metodi matematici della fisica - cm

Revisione
giu. 2017
www.cm-physmath.net
Risultati e applicazioni con i
METODI MATEMATICI DELLA FISICA
claudio magno
CM_Portable PHYS Notebook Series™
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
Royce K. P. Zia (1942-)
Professor of Physics, Emeritus, Virginia Tech, Blacksburg, VA, USA.
1
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
2
Funzioni Armoniche Sferiche
dalla soluzione generale dell’Equazione DDP di Laplace
Con il metodo di separazione delle variabili, l’Equazione di Laplace in coordinate sferiche,
 1 ∂  2 ∂ 
1
∂ 
∂ 
1
∂2 
r
+
sin
θ
+




 Φ (r , θ , ϕ ) = 0 ,
2
2
∂θ  r 2 ( sin θ )2 ∂ϕ 2 
 r ∂r  ∂r  r sin θ ∂θ 
∇ 2Φ (r , θ , ϕ ) ≡ 
in cui, {r , θ , ϕ } ∈ R + × [ 0 , π ] × [ 0 , 2 π ) , ha la soluzione generale – la funzione potenziale a valori
in C – rappresentabile in serie di prodotti di auto-funzioni:
Φ (r , θ , ϕ ) ≡ R (r ) Θ (θ ) F (ϕ )
+∞
l
(
= ∑ ∑ (α l r l + β l /r l + 1 ) ⋅
l = 0 m = −l
↲
↳ ⋅ (K l , m Pl , m (cos θ ) + N l , m Ql , m (cos θ )) (C l , m cos (mϕ ) + S l , m sin (mϕ ))
).
(1)
Assumendo – opportunamente – {l , m } ∈ Z 0+ × { 0, 1, ..., l } ( ⇒ m ≥ 0 ), la teoria dà, nell’Eq. (1),
Pl , m (cos θ ) := (1 − u 2 )m / 2
dm
Pl (u )
du m
,
(1.1)
u = cos θ
la Funzione di Legendre Associata regolare (o di 1º tipo), di ordine l e di rango m , la quale
generalizza il Polinomio di Legendre di grado l , Pl , 0 (cos θ ) ≡ Pl (cos θ ) . Questo viene definito
dall’espansione
Pl (cos θ ) :=
1 l / 2 (− 1)k (2 (l − k ))! l − 2k
∑
u
2 l k = 0 k !(l − k )!(l − 2 k )!
,
(1.2)
u = cos θ
dove, l /2 indica la parte intera (floor function) di l /2 (e.g., 13 π /7 = 5 ).
□
Sostituendo l’espressione (1.2) nella (1.1), eseguendo la derivazione m-sima indicata e vincolando la non-negatività del
parametro l − m − 2 k – sia esponente che argomento di fattoriale nel calcolo – si determina ordinatamente
l / 2
Pl , m (u ) =
(1 − u 2 )m / 2
2l
( − 1)k (2 (l − k ))! d m l − 2k
u
m
k = 0 k !(l − k )!(l − 2 k )! du
≡
(1 − u 2 )m / 2
2l
l / 2
֏
∑
( − 1)k (2 (l − k ))!
(l − 2 k ) (l − 2 k − 1) (l − 2 k − 2) … (l − 2 k − m + 1) u l − 2k − m
k = 0 k !(l − k )!(l − 2 k )!
(1 − u 2 )m / 2
2l
∑
 (l − m ) / 2
∑
k =0
( − 1)k (2 (l − k ))!
u l − m − 2k .
k !(l − k )!(l − m − 2 k )!
□
Allora, per θ ∈ [ 0 , π ] e u ≡ cos θ , risulta la rappresentazione goniometrica
Pl , m (cos θ ) =
( sin θ )m
2l
 (l − m )/ 2
∑
k =0
(− 1)k (2 (l − k ))!
(cos θ ) l − m − 2k .
k !(l − k )!(l − m − 2 k )!
(1.3)
Vs. l’insieme { − m } , simmetrico di {m } (con la condizione 0 ≤ m ≤ l ), vale l’identità
Pl , −m (cos θ ) = ( − 1)m
(l − m )!
Pl , m (cos θ ) .
(l + m )!
(1.4)
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
3
Analogamente, viene definita la funzione irregolare
Ql , m (cos θ ) := (1 − u )
2 m /2
dm
Ql (u )
du m
,
(1.5)
u = cos θ
nota come la Funzione di Legendre irregolare (o di 2º tipo), di ordine l e di rango m , dedotta dalla
Funzione di Legendre di 2º tipo di ordine l e di rango 0, Ql , 0 (cos θ ) ≡ Ql (cos θ ) .
Identità utili sono:
1 1 + cos θ
,
ln
2 1 − cos θ
Q 0 (cos θ ) := coth −1 (cos θ ) ≡
Ql (cos θ )
(1.5.1)
(1 − (− 1)l + k ) (2 k + 1)
Pk (cos θ ) ,
(l + k + 1) (l − k )
k =0
l −1
l ≥1
= Pl (cos θ ) ⋅ Q 0 (cos θ ) − ∑
Ql , −m (cos θ ) = ( − 1)m
(l − m )!
Ql , m (cos θ ) .
(l + m )!
(1.5.2)
(1.5.3)
Dall’Eq. generatrice (1.5), si vede immediatamente che le funzioni Ql , m (cos θ ) posseggono due
singolarità logaritmiche sull’asse Ζ , per θ ≡ 0 , π , rispettivamente. Questo fatto implica che la
richiesta di regolarità dell’Eq. (1) in tutto R 3 è equivalente al vincolo N l , m ≡ 0 , ∀ {l , m } , così che
la forma regolare massimale di Φ (r , θ , ϕ ) è
+∞
l
Φ (r , θ , ϕ ) = ∑ ∑ (α l r l + β l /r l + 1 ) (K l , m Pl , m (cos θ )) (C l , m cos (mϕ ) + S l , m sin (mϕ )) .
(2)
l =0 m =0
La richiesta ulteriore – fondamentale in Fisica Quantistica – di orto-normalità di entrambi i fattori
angolari nell’Eq. (2) assegna, ∀ {l , m } ⊂ Z 0+ ∧ m ∈ { 0, 1, ..., l } , secondo la convenzione di fase
CSW (Condon-Shortley-Wigner),
1/2
K l,m
 (2l + 1) (l − m )! 
≡ (
− 1) 
 ,
4
(
)!
π
l
+
m


