Esempi di applicazione del primo principio della termodinamica in forma sostanziale
Calcolo temperatura di scarico
Determinare la temperatura media Tsf dei gas scaricati da un motore alternativo a
4T (avente spazio morto trascurabile), note le condizioni di pressione e
temperatura all'interno della camera di combustione al termine della fase/corsa di
espansione, p4 = 400 kPa, T4 = 1500 K.
Supporre trascurabili gli scambi termici con le pareti e con l'ambiente esterno ed
ipotizzare che la pressione pr all'interno del cilindro si mantenga costante e pari
a 110 kPa per tutta la durata della fase/corsa di espulsione.
Ipotizzare per semplicità che l'apertura e la chiusura della valvola di scarico
avvengano istantaneamente in corrispondenza dei punti morti, e che i gas
combusti si comportino come un gas perfetto ideale con k' = c'p c'v = 1.4 .
Soluzione
Per determinare la temperatura Tsf si può applicare il primo principio della
termodinamica, scritto in forma sostanziale, al sistema costituito dalla massa di
fluido m4 inizialmente contenuta all'interno del cilindro, seguendone l'evoluzione
tra gli istanti iniziale tin e finale tfin della fase di scarico:
Q = Le + ∆U* +∆Ec + ∆Eg + ∆Ecf
Si ha inoltre:
Q≅0
(scambi di calore con l'esterno trascurabili)
∆Uch = 0 ⇒ ∆U*=∆U
(assenza di trasformazioni chimiche)
∆Ec ≅ 0
(fluido in quiete sia all'interno del cilindro all'istante
iniziale tin, sia all'esterno del cilindro all'istante finale
tfin, istante in cui si suppone che il fluido abbia
ormai dissipato l'energia cinetica acquisita nel corso
dell'efflusso)
∆Eg ≅ 0
(variazioni di energia potenziale gravitazionale
trascurabili trattandosi di un aeriforme)
∆Ecf = 0
(sistema di riferimento inerziale)
Pertanto l'equazione precedente si riduce a:
Le + ∆U = 0
Si possono a questo punto analizzare, uno alla volta, i termini residui.
∆U = U fin − U in
•
Supponendo che i gas scaricati dal motore si
comportino come un gas perfetto ideale, si avrà:
∆U = U fin − U in = m 4c'v ( Tf − T4 )
Le = ∫ ∫ ΠdA ⋅ dS
•
S A
E' opportuno scindere il lavoro esterno Le nei due termini seguenti:
-
Le1:
lavoro compiuto dal sistema all'esterno del cilindro.
-
Le2:
lavoro compiuto dal sistema all'interno del cilindro.
- Le1:
supposto trascurabile il lavoro compiuto dagli sforzi viscosi sulla
superficie Ae di contorno del sistema all'esterno del cilindro, ed essendo inoltre
su tale superficie la pressione costante e pari a pest, si ottiene:
Le1 =
∫ ∫ ΠdA ⋅ dS
Se A e
= pest ∫ dV = pest [V fin − Vin ] = pest [V fin − 0] = pestV fin
Il volume Vfin (volume occupato nell'ambiente esterno, all'istante finale tfin, dalla
massa m4) può essere espresso grazie all'equazione di stato dei gas perfetti come:
pest Vfin = m 4R ' Tsf
-
Le2: l'unica porzione mobile della superficie Ai di contorno del sistema
all'interno del cilindro è rappresentata dall'area Ac del cielo dello stantuffo.
Dal momento che gli spostamenti di tale superficie avvengono lungo una
direzione coincidente con la normale alla superficie medesima, nel computo di
Le2 si dovranno considerare unicamente le componenti normali delle forze di
superficie, in quanto le componenti tangenziali non compiono lavoro.
Essendo inoltre su Ac la pressione costante e pari a pr, si ottiene:
0
0
c
c
Le2 = ∫ ∫ ΠdA ⋅ dS = ∫ p r A c dx = pr Ac ∫ dx = − prV
Si Ai
dove la coordinata x rappresenta lo spostamento dello stantuffo dal PMS, e V è la
cilindrata del motore, coincidente, data l'ipotesi di spazio morto trascurabile, con
il volume V4 occupato all'interno del cilindro dalla massa m4 all'istante iniziale
tin, ed esprimibile pertanto come:
V = V4 = m 4
R ' T4
p4
Sostituendo nell'equazione dell'energia si ha quindi:
Le + ∆U = 0
p
m4 R ' T − r T + m4 c' (T − T4 ) = 0
sf
4
v sf
p4
Tsf =
T4
k'
pr
1 + (k '−1) p = 1189 K
4
Calcolo semplificato coefficiente di riempimento
Calcolare il coefficiente di riempimento di un motore ad accensione per
compressione, a 4 tempi, nelle ipotesi semplificative che la chiusura della valvola
di scarico e l'apertura e la chiusura di quella d'aspirazione avvengano ai punti
morti, che non vi siano fughe di gas nè scambi di calore con le pareti e che
durante la corsa di aspirazione la pressione all'interno del cilindro si mantenga
costante e pari a pi = 0.9 pa .
