr,S
Pirr,D
5
πR2
1 2πζ
|IA |2 4π 2 N 2
λ4
= 2 3
2
2R
1 2πζ
|IA |2
2 3
λ
2
π 2 R4
2
λ4 = π 4 N 2 R
λ
4R2
2
λ
4π 2 N 2
=
Anche qui eseguiamo il confronto a parità di dimensioni, in quanto l’ingombro di una antenna
è uno dei parametri importanti da considerare nella scelta.
33
Una spira è elementare se il suo diametro è piccolo. Quantitativamente possiamo prendere λ/8 come limite per il diametro, per cui, nel confronto precedente, R/λ< 1/16 .
Quindi
Pirr,S
= N2
Pirr,D
π2 R
λ
2
<N
2
π2
16
2
= 0.4N 2
Pertanto, per spire (e dipoli) che siano si elementari, ma grandi (ovvero vicino al limite
di spira e dipolo elementare) un valore di N piccolo o addirittura pari a 1 è efficace. Ma già per
R = 0.01 λ l’uguaglianza delle potenze richiede N = 10.
La potenza dissipata da una spira fatta da conduttore non perfetto si calcola allo stesso
modo di quella di un dipolo elementare, ma sostituendo a ∆z la lunghezza totale dell’avvolgimento. Se la spira è lunga PS e il filo ha raggio R, allora la potenza dissipata, per una corrente nella
spira pari a IA , vale (vedi (45))
PD =
(PS ) N
|IA |2
24πσδR
(80)
Tenendo conto della (28) la efficienza di irradiazione vale quindi
2
1 2πζ |I |2 4π 2 N 2 S 2
ζ 32π 4 N S4
A
4
2 3
λ
λ
η=
=
2
1 2πζ |I |2 4π 2 N 2 S 2 + PS N |I |2
S
4
ζ 32π N 4 + PS
A
2 3
24π σδR A
σδR
λ4
λ
(81)
essendo S la superfice della spira. In caso di superfice circolare di raggio RS possiamo sostituire
PS = 2π RS e S = π RS2 ottenendo
(π RS2 )2
R3
ζ 16π 5 N 4S
4
λ
λ
η=
=
(π RS2 )2
RS3
2π
R
S
4
5
ζ 32π N
ζ 16π N 4 + 1
+
σδR
σδR
λ4
λ
ζ 32π 4 N
Infine, per quanto riguarda la reattanza di ingresso di una spira elementare, questa può
essere calcolata dalla sua induttanza statica L come
XIN = ωL
(82)
dove L può, per una spira circolare di raggio RS e diametro del filo pari a 2R, essere calcolata
da
L = µ 0 RS
log
8RS
R
7
−
N2
4
(83)
Per spire di altra forma, la (83) può ancora essere usata assumendo che spire di uguale
superficie abbiano uguale indittanza. In particolare, per una spira quadrata (o rettangolare con
rapporto d’aspetto piccolo) e area SQ la (83) richiede
RS =
r
34
SQ
π
14 ANTENNE IN TRASMISSIONE SU PIANO DI MASSA
Vedi file aggiuntivo IVd
15 ANTENNE IN RICEZIONE SU PIANO DI MASSA
Vedi file aggiuntivo IVe
16 PROPAGAZIONE SU TERRA PIATTA
Il calcolo del campo di una antenna in presenza del suolo è stato risolto supponendo
il suolo costituito da un conduttore elettrico perfetto. Vogliamo considerare ora le variazioni
introdotte dal considerare il suolo un dielettrico con perdite (sempre però illimitato), limitatamente al calcolo del campo lontano. Per fare questo, conviene riprendere, in termini differenti,
quanto già noto per un piano conduttore perfetto.
Cominciamo quindi a considerare una antenna posta in A, a distanza H1 dal piano
conduttore (Fig. 1). Il campo nel punto B, a distanza (orizzontale) r e quota H2 può essere
ottenuto dal teorema delle immagini, come campo di due sorgenti poste in A e Ai , entrambe in
spazio libero (Fig. 2).
Il campo dovuto alla sorgente in A vale, se B è in campo lontano di A
ζI
h e−jβ|A B|
(84)
2λ|A B|
essendo I la corrente di alimentazione della antenna in A e h la sua altezza efficace nella direzione
di B.
ED = j
35
B
B
A
A
H1
γ
Q
H2
γ
γ
H1
γ
H2
Ai
r
Fig. 1: Collegamento su terra piatta
Fig. 2: Risultato del teorema delle immagini.
Analogamente, se B è in campo lontano di Ai , il campo misurato in B e dovuto ad Ai
vale
ERc = j
ζI
h0 e−jβ|Ai B|
2λ|Ai B|
essendo h0 la altezza efficace della antenna nella direzione del punto Q.