CSW
m
C l,m ≡ 1 ,
Sl,m ≡ i .
(2.1)
Con questi valori parametrici, viene determinata la Funzione Armonica Sferica orto-normalizzata di
ordine l e di rango m ,
1/2
 (2l + 1) (l − m )! 
Yl , m (θ , ϕ ) := (− 1) 
Pl , m (cos θ )e im ϕ ,

 4 π (l + m )! 
m
(3)
orto-normalizzata, s’è detto, vs. sia θ che ϕ .
□
Considerazioni di simmetria fanno, poi, estendere la soluzione regolare (2) alla forma complessa
+∞
l
Φ (r , θ , ϕ ) = ∑ (α l r l + β l /r l + 1 ) ∑ Yl , m (θ , ϕ )
l =0
m = −l
+∞
≡ Y 0, 0 (θ , ϕ ) ∑ (α l r l + β l /r l + 1 ) +
l =0
↳
↲
+∞
l
l =1
m =0
+ ∑ (α l r l + β l /r l + 1 ) ∑ (Y l , m (θ , ϕ ) + Y l , −m (θ , ϕ )) .
(4)
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
4
La coniugazione di Y l ,m (θ , ϕ ) fornisce l’identità, necessaria per Y l , −m (θ , ϕ ) nell’Eq. (4):
Y l , −m (θ , ϕ ) ≡ (− 1) mY l∗, m (θ , ϕ ) .
(5)
La separabilità reciproca delle variabili sferiche implica l’espandibilità indipendente del prodotto
Θ (θ ) F (ϕ ) . Quindi, sulla superficie sferica unitaria ( r ≡ 1 ) ed equipotenziale, ( α l + β l = λ ≠ 0
∀ l , λ costante ), mediante le identità (3) e (5), si specializza l’Eq. (4) nella forma
+∞ l
Φ (1, θ , ϕ )
≡ φ (θ , ϕ ) := Y 0, 0 (θ , ϕ ) + ∑ ∑ (Y l , m (θ , ϕ ) + ( − 1)m Y l∗, m (θ , ϕ ))
λ
l =1 m =0
=
1/2
+∞ l
 (2l + 1) (l − m )! 
+∑∑
Pl , m (cos θ ) ⋅ ((− 1)me im ϕ + e −im ϕ ) .

2 π l = 1 m = 0  4 π (l + m )! 
1
(6)
□
In quanto segue, sono riportate alcune proprietà algebriche – semplici ma, vs. le quali, non sono rare
sviste nei calcoli – delle Funzioni Armoniche Sferiche nella convenzione CSW (infatti, è necessario
esercitare molta attenzione con le definizioni di Pl (cos θ ) , Pl , m (cos θ ) , Ql , m (cos θ ) e Yl , m (θ , ϕ )
nella letteratura, a causa di possibili convenzioni di fase differenti da quelle della Fisica Quantistica
e dell’Elettrodinamica Classica (a-là Jackson)).
Tenendo presente che, in questo testo, è fissata la restrizione m ≥ 0 per una aderenza più agevole
alla convenzione CSW, si hanno:
1/2
 (2 l + 1) (l − m )! 
• Y l , m (θ , ϕ ) = ( − 1) 
Pl , m (cos θ ) e −im ϕ ,

