Esperienza massa–molla

Esperienza massa–molla
M. Fanti
Dipartimento di Fisica, Università di Milano
M.Fanti (Physics Dep., UniMi)
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Il sistema massa–molla
Il sistema è costituito da una molla appesa ad un vincolo, cui è agganciata
una massa m.
La molla ha la proprietà di esercitare una forza di richiamo elastica, cioè
opposta al verso dell’allungamento ∆` della molla
di intensità proporzionale all’allungamento ∆`
Fel = −k · ∆`
(legge di Hooke)
Le altre forze in gioco sono:
la forza di gravità: Fg = mg (con g = 9.806 m · s−2)
la forza di attrito: questa entra in gioco solo quando il sistema è in moto,
e si oppone al moto stesso
Il sistema è dotato di un disco che crea un attrito viscoso con l’aria circostante; assumendo che questa sia la principale componente di attrito avremo
Fattr = −(C1 + C2|v |) · v , essendo v la velocità del moto.
Il termine in C1 è dominante per basse velocità e/o oggetti affusolati.
Il termine in C2 è dominante per alte velocità o per oggetti poco aerodinamici.
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La forza elastica e il moto armonico
Soffermiamoci sulla forza elastica: Fel = −k · ∆x, dove ∆x = x − x0 è uno spostamento da un punto di equilibrio x0
e k è una costante tipica del sistema.
d 2x
La forza elastica dà luogo ad un moto oscillatorio armonico. Infatti, applicando F = ma = m 2 troviamo:
dt
d 2x
k
(x − x0)
=
−
dt 2
m
che ha per soluzione:
r
x(t) = x0 + A · cos(ω0t + φ)
ω0 =
k
m
!
ω0 dipende dalle caratteristiche del sistema (k e m)
A, φ sono definite dalle condizioni iniziali: x(t = 0) = x0 + A cos(φ) e v (t = 0) = −ω0A sin(φ)
Il moto è dunque periodico, con periodo T , cioè per qualunque istante t x(t) = x(t ± T ) = x(t ± nT ), con n intero.
Il periodo è calcolabile come:
T =
2π
ω0
e la frequenza è:
ν0 =
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1
ω0
=
T
2π
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Importanza della forza elastica
k
La forza elastica è associata ad una energia potenziale U(x) = (x − x0)2, con x0 punto di equilibrio del sistema.
2
U(r)
Ogni moto di un sistema intorno al suo punto di equilibrio, per piccoli spostamenti può essere approssimato dalla forza elastica.
Esempio: oscillazione di atomi all’interno di una molecola, o di un cristallo.
2
k(r − req )
+ U(req )
2
r
req
E
Un esempio più complesso: le onde sonore. Qui le molecole di un mezzo vibrano intorno alla loro posizione di
equilibrio, ed inoltre “trasmettono” il loro stato di vibrazione alle molecole vicine. L’argomento verrà trattato in
seguito, ma qui ricordiamo che si tratta sempre di fenomeni legati alla forza elastica.
Un ulteriore esempio: le onde elettromagnetiche. Qui non si tratta più di un fenomeno meccanico: le quantità che
oscillano sono il campo elettrico e il campo magnetico. Non sono spostamenti nello spazio, ma sono sempre regolate
da equazioni formalmente analoghe.
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Dinamica del sistema massa–molla
Chiamiamo `0 la lunghezza della molla a riposo (cioè non sottoposta ad alcuna forza esterna), ` la sua lunghezza
attuale, cosicché ∆` = ` − `0.
Scegliamo un asse x orientato verso il basso, cosicché maggiori allungamenti ∆` corrispondono a maggiori valori di x.
La forza totale agente sulla massa m appesa è:
F = Fel + Fg + Fattr = −k(` − `0) + mg − (C1 + C2|v |)v
Punto di equilibrio
Il punto di equilibrio è quello in cui il sistema fermo non subisce forze. Questa condizione, imponendo F = 0 con
v = 0, corrisponde ad una lunghezza `eq tale che:
k(`eq − `0) = mg
def
Pertanto, d’ora in poi esprimiamo lo stato del sistema con lo spostamento dal suo punto di equilibrio: x = ` − `eq
Dinamica
dx
def d `
Ovviamente la velocità è v =
= . L’equazione del moto diventa dunque:
dt
dt
dx dx
d 2x
m 2 = F = −kx − C1 + C2 dt
dt
dt
(ogni effetto gravitazionale è riassorbito nella definizione del punto di equilibrio)
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Il modello del sistema massa–molla
L’equazione
dx dx
d 2x
m 2 = F = −kx − C1 + C2 dt
dt
dt
costituisce la nostra formulazione del modello del sistema, ovvero uno strumento matematico che collega quantità
osservabili (in questo caso la posizione x(t)) a grandezze intrinseche del sistema stesso (in questo caso la massa m, la
costante elastica k, la costante di attrito C ).
Il modello consente di:
conoscere le grandezze intrinseche del sistema partendo da una o più misure degli osservabili;
effettuare predizioni sugli osservabili, una volta che le grandezze intrinseche del sistema siano note con sufficiente
precisione
Inoltre: diverse misure indipendenti (anche effettuate in condizioni dinamiche diverse) degli osservabili possono essere
utili a validare il modello, oppure a rivelarne i limiti. In quest’ultimo caso, il modello stesso potrebbe venire
riformulato, aggiungendo dettagli prima trascurati, alla luce delle conclusioni tratte.
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Misure statiche
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Misure degli allungamenti
L’equazione k(`eq − `0) = mg , valida in condizioni statiche, può essere usata
per misurare la costante elastica k.
Il set-up dell’esperimento prevede un sonar collegato ad un computer, che
misura la distanza Y del disco del sistema massa–molla, ad intervalli di tempo
regolari (a) .
In condizioni statiche ci si aspetta che Y (t) sia costante.
In pratica, la sensibilità dello strumento è tale da consentire di osservare piccole oscillazioni
residue. . . Ovviamente la misura andrà “ripulita” da tali oscillazioni.
La strumentazione non consente una misura diretta di `eq e `0. Però
Y + `eq = costante. Con due masse note m(1), m(2), i punti di equilibrio
(1) (2)
`eq , `eq devono soddisfare:
h
i
h
i
h
i
(2)
(1)
(2)
(1)
(1)
(2)
g m −m
= k `eq − `eq = k Y − Y
⇒ si può estrarre k:
m(2) − m(1)
k = g (1)
Y − Y (2)
a
Il numero di misure al secondo è impostabile: si suggerisce di non eccedere 50 misure/secondo
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Verifica della linearità
Quanto detto finora non basta: vogliamo verificare che il modello ipotizzato sia valido, ovvero che descriva
correttamente le osservazioni.
Il valore di k è indipendente dalla scelta delle masse m(1), m(2)?
Un possibile approccio: provare tante masse m(0), . . . , m(n) e misurare i corrispondenti Y (0), . . . , Y (n), quindi calcolare il k fra due masse vicine:
k
(i)
m(i) − m(i−1)
= −g (i)
Y − Y (i−1)
( i = 1, . . . , n )
e verificare la compatibilità fra i k (1), . . . , k (n) ottenuti (attenzione alla
propagazione degli errori! non sono completamente scorrelati)
Un altro approccio: prendere la massa più piccola m(0) come “zero”; se la
legge è veramente lineare allora ci aspettiamo che:
h
i gh
i
(0)
(i)
(i)
(0)
Y −Y
=
m −m
k
(i)
(0)
(0)
(i)
⇒ raccogliere n coppie m − m ; Y − Y
, e verificare se sono
compatibili con una retta passante per l’origine ⇒ fit lineare
i
0
1
2
..
.
n−1
n
m(i)
··· ± ...
··· ± ...
··· ± ...
..
.
··· ± ...
··· ± ...
Y (i)
··· ± ...
··· ± ...
··· ± ...
..
.
··· ± ...
··· ± ...
k (i)
—
··· ± ...
··· ± ...
..
.
··· ± ...
··· ± ...
i
m(i) − m(0) Y (0) − Y (i)
1
··· ± ...
··· ± ...
2
··· ± ...
··· ± ...
..
..
..
.
.
.
··· ± ...
n − 1 ··· ± ...
n
··· ± ...
··· ± ...
Quante masse? Il più possibile, compatibilmente con il tempo a disposizione, e le caratteristiche della molla
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Conclusioni
Mediante una serie di misure statiche di allungamenti, ottenuti appendendo alla molla masse note, è possibile
verificare se sussiste la legge lineare di Hooke Fel = −k∆`
Procedura:
si misura l’allungamento `0 per una massa di tara m0 — o meglio si misura la distanza Y0 dal sonar;
per diverse masse mk si misurano gli allungamenti `k — o meglio le distanze Yk dal sonar;
si verifica se i punti (mk ; Yk ) stanno su una retta Y = am + b ⇒ fit lineare
i valori di mk ; Yk hanno incertezze di misura: introdurle opportunamente nel fit
il χ2 deve essere buono;
controllo: la retta deve essere compatibile con il punto (m0; Y0);
g
si ricava k = — propagare le incertezze per avere anche σk
a
NOTA: se il χ2 viene brutto, l’estrazione di k non ha alcun senso
Questo è lo scopo della prima parte dell’esperienza
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Misure dinamiche
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Il modello del sistema
Riprendiamo il modello del sistema
2
dx dx
d x
m 2 = F = −kx − C1 + C2 dt
dt
dt
dx dx
e consideriamo due casi-limite sulla forza di attrito Fattr = − C1 + C2 :
dt
dt
dx
basse velocità ⇒ C1 C2|v | ⇒ approssimiamo Fattr ' −C1
dt dx dx
alte velocità ⇒ C1 C2|v | ⇒ approssimiamo Fattr ' −C2 dt dt
A priori non sappiamo quale è il comportamento realizzato dal sistema massa-molla che abbiamo.
⇒ dobbiamo analizzare entrambi i casi
⇒ avremo due modelli, le misure ci diranno qual è quello più idoneo.
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Interludio: l’esponenziale complesso eiφ
eiφ + e−iφ
cos φ =
2
iφ
e − e−iφ
sin φ =
2i
Definizione
eiφ
def
=
cos(φ) + i sin(φ)
Proprietà
Conserva tutte le proprietà dell’esponenziale reale; in particolare (1) eiφ1+iφ2 = eiφ1 · eiφ2
def
Si può estendere all’esponente complesso: se z = x + iy allora ez = ex eiy = ex [cos(y ) + i sin(y )]
Per z1, z2 complessi, ez1+z2 = ez1 ez2
In particolare, per |dz| → 0, edz = edx [cos(dy ) + i sin(dy )] ' (1 + dx)(1 + idy ) ' 1 + dx + idy ' 1 + dz, cosicché
ez+dz = ez edz ' ez (1 + dz), quindi:
d z
e = ez
dz
L’esponenziale complesso è lo strumento base per risolvere le equazioni differenziali lineari
usare le regole di somma delle funzioni trigonometriche
cos(φ1 + φ2 ) = cos φ1 cos φ2 − sin φ1 sin φ2 e sin(φ1 + φ2 ) = sin φ1 cos φ2 + sin φ1 cos φ2
1
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Legge oraria del sistema massa–molla (Fattr = −C1v)
Partiamo dall’equazione del moto:
d 2x
dx
m 2 = F = −kx − C1
dt
dt
def
def
Definiamo per comodità 2γ = C1/m e ω02 = k/m, quindi:
d 2x
dx
+
2γ
+ ω02x = 0
2
dt
dt
È un’equazione differenziale lineare di secondo ordine a coefficienti costanti.
La teoria delle equazioni differenziali ci dice che esistono due soluzioni linearmente indipendenti e che la soluzione
generale è una combinazione lineare di queste.
Per trovare le due soluzioni, pensiamo ad x come una variabile complessa, x(t) → z(t). Poiché i coefficienti sono
reali, se z(t) è soluzione di
dz
d 2z
2
+
2γ
+
ω
z =0
0
dt 2
dt
allora x(t) = R[z(t)] è soluzione dell’equazione in x.
Dalla teoria, la forma della soluzione è z(t) = Aest , dove s si può determinare per sostituzione, osservando che
d st
st
dz e = s · e :
q
2
2
s + 2γs + ω0 = 0
⇒
s± = −γ ± γ 2 − ω02
quindi
s+ t
z(t) = A+e
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s− t
+ A−e
−γt
=e
i
h
√
√
+ γ 2 −ω02 t
− γ 2 −ω02 t
A+e
+ A−e
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Legge oraria del sistema massa–molla (Fattr = −C1v)
q
ω02 − γ 2. In tal caso il moto è descritto dalla legge
q
def
x(t) = Ae−γt cos(ω00 t + φ)
ω00 = ω02 − γ 2
Il caso che ci interessa è γ < ω0, cosicché s± = −γ ± i
È un moto oscillatorio smorzato, A, φ dipendono
iniziali, ω00 dalle caratteristiche del sistema.
s dallecondizioni
2
C
k
1
Notare che ω00 è influenzato dall’attrito: ω00 =
−
m
2m
exp(-[0]*x)*(cos([1]*x)+[0]/[1]*sin([1]*x))
moti oscillatori smorzati:
— ω0 = 1 , γ = 0.01
— ω0 = 1 , γ = 0.1
1
0.5
moto smorzato:
— ω0 = 1 , γ = 10
moto critico:
— ω0 = 1 , γ = 1
0
-0.5
-1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Il caso γ > ω0 corrisponde ad un moto smorzato; il caso-limite γ = ω0 dà il moto critico
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Legge oraria del sistema massa–molla (Fattr = −C2|v|v)
Partiamo dall’equazione del moto:
dx dx
d 2x
m 2 = F = −kx − C2 dt
dt dt
Non esiste una soluzione analitica! Dobbiamo arrangiarci con delle semplificazioni “ragionevoli”.
Sappiamo dall’esperienza che il moto è oscillatorio smorzato x(t) = A(t) cos(ω0t + φ), con A(t) da determinare.
assumiamo che A(t) varii molto più lentamente di cos(ω0t + φ)
d 2x
dx
' −A(t)ω0 sin(ω0t + φ) ;
' −A(t)ω02 cos(ω0t + φ)
⇒
2
dt
dt
k
m
k
Usiamo l’energia meccanica: E = Uel (x) + E = x 2 + v 2 ⇒ all’estremo dell’oscillazione E = A2
2
2
2
La potenza dissipata per attrito è
Wattr = Fattr v = −C2|v |3
La potenza dissipata mediamente in un periodo è:
Z
3
1 T
hWattr i = −C2 |v | = −C2
dt |v (t)|3
T 0
Z
(ω0A)3 T
' −C2
dt | sin(ω0t)|3
T
0
4
= − C2(ω0A)3
3π
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1
T
T
Z
dt | sin(ω0 t)|3 =
0
=
=
=
=
Z 2π
1
def
dξ | sin ξ|3
(ξ = ω0 t)
2π 0
Z
2 π/2
dξ sin3 ξ
π 0
Z
2 π/2
d(cos ξ) (1 − cos2 ξ)
π 0
Z
2 1
def
dη (1 − η 2 )
(η = cos ξ)
π 0
2
1
4
1−
=
π
3
3π
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Legge oraria del sistema massa–molla (Fattr = −C2|v|v)
Dobbiamo risolvere
⇒
dA
kA
dt
dA
dt
dA
A2
1
1
−
A(t) A0
⇒
A(t)
dE
' hWattr i:
dt
4
= − C2(ω0A)3
3π
4 C2ω03 2
= −
A
3π k
4 C2ω03
dt
= −
3π
k
3
4 ω0
C2
=
t = αt
3π k
3
4
ω
A0
def
α=
C2 0
=
1 + A0αt
3π k
1
Fattr=-C2|v|v
Fattr=-C1v
0.5
0
-0.5
-1
0
20
40
60
80
100
120
3
dA 4
C
ω
k
2
0
Limiti di validità abbiamo supposto che ω0A ⇒
A2 ω0A ⇒ soddisfatta se C2 dt
3π k
Aω02
Ora, |Fel | = k|x| ≈ kA e |Fattr | = C2|v 2| ≈ C2A2ω02 kA
r
k
⇒ su un solo ciclo |Fattr | |Fel |, l’oscillazione è dominata dalla forza elastica ⇒ ω0 =
m
m
⇒ la condizione di validità di tutte le approssimazioni è C2 A
m
m
Che cosa vuol dire in pratica ? Va bene C2 ≈ 0.1 ? Bisogna andare a C2 ≈ 0.01 ?
A
A
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Osservazione della legge oraria
Il sonar collegato al computer consente di misurare la distanza Y (t) in
una sequenza di istanti t equidistanziati di ∆t (a) . Ricordando che
x(t) + Y (t) = costante, possiamo visualizzare la legge oraria del moto:
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Y(t) [mm]
Misura del periodo e dell’ampiezza
190
180
(t0;A0)
(t1;A1)
170
(t2;A2)
160
(t3;A3)
(t4;A4)
(t5;A5)
150
(t6;A6)
140
130
120
0
1
2
3
4
5
6
t [s]
tn − t0
n
per misurare le ampiezze delle creste A0, A1, . . . , An , . . . occorre sottrarre il livello di equilibrio
(per es facendo una media di tutti i punti campionati)
misurando la distanza fra n creste si ottiene il periodo: T =
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Effetti del campionamento
Y(t) [mm]
Poiché l’acquisizione dati non è continua, ma avviene ogni ∆t, la posizione delle creste non è perfettamente accurata:
190
180
(t0;A0)
(t1;A1)
170
(t2;A2)
160
(t3;A3)
(t4;A4)
(t5;A5)
150
(t6;A6)
140
130
120
0
1
2
3
4
5
6
t [s]
individuato l’istante ti in cui rileviamo un massimo locale, il massimo “vero” sarà localizzato a ti ± ∆t
il valore dello spostamento massimo Ai è sempre sottostimato.
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Misura dinamica della costante elastica k
r
k
4π 2
2
Da quanto visto ci aspettiamo ω0 =
⇒
T =
·m
m
k
Questa legge deve valere per qualunque valore della massa appesa.
Primo approccio: per ogni massa m(i) misuriamo il periodo T (i) e calcoliamo
k
(i)
m(i)
= 4π
[T (i)]2
2
i
m(i)
1 ··· ± ...
2 ··· ± ...
..
..
.
.
n ··· ± ...
ATTENZIONE a
T (i)
[T (i) ]2
k (i)
··· ± ... ··· ± ... ··· ± ...
··· ± ... ··· ± ... ··· ± ...
..
..
.
.
··· ± ... ··· ± ... ··· ± ...
propagare le incertezze! σT 2 = 2T σT
I valori ottenuti di k (i) sono fra loro compatibili?
Si osserva un andamento dei k (i) in funzione delle masse m(i)?
Confrontate con la misura statica di k fatta in precedenza: in quali condizioni le misure dinamiche di k (i) si
avvicinano di più a quella statica?
Come possiamo spiegare l’effetto? La massa della molla può giocare un ruolo?
[suggerimento: anche la molla “scarica” può oscillare sotto il suo stesso peso. . . ]
Secondo approccio: verifichiamo se i punti (m; T 2) prelevati rispettano una legge lineare: ci aspetteremmo
4π 2
2
T =
· m ⇒ facciamo un fit lineare con T 2 = a · m + b. Come viene il χ2?
k
4π 2
Se è “buono” la legge lineare è soddisfatta ⇒ possiamo estrarre k =
. Qual è il significato di b?
a
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Y(t) [mm]
Misura dello smorzamento
190
180
(t0;A0)
(t1;A1)
170
(t2;A2)
160
(t3;A3)
(t4;A4)
(t5;A5)
150
(t6;A6)
140
130
120
0
1
2
3
4
5
6
t [s]
Misurare le ampiezze massime Ai raggiunte dalle creste, e i tempi ti a cui avvengono.
−γt
Ipotesi: |Fattr | ∝ v ⇒ A(t) =
A0e
(0) A
Provare a mettere i punti
t (i) ; ln (i)
su un
A
grafico: stanno su una retta?
1
1
=
+ αt
A(t)
A
0
1
Provare a mettere i punti t (i) ; (i)
su un grafico:
A
stanno su una retta?
Ipotesi: |Fattr | ∝ v 2 ⇒
(0)
A
1
i
t (i)
A(i)
ln (i)
A
A(i)
1
··· ± ... ··· ± ... ··· ± ... ··· ± ...
2
··· ± ... ··· ± ... ··· ± ... ··· ± ...
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
n − 1 ··· ± ... ··· ± ... ··· ± ... ··· ± ...
n
··· ± ... ··· ± ... ··· ± ... ··· ± ...
ATTENZIONE a propagare le incertezze!
σA
σA
σ A1 = 2 ; σlnh A(0) i =
A
A
A(i)
Conclusione: quale ipotesi di attrito descrive meglio i dati osservati?
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Moto forzato
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Applicazione di una forza esterna
Ora al nostro sistema massa–molla viene applicata un’azione esterna, sotto forma di forza sinusoidale.
Il sistema massa–molla viene appeso ad un attuatore
(o vibratore) comandato da un generatore di tensione
sinusoidale, a frequenza impostabile.
Il pistone del vibratore si muove con frequenza data
dal generatore, agendo dunque come forzante esterna
sulla molla, che si mette in moto.
Il segnale del generatore viene anche immesso in un
oscilloscopio, in modo da misurarne la tensione di
picco V e la frequenza ν = ω/(2π): dunque le
caratteristiche della forzante sono note.
Grazie al sonar, si può studiare il moto del sistema
(credits: prof. I. Boscolo)
. . . Anche qui, prima di effettuare misure, dobbiamo formulare un modello.
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(Fattr ∝ v)
Modello dell’oscillatore forzato
Il sistema viene modificato, aggiungendo una forza esterna sinusoidale Fest = F0 cos(ωt), con ω regolabile a
piacimento. L’equazione del moto diventa dunque:
dx
d 2x
m 2 = Fel + Fattr + Fest = −kx − C + F0 cos(ωt)
dt
dt
Come già fatto in precedenza, passiamo alla coordinata complessa z(t), ricordando
che poi porremo x(t) = R[z(t)].
q
def
def
def
Come in precedenza, anche qui poniamo 2γ = C /m, ω02 = k/m, e ω00 =
ω02 − γ 2. L’equazione del moto diventa:
F0 iωt
d 2z
dz
2
z
=
+
2γ
+
ω
·e
0
dt 2
dt
m
Si tratta di un’equazione differenziale lineare, di secondo ordine, a coefficienti costanti, non omogenea, a causa della
presenza del termine f0 · eiωt .
La soluzione generale è data dalla somma di una soluzione particolare, e della soluzione generale dell’equazione
omogenea corrispondente: x0(t) = A0e−γt cos(ω00 t + φ0).
La soluzione particolare è della forma zpart(t) = Aparteiωt , con Apart da determinare per sostituzione diretta:
2
F0 iωt
2
−ω + 2iγω + ω0 Aparteiωt =
·e
m
⇒
Apart =
F0/m
iϕ
≡
Ae
2
ω0 − ω 2 + 2iγω
dove ovviamente:
F0/m
A ≡ |Apart| = p 2
(ω0 − ω 2)2 + 4γ 2ω 2
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;
tan(ϕ) = −
2γω
ω02 − ω 2
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Soluzione del moto dell’oscillatore forzato
(Fattr ∝ v)
La soluzione del moto è dunque:
F0/m
x(t) = x0(t) + xpart(t) = A0e−γt cos(ω00 t + φ0) + p 2
cos(ωt + ϕ)
|
{z
}
2
2
2
2
(ω0 − ω ) + 4γ ω
transiente
|
{z
}
stazionario
Il termine transiente è caratterizzato dalla frequenza angolare ω00 dell’oscillazione libera, ma si attenua nel tempo
fino a scomparire. Le costanti A0, φ0 dipendono dalle condizioni iniziali, x e dx/dt all’istante t = 0.
Il termine stazionario è caratterizzato dalla frequenza angolare ω della forzante esterna, e permane nel tempo.
Evoluzione dalla fase transiente a quella stazionaria
[1]*(cos([0]*x+[2])-exp(-0.01*x)*cos(x+[2]))
In alto: caso ω = ω0 , la forzante ha la stessa frequenza
angolare del moto libero in assenza di attriti.
Partendo da fermo, l’ampiezza di oscillazione cresce fino a
stabilizzarsi.
In basso: caso ω 6= ω0 .
40
20
0
-20
L’ampiezza di oscillazione mostra i battimenti, dovuti alla
-40
50
100
150
200
250
300
350
400
coesistenza di due frequenze nel moto. I ventri corrispondono
[1]*(cos([0]*x+[2])-exp(-0.01*x)*cos(x+[2]))
a quando le componenti transiente e stazionaria sono in fase
8
6
(interferenza costruttiva). I nodi si hanno quando le
4
componenti transiente e stazionaria sono in opposizione di
2
0
fase (interferenza distruttiva). Con lo smorzarsi del transiente
-2
-4
la modulazione si fa via via più debole.
-6
-8
50
100
150
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200
250
300
350
400
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La risonanza
(Fattr ∝ v)
F0/m
e
Una volta terminato il transiente, resta la componente stazionaria, con ampiezza A(ω) = p 2
2 )2 + 4γ 2 ω 2
(ω
−
ω
0
2γω
uno sfasamento ϕ(ω) = − tan−1
rispetto alla forzante
ω02 − ω 2
1/sqrt((x^2-1)^2+4*([0]*x)^2)
-acos((1-x^2)/sqrt((x^2-1)^2+4*([0]*x)^2))
0.5
Curva di ampiezza (sx) e fase (dx) in fun-
0
zione di ω, per ω0 = 1 e:
-0.5
10
-1
-1.5
1
-2
-2.5
-1
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4 1.6 1.8
2
-3.5
0
γ = 0.01
—
γ = 0.1
—
γ=1
—
γ = 10
La curva di ampiezza si chiama anche
-3
10
—
curva di risonanza o lorenziana
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4 1.6 1.8
2
L’ampiezza dell’oscillazione stazionaria cresce quando la frequenza forzante si avvicina a quella propria: questo
fenomeno si chiama risonanza .
q
F0/m
La massima ampiezza si raggiunge per ω = ω02 − 2γ 2 ' ω0 (nel caso ω02 γ 2) e vale Aris '
.
2γω0
La larghezza √
della curva di risonanza si caratterizza con le frequenze alle quali A(ω) =√
Aris/2: ciò avviene per
ω − ω0 ' ± 3γ. La FWHM (full width at half of maximum) è pertanto FWHM = 2 3γ.
La fase alla risonanza vale ϕris = −π/2
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Misure con il sistema forzato
Lo scopo è verificare la validità del modello dell’oscillatore forzato.
Si sceglie un sistema massa–molla–disco le cui caratteristiche (m, ω0, γ) siano note
Si sottopone il sistema a una forzante esterna di frequenza angolare ω e si misura l’ampiezza di oscillazione nel
regime stazionario, al variare di ω
Ovviamente occorre assicurarsi che il transiente sia terminato!
Occorre inoltre controllare che, al variare della frequenza della forzante, la tensione del generatore resti costante: se
cosı̀ non fosse bisogna tenerne conto!
Alla fine dovreste avere una serie di coppie (ω; A) che
dovrebbero descrivere una lorenziana,
con massimo a
√
ωris = ω0 e larghezza FWHM = 2 3γ.
. . . Da confrontare con la lorenziana attesa dalle proprietà
del sistema (m, ω0, γ).
La scelta del sistema massa–molla–disco va fatta tenendo
conto della strumentazione in nostro possesso: il generatore non riesce a generare frequenze inferiori a 1 Hz, e
con l’oscilloscopio si riesce a misurare frequenze con precisioni ≈ 10−2 Hz. Vogliamo prendere diversi punti intorno
a νris all’interno della FWHM, e anche fuori da essa per
esplorare le code della lorenziana.
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Percorso dell’esperimento
a
(1 parte : sistema libero)
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Traccia
Ci sono a disposizione diverse molle, con caratteristiche meccaniche diverse. Per ciascuna di queste si svolgono le
seguenti misure
Misure statiche
Misure degli allungamenti, con diverse masse appese
(k)
(k)
⇒ dovreste avere per ciascuna molla diverse coppie m ; Y
Verifica della legge di Hooke e determinazione della costante elastica k
Misure dinamiche
Misura del periodo di oscillazione T per diverse masse appese.
(molla)
(k)
(k)
⇒ per ciascuna molla dovreste avere la massa della molla m
e diverse coppie m ; T
Verifica della relazione lineare fra m e T 2, estrazione della costante elastica k e dell’effetto inerziale della molla δm.
Controllo della compatibilità con il valore di k ottenuto dalle misure statiche.
Misura dello smorzamento: è come atteso?
⇒ i dati favoriscono Fattr ∝ v o Fattr ∝ v 2?
Provare a cambiare il disco frenante: come varia γ rispetto alla superficie del disco?
Alcuni accorgimenti pratici. . .
L’esperimento probabilmente si svolgerà in due giornate. Pertanto, attenti a non confondere le molle con quelle degli altri gruppi,
altrimenti confonderete anche i k e i δm.
I pesetti da applicare alla molla “sembrano” tutti uguali, ma non lo sono. Quando li pesate sulla bilancia, non confondete la
sequenza con cui li caricate sul porta-pesi.
Portatevi sempre a casa i dati prelevati: a casa potrete fare con comodo l’analisi (calcoli, fit lineari, etc), ma se perdete i dati dovrete
riprenderli in lab. Non fidatevi a lasciarli sul PC del lab . . . si potrebbe rompere!
Per le misure dinamiche, T e smorzamento si possono estrarre dalla stessa serie temporale, per velocizzare il tutto.
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Percorso dell’esperimento
a
(2 parte : sistema forzato)
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Traccia
Scopo: studio del moto forzato e osservazione della risonanza
Dovete scegliere il sistema massa–molla più adatto, cioè quello con ω0 e γ tali da poter produrre una risonanza
osservabile con i mezzi a disposizione.
Ricordiamo che il generatore può produrre frequenze & 1 Hz e che l’oscilloscopio fornisce misure con precisione
≈ 0.01 Hz.
La scelta di ω0 e γ viene ottimizzata con la scelta di una delle molle a disposizione (⇒ k), una massa appesa (⇒ m)
e un disco frenante (⇒ C ).
Nell’esperimento dovrete applicare diverse frequenze forzanti ω e misurare le ampiezze di oscillazione A del moto
stazionario. Per ogni ω impostata il segnale iniettato avrà un’ampiezza V misurabile con l’scilloscopio: non è detto
che V resti costante al variare di ω, controllate!
⇒ Avrete diverse triplette (ω, V , A) — oppure (ν, V , A) se volete lavorare in frequenza
Quindi dovrete confrontare i punti sperimentali con la lorenziana attesa
A(ω)
1
= costante × p
V (ω)
(ω 2 − ω02)2 + 4γ 2ω 2
. . . la costante può essere determinata cercando il miglior accordo fra i valori aspettati (A(ω)) e quelli osservati.
⇒ La curva di risonanza misurata assomiglia a quella attesa?
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Tips ’n’ tricks
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Uso di DataStudio (1)
Accedere al computer con l’account Studente (no password), lanciare DataStudio
dall’icona sul Desktop, scegliere Crea esperimento.
Otterrete la schermata raffigurata.
cliccando Imposta (in alto)
selezionate la Frequenza di
campionamento — frequenze più
alte dànno misure più precise della
posizione, attenzione però a non
eccedere 50 Hz (cioè un
campionameto ogni 0.02 s)
altrimenti il sonar non funziona più
correttamente
potete iniziare l’acquisizione
cliccando su Avvia (vicino a Imposta)
— il pulsante si trasforma in Arresta
e può essere usato per fermare
l’acquisizione.
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Uso di DataStudio (2)
Sul grafico ottenuto potete:
adattare gli assi alle dimensioni del
grafico, agendo sul 1o pulsante in
alto a sx (puntando col mouse
compare
Ridimensiona per adattare )
visualizzare alcune proprietà
collettive dei dati (min, max,
media,. . . ) attivando il pulsante Σ
( Mostra statistica )
effettuare misure locali attivando il
cursore (6o pulsante in alto da sx,
Puntatore di misura ): compare una
croce tratteggiata sullo schermo, che
può essere trascinata a piacere col
mouse (diventa una manina con due
frecce verticale e orizzontale);
spostando il cursore, indica sempre le
coordinate; quando si avvicina ad un
punto misurato “si attacca” ad esso;
si possono fare anche misure di
differenze (manina con una ∆)
esempio in figura: ∆t = 25.4999 s
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Uso di DataStudio (3)
Si può selezionare, inquadrandola col
mouse, una porzione di grafico (evidenziata in giallo)
Le proprietà collettive saranno ora riferite
solo alla porzine selezionata (es. utile
per misurare l’ampiezza di oscillazione locale. . . )
Cliccando su Ridimensiona per adattare
si ottiene uno zoom sulla regione selezionata.
NOTA: lo schermo può ospitare tutte le
acquisizioni svolte: per “spegnerne” alcune (senza perderle) usa il pulsante Dati
in alto.
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Uso di DataStudio (4)
Aprendo il meù tendina di fianco al pulsante Σ s può scegliere quali proprietà
mostrare, es. si uò attivare la deviazione standard (rms [], “Root of Mean
Square”).
In caso di oscillazioni stabili, per la misura
dell’ampiezza di oscillazione si può ottenere una maggiore precisione con la deviazione standard, piuttosto che usando
un singolo massimo locale.
Ricorda
che
se
Ak ≡ A(tk ) = √
A cos(ω0 tk + φ),
allora
rms [Ak ] = A/ 2
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Oscilloscopio (1)
L’oscilloscopio misura tensioni elettriche ∆V in funzione del tempo t e le rappresenta come un grafico.
Viene solitamente usato per visualizzare segnali periodici, che devono pertanto ripetersi sullo schermo, uguali per
successive scansioni.
Le scale orizzontale (tempo) e verticale (tensione) vengono scelte operando sui pomelli del pannello frontale,
VOLT/DIV e SEC/DIV I valori scelti vengono mostrati sullo schermo (che è diviso orizzontalmente in 10 divisioni e
verticalmente in 8 divisioni)
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Oscilloscopio (2)
Le successive scansioni vengono sincronizzate fra loro da un trigger, che sovrappone i
diversi grafici. Il trigger rileva gli istanti in cui il segnale supera una certa soglia in salita
(o in discesa, a scelta) e fa in modo che questi istanti vengano tutti allineati sullo stesso
punto dello schermo.
Normalmente, collegando un segnale alla porta (es. CH1) e schiacciando
AUTO SET l’oscilloscopio si configura nel modo migliore per visualizzalo.
Per segnali “lenti”, (pochi Hz) occorre procedere a mano:
premere AUTO SET
agire sulla manopola SEC/DIV fino a che poche oscillazioni sono rappresentate sullo
schermo (es. arrivare a 250 µs/div per avere una scansione di 2.5 s)
a questo punto vedrete un segnale che non si ripete uguale a sè stesso: ogni
scansione sarà sfasata rispetto a quella precedente
premere TRIG MENU, e dai pulsanti di fianco allo schermo impostare TRIG MODE
NORMAL (normalmente sarebbe AUTO)
Per effettuare misure sul segnale, si può selezionare il tasto MEASURE: il margine dx dello schermo riporterà le misure
impostate (quantità e canale, es. freq. e CH1) e con il corrispondente pulsante a fianco dello schermo è possibile
impostarne ciascuna.
Per esempio, nel nostro caso sarà utile impostare la misura di frequenza sul canale CH1 e anche la tensione “peak to
peak”: quest’ultima è utile per vedere se al variare della frequenza impostata la tensione massima è stabile o subisce
variazioni
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