Poichè |Ai B| = |A Q| + |Q B|, allora lo stesso campo ER può essere espresso come
ERc = j
ζI
h0 e−jβ|A Q| e−jβ|Q B|
2λ ( |A Q| + |Q B| )
(85)
Il fattore di propagazione della (85) corrisponde a una propagazione da A al punto di
riflessione Q e poi da Q a B. E anche l’ampiezza complessiva in B è coerente con la attenuazione
su una propagazione lunga |A Q| + |Q B|.
Ne segue che il campo lontano può essere anche calcolato considerando una onda piana
che da A punti verso il punto di riflessione geometrico Q, con una ampiezza data dalla espressione
del campo lontano. A questa onda viene normalmente associato un raggio, che è la curva
ortogonale alle superfici equifase dell’onda, e che nello spazio libero è una retta1 . Questo raggio
si riflette sul piano conduttore, con coefficiente di riflessione pari a quello di una onda piana
con le stesse caratteristiche e poi si propaga fino al punto B. La ampiezza invece va calcolata
considerando una attenuazione di onda sferica sulla distanza totale della propagazione.
Se il piano non è di conduttore perfetto, ma è l’interfaccia tra il vuoto e un dielettrico
(omogeneo e indefinito) di costante dielettrica relativa εr , eventualmente con perdite, possiamo
utilizzare questo approccio per calcolare il campo in B (punto posto in campo lontano sia di
A, sia di AI ). Assumiamo che le due altezze H1 ed H2 siano molto più piccole di r in modo
che l”angolo γ, complementare dell’angolo di incidenza del campo sul piano, sia molto piccolo .
Dalla Fig. 2 si può ricavare infatti che
H1 + H2
H1 + H2
1
=⇒
γ'
1
(86)
r
r
Siamo interessati a una descrizione qualitativa del comportamento di una antenna in
presenza di un semispazio dielettrico, e quindi considerereremo, per semplicità, solo il campo nel
punto B, che prenderemo nella zona di Fraunhofer del sistema antenna+immagine (e non un
tan γ =
1
Possiamo pensare al raggio come la traiettoria della energia associata alla propagazione del
campo.
36
collegamento tra l’antenna in A ed una antenna in B). Inoltre faremo qualche ulteriore ipotesi
semplificatrice nel seguito.
Il campo in B è dato da
E(B) = ED + ER
dove ED è dato da (84), mentre ER si ottiene analogamente alla (85), includendo il coefficiente
di riflessione sulla interfaccia. In particolare calcoleremo la attenuazione supplementare2
|E(B)|2
(87)
|ED |2
nei due casi di polarizzazione orizzontale, corrispondente ad una incidenza T E, e verticale,
corrispondente ad una incidenza T M 3 .
Iniziamo dalla polarizzazione orizzontale. In Fig. 3a sono riportate i versori dei campi
ED , Ei , campo incidente sulla interfaccia, ed ER , campo riflesso dalla interfaccia. Ovviamente
ED ed Ei hanno la stessa direzione, essendo dati entrambi dalla espressione (84), naturalmente
valutata in punti e direzioni diverse. Invece i versi relativi di Ei ed ER vanno scelti facendo
riferimento alle formule di Fresnel. Ricordiamo infatti che il coefficiente di riflessione di Fresnel é
il rapporto tra la stessa componente tangente di ER ed Ei . Nel caso T E questi vettori sono tutti
tangenti, e quindi devono essere paralleli, come appunto in Fig. 3a. Ne segue che nel calcolo
posiamo sottintendere i versori del campo, e sommare solo la componente orizzontale (scalare)
del campo.
F =
ED B
A
Ei
iTE θ
i
γ
ER
Q
z
Fig. 3: Incidenza T E: a) Versori; b) Angoli.
Se assumiamo la stessa ampiezza della altezza efficace h = h0 , allora risulta
E(B) = ED + ER
ζI
ζI
=j
h e−jβ|A B| + j
h e−jβ|A Q| e−jβ|Q B| ΓT E
2λ|A B|
2λ ( |A Q| + |Q B| )
Per l’ipotesi di campo lontano, |A B| ' |A Q| + |Q B| al denominatore. Mettendo quindi
in evidenza tutta l’espressione di ED segue
2
Supplementare rispetto alla attenuazione di spazio libero data dalla formula di Friis.