 4 π (l + m )! 
∗
m
(7.1)
• ReY l , −m (θ , ϕ ) = ( − 1)m ReY l∗, m (θ , ϕ ) ≡ (− 1)m ReY l , m (θ , ϕ )
1/2
 (2l + 1) (l − m )! 
=
 Pl , m (cos θ ) ⋅ cos (mϕ ) ,
 4 π (l + m )! 
(7.2)
• ImY l , −m (θ , ϕ ) = (− 1)m ImY l∗, m (θ , ϕ ) ≡ (− 1)m + 1 ImY l , m (θ , ϕ )
1/ 2
 (2l + 1) (l − m )! 
= −
 Pl , m (cos θ ) ⋅ sin (mϕ ) .
 4 π (l + m )! 
(7.3)
□
Le espressioni (3) e (5) suggeriscono la possibilità di una definizione di una base in R per le
Funzioni Armoniche Sferiche. Queste funzioni reali, { Zl , m (θ , ϕ )} , distinte, secondo l’indice m , in
Zonali ( m = 0 ), Tesserali ( m ∈ {1, ..., l − 1} e Settoriali ( m = l )), ricorrono nelle espansioni in
serie di multipoli (e.g., dei potenziali elettromagnetici o gravitazionali) e vengono dedotte dalle
analoghe complesse. Di seguito, ne sono riportate forme ammissibili, coerenti con la convenzione
CSW ( 0 ≤ m ≤ l ):
•
se m ∈ { 1 , ..., l } , allora,
Z l , − m (θ , ϕ ) :=
i
(Y l , − m (θ , ϕ ) − ( − 1)mY l , m (θ , ϕ )) ≡ ( − 1)m 2 ImY l , m (θ , ϕ )
2
1/2
 (2 l + 1) (l − m )! 
=
 Pl , m (cos θ ) ⋅ sin (mϕ ) ,
 2 π (l + m )! 
(8.1)
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
Zl ,m (θ , ϕ ) :=
5
1
(Y l , −m (θ , ϕ ) + ( − 1)mY l , m (θ , ϕ )) ≡ ( − 1)m 2 ReY l , m (θ , ϕ )
2
1/2
 (2l + 1) (l − m )! 
=
 Pl ,m (cos θ ) ⋅ cos (m ϕ ) ;
 2 π (l + m )! 
•
(8.2)
se m = 0 , si assume, semplicemente,
1/2
 2l + 1 
Zl , 0 (θ , ϕ ) :≡ Y l , 0 (θ , ϕ ) = 
 Pl , 0 (cos θ )
 4π 
1/2
 2l + 1 
≡
 Pl (cos θ ) .
 4π 
(8.3)
□
Dall’autore ([email protected]), sono disponibili, a richiesta, come files TXT allegati alle risposte, le routines per
il tracciamento con GNUplot™ dei grafici 3D (superfici) delle Z l , ± m (θ , ϕ ) con l = 0, … , 5 e ∀ m compatibile con
tali valori di l .
■■■
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
6
Vibrazioni di una membrana circolare con il bordo fissato
Problema 1
Una membrana circolare di raggio b e densità radiale (i.e., massa/distanza-dal-centro) uniforme D
viene tesa fissandone il bordo a un telaio sottile e rigido. Inizialmente in quiete sotto la forza di
tensione uniforme T (incognita), la membrana riceve, quindi, una sollecitazione impulsiva nel suo
centro, che ne provoca piccole vibrazioni. Se queste insorgono in regime di isolamento dinamico
della membrana e se ω 0 indica la loro frequenza ciclica fondamentale,
I.
si determini un’espressione della forza di tensione (uniforme) T nella membrana;
II.
nella membrana viene tagliato un foro concentrico di raggio b /5 .
Si determini la variazione percentuale di ω 0 necessaria perché la tensione iniziale T nella
membrana resti invariata.
Soluzione
I.
Chiaramente, il problema è a supporto (dominio spaziale) bi-dimensionale e a simmetria cilindrico-azimutale.
In coordinate cilindrico-azimutali piane, l’ampiezza delle piccole vibrazioni, z = z ( ρ , ϕ , t ) , dipendente anche
dalla coordinata temporale t , deve soddisfare l’equazione ondulatoria stazionaria del moto (dato l’isolamento
dinamico della membrana)
 2 D ∂2 
∇ −
z (ρ, ϕ, t) = 0 ,
T ∂t 2 

equivalente alla forma esplicita
 ∂2
1 ∂
1 ∂2
D ∂2 
+ 2
−
 2 +
z (ρ, ϕ, t) = 0 .
ρ ∂ρ ρ ∂ϕ 2 T ∂t 2 
 ∂ρ
(1)
In questo caso, la condizione ai limiti è z (b, ϕ , t ) = 0 . Si noti che, fisicamente, [z ] = lunghezza.
Con il metodo di separazione delle variabili, si pone
z ( ρ , ϕ , t ) := R ( ρ ) F (ϕ ) Z (t ) .
Quindi, l’equazione del moto (1) si riscrive
 ∂2
1 ∂ 
R ( ρ ) Z (t ) ∂ 2
D
∂2
+
F (ϕ ) Z (t ) 
F (ϕ ) = R ( ρ ) F (ϕ ) 2 Z (t ) .
 R(ρ ) +
2
2
2
∂ϕ
T
∂t
ρ ∂ρ 
ρ
 ∂ρ
(2)
Dividendo completamente l’Eq. (2) per R ( ρ ) F (ϕ ) Z (t ) ≠ 0 , con [ R ( ρ )] = lunghezza, si ottiene
1  ∂ 2 R( ρ ) 1 ∂ R( ρ ) 
1
∂ 2 F (ϕ )
D 1 ∂ 2 Z (t )
+
=
.

+ 2
2
2
R(ρ )  ∂ ρ
T Z (t ) ∂t 2
ρ ∂ ρ  ρ F (ϕ ) ∂ϕ
(3)
La separazione delle variabili (indipendenti) realizzata con l’Eq. (3), valida ∀ { ρ , ϕ , t } ammissibile, implica che
le espressioni dei due membri siano uguali simultaneamente a una costante opportuna di separazione, che va
assegnata in coerenza con la dinamica specifica del sistema (la membrana). Sarà chiaro, più avanti, la scelta
D 1 ∂ 2 Z (t )
= −k 2 ,
T Z (t ) ∂t 2
(4)
equivalente all’equazione temporale d’onda stazionaria
∂ 2 Z (t )
+ ω 2 Z (t ) = 0 ,
2
∂t
nella quale, è definita la frequenza ciclica d’onda
(5)
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
7
1/2
T 

D 
ω := k 
.
(6)
Da un controllo dimensionale, essendo [(T /D )1 / 2 ] = (lunghezza) × (tempo) −1 e [ω ] = (tempo) − 1 , allora, deve
risultare [k ] = (lunghezza) − 1 . Se si assume k ≡ 2 π /λ := Ż − 1 , il numero di lunghezze d’onda contenute nella
lunghezza ciclica 2 π della circonferenza armonica unitaria, segue che k può essere interpretato come numero
d’onda. In sostanza, (T /D )1 / 2 corrisponde alla velocità di propagazione ondosa vibrazionale.
La soluzione generale dell’Eq. temporale (5) è della forma consueta
Z (t ) = c 1 cos ωt + c 2 sin ωt .
Dal confronto tra le Eq.i (3) e (4), segue che
1  ∂ 2 R( ρ ) 1 ∂ R( ρ ) 
1
∂ 2 F (ϕ )
+
= −k 2 ,