Si assumano: condizioni ambiente standard, pressione dei gas residui
p r = 1.1 pa , rapporto di compressione ε = 20, cp' = cp = 1004 J/kgK,
k ′ = k = 1. 4 .
Soluzione
Applicando il primo principio della termodinamica, scritto in forma sostanziale,
al sistema costituito dalla massa m1 di fluido contenuta all'interno del cilindro al
termine della fase di aspirazione e seguendo l'evoluzione di tale massa tra gli
istanti iniziale tin e finale tfin della fase di aspirazione, si ha:
Q = Le + ∆U* +∆Ec + ∆Eg + ∆Ecf
Si ha inoltre:
Q≅0
(scambi di calore con le pareti trascurabili)
∆Uch = 0 ⇒ ∆U* = ∆U
(assenza di trasformazioni chimiche)
∆Ec ≅ 0
(fluido in quiete sia nell'ambiente di aspirazione
all'istante tin, sia all'interno del cilindro all'istante
finale tfin)
∆Eg ≅ 0
(variazioni di energia potenziale gravitazionale
trascurabili rispetto agli altri termini dell'equazione,
trattandosi di un aeriforme)
∆Ecf = 0
(sistema di riferimento inerziale)
Pertanto l'equazione precedente si riduce a:
Le + ∆U = 0
Si possono a questo punto analizzare, uno alla volta, i termini residui.
∆U = U fin − U in
•
Supponendo che tanto l'aria quanto i gas residui si
comportino come gas perfetti ideali, con cv = cv', si avrà:
∆U = U fin − U in = m acv ( T1 − Ta ) + m r cv ( T1 − Tr )
avendo indicato con T1 la temperatura della massa di fluido contenuta all'interno
del cilindro al termine della fase di apirazione, con Ta al temperatura dell'aria
nell'ambiente di aspirazione, con Tr la temperatura iniziale dei gas residui.
Le = ∫ ∫ ΠdA ⋅ dS
•
S A
E' opportuno scindere il lavoro esterno Le nei due termini seguenti:
-
Le1:
lavoro compiuto dal sistema all'esterno del cilindro.
-
Le2:
lavoro compiuto dal sistema all'interno del cilindro.
- Le1:
supposto trascurabile il lavoro compiuto dagli sforzi viscosi sulla
sulla superficie Ae di contorno del sistema all'esterno del cilindro, ed essendo
inoltre su tale superficie la pressione costante e pari a pa, si ottiene:
Le1 =
∫ ∫ ΠdA ⋅ dS
Se A e
= pa ∫ dV = p a [Vefin − Vein ] = − paVein
Ve
avendo indicato con Vein il volume occupato nell'ambiente di aspirazione dalla
massa ma all'istante iniziale tin.
-
Le2: l'unica porzione mobile della superficie Ai di contorno del sistema
all'interno del cilindro è rappresentata dall'area Ac del cielo dello stantuffo, sulla
quale la pressione pi si mantiene per ipotesi costante e pari a 0.9 pa. Si ha
pertanto:
c
c
0
0
Le2 = ∫ ∫ ΠdA ⋅ dS = ∫ p i A c dx = pi Ac ∫ dx = piV
Si Ai
dove V è la cilindrata del motore.
Si ottiene così:
Le = Le1 + Le2 = − paVein + piV
Sostituendo nell'equazione dell'energia si ha quindi:
Le + ∆U = 0
− paVein + piV +m acv ( T1 − Ta ) + m r cv ( T1 − Tr ) = 0
( m a + m r )cv T1 − m acv Ta − m r cv Tr − paVein + piV = 0
m1cv T1 − m acv Ta − m r cv Tr − paVein + piV = 0
Applicando l'equazione di stato dei gas perfetti si ha inoltre:
ε
V)
ε −1
pV
m1 = 1 1
RT1
(dove p1 = pi e V1 =
pV
mr = r r
RTr
(dove p r = 11
. pa e Vr =
1
V)
ε −1
Introducendo quindi il coefficiente di riempimento λv, si ha ancora:
λv =
ma
p V
⇒ ma = λ v a
paV
RTa
RTa
p V
p V
Essendo infine m a = a ein = λ v a , risulta: paVein = λ v paV
RTa
RTa
Sostituendo nell'equazione dell'energia si ha quindi:
prV 1
p V
ε
cv Tr − λ v paV + piV = 0
cv T1 − λ v a cv Ta −
RTr ε − 1
RT1 ε − 1
RTa
piV
λv =
pi
pa
( p r pi ) − 1
1 − k (ε − 1) = 0.892