3
I nomi di queste polarizzazioni si riferiscono alla orientazione del campo elettrico rispetto
alla terra. Si noti però che mentre in polarizzazione orizzontale il campo E è effettivamente
orizzontale, in quella verticale E è solo approssimativamente verticale se γ 1, mentre diventa
obliquo se l’angolo di radenza non è piccolo
37
i
h
E(B) = ED 1 + ΓT E e−jβ( |A Q|+|Q B|−|A B| )
(88)
Indicando la differenza di cammino tra il percorso con riflessione e quello diretto con
∆r = |A Q| + |Q B| − |A B| = |Ai B| − |A B| (vedi Fig. 2), l’attenuazione supplementare é il
modulo quadro della espressione in parentesi quadra nella (88), che vale
2
F = 1 + ΓT E e−jβ∆r (89)
Per ottenere F occorre quindi calcolare ∆r e ΓT E . Per quanto riguarda ∆r si ha,
considerando i triangoli rettangoli di Fig. 2
∆r = |Ai B| − |A B| =
p
r 2 + (H2 + H1 )2 −
p
r 2 + (H2 − H2 )1
(90)
Possiamo sviluppare con la formula di Taylor la radice quadrata, arrestandoci al primo
termine (sempre per l’ipotesi di essere in campo lontano del sistema antenna+immagine), ottenendo
s
#
2
2
(H2 + H1 )
(H
+
H
)
2
1
=
r
+
'r 1+
r 2 + (H2 + H1 )2 = r 1 +
2r 2
2r
s
"
#
2
2
2
p
(H
−
H
)
(H2 − H1 )
H
−
H
2
1
2
1
'r 1+
=
r
+
r 2 + (H2 − H1 )2 = r 1 +
r
2r 2
2r
p
H2 + H1
r
"
2
Sostituendo nella (90) segue
2
∆r =
2
2
2
(H2 + H1 )
(H2 − H1 )
(H2 + H1 ) − (H2 − H1 )
4H1 H2
2H1 H2
−
=
=
=
2r
2r
2r
2r
r
(91)
Per quanto riguarda il coefficiente di riflessione ΓT E , questo può essere calcolato a
partire dalle impedenze T E Z T E = ωµ/kz dei due mezzi, che dipendono dall’angolo di incidenza
sul terreno θi , complementare dell’angolo di radenza γ (vedi Fig. 3b), tramite le formule di
Fresnel
ΓT E =
Z2T E
Z2T E
−
+
Z1T E
Z1T E
ωµ0
ωµ0
−
kiz − ktz
ktz
kiz
= ωµ
ωµ0 = k + k
0
iz
tz
+
ktz
kiz
(92)
Le due componenti z delle costanti di propagazione, ricordando che γ 1 e che, per
la superfice terrestre |εr | 1 (con la possibile eccezione dei soli terreni desertici o molto aridi),
sono date, con riferimento alla Fig. 3b, da
H1 + H2
kiz = β cos θi = β sin γ ' β γ ' β
r
q
q
p
√
√
2 =
ktz = εr β 2 − kix
εr β 2 − β 2 sin2 θi ' εr β 2 − β 2 = β εr − 1 ' β εr
in quanto sin θi = cos γ ' 1. Sostituendo nella (92) segue
38
ΓT E
γ
2
1− √
√
√
γ − εr
β γ − β εr
εr
2γ
γ
'− 1− √
'
√ =
√ =−
γ ' − 1 − √ε
β γ + β εr
γ + εr
εr
r
1+ √
εr
(93)
√
essendo γ 1 | εr |. Ricordando l’espressione (86) di γ segue quindi
ΓT E
2(H1 + H2 )
'− 1−
√
εr r
(94)
Il modulo di ΓT E è quindi sostanzialmente pari a 1, e la sua fase è poco discosta da π, e
tali approssimazioni migliorano al crescere di r. Possiamo quindi inserire nella (89) direttamente
ΓT E = −1 ottenendo
2 2
2H1 H2 H1 H2
H1 H2 H1 H2
F = 1 − exp −jβ
exp jβ
− exp −jβ
= exp −jβ
r
r
r
r
ovvero
F = 4 sin
2
H1 H2
β
r
(95)
La funzione F oscilla tra 0 e 4, e raggiunge il massimo4 quando l’argomento della
funzione seno vale π/2+nπ. Il massimo corrispondente a π/2 è quello più distante (l’argomento
è una funzione decrescente di r). Se lo indichiamo con r0 si trova
β
H1 H2
π
=
r0
2
=⇒
r0 =
2
H1 H2
β H1 H2 = 4
π
λ
(96)
Usando r0 l’attenuazione supplementare diventa
F = 4 sin2
hπ r i
0
2r
(97)
Per r > r0 l’attenuazione supplementare comincia a diminuire, e tende a zero quadraticamente. Infatti, per r r0 l’argomento del seno risulta molto più piccolo di 1 e quindi
F '4
h π r i2
0
2r
=
π 2 r02
r2
L’andamento del vettore di Poynting è quindi del tipo r −4 , ovvero diminuisce molto
più rapidamente che nel caso di spazio libero. Un andamento del tipo r −4 viene normalmente
chiamato andamento di terra piatta.
4 Si noti che F > 1 indica che il campo è più grande di quello in spazio libero. Il termine
attenuazione supplementare, benchè invalso nell’uso, non è quindi una scelta ottimale.
39
Attenuazione supplementare
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.1
1
10
r/r0
Fig. 4: Andamento di F per incidenza T E (l’asse orizzontale è in scala logaritmica).
L’andamento di F (r), data dalla (97), è riportato in Fig. 4. Oltre al massimo in r0 , ed
alla attenuazione molto forte per r > r0 , si vede anche la presenza di una forte oscillazione per
r < r0 , con massimi e nulli via via più ravvicinati. Questo andamento è legato alla interferenza
tra il raggio diretto e quello riflesso. L’andamento reale di F (r) è leggermente diverso, in quanto
per r < r0 l’approssimazione ΓT E ' −1 non è più valida. I massimi ed i minimi sono meno
pronunciati, e si trovano in posizioni leggermente spostare rispetto a quanto dato dalla (97). Può
essere interessante anche considerare l’andamento di F in funzione di H2 , che è un andamento
sinusoidale. per H2 = 0 risulta F = 0. Al crescere di H2 aumenta anche F fino ad una altezza
H20 =
λr
4H1
a cui F = 4. Oltre questa quota il valore di F oscilla tra 0 e 4 in maniera sinusoidale.
L’andamento con H1 è simile.
Passiamo ora a considerare il caso di polarizzazione verticale, ovvero T M . Le differenze
col caso T E sono, oltre che nel coefficiente di irflessione, anche nelle direzioni dei versori del
campo. In Fig. 5 sono riportati i versori dei vari campi coinvolti, costruiti secondo le stesse
prescrizioni che hanno portato alla Fig. 3a.
Si nota in particolare che i versori del campo Ei e del campo ER hanno la stessa
componente tangente all’interfaccia (orizzontale nel disegno) e, di conseguenza, componente z
opposta. Il risultato è che i versori dei campi ED e d ER (che indicheremo con iD e d iR ) sono
quasi opposti, presentando un angolo pari a π − 2γ. In prima approssimazione possiamo quindi
considerare iR = −iD . Il campo nel punto B sarà quindi dato da
E(B) = ED + ER = ED iD + ER iR ' ED iD − ER iD = ED − ER iD
Nelle stesse ipotesi della (88) segue allora
40
ED B
A
Ei
ER
Q
Fig. 5: Versori coinvolti nell’incidenza T M .
i
h
E(B) = ED − ER = ED 1 − ΓT M e−jβ( |A Q|+|Q B|−|A B| )
e quindi
2
F = 1 − ΓT M e−jβ∆r (98)
(99)
con ∆r sempre dato dalla (91). Per quanto riguarda il coefficiente di riflessione si ha invece,
essendo Z T M = kz/ωε
ΓT M
ktz
kiz
√
√
−
1 − γ εr
β εr − εr βγ
Z2T M − Z1T M
ktz − εr kiz
ωεr ε0
ωε0
=
' √
= TM
=
=
√
ktz
kiz
ktz + εr kiz
β εr + εr βγ
1 + γ εr
Z2 + Z1T M
+
ωεr ε0
ωε0
(100)
Sostituendo nella (99) segue allora, usando l’espressione (86)di γ
2
√
√
1 − γ εr −jβ∆r 2 r − (H1 + H2 ) εr −jβ∆r F (r) = 1 −
√ e
= 1 − r + (H1 + H2 )√εr e
1 + γ εr
r 1 − e−jβ∆r + (H1 + H2 )√εr 1 + e−jβ∆r 2
=
r + (H1 + H2 )√εr 2
Procedendo in maniera analoga a come fatto per arrivare alla (95) si ottiene
F (r) =
2jr sin β
√
+ 2(H1 + H2 ) εr cos β
r + (H1 + H2 )√εr 2
H1 H2
r
H1 H2
r
2
(101)
L’andamento della attenuazione supplementare T M , dato dalla (101), è più complesso
del caso T E, in quanto dipende da tre parametri. Uno è la distanza r0 data dalla (96) e l’altro
√
è (H1 + H2 ) εr , che é complesso e quindi equivale a due ulteriori parametri. L’andamento é
qualitativamente simile a quello del caso T E, ma con delle differenze. A titolo di esempio, in
Fig. 6 sono riportate le curve di F (r) per un collegamento televisivo (f = 500 M Hz, H1 =
200 m, H2 = 15 m) per le tre superfici di Tabella I.
41
σ
mare
terra umida
terra asciutta
εr
80
30
4
[ S/m]
4.3
0.01
10−4
Attenuazione supplementare
Tabella I: dati dei terreni usati negli esempi.
4
mare
terra umida
terra asciutta
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.1
1
10
r/r0
Fig. 6: Andamento di F per incidenza T M su vari terreni.
(f = 500 M Hz, H1 = 200 m, H2 = 15 m).
42
17 SEZIONE RADAR DI UNA ANTENNA
Come abbiamo visto, su di una antenna in ricezione si inducono delle correnti, dipendenti
linearmente dal campo incidente, che sono la causa della potenza (e del segnale) fornito dalla
antenna all’utilizzatore. Tuttavia tali correnti indotte sulla antenna sono anche la sorgenti del
campo diffuso dalla antenna, che puó essere a sua volta ricevuto da un’altra antenna, come ad
esempio la stessa che ha prodotto il campo incidente. In altri termini, una antenna ha una sua
sezione radar, che dipende peró dal carico connesso alla antenna.
Anche in vista dell’utilizzo di questo campo diffuso nei sistemi RFID, valutiamo il campo
diffuso e la sezione radar di una antenna limitandoci ad una antenna filiforme.
Le antenne filiformi sono antenne monomodali, ovvero la distribuzione di corrente (andamento della corrente normalizzato al suo massimo) é fissa, indipendentemente dalle condizioni
di carico e dalla presenza di altre correnti (o antenne) nelle vicinanze. Per tale motivo, la corrente indotta su di una antenna filiforme a vuoto, in ricezione, puó essere considerata nulla,
e quindi, in queste condizioni, la sezione radar é nulla. Questo semplifica significativamente il
calcolo della sezione radar in condizioni diverse.
IS
+
ZA
V0 = h . E i
ZL
Fig. 1: Circuito equivalente di una antenna in ricezione.
Consideriamo infatti il circuito equivalente di una antenna connessa ad un carico ZL
qualunque, riportato in Fig. 1. ZA é l’impedenza di ingresso della antenna, vista dai suoi
morsetti, ed
V0
h · Ei
=−
(102)
ZA + ZL
ZA + ZL
é la corrente che, in ricezione, entra nella antenna e produce il campo diffuso dalla antenna.
Nella (102), h é la altezza efficace della antenna.
Il campo lontano reirradiato dalla antenna é dato da
IS = −
ζ IS −jβr
e
h
(103)
2λr
Se, per semplicitá, supponiamo di avere adattamento in polarizzazione, la sezione radar
della antenna é data, per definizione, da
ES = j
4πr 2 SS
Si
essendo Si il vettore di Poynting dell’onda incidente sulla antenna ed SS il vettore di Poynting
reirradiato dalla antenna a distanza r, calcolabile a partire dalla (103):
σA =
Si =
1
|Ei |2
2ζ
SS =
1
ζ
|ES |2 = 2 2 |IS |2 |h|2
2ζ
8λ r
43
Sostituendo, e ricordando che, per l’ipotesi di adattamento in polarizzazione, |h · Ei | =
|h| |Ei |, segue
σA = 4πr 2
ζ
|IS |2 |h|2
|h|2 |Ei |2
|h|4
ζ2
1
πζ 2
2
8λ2 r 2
= 4πr 2
|h|
=
1
4λ2 r 2
|Ei |2 |ZA + ZL |2
λ2 |ZA + ZL |2
|Ei |2
2ζ
(104)
Introducendo il guadagno GA della antenna tramite la (30) si ottiene infine
2
2
1
λ4 G2A RA
πζ 2
λ2 2
2RA
σA = 2
=
G
(105)
λ |ZA + ZL |2
π2 ζ 2
4π A |ZA + ZL |
dopo aver moltiplicato e diviso per 4.
Dalla (105) segue che per ZL = ∞ (antenna a circuito aperto), la sezione radar é nulla,
∗
per ZL = ZA
(antenna adattata) l’ultimo fattore é unitario e la sezione radar diventa σAm =
2
2
2
[ λ /4π ] GA . Infine, per antenna in corto circuito ZL = 0 l’ultimo fattore vale 4 RA/|ZA |2 ≤ 4, e
assume il valore massimo se l’antenna ha impedenza di ingresso reale.
18 SISTEMI RFID
I sistemi RFID (Radio Frequency IDentification) sono sistemi di comunicazione bi–direzionale (asimmetrici) in cui una postazione fissa (Reader ) interroga, emettrendo un campo
elettromagnetico, uno o piú ricetrasmettitori mobili (Tag) posti nelle adiacenze del reader, i
quali rispondono mandando una stringa di bit al reader.
I sistemi RFID possono essere divisi a seconda della frequenza utilizzata, e a seconda
del tipo di tag.
Le bande di frequenza usabili sono
LF
HF
UHF
MW
125 → 134 kHz
13.56 M Hz
860 → 960 M Hz
2.4 GHz
L’interazione tag–reader avviene per accoppiamento induttivo nelle bande LF ed HF,
e per comunicazione radio nelle bande UHF e MW. Noi nel seguito considereremo solo queste
ultime. In particolare tutti gli esempi verranno svolti nella banda UHF.
Relativamente al tipo di tag, si distinguono sistemi RFID :
• Attivi se il tag contiene un ricetrasmettitore che decodifica il segnale mandato dal
reader, e trasmette poi la sua informazione.
• Passivi se il tag contiene solo un IC che viene alimentato rettificando il segnale ricevuto,
e che modula la sezione radar della antenna del tag. La trasmissione tag–reader avviene
cioé usando il campo diffuso dalla antenna del tag.
• Semi–attivi se il tag contiene un ricevitore che decodifica il segnale mandato dal
Reader, ma utilizza il campo diffuso dalla antenna per la comunicazione inversa.
44
I sistemi RFID attivi sono normali sistemi di comunicazione radio, per i quali valgono
le leggi usuali dei collegamenti. Ci interessiamo qui quindi solo dei sistemi passivi e semi–attivi,
che possono essere analizzati in parallelo dal punto di vista della trasmissione radio, in quanto
la sola differenza é nella potenza richiesta dal tag (decine di µW per quelli passivi, vari ordini
di grandezza piú bassa per quelli semi–attivi).
Un ciclo di interrogazione–risposta avviene in due fasi. In una prima fase (forward–link)
il reader manda un segnale binario che il tag riceve e decodifica. Nella seconda fase (revers–link)
il reader manda un segnale continuo, e il tag modula (agendo sulla impedenza di carico) la sezione
radar della sua antenna con la sequenza binaria che deve trasmettere. Durante entrambe le fasi
il tag deve anche trasformare parte dal segnale ricevuto in corrente continua di alimentazione del
suo IC (sia per la decodifica e l’elaborazione dei dati, sia per modulare il carico della antenna).
Nel seguito valuteremo quantitativamente le due fasi del colloquio.
In Fig. 1 é riportato lo schema di principio di un tag passivo. Nella fase di forward–
link il modulatore non viene utilizzato, e il segnale proveniente dalla antenna viene fornito alla
sezione di decodifica, e alla sezione di alimentazione. I parametri di interesse sono la potenza
assorbita dall’IC, e la tensione a RF Vin all’uscita della antenna e quindi all’ingresso dell’IC.
"Ricevitore"
Rete
Adattamento
Antenna
Alimentatore
DC
R.L.
Modulatore
Fig. 1: Circuito equivalente di un tag
(Le frecce indicano scambio di informazioni, o energia, con la rete sequenziale R).
Cominciamo a considerare la trasmissione da parte del reader. Alla distanza r, la densitá
di potenza e il campo prodotto dal reader valgono, ponendo1 ζ = 120π Ω
r
√
p
60GPT
GPT
GPT
=⇒
E = 2ζ S = 2(120π)
=
S=
2
2
4π r
4π r
r
1
Porre ζ = 120π Ω equivale a porre c = 3 · 108 m/sec (al posto del valore piú preciso 2.9979 ·
108 m/sec). Infatti, in tal caso, risulta
ε0 =
per cui
ζ=
r
−1
1
1
=
= 36π · 109
4π · 10−7 c2
4π · 10−7 9 · 1016
p
√
4π · 10−7
= 4π · 10−7 · (36π · 109 ) = 144π 2 · 102 = 120π
ε0
45
In Europa vi sono delle limitazioni sul valore di ERP del reader, dipendente dalle sottobande della banda UHF. In particolare il valore massimo possibile di ERP é GPT = 3 W . A
una distanza r = 5 m il campo elettrico vale 2.7 V /m. L’antenna del tag ha una altezza efficace
di 5–10 cm, e quindi la tensione a vuoto ricevuta V0 puó essere anche di solo 200 mV . Questa
tensione viene usata come ingresso dello stadio di alimentazione, che deve rettificarla e trasformarla in continua, per alimentare il IC. La tensione continua richiesta é peró di 1–3 V , e quindi
occorre incrementare considerevomente la tesione del generatore di Thevenin.
Ci
IS
+
CF
ZA
V in
V0
Fig. 2: Stadio di alimentazione in continua
ZL
Fig. 3: Circuito equivalente di ingresso
La sezione di alimentazione, nella forma piú semplice, é costituito da due diodi e un
condensatore di filtro, come riportato in Fig. 2, dove RDC é l’impedenza di ingresso in continua
dell’IC, tipicamente di decine o centinaia di kΩ. Questo circuito, se realizzato con diodi ideali,
produce una tensione continua pari a 2|Vin |. Rispetto al segnale il condensatore di filtro si
comporta come un corto circuito, e quindi tale stadio presenta in ingresso essenzialmente la
reattanza capacitiva dovuta alle capacitá parassite dei diodi. Tale reattanza va in parallelo con
l’impedenza di ingresso del demodulatore, fornendo una ZIC fortemente capacitiva. Un tipico
IC per RFID UHF ha, ad esempio, una impedenza ZIC = 36 − j117 Ω. Questo consente di avere
|Vin | > |V0 |. Infatti, con riferimento alla Fig. 3
|ZIC |
|ZIC + ZA |
essendo ZA l’impedenza della antenna. In caso di adattamento del carico si trova
|Vin | = |V0 |
|ZIC |
1
|Vin | = |V0 |
= |V0 |
2RIC
2
s
2 + X2
RIC
1
IC
= |V0 |
2
RIC
2
s
1+
2
XIC
1
XIC
' |V0 |
2
RIC
2
RIC
Nel caso sopra riportato, questo equivale a un incremento di circa 2 volte rispetto al
valore di un partitore resistivo. Accettando una riduzione di banda, é possibile un incremento
di tensione anche maggiore, ma normalmente non tale da garantire la tensione continua richiesta. Pertanto è spesso necessario usare piú coppie di diodi, che realizzano un moltiplicatore di
tensione.
Nel caso di esempio, la tensione continua prodotta da una coppia di diodi ideali diventa
quindi di circa 750 mV , con una potenza pari a quella disponibile a RF (circa 60 µW ). Usando
due coppie, si arriva a 1.5 V , tensione normalmente sufficiente. In realtá i diodi non sono ideali,
ma cominciano a condurre quando la tensione supera un valore di soglia VON di varie centinaia
di mV . Oltre a ridurre la tensione di uscita, questo produce una riduzione della potenza fornita
al carico, in quanto una parte significativa della potenza in continua si dissipa sui diodi. La
perdita di efficienza aumenta la crescere dell’ordine di moltiplicazione della tensione, per cui é
46
abbastanza normale avere efficienze del 20–30 %, e quindi 10–15 µW di potenza alimentazione
in continua. Poiché questo é il limite di funzionamento del IC, la portata di un RFID passivo é
normalmente limitata dal forward–link.
Concludiamo notando che il condensatore di filtro deve essere dimensionato in modo da
garantire la continuitá della tensione durante le fasi in cui il segnale a RF é piú basso di quello
di uscita. Se il reader trasmettesse continuamente, basterebbe avere CRDC > 10 TRF , essendo
TRF il periodo del segnale UHF. In realtá C deve essere notevolmente piú grande.
Infatti, finora abbiamo considerato solo la trasmissione di potenza. In realtá un reader
deve trasmettere anche informazioni, tramite un segnale binario. Poiché la rete di decodifica
(come tutto il tag) deve avere un costo molto basso, ma d’altra parte ha una potenza RF
considerevole a disposizione (fino a frazioni di µW ), l’unica soluzione praticabile é di trasmettere
le informazioni codificandole mediante trasmettitore acceso e spento. Infatti, in tal modo, un
semplice rivelatore di inviluppo trasforma il segnale in un segnale binario che puó essere elaborato
da una semplice rete sequenziale.
La scelta piú intuitiva é quella di associare trasmettitore acceso a ”1” e il trasmettitore
spento a ”0”, codifica detta OOK (On–Off Keying) . In tal modo, peró, con una velocitá di
trasmissione tipica di 100 kbps, il trasmettitore é spento per 10 µsec per la trasmissione di uno
zero. Poiché peró gli zeri consecutivi possono essere molti, per mantenere la tensione costante
su un intervallo che puó essere superiore ai 100 µsec occorre una capacitá di alcuni nF . Questi
valori richiedono una area enorme, quindi fanno lievitare il costo del IC.
Fig. 4: Trasmissione di una sequenza 1010 con codifica OOK (a sinistra)
e PIE (a destra). In basso la sequenza di bit trasmessi.
Si usano allora altri tipi di codifica, varianti della codifica PIE (Pulse Interval Encoding),
in cui un bit 0 é trasmesso come sequenza acceso–spento di uguale lunghezza, mentre un bit 1
é ancora una sequenza acceso–spento, con la parte accesa lunga 2–3 volte quella spenta (e con
la parte di ”spento” uguale nei due bit 0 e 1).
Indicando con T0 il tempo di spento, la lunghezza media di un simbolo é 2.5–3 T0 . Alla
velocitá di 85 kbps, questo equivale a un valore di T0 dell’ordine di grandezza di alcuni µsec, e i
condensatori di filtro necessari sono di qualche decina di pF .
Si noti anche che la codifica P IE ha un valor medio di ”acceso” intorno al 65 % del
tempo totale, e quindi la potenza in continua trasferita alla rete logica é ridotta dello stesso
fattore rispetto a quella relativa a una trasmisisone continua (per la codifica OOK tale valore
arriva al 50 %).
Passiamo ora al reverse–link. Il reader trasmette un segale continuo, e il modulatore
agisce sulla sezione radar della antenna per trasmettere le proprie informazioni. La sezione radar
47
della antenna adattata vale circa 0.01 m2 che produce, a 5 m di distanza tag–reader, una densitá
di potenza al reader di
Si
= 0.3 µW /m2
4πr 2
L’antenna del reader ha un guadagno di circa 10, cui corrisponde una area eficace di
0.1 m2 , e quindi una potenza disponibile al reader PD di circa 30 nW . Poiché il segnale ricevuto
é ottenuto modulando quello in trasmissione, il reader puó eseguire una rivelazione coerente del
segnale, moltiplicando il segnale ricevuto e quello trasmesso. In tal modo é possibile rivelare il
segnale anche con livelli di potenza molto piú bassi2 . Pertanto il reverse–link é normalmente
poco critico.
Modulando opportunamente il carico connesso alla antenna, si producono cosı́ due stati
che corrispondono ai due livelli logici da trasmettere. La capacitá di discriminazione del reader
dipende dalla potenza associata al segnale differenza tra questi due stati. Dalla (103) si vede
che la differenza, vista dal reader, tra i due segnali diffusi é
S S = σA
ζ [IS1 − IS0 ] −jβr
e
h
2λr
e quindi la potenza del segnale differenza vale, usando (103)
∆ER = j
P∆ = PD
= PD
2
IS1 − IS0 2
2
1
1
= PD 2RA
−
ISM ZA + ZL1
ZA + ZL0 2
ZL0 − ZL1
2 2RA (ZA + ZL1 )(ZA + ZL0 ) (106)
essendo ZA1 e ZA0 le impedenze di carico nei due stati, e ISM la corrente con antenna adattata.
La scelta piú semplice é di commutare tra carico adattato e corto circuito: ZL0 = 0,
∗
ZL1 = ZA
, modulando quindi la ampiezza corrente indotta sulla antenna. In tal caso, da (106)
P∆ =
2
PD 2RA
2
−ZA
PD
(2RA )(ZA ) = 2
che assumiamo come livello di potenza di riferimento. Analogo risultato si ottiene commutando
∗
tra carico adattato e circuito aperto: ZL0 = ∞, ZL1 = ZA
, mentre commutando tra aperto e
corto: ZL0 = ∞, ZL1 = 0, si ottiene una P∆ piú grande:
2
P∆ = PD 2RA
1
|ZA |2
Tuttavia questa selta non é utilizzabile. Infatti il IC ha bisogno della tensione continua
anche durante il reverse–link. Indicando con PDC la potenza in continua assorbita in presenza
di carico adatato, la potenza media nei primi due casi vale PDC/2, in quanto durante le fasi in
cui il carico della antenna é un corto (o un aperto) la potenza assorbita é nulla. Nel terzo caso,
invece, la potenza assorbita é nulla, e quindi il IC non puó funzionare.
2
É per questo motivo (oltre che per il minor costo rispetto a un trasmettitore effettivo) che
i sistemi semi–attivi usano comunque la modulazione della sezione radar nel reverse–link. I
livelli di potenza al reader necessari per la rivelazione di un segnale non coerente con quello
trasmesso sono molto piú alti.
48
Queste considerazioni suggeriscono di usare una modulazione della sola parte reattiva
del carico. Usando ad esempio ZL0 = RA − j(1 + α)XA , ZL1 = RA − j(1 − α)XA , con α
dell’ordine di 0.05–0.1, segue
P∆ =
2
PD 2RA
2
−2jαX
A
(2RA + jαXA )(2RA − jαXA ) (107)
Una stima della (107) si puó ottenere trascurando le parti reattive a denominatore. Si
ha allora
2
2
PD αXA
PD −2jαXA =
P∆ '
2 2RA 2
RA
con una riduzione di qualche dB rispetto alla potenza di riferimento. Se peró esaminiamo la
potenza in continua assorbita, vediamo che la potenza in continua fornita al IC (uguale nei due
stati) rispetto al caso di carico carico adattato é
M =4
2
RL1 RA
RA
1
=
4
=
XA 2
2
2
|ZL1 + ZA |
|2RA + jαXA |
|1 + jα 2R
|
A
Assumendo α|XA | RA si trova
M=
1 + α2
1
2
XA
2RA
2 ' 1 − α
XA
2RA
2
che é tipicamente superiore al 80 %. Poiché tale potenza viene fornita in maniera continua
(essendo indipendente dallo stato del modulatore), la potenza media di alimentazione é non solo
piú alta dei casi di commutazione di ampiezza, ma é anche costante. Questi vantaggi compenano
abbondantemente la riduzione di P∆ , e quindi la modulazione della parte reattiva del carico,
che é una modulazione della fase della corrente indotta sulla antenna, é di gran lunga la scelta
piú diffusa.
49
INDICE
1.
2.
3.
4.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
CAMPO LONTANO DI UNA ANTENNA . . . . . . . . . . .
ANTENNE – ALTEZZA EFFICACE . . . . . . . . . . . . .
PARAMETRI DELLE ANTENNE IN TRASMISSIONE
. . . .
ANTENNE FILIFORMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SISTEMI DI ANTENNE
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
POTENZA DISSIPATA ED EFFICIENZA DI IRRADIAZIONE .
DIAGRAMMA DI RADIAZIONE E MASSIMI DI IRRADIAZIONE
ANTENNE IN RICEZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . .
COLLEGAMENTI TRA ANTENNE . . . . . . . . . . . . .
SEZIONE RADAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ANTENNE A RIFLETTORE . . . . . . . . . . . . . . . .
SENSORI DI CAMPO
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
RISPOSTA AD UNA ONDA PIANA . . . . . . . . . . . . .
DIPOLO MAGNETICO E SPIRA . . . . . . . . . . . . . .
ANTENNE IN TRASMISSIONE SU PIANO DI MASSA . . . .
ANTENNE IN RICEZIONE SU PIANO DI MASSA . . . . . .
PROPAGAZIONE SU TERRA PIATTA
. . . . . . . . . . .
SEZIONE RADAR DI UNA ANTENNA
. . . . . . . . . . .
SISTEMI RFID
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. 1
. 4
. 7
10
12
15
16
20
20
20
21
26
30
31
35
35
35
43
44