MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03
Prove di esame del corso di
Metodi Matematici per l’Ec. e l’Az. 2
Esercizi di ALGEBRA LINEARE - parti B
1 - ESERCIZIO DEL 5 GIUGNO 2003
a) Enunciare il Teorema di Rouchè-Capelli.
b) Discutere l’applicazione del Teorema di Rouchè-Capelli al caso di SL omogenei.
c) Utilizzando i risultati del Teorema di R-C, discutere e risolvere il sistema
lineare Ax = b, al variare del parametro α ∈ R, dove:
·
¸
·
¸
1 2
1
A=
,b =
2 3
α
SOLUZIONE
c) Utilizzando i risultati del Teorema di R-C, discutere e risolvere il sistema
lineare Ax = b, al variare del parametro α ∈ R, dove:
·
¸
·
¸
1 2
1
A=
,b =
2 3
α
Si ha che r (A) = 2, poichè det (A) = −1 6= 0. Il r (A |b ) non dipende dal valore
di α ed è ancora pari a 2. Il sistema ammette un’unica soluzione data da:
·
¸·
¸ ·
¸
−3 2
1
2α − 3
x=
=
.
2 −1
α
−α + 2
2 - ESERCIZIO DEL 28 GENNAIO 2003
Una società di rating ha costruito la seguente
classi di rating:
AAA BBB
AAA 8/10 2/10
BBB 2/10 7/10
CCC
0
1/10
matrice di transizione tra diverse
CCC
1/10
2/10
7/10
Una banca possiede 100 obbligazioni corporate di rating AAA, 50 di rating BBB
e 20 di rating CCC.
a) Determinare la composizione del portafoglio della banca tra un periodo.
2
b) Per ogni titolo che fa un salto di classe di rating più elevata la banca realizza
un guadagno di 100E (se il salto è di due classi 130E), mentre per ogni titolo che
viene retrocesso realizza una perdita di 80E. Determinare i profitti/perdite realizzate
dalla banca dopo un periodo.
c) Determinare la composizione di lungo periodo del portafoglio clienti della
banca.
SOLUZIONE
a) La composizione del portafoglio della banca tra un periodo è data da:
92
8 2 1
100
1
2 7 2 50 = 59
10
19
0 1 7
20
b) Occorre determinare per ciascuna classe di rating quanti rimangono e quanti
passano di classe:
Passaggi di classe
2
AAA → BBB = 100 ∗ 10
= 20
2
BBB → AAA = 50 ∗ 10 = 10
1
=5
BBB → CCC = 50 ∗ 10
2
=4
CCC → BBB = 20 ∗ 10
1
CCC → AAA = 20 ∗ 10
=2
Profitti/Perdite
-20*80E = -1600E
+10*100E=+1000E
-5*80E=-400E
+4*100E=+400E
+2*130E=+260E
e quindi i profitti/perdite realizzate dopo un periodo ammontano a:
−1600 + 1000 − 400 + 400 + 260 = −340.0E
c) La composizione di lungo periodo del portafoglio clienti della banca è ottenuta
calcolando l’autovettore associato all’autovalore pari a 1. Per cui dobbiamo risolvere:
x1
0
8 2 1
1
2 7 2 − 1 ∗ I3 x2 = 0
10
x3
0
0 1 7
per cui:
e:
x1
0
8 2 1
2 7 2 − 10 ∗ I3 x2 = 0
0
x3
0 1 7
0
−2 2
1
x1
2 −3 2 x2 = 0
x3
0
0
1 −3
MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03
Operando l’eliminazione gaussiana (R2 = R2 + R1 e
R2 ), si ha:
−2 2
1 0
−2 2
0 −1 3 0 → 0 −1
0
1 −3 0
0
0
3
1 0
3 0
0 0
x2 = 3x3
2x1 − 2 (3x3 ) − x3 = 0
7
x1 = x3
2
e gli autovettori associati a λ = 1 sono dati da:
7
2t
3t
t
340
68
170
100 + 50 + 20
=
= 15 =
7
15
3
2 +3+1
2
238
3
68
3
68
3
= 68 =
x = 3 68
3
79. 333
68.0 .
22. 667
3- ESERCIZIO DEL 10 GIUGNO 2002
Una società di ricerche di mercato ha stimato la seguente matrice di transizione
P per descrivere il passaggio dei votanti da un gruppo politico (A, B) ad un altro:
P=
A
B
c) Determinare la distribuzione dei votanti nel lungo periodo.
SOLUZIONE
a) La distibuzione dei votanti dopo un periodo è ottenuta da:
¸
·
¸· 1 ¸ ·
0.55
0.9 0.2
2
=
x (1) = Px (0) =
1
0.45
0.1 0.8
2
= λ2 − 1. 7λ + 0.7 = 0
e t è scelto imponendo la condizione di normalizzazione:
2 3
λ1 = 1; λ2 = 0, 7
e quindi il gruppo A avrà la maggioranza (assoluta) nelle prossime elezioni.
b) L’equazione caratteristica per la matrice P è data da:
·
¸
0.9 − λ 0.2
det (P − λI) = det
0.1
0.8 − λ
e quindi:
e la distribuzione stazionaria è data da:
7 68
4
successivamente R3 = R3 +
da cui:
t=
MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03
B¸
· A
0, 9 0, 2
0, 1 0, 8
Alle ultime elezioni la distribuzione dei votanti tra le tre coalizioni era stata:
£ 50
¤T
50
x (0) = 100
100
a) Determinare quale partito raggiungerà una maggioranza relativa nelle prossime
elezioni.
b) Scrivere l’equazione caratteristica per la matrice P e verificare che gli autovalori sono:
che ha come soluzione λ1 = 1 e λ2 = 0.7, come richiesto.
c) Per determinare la distribuzione dei votanti nel lungo periodo si deve individuare la distribuzione stazionaria cioè l’autovettore con somma delle componenti
pari a 1 (100%) associato all’autovalore λ = 1. Si deve quindi risolvere:
Px =1x
da cui (P − I) x = 0, cioè:
·
−0.1 0.2
0.1
−0.2
¸·
x1
x2
¸
=
·
0
0
¸
da cui gli infiniti autovettori sono dati da:
· ¸
2
x =t
, t ∈ R/{0}
1
La distribuzione stazionaria è ottenuta in modo che la somma delle componenti sia
pari a 1, cioè:
t (2 + 1) = 1
da cui t = 1/3 e
x (∞) =
·
2
3
1
3
¸
e la coalizione A sarà maggioritaria nel lungo periodo con il 66% dei consensi.
4 - ESERCIZIO DEL20 FEBBRAIO 2003
MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03
• Si discuta al variare del parametro
geneo Ax = 0 dove
1
A= 1
2
5
reale k e si risolva il sistema lineare omo
0 −1
−1 −4
1
k
• Determinare l’equazione caratteristica e verificare che per i valori di k per cui
la matrice A non ha rango pieno, allora λ = 0 è un autovalore.
• Determinare gli autovettori associati a λ = 0.
SOLUZIONE
• La riduzione di A porta alla matrice
1 0
−1
0 −1 −3
0 0 1−k
perciò, se k 6= 1 si ha r(A) = 3 ed il sistema ammette la sola soluzione nulla.
Se invece k = 1 si ha r(A) = 2 per cui le soluzioni sono ∞1 ed esattamente
x3
S = x ∈ R3 : x = −3x3
x3
• Nel caso di k = 1, la matrice diviene:
1 0 −1
0 −1 −3
0 0
0
e l’equazione caratteristica è data da λ3 − λ = 0, da cui è immediato che λ = 0
è un autovalore.
1
• A questo autovalore corrispondono tutti gli autovettori multipli di −3 .
1
5 ESERCIZIO n. 1 DEL 27 OTTOBRE 2001
1) Siano A ∈ Rm,n e V = {x ∈ Rn : Ax = 0}. Dimostrare che V è uno spazio
vettoriale.
MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03
6
2) Un gestore di fondi ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di tre titoli
rispetto a 2 fattori di rischio:
Titolo 1
Titolo 2
Titolo 3
Fattore 1
1
-1
1
Fattore 2
-1
0
1
£
¤T
La composizione attuale del portafoglio è descritta dal vettore n = 1 1 1
e il
£
¤T
prezzo dei tre titoli è dato dal seguente vettore: P = 10 10 10 .
a) Verificare che la sensibilità del portafoglio ai due fattori di rischio è rispettivamente
1 e 0 e che il valore corrente del portafoglio è 30.
b) Dato che il gestore cerca di replicare un indice azionario che ha sensibilità al
primo fattore pari a 1 e sensibilità al secondo pari a -1, scrivere il sistema lineare
per determinare la nuova composizione.
c) Utilizzando il procedimento di eliminazione gaussiana, determinare quindi la composizione di portafoglio necessaria per replicare l’indice di mercato.
SOLUZIONE
V è sicuramente non vuoto e contiene il vettore nulllo di Rn . Se qs. è l’unico
elemento di V , V è uno s.v. banale di dimensione nulla. Nel caso il SL omogeneo
ammetta inifnite soluzioni, siano x e y ∈ Rn elementi di V . Quindi Ax=0 e Ay=0.
Per mostrare che V è uno spazio vettoriale verifichiamo le proprietà di chiusura
rispetto alla somma e alla moltiplicazione per uno scalare:
a) chiusura rispetto alla somma: mostriamo che x+y ∈ V :
A (x + y) = Ax + Ay
= 0+0
= 0
dove abbiamo utilizzato la proprietà distributiva rispetto alla somma e il fatto che
x e y∈ V.
b) chiusura rispetto alla moltiplicazione per uno scalare: mostriamo che αx ∈V, ∀α ∈
R:
A (αx) = Aαx = αAx =α0
2.
a) La sensibilità del portafoglio rispetto ai fattori di rischio la determino mediante
il prodotto:
ST n
MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03
7
dove S è la matrice delle sensibilità e n il vettore delle quantità dei titoli. Nel nostro
caso:
·
¸ 1
· ¸
1
−1 1
1
T
1 =
S n=
−1 0
1
0
1
£
¤
Quindi il vettore riga 1 0 rappresenta la sensibilità del portafoglio ai due fattori
di rischio.
Se P e n sono vettori colonna che raccolgono rispettivamente i prezzi dei diversi
titoli e le loro rispettive quantità, il valore corrente del portafoglio è ottenuto dal
prodotto tra il vettore riga PT e il vettore n:
£
¤ 1
T
P n = 10 10 10 1 = 30
1
b) Il gestore, per replicare
l’indice azionario, deve individuare una nuova com_
posizione di portafoglio n che sia soluzione del seguente sistema lineare:
· T ¸
1
_
S
n=
−1
PT
30
e cioè risolvere:
1
1
−1 1
_
−1 0
1 n= −1
30
10 10 10
c) Imposto il S.L. che risolvo mediante
¯
¯ 1
−1
¯
¯ −1 0
¯
¯ 10 10
riduzione canonica:
¯
1 1 ¯¯
1 −1 ¯¯
10 30 ¯
Con le operazioni R2 = R2 + R1 , R3 = R1 /10 − R1 si ottiene:
¯
¯
¯ 1 −1 1 1 ¯
¯
¯
¯ 0 −1 2 0 ¯
¯
¯
¯ 0 2
0 2 ¯
da cui si deduce n2 = 1, e quindi n3 = n2 /2 = 1/2 e n1 = n2 − n3 + 1 = 3/3. Quindi
la nuova composizione deve essere:
£
3
2
1
1
2
¤T
6 ESERCIZIO n. 2 DEL 27 OTTOBRE 2001
MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03
8
Una società di ricerche di mercato ha stimato la seguente matrice di transizione P
per descrivere il passaggio dei clienti da un’azienda automobilistica ad un’altra :
F
O
V
P=
9F
10
1
10
0
O V
0 0
8
1
10
10
2
10
9
10
1) Calcolare x (1) sapendo che dalle ultime ricerche di mercato la distribuzione percentuale dei clienti tra le tre aziende è:
¤T
£ 20
60
20
x (0) = 100
100
100
2) Scrivere l’equazione caratteristica per la matrice P e verificare che gli autovalori
sono:
9
7
; λ3 =
10
10
3) Determinare la distribuzione stazionaria del sistema.
4) Diagonalizzare la matrice di transizione, dato che gli autovettori associati a λ2
sono:
£
¤T
, t2 ∈ R\ {0}
xλ2 = t2 −1 0 1
λ1 = 1; λ2 =
e quelli associati a λ3 sono:
xλ3 = t3
£
0 −1 1
¤T
, t3 ∈ R\ {0}
SOLUZIONE
a) La distribuzione percentuale dei clienti tra le tre aziende tra un periodo sarà:
1 9
9
0
0. 18
10 0
5
50
1
8
1 3
13
=
= 0. 52
x (1) = Px (0) = 10 10 10
5
25
9
1
3
2
0
0. 3
10
10
5
10
b) L’equazione caratteristica per la matrice P è
9
0
10 − λ 0
8
1
1
−
λ
det (P − λI) = det 10
10
10
2
9
0
10
10 − λ
¶µ
¶
µ
7
17
9
−λ
− λ + λ2
=
10
10 10
223
13
63
−
λ + λ2 − λ3 = 0
=
100 100
5
e per sostituzione si verifica che
MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03
λ1 = 1; λ2 =
sono autovalori. Per esempio per λ3 =
7
10
9
9
7
; λ3 =
10
10
:
¶
µ
¶Ã
µ ¶2 !
µ
9
7
7
17 7
7
7
=
−
−
+
det P − I
10
10 10
10 10 10
10
µ ¶
2
1
=
(70 − 17 ∗ 7 + 49)
100 10
µ ¶
2
1
(70 − 119 + 49) = 0cvd
=
100 10
c) La distribuzione stazionaria del sistema si ottiene individuando l’autovettore
associato a λ = 1 con somma delle componenti pari a 1, cioè:
(P − I) x = 0
e quindi:
1
− 10
1
10
0
0
2
− 10
2
10
0
1
10
1
− 10
x = 0
e dalla prima e terza equazione si ottiene x1 = 0 e x2 = 12 x3 e quindi gli autovettori
associati a λ = 1 sono:
0
1
xλ1 = t 2 , t ∈ R/ {0}
1
e t si sceglie in modo che:
¶
µ
2
1
1
t 0 + + 1 = 1− > t = 3 =
2
3
2
La distribuzione stazionaria è quindi:
x (∞) =
0
1
3
2
3
, t ∈ R/ {0}
d) La matrice è diagonalizzabile poichè ha autovalori distinti. Quindi si ha
(scegliendo per comodità t = 2 per xλ1 e t2 = 1 e t3 = 1per gli altri due autovalori):
0 −1 0
1 0 0
9
X= 1 0
−1 ; D = 0 10 0
7
0 0
2 1
1
10
MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03
10
Con il procedimento di calcolo dell’inversa di Gauss-Jordan si ottiene:
1
1
1
e quindi P è diagonalizzabile
0 −1
P = 1 0
2 1
3
3
1
3
0
− 23
X−1 = −1
nella forma:
0
1 0
9
−1 0 10
0 0
1
3
0
1
3
1
0
3
0 −1
7
10
1
3
1
3
0
− 23
Osservazione: Nel caso come matrice X si fosse scelta:=
2
3
2
3
1
3
0
− 23
X−1 = −1
2
3
1
3
0
1
3
0
1
2
1
−1 0
0
−1 allora
1
1
0
1
3
una variazione positiva dei tassi comporterà una variazione positiva del valore
netto del portafoglio.
7 ESERCIZIO DEL 10 GENNAIO 2002
Un gestore ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di due titoli rispetto
ad un fattore di rischio:
F1
∆P1 0.2
∆P2 -1
dove ∆Pi , i=1, 2, indica la variazione del prezzo del titolo i e F il fattore di rischio
(quindi ∆P1 ' 0.2 ∗ F1 e ∆P2 ' −1 ∗ F1 ). La composizione attuale del portafoglio
è data dal vettore nT = [10, 10]. I prezzi dei due titoli sono raccolti nel vettore
PT = [100, 100].
• Determinare il valore del portafoglio e la sua sensibilità al fattore di rischio.
Stabilire se un aumento in F1 comporta una variazione positiva o negativa nel
valore del portafoglio.
• Il gestore intende costruire un portafoglio che replica un indice azionario di
riferimento caratterizzato da una sensibilità pari a 0.1 al fattore di rischio.
Impostare il S.L. per determinare la nuova composizione del portafoglio.
• Se possibile, risolvere con Cramer, il S.L. del punto precedente.
SOLUZIONE
Un gestore ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di due titoli rispetto
ad un fattore di rischio
MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03
∆P1
∆P2
11
F1
0.2
-0.1
dove ∆Pi , i=1, 2, indica la variazione del prezzo del titolo i e F il fattore di
rischio (quindi ∆P1 ' 0.2 ∗ F1 e ∆P2 ' −0.1 ∗ F1 ). La composizione attuale del
portafoglio è data dal vettore nT = [10, 10]. I prezzi (in Euro) dei due titoli sono
raccolti nel vettore PT = [100, 100].
• Il valore V del portafoglio e la sua sensibilità sono date da:
·
¸
£
¤ 100
V = nT P = 10 10
= 2000
100
∆V = n1 ∆P1 + n2 ∆P2
' n1 ∗ 0.2 ∗ F1 + n2 ∗ (−1) ∗ F1
= (n1 ∗ 0.2 − n2 ∗ 1) ∗ F1
= (10 ∗ 0.2 − 10 ∗ 1) ∗ F1
= −8 ∗ F1
La sensibilità del portafoglio è quindi pari a -8 . Di conseguenza un aumento
nel valore di F1 determina una riduzione nel valore del portafoglio.
• Il SL che è soluzione del problema del gestore è dato da:
¸
·
¸· _ ¸ ·
2000
100 100
n
_1
=
n2
0.1
0.2 −1
·
¸
100 100
• Poichè il det
= −120 6= 0, , il sistema ammette un’unica soluzione
0.2 −1
_
n, calcolabile con il metodo di Cramer e data da:
·
¸
2000 100
det
0.1
−1
_
−2010
67
·
¸ =
=
= 16. 75
n1 =
−120
4
100 100
det
0.2 −1
·
¸
100 2000
det
0.2 0.1
_
13
−390
·
¸ =
=
= 3. 25
n2 =
−120
4
100 100
det
0.2 −1
8 - ESERCIZIO DEL 24 GIUGNO 2002
MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03
12
Un gestore di fondi ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di tre titoli
rispetto a 2 fattori di rischio:
Titolo 1
Titolo 2
Titolo 3
Fattore 1
0,2
-2
2
Fattore 2
-0,5
0
-1
£
¤T
La composizione attuale del portafoglio è descritta dal vettore n = 1 1 1
e il
£
¤T
prezzo dei tre titoli è dato dal seguente vettore: P = 10 10 10 .
a) Determinare la sensibilità del portafoglio ai due fattori di rischio e il valore corrente del portafoglio.
b) Dato che il gestore cerca di replicare un indice azionario che ha sensibilità al
primo fattore pari a 1 e sensibilità al secondo pari a -1, scrivere il sistema lineare
per determinare la nuova composizione.
c) Utilizzando il procedimento di eliminazione gaussiana, determinare quindi la composizione di portafoglio necessaria per replicare l’indice di mercato.
SOLUZIONE
a) La sensibilità del portafoglio ai due fattori di rischio e il valore corrente del
portafoglio si calcolano mediante i seguenti prodotti vettoriali:
T
1
0.2 −0.5
1
Sens. P ort. = −2 0
1
2
−1
·
¸ 1
. 2 −2 2
1
=
−. 5 0 −1
1
·
¸
0. 2
=
−1. 5
T
10
1
10 1
10
1
£
¤ 1
=
10 10 10 1
1
= 30
V alore P ort. =
Il sistema lineare che il gestore deve risolvere per replicare l’indice azionario è dato
da:
30
n1
10 10 10
2 −2 2 n2 = 1
10
n3
− 12 0 −1
−1
MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03
13
dove ni , i = 1, 2, 3, sono le quantità da determinare dei tre titoli.
c) Partendo dalla seguente matrice completa,
10 10 10 30
2 −2 2
1
10
− 12 0 −1 −1
le operazioni necessarie per ricondursi alla forma canonica sono:
Passo 1:
R1 = R1 /10
da cui la matrice
Passo 2:
1
2
10
− 12
1
1
3
−2 2
1
0 −1 −1
R1 = R1 /10
µ
¶
−5
2
R2 =
R2 − R1
11
10
µ
¶
1
R3 = 2 R3 + R1
2
da cui si ottiene la matrice:
Passo 3:
1 1
1
0 1 −9
11
0 1 −1
3
4
− 22
1
11
R3 = − (R3 − R2 )
2
da cui la matrice in forma ridotta diviene:
1 1
1
3
0 1 −9 −4
11
22
0 0
1
− 26
4
Il rango della matrice dei coefficienti è pari a 3 ed uguale a quello della matrice
completa. Si ha quindi un’unica soluzione. Procedendo a ritroso, la soluzione è
quindi data da:
15
15
n1
n2 = − 11 = −5. 5
2
n3
− 13
−6. 5
2
9 - ESERCIZIO n. 1 DEL 6 DICEMBRE 2002
Un gestore ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di tre titoli rispetto
ad un fattore di rischio
MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03
∆P1
∆P2
∆P3
14
∆F1
0.2
-1
0.5
dove ∆Pi , i=1, 2, 3, indica la variazione del prezzo del titolo i e ∆F quella del
fattore di rischio.
a) Assegnata una composizione n = [n1 , n2 , n3 ]T , scrivere in termini di n1 , n2
e n3 la sensibilità di portafoglio. Dato che si intende immunizzare il portafoglio
scrivere l’equazione che deve essere soddisfatta dal vettore n.
b) Dato che il vettore dei prezzi dei tre titoli è descritto dal vettore P =
[15, 10, 5]T , il gestore decide di investire nel titolo 2 un ammontare di capitale doppio
rispetto a quello complessivamente investito nel titolo 1 e nel titolo 3. Tenuto conto
della condizione di immunizzazione del punto precedente, scrivere il sistema che deve
essere soddisfatto dal vettore n. Quante soluzioni avrebbe questo sistema? Individuarle.
c) Date le infinite soluzioni del punto precedente, determinare l’ammontare di
cui deve disporre il gestore dato che intende investire nel titolo 3 esattamente 150E.
SOLUZIONE
a) Data la composizione n = [n1 , n2 , n3 ]T , la sensibilità di portafoglio è data da:
β π = 0.2n1 + (−1) n2 + 0.5n3
e la condizione di immunizzazione è data da:
0.2n1 + (−1) n2 + 0.5n3 = 0
b) L’equazione che descrive il vincolo sull’ammontare da investire nel titolo 2 è
data da:
10n2 = 2 (15n1 + 5n3 )
Insieme all’equazione di cui al punto a si ha:
0.2n1 + (−1) n2 + 0.5n3 = 0
−30n1 + 10n2 − 10n3 = 0
o in forma matriciale:
·
0.2 −1 0.5
−30 10 −10
¸
· ¸
n1
n2 = 0
0
n3
MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03
15
Possiamo studiare il sistema utilizzando le seguenti operazioni sulla matrice dei
coefficienti:
·
¸
0.2 −1 0.5 0
−30 10 −10 0
R1 = R1 /0.2; R2 = R2 / (−10)
·
¸
1 −5 52 0
3 −1 1 0
R2 = R2 − 3R1
¸
·
5
0
1 −5
2
13
0 14 − 2 0
R2 = R2 / (14)
·
¸
5
1 −5
0
2
13
0 1 − 28 0
Quindi r (A) = 2 ed essendo il sistema omogeneo le infinite ∞1 soluzioni sarebbero:
13
5
n1
5 28 t − 52 t
− 28
13
13
n2 =
= t
28 t
28
n3
1
t
c) Se il gestore intende investire nel titolo 3 esattamente 150E, allora:
n3 P3 = 150
da cui:
t5 = 150
cioè:
150
= 30
5
Di conseguenza la composizione desiderata di portafoglio è data da:
75
5
n1
− 28
− 14
−5.357 1
13
195
n = n2 = 30 28 = 14 = 13.929
n3
1
30
30.0
t=
e il capitale di cui il gestore deve disporre ammonta a:
¤ 15
£
195
10 = 2925 = 208.93E
30
nT P = − 75
14
14
14
5
10 - ESERCIZIO n. 2 DEL 6 DICEMBRE 2002
Una società di ricerche di mercato ha stimato la seguente matrice di transizione P
per descrivere il passaggio dei clienti tra tre diverse aziende (A, B e C):
MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03
P=
16
8A B C
0
10 0
2
8
1
10 10
10
9
2
0
10
10
A
B
C
1) Scrivere l’equazione caratteristica per la matrice P e verificare che gli autovalori
sono:
4
7
λ1 = 1; λ2 = ; λ3 =
5
10
2) Dato che
x (0) =
£
20 60 20
¤T
determinare la distribuzione stazionaria del sistema.
3) La dinamica da un periodo all’altro sarebbe data da x (t) = Px (t − 1).
Come si modificherebbe questa equazione se ogni periodo entrassero 3 nuovi clienti
nell’azienda A, 2 in quella B e nessuno nella C?
SOLUZIONE
1) L’equazione caratteristica per la matrice P è data da:
8
0
10 − λ 0
8
2
1
det (P − λI) = det 10
10 − λ 10
9
2
0
10
10 − λ
14
5
103
λ+
= −λ3 + λ2 −
2
50
25
= 2.5λ2 − 2.06λ − 1.0λ3 + 0.56 = 0
Per sostituzione nell’equazione caratteristica si verifica che gli autovalori sono dati
da:
4
7
λ1 = 1; λ2 = ; λ3 =
5
10
14
5
103
(1) +
=0
λ1 = 1 : − (1)3 + (1)2 −
2
50
25
µ ¶3
µ ¶
µ ¶
4
4
5 4 2 103 4
14
+
−
:−
+
=0
λ2 =
5
5
2 5
50 5
25
µ ¶3
µ ¶2
µ ¶
7
14
7
5 7
103 7
:−
+
=0
+
−
λ3 =
10
10
2 10
50 10
25
2) La distribuzione stazionaria del sistema è l’autovettore associato a λ=1:
2
− 10
0
0
2
1
2
x = 0
− 10
10
10
2
1
0
− 10
10
MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03
da cui:
17
−2 0
0
2
−2 1 x = 0
0
2
−1
Con l’operazione R2 = R2 + R1 si ottiene:
−2 0
0
0
−2 1 x = 0
0
2
−1
e quindi con R3 = R3 + R2 :
Di conseguenza si ha:
−2 0
0
0
−2 1 x = 0
0
0
0
−2x1 = 0
−2x2 + x3 = 0
T itolo 1
T itolo 2
18
F1
0.2
-0.1
dove ∆Pi , i=1, 2, indica la variazione del prezzo del titolo i e ∆F del fattore di
rischio (quindi ∆P1 ' 0.2 ∗ ∆F1 e ∆P2 ' −0.1 ∗ ∆F1 ). La composizione attuale del
portafoglio è data dal vettore nT = [10, 10]. I prezzi (in Euro) dei due titoli sono
raccolti nel vettore PT = [100, 100].
• Determinare il valore del portafoglio e la sua sensibilità al fattore di rischio.
Stabilire se un aumento in F1 comporta una variazione positiva o negativa nel
valore del portafoglio.
• Il gestore intende costruire un portafoglio che replica un indice azionario di
riferimento caratterizzato da una sensibilità pari a 0.1 al fattore di rischio.
Impostare il S.L. per determinare la nuova composizione del portafoglio.
• Se possibile, risolvere con Cramer, il S.L. del punto precedente.
SOLUZIONE
cioè gli autovettori sono dati da:
x =
0
t
2
t
Per individuare la distribuzione stazionaria del sistema si deve scegliere t in modo
che:
t
+ t = 40 + 40 + 20
2
cioè t = 200/3 e quindi:
0
100
x =
3
200
3
3) Con l’ingresso di nuovi clienti si dovrebbe scrivere:
x (t) = Px (t − 1) + b
dove
MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03
3
b= 2
0
11 - ESERCIZIO DEL 10 GENNAIO 2002
Un gestore ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di due titoli rispetto
ad un fattore di rischio:
• Il valore V del portafoglio e la sua sensibilità sono date da:
·
¸
£
¤ 100
= 2000
V = nT P = 10 10
100
∆V = n1 ∆P1 + n2 ∆P2
' n1 ∗ 0.2 ∗ F1 + n2 ∗ (−0.1) ∗ ∆F1
= (n1 ∗ 0.2 − n2 ∗ 0.1) ∗ ∆F1
= (10 ∗ 0.2 − 10 ∗ 0.1) ∗ ∆F1
= 1 ∗ ∆F1
La sensibilità del portafoglio è quindi pari a 1 . Di conseguenza una variazione positiva del fattore di rischio, ∆F > 0, determina un aumento nel valore
del portafoglio.
• Il SL che è soluzione del problema del gestore è dato da:
¸
·
¸· _ ¸ ·
n
2000
100 100
_1
=
n2
0.1
0.2 −0.1
MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03
19
¸
100 100
= −30.0 6= 0, , il sistema ammette un’unica
0.2 −0.1
_
soluzione n, calcolabile con il metodo di Cramer e data da:
·
¸
2000 100
det
0.1
−0.1
_
−210.0
·
¸ =
=7
n1 =
−30
100 100
det
0.2 −0.1
·
¸
100 2000
det
0.2 0.1
_
−390
·
¸=
= 13
n2 =
−30
100 100
det
0.2 −0.1
• Poichè il det
·
12 - ESERCIZIO DEL 16 SETTEMBRE
a) Si consideri la matrice:
1 −2
A = −1 2
0
0
2003
2
1
−1
a) Calcolarne autovalori ed autovettori.
£
¤
b) Determinare per quali valori di α il vettore vT = α − 1 α 1 è un autovettore di A;
c) Senza calcoli, giustificare perchè λ = 0 è un autovalore di A.
SOLUZIONE
a) L’equazione caratteristica di A è dato da:
λ3 − 2λ2 − 3λ = 0
da cui:
¢
¡
λ λ2 − 2λ − 3 = 0
e le radici sono date da λ1 = 0, λ2 = −1 e λ3 = 3. Gli autovettori sono per t ∈ R/0:
• λ1 = 0 :
xλ1 =0
• λ2 = −1 :
2
= t 1 ;
0
−2
xλ2 =−1 = t −1 ;
1
MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03
• λ3 = 3 :
20
1
xλ3 =3 = t −1 ;
0
b) Se v è un autovettore di A, allora:
1 −2 2
−1 2
1 v = λv
0
0 −1
da cui:
cioé :
−α + 1
α−1
0
α + 2 − λ α = 0 ,
−1
1
0
−α + λ (−α + 1) + 1
0
= 0
α − αλ + 2
−λ − 1
0
Il sistema può essere verificato solo se λ = −1 è un autovalore di A. Infatti qs.
condizione è verificata. Sostituendo quindi λ = 1, si ottiene:
−1 + 1
0
2α + 2 = 0
0
0
e quindi α = −1.
c) Poichè det (A) = 0, la terza riga è somma delle prime due righe, allora A deve
ammettere un autovalore nullo.