+ 2
2
ρ ∂ ρ  ρ F (ϕ ) ∂ϕ 2
R( ρ )  ∂ ρ
i.e., dovendo preservare anche la stazionarietà della soluzione azimutale (angolare), si ha
ρ 2  ∂ 2 R( ρ ) 1 ∂ R( ρ ) 
1 ∂ 2 F (ϕ )
2 2
+
≡ m2,

 +k ρ = −
2
R( ρ )  ∂ ρ
F (ϕ ) ∂ϕ 2
ρ ∂ρ 
(7)
con m ∈ Z + . La soluzione generale dell’equazione azimutale,
∂ 2 F (ϕ )
+ m 2 F (ϕ ) ≡ 0 ,
∂ϕ 2
(8)
è, pertanto, analoga a quella dell’Eq. temporale (5):
F (ϕ ) = c 3 cos mϕ + c 4 sin mϕ .
Infine, dall’Eq. (7), si estrae la parte radiale pura dell’equazione d’onda complessiva:
ρ 2  ∂ 2 R( ρ ) 1 ∂ R( ρ ) 
2 2
2
+

 +k ρ = m ,
2
R( ρ )  ∂ ρ
ρ ∂ρ 
per la quale, definite le variabili ξ := k ρ e Ψ (ξ ) := R (ξ /k ) ≡ R ( ρ ) , semplificando e riordinando i termini, si
arriva all’Equazione di Bessel
∂ 2Ψ (ξ ) 1 ∂Ψ (ξ ) 
m2
+
+ 1 − 2
2
∂ξ
ξ ∂ξ
ξ


 Ψ (ξ ) = 0 ,

(9)
la cui soluzione generale si scrive
Ψ (ξ ) = c 5 J m (ξ ) + c 6 N m (ξ )
≡ c 5 J m (k ρ ) + c 6 N m (k ρ ) ≡ R ( ρ ) ,
(10)
i.e., come combinazione lineare delle Funzioni di Bessel di 1º e di 2º tipo, di ordine m . Però, nel caso di una
membrana intera, le funzioni di 2º tipo, N m , vanno escluse poiché presentano una singolarità logaritmica per
ρ = 0 . Quindi, assegnata c 6 = 0 , l’unica soluzione fisica radiale è data da
R ( ρ ) = c 5 J m (k ρ ) .
(11)
Poiché l’ordine inferiore delle vibrazioni (frequenza ciclica minima) è m = 0 , ne segue che la prima radice, di
J 0 (k ρ ) è ξ 0 ≈ 2. 40483 ≡ kb , che corrisponde a una semi-lunghezza d’onda stazionaria, uguale al raggio della
membrana, λ /2 = b . Allora, sostituendo
k =
ξ0
b
≈
2.40483
b
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
8
nell’Eq. (6), con ω ≡ ω 0 , e risolvendo vs. T , si ottiene
 ω0 
 ω 0b 
2
T = 
 D ≈ 
 D ≈ 0.17292 ⋅ (ω 0 b) D .
 k 
2
.
40483


2
2
(12)
Per completezza, la soluzione generale dell’Eq. (2) del moto vibratorio della membrana è data da
z ( ρ , ϕ , t ) = c 5 J m (k ρ ) (c 3 cos m ϕ + c 4 sin m ϕ ) (c 1 cos ωt + c 2 sin ω t ) .
(13)
□
II.
La presenza del foro concentrico di raggio ρ = b /5 , escludendo il centro della membrana, modifica la soluzione
generale (13). Così, ora che anche le Funzioni di Bessel di 2º tipo N m sono ammissibili, si scrive
z ( ρ , ϕ , t ) = (c 5 J m (k ρ ) + c 6 N m (k ρ )) (c 3 cos mϕ + c 4 sin m ϕ ) (c 1 cos ωt + c 2 sin ω t ) .
(14)
D’altra parte, in regime stazionario, la nuova configurazione del sistema aggiunge la condizione anti-nodale (i.e.,
estremante) ulteriore di frontiera,
∂
z (ρ, ϕ, t)
∂ρ
= 0.
(15)
ρ = b /5
In altre parole, il bordo del foro, essendo libero, esegue spostamenti massimi z - trasversali di vibrazione in
corrispondenza di ρ = b /5 , ∀ {ϕ , t } . Pertanto,
●
al bordo fisso, ρ = b , alla nuova frequenza ciclica fondamentale ω 0 delle piccole vibrazioni, si ha
z (b, ϕ , t ) ≡ 0 = c 5 J 0 (k b) + c 6 N 0 (k b) , da cui, si calcola
c5
c6
●
= −
N 0 (k b )
J 0 (k b)
.
(16.1)
al bordo libero, ρ = b /5 , invece, dalla condizione (15), deve aversi, ∀ {ϕ , t } ,
c5
d
J 0 (k ρ )
dρ
+ c6
ρ = b /5
∂
N 0 (k ρ )
∂ρ
= 0 , da cui, si calcola
ρ = b /5
c5 d
∂
J 0 (k b /5) +
N 0 (k b /5) = 0 .
c6 d ρ
∂ρ
(16.2)
Introducendo l’espressione (16.1) di c 5 /c 6 nella relazione vincolare (16.2), risulta la condizione mista
 d

 ∂

 d ρ J 0 (k b /5)  N 0 (k b) −  ∂ ρ N 0 (k b /5)  J 0 (k b ) = 0 ;




(17)
quest’ultima, a sua volta, in forza dell’identità
d
ν
Β ν (x ) = Β ν (x ) − Β ν + 1 (x )
dx
x
(v., e.g., dell’autore: Funzioni di Bessel - Rappresentazioni in serie di potenze in R , P. 13, Eq. (44.1)),
in cui, Β ν indica, indifferentemente, J ν o N ν e si ponga x := k b /5 , equivale a scrivere
J 1 (k b /5) N 0 (k b) − N 1 (k b /5) J 0 (k b) = 0 .
(18)
La risoluzione (numerica) vs. k dell’Eq. (18) dà, come valore minimo (fondamentale)
k ≈
2.57363
.
b
Dunque, in presenza del foro, la forza di tensione nella membrana è esprimibile, alla nuova frequenza ciclica
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
9
fondamentale ω 0 delle piccole vibrazioni, come
 ω0 
 ω 0b 
2
T =
 D ≈
 D ≈ 0.15098 ⋅ (ω 0 b) D .
 k 
2
.
57363


2
2
(19)
Ora, se si mantiene invariata la tensione nella membrana, T ≡ T , dall’uguaglianza
0.15098 ⋅ (ω 0 b)2 D = 0.17292 ⋅ (ω 0 b)2 D ,
si ottiene il rapporto
ω 0 /ω 0 ≈ 1.07019 .
Quindi, la stima percentuale (o logaritmica)
∆ω 0
ω0 − ω0
ω0
≡
=
− 1 ≈ 0.07019 ≈ 7 %
ω0
ω0
ω0
(20)
indica un aumento della frequenza ciclica fondamentale di vibrazione della membrana.
■■■
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
10
Risultati di Calcolo Combinatorio
Il Calcolo Combinatorio si rivela di importanza fondamentale sia nel conteggio che nel raggruppamento selettivo di
stati\particelle in Fisica Quantistica (e.g., in Teoria del Momento Angolare) e, soprattutto, in Meccanica Statistica,
facendo emergere simmetrie altrimenti elusive sia di ‘piccola’ che di ‘grande scala’.
Alcuni risultati – riconducibili agli ambiti più diversi – sono riportati nelle note che seguono. Un’applicazione semiclassica è sviluppata nel documento PDF dell’autore: Il Modello Statistico Semi-classico del Gas Ideale.
1.
Somme di potenze omogenee
Assegnato l’insieme degli N elementi α n della progressione aritmetica di ragione ρ ( ∈ R + ),
{α n : α n + 1 = α n + ρ }n ∈ {1, 2, 3, …, N } ,
se ne elevi alla potenza (k + 1) - sima, con k ∈ Z 0+ , l’elemento successivo generale, esprimendolo
mediante espansione binomiale:
α nk ++ 11 ≡ (α n + 1 )k + 1 ≡ (α n + ρ )k + 1 ≡ (α 1 + n ρ )k + 1
k + 1 k −1 2
k + 1
k + 1 k + 1
k + 1 k + 1 k + 1 k
= 
αn + 
α n ρ + 
α n ρ + … + 
α n ρ k + 
ρ .




0 
1 
2 
k 
k + 1 





=1
=k +1
= (k + 1 ) k / 2
=k +1
(1)
=1
Ora, definita la somma omogenea di potenze p - esime,
s p := ∑ nN = 1 α np ≡ ∑ nN = 1 (α n )p ,
(2)
essendo p ∈ {1 , 2 , 3 , … , k } (dunque, p ≤ k ), si sommino, rispettivamente, i termini nei membri
dell’identità (1) vs. l’indice n ∈ {1 , 2 , … , N } :
•
a sinistra, si scrive
∑ nN= 1 α nk ++ 11 = ∑ nN =−11 α nk ++ 11 + α Nk ++11 ≡ ∑ nN=−21 α nk + 1 + (α N + ρ )k + 1
≡ ∑ nN = 2 α nk + 1 + (α 1 + N ρ )k + 1 ,
(3)
avendo eseguito, nel secondo passaggio, la traslazione di indice muto di somma n ֏ n − 1 (la
cancellazione di ∑ Nn = 2 α nk + 1 si riferisce a un termine identico presente a destra);
•
a destra, risulta
∑ nN= 1 (α nk + 1 + (k + 1) α nk ρ + ((k + 1) k /2) α nk − 1 ρ 2 + … + (k + 1) α n ρ k + ρ k + 1 ) =
= ∑ nN= 1 α nk + 1 + (k + 1) ρ ∑ nN= 1 α nk + ((k + 1) k /2) ρ 2 ∑ nN= 1 α nk − 1 + …
↲
(
↳
+ (k + 1) ρ k ∑ nN= 1 α n + N ρ k + 1
)
≡ α 1k + 1 + ∑ nN = 2 α nk + 1 + (k + 1) ρ ∑ nN = 1 α nk + …
k + 1 j
≡ α 1k + 1 + (k + 1) ρ s k + ((k + 1) k /2) ρ 2 s k − 1 + … + 
 ρ sk − j +1 + … ↲
 j 
k
k +1
↳ + (k + 1) ρ s 1 + N ρ
.
(4)
L’uguaglianza tra i membri destri delle identità (3) e (4), la cancellazione (indicata) tra due somme
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
11
identiche in membri diversi e la risoluzione vs. il complesso delle somme di potenze omogenee s p
forniscono l’identità cercata:
(k + 1) ρ s k +
(k + 1) k 2
k + 1 p
k
ρ s k − 1 + … + 
 ρ s k − p + 1 + … + (k + 1) ρ s 1 =
p
2


= (α 1 + N ρ )k + 1 − α 1k + 1 − N ρ k + 1 .
(5)
Osservazione
Oltre alla conoscenza del numero degli elementi della progressione, N , del primo elemento, α 1 , e della ragione, ρ , la
conoscenza di tutte le s p – tranne una – consente di ricavare prontamente l’espressione di quest’ultima.
In particolare, la somma di potenze omogenea di ordine più elevato, s k , è determinabile costruendo sequenzialmente
tutte le s p precedenti, da s 1 a s k − 1 .
■
Esempio 1
Per le somme di potenze omogenee relative agli N interi positivi dispari, dei quali, α 1 = 7 , si
determinano:
α n = α 1 + ρ (n − 1)
ρ = 2,
֏ 7 + 2 (n − 1) = 2n + 5 ,
s p = ∑ nN = 1 (2 n + 5)p .
Quindi, l’identità (5) si riduce a
k + 1
2 (k + 1) s k + 2 (k + 1) k s k − 1 + … + 2 p 
s k − p + 1 + … + 2 k (k + 1) s 1 =

 p 
= (2N + 7)k + 1 − 7 k + 1 − 2 k + 1 N .
■
Esempio 2
Per le somme di potenze intere omogenee dei primi N interi positivi, si hanno:
α1 = 1,
ρ = 1,
α n = α 1 + ρ (n − 1) = n ,
s p = ∑ nN = 1 n p .
Quindi, l’identità (5) assume la forma
(k + 1) s k +
(k + 1) k
k + 1
sk −1 + … + 
 s k − p + 1 + … + (k + 1) s 1 =
2
 p 
= ((N + 1) (N + 1)k − 1) .
■
2.
Somme di prodotti omogenei di potenze
Dalla scomposizione elementare
p N − q N ≡ (p − q ) (p N − 1 + p N − 2 q + p N − 3 q 2 + … + pq N − 2 + q N − 1 )
N −1
≡ (p − q ) ∑ p N − n − 1q n ,
n =0
segue che
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
N −1
∑p
N −n −1
n =0
12
pN −q N
q =
,
p −q
n
i.e., con la traslazione N ֏ N + 1 dell’estremo superiore (muto) della somma,
N
∑p
N −n
n =0
pN +1 − q N +1
q =
.
p −q
n
(6)
In generale, per κ ∈ { 0 , 1 , 2 , … , N } , si ha
∑ nN= κ p N − n q n ≡ ∑ nN= 0 p N − n q n − ∑ κn =− 01 p N − n q n
=
pN +1 − q N +1
− p N − κ + 1 ∑ nκ =− 10 p κ − 1 − n q n
p −q
=
p N +1 − q N +1
pκ −qκ
− p N −κ +1
p −q
p −q
q κ (p N − κ + 1 − q N − κ + 1 )
=
≡ q κ ∑ nN =−0κ p N − κ − n q n .
p −q
(7)
Se κ = 0 ∧ p = 1 , l’identità (7) corrisponde alla somma degli N + 1 termini della progressione
geometrica di ragione q :
N
∑q n =
n =0
1 − q N +1
.
1 −q
(7.1)
■
Problema 2
N
Calcolare la somma
S κ := ∑ e
i
2π λ n
N +1
, nella quale, λ ∈ Z .
n =κ
[Ref.:
da un modello del ‘Rayleigh scattering’ nella radiazione elettromagnetica.]
Soluzione
Definita z := e
i
2π
N +1
, segue, sostituendo p ≡ 1 ∧ q := z λ nell’identità (7), che
N
S κ ≡ ∑ z λn
n =κ
N −κ +1,
 2π λ κ
 i
=  e N +1 − 1
,
2π λ

i
N
+
1
 1 − e
se λ = 0 ,
se λ ≠ 0 .
(8)
Quando κ = 0 , si può sintetizzare il risultato (8) introducendo il Simbolo di Kronecker:
N
S0 ≡ ∑e
n =κ
i
2π n
λ
N +1
= (N + 1) δ λ , 0 .
(8.1)
■
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
13
Problema 3
Assegnato l’elemento generico α rn := cos (2 π (r − n )/D ) della matrice quadrata M di ordine D
(∈ Z + \{1}) , si determini l’espressione dell’elemento generico β r k della matrice (quadrata) M 2 .
[Il calcolo è richiesto per certi modelli di interazione su un reticolo periodico, in Fisica dello Stato Solido.]
Soluzione
Conviene riportarsi alla rappresentazione complessa (euleriana):
α r n ≡ cosh (2 π i (r − n ) /D ) =
=
1 i 2π (r − n ) /D
(e
+ e −i 2π (r − n ) /D )
2
1 r −n
(z
+ z − (r − n ) ) ,
2
dove, si è definito il numero complesso z := e i 2π /D .
Quindi, mediante l’algoritmo del prodotto (interno) matriciale righe × colonne, si calcola
β r k = ∑ nD= 1 α r n α nk
1
1

= ∑ nD = 1  (z r − n + z − (r − n ) ) (z n − k + z − (n − k ) ) 
2
2

1 D
= ∑ n = 1 (z r − k + z − (r − k ) + z r + k − 2n + z − (r + k − 2n ) )
4
1
= ( ∑ nD = 1 (z r − k + z − (r − k ) ) + ∑ nD = 1 (z r + k − 2n + z − (r + k − 2n ) ) )
4
D r −k
1
=
(z
+ z − (r − k ) ) + ( z r + k ∑ nD =−01 z − 2n + z − (r + k ) ∑ nD =−01 z 2n )
4
4
D
1
≡
cosh (2 π i (r − k ) /D ) + ( z r + k ∑ nD =−01 e −i 4 π n /D + z − (r + k ) ∑ nD =−01 e i 4 π n /D )
2
4
D
D r +k
=
cos (2 π (r − k ) /D ) + (z δ − 2, 0 + z − (r + k ) δ 2, 0 )
2
4 =0
D
=
cos (2 π (r − k ) /D ) .
2
L’annullamento del secondo termine, nel penultimo passaggio precedente, segue dalla nullità di
entrambi i Simboli di Kronecker, essendo 0 il valore inferiore degli indici n variabili nelle somme
corrispondenti mentre λ ≡ ∓ 2 ≠ 0 (cfr/c Problema 2, Eq. (8.1)).
Dal teorema del prodotto di un numero per una matrice, si conclude che
M 2 = (D /2) M .
Osservazione
Più in generale, ∀ p ∈ Z + \ {1, 2}) , è evidente che
M p = (D /2)p − 1 M .
■■■
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
14
Un. of Scranton: 352-Statistical Physics | Recitation 9
Ref.:
K. HUANG, Statistical Mechanics, 2ND ED., P. 106, JOHN WILEY & SONS (1987).
Nel testo di K. Huang citato, è riportata l’Eq. (5.68) del flusso termico vettore, q , che incorpora la
conduttività termica Κ :
q = −
τm 5 ⌠ 3
∂θ
 m 2 5 1
d UU U 2 
U −  Ui
f

2 ⌡
2 θ
∂x i
 2θ
(0)
≡ − Κ∇ θ .
(1)
Prima di procedere all’identificazione di Κ in termini finiti, conviene descrivere i vari elementi
dell’espressione di q , le convenzioni di scrittura adottate e le condizioni fisiche iniziali:
• il campo vettoriale q di flusso termo-fluidodinamico approssima al 1º ordine l’equazione
generale di trasporto microscopico di Boltzmann (e.g., v. (†)).
È inteso che q ≪ 1 , i.e., ≪ dell’ordine di grandezza di λ /L , essendo λ il cammino libero
medio di molecole identiche puntiformi aventi massa m , la (norma della) velocità termica più
probabile v 0 = (2 k BT /m )1 / 2 e il tempo libero medio (tra urti elastici consecutivi) τ = λ /v 0 .
L è assunta come distanza macroscopica caratteristica di riferimento del sistema molecolare,
e.g., come la lunghezza d’onda termica stazionaria di trasporto;
• U ≡ U = v − v 0 è la (norma della) velocità relativa delle molecole vs. la loro velocità più
probabile. In altre parole, U è il campo vettoriale di velocità del flusso termico. Ad esso, nei
calcoli, sarà associato il versore uˆ ≡ U / U ;
• d 3U ≡ d U 1d U 2d U 3 è l’elemento di volume (parallelepipedo retto) di integrazione nello
spazio (di fase) 3D rettangolare delle velocità relative;
• θ := k BT (≡ (1/3) m ⟨ U 2 ⟩ ) indica la Temperatura Termodinamica;
• in notazione tensoriale sintetica (summation convention), è U i
•
3
∂θ
∂θ
≡ ∑U i
≡ U ⋅∇ θ ;
∂x i
∂x i
i =1
f ( 0 ) è la funzione di distribuzione (funzione-peso) delle proprietà dinamiche molecolari.
All’ordine inferiore del regime di trasporto termo-fluidodinamico, θ , ∇ θ , λ , τ e nV ≡ N /V
(la concentrazione molecolare) sono grandezze quasi-uniformi vs. U .
□
Pertanto, si scrive
τm 5
d 3 U U 2 (m U 2 /θ − 5)U (U ⋅∇θ ) f (0 )
∫
4θ
τm 5
= −
d 3 U U 4 (m U 2 /θ − 5) uˆ (uˆ ⋅∇θ ) f (0 )
∫
4θ
τm 5
= −
∇ θ ∫ d 3 U η (U ) cos α uˆ ,
4θ
q = −
avendo definito η (U ) := U 4 (m U 2 /θ − 5) f (0 ) e α := ∢ (uˆ ,∇ θ ) .
Il fatto che α ∈ [ 0, π ] suggerisce di proseguire l’integrazione vs. il sistema di coordinate sferiche
{U , α , ϕ } il cui asse polare (l’asse Ζ solito) coincida con la retta di direzione istantanea di ∇ θ .
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
15
Allora, introdotte la rappresentazione rettangolare uˆ ≡ sin α cos ϕ xˆ 1 + sin α sin ϕ xˆ 2 + cos α xˆ 3 e
l’espressione trasformata dell’elemento di volume d 3 U ≡ U 2 sin α dU d α d ϕ , risulta
q = −
+∞
π
2π
τm 5
∇ θ ∫ U 2dU ∫ sin α d α ∫ η (U ) cos α uˆ d ϕ
0
0
0
4θ
+∞
τm 5
∇ θ ∫ U 2η (U ) dU
= −
0
↲
4θ
↳
∫
π
0
cos α sin α ( sin α (cos ϕ xˆ 1 + sin ϕ xˆ 2 ) + cos α xˆ 3 ) d α ∫
2π
0
dϕ
+∞
τm 5
= −
∇ θ ∫ U 2η (U ) dU
0
↲
4θ
↳
(∫
π
0
2π
cos α ( sin α )2 d α ∫
↳
(cos ϕ xˆ 1 + sin ϕ xˆ 2 ) d ϕ +
0
π
2π
0
0
+ xˆ 3 ∫ (cos α )2 sin α d α ∫
)
↲
dϕ .
La funzione periodica α ֏ cos α ( sin α )2 è pari, quindi, la sua integrazione in [ 0, π ] è nulla; la
seconda integrazione polare è elementare e dà 2 / 3 . Come conclusione, si ha
+∞
2π
τm 5
q = −
∇ θ ∫ U 2η (U ) dU ((2/3) xˆ 3 ) ∫ d ϕ
0
0
4θ
+∞
mU 2

πτ m 5
⌠
= −
∇θ  U 6 
− 5 f
3θ
 θ

⌡0
≡ − Κ∇ θ .
(0)
dU
i.e., all’ordine più basso del regime di trasporto termo-fluidodinamico,
+∞
Κ =
2

π τm 5 ⌠
6 mU
U
− 5 f


3θ ⌡ 0
 θ

(0)
dU .
(2)
È ragionevole ritenere che, localmente, f ( 0 ) non si discosti in modo significativo dalla Funzione di
distribuzione di Maxwell-Boltzmann, i.e., che
f
(0)
(0)
≈ f MB
:=
nV
(2 π mθ )
3 /2
e − (m U
2
) /( 2θ )
.
(3)
Pertanto, la prosecuzione del calcolo – approssimato – di Κ inizia con tale sostituzione:
Κ ≈
nV m 7 / 2τ
6 (2 π )1 / 2 θ 5 / 2
+∞
2
2

⌠
6 mU
U
− 5  e − (m U ) /(2θ ) dU .


 θ

⌡0
Qui, posto U := (2θ /m )1 / 2 ξ 1 / 2 , con elemento differenziale dU = (1/2) (2θ /m )1 / 2 ξ −1 / 2 d ξ , si trova
Κ ≈
4 nV τ θ ⌠ + ∞

3 π 1/ 2 ⌡ 0
4 nV τ θ
≡
3 π 1/2
 7 /2 5 5/2  − ξ
 ξ − ξ  e dξ

2

5
 + ∞ 9 /2 − 1 − ξ
e dξ −
 ∫0 ξ
2

∫
+∞
0


ξ 7 / 2 − 1e − ξ d ξ 
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
4 nV τ θ 
5

Γ (9 /2) − Γ (7 /2) 
1/2 
3π

2

4 nV τ θ  7 !! 1 / 2 5 5 !! 1 / 2 
≡
π 
 π −
3 π 1/2  2 4
2 24

5
= nV τ θ .
2
≡
16
(‡)
(4)
□
Il risultato (4) è quello dell’Eq. (5.69) nel testo di Huang. Se ne può mostrare la connessione con la
sezione d’urto microscopica di collisione e con il coefficiente di viscosità di un fluido per il quale
valga localmente la distribuzione di Maxwell-Boltzmann (approssimativamente, un Gas Ideale).
Introducendo nell’Eq. (4), e.g., le Eq.i (68) e (102) dal documento PDF MS (‡‡) dell’autore, risulta
1/ 2
1/( 2 σ nV )
λ
5
5
5
1/ 2 T
Κ = nV k BT ≡ nV
k BT = (mk B )
,
2 v0
2
(2 k BT /m )1 / 2
4
σ
(5)
L’Eq. (5) fa emergere la proporzionalità inversa (plausibile!) tra conduttività termica e probabilità
di collisione per particella alla temperatura T (dipendenza attenuata da T ).
Inoltre, dall’Eq. (114) in MS per il coefficiente di viscosità,
η =
2 2
T 1/2
(mk B )1 / 2
,
3 π
σ
appare evidente che la conduttività termica e la viscosità rappresentano, sostanzialmente, da due
punti di vista dinamici diversi, lo stesso comportamento termo-cinetico della sostanza (diluita):
Κ
15 1 / 2
=
π ≈ 3.32 .
8
η
(6)
Le relazioni (4), (5) e (6) trovano conferme sperimentali significative soprattutto tra gli elementi
chimici più refrattari ai legami chimici e, quindi, più stabili, i.e., quelli nobili (He, Ne, Ar, Kr), come
è già stato osservato altrove (‡‡) in problemi analoghi.
■■■
____________________
(†)
REIF, F., Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, CH. 13-14, MCGRAW-HILL (1965).
()
Per identità specifiche relative alla Funzione Γ , si veda, e.g., dell’autore: Proprietà e applicazioni in R della Funzione Gamma - CAP.
1, Eq. (14.1).
(‡‡)
Il Modello Statistico semi-classico del Gas Ideale.
‡
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
17
Tecniche e risultati fondamentali in 2a Quantizzazione
Lo schema dei campi quantizzati
Un sistema di N particelle è equivalente a un campo quantizzato. Questa equivalenza viene usata
spesso efficacemente nel calcolo dei livelli energetici e della funzione di partizione del sistema.
Un campo quantizzato è un sistema caratterizzato da operatori di campo, ψ̂ (r ) , definiti per tutti i
valori continui della posizione r e che operano in uno spazio di Hilbert opportuno. Un vettore in
questo spazio corrisponde a uno stato del campo quantizzato; tale campo può essere definito così
che il suo spazio di Hilbert contenga lo spazio di Hilbert-Fock di un sistema dato di N particelle.
Nel seguito, per semplicità, le N particelle sono considerate identiche ma soggette a statistiche di
spin specifiche: o N bosoni, se di spin intero, o N fermioni se di spin semi-dispari.
La distinzione di spin è fondamentale e si esprime attraverso due insiemi di regole di compatibilità
tra gli operatori di campo ψ̂ , i.e., di condivisione di auto-stati (auto-kets) simultanei:
bosoni
fermioni
[ψˆ α (r ), ψˆ α ' (r ' )] − = δ α α ' δ (r − r ' )
[ψˆ α (r ), ψˆ α ' (r ' )] + = δ α α ' δ (r − r ' )
[ψˆ α (r ), ψˆ α ' (r ' )] − = 0
[ψˆ α (r ), ψˆ α ' (r ' )] + = 0
[ψˆ α† (r ), ψˆ α† ' (r ' )] − = 0
[ψˆ α† (r ), ψˆ α† ' (r ' )] + = 0
†
†
Tali regole di compatibilità sono di commutazione, [..., ...] − , per i bosoni e di anti-commutazione,
[..., ...] + , per i fermioni. Alle parentesi consuete di anti-commutazione, {..., ...} , si è preferita la
notazione [..., ...] + , lasciando la disponibilità delle parentesi graffe per altre esigenze simboliche.
Infine, l’indice α varia in un insieme specificato di numeri quantici, i.e., di autovalori di osservabili
fisiche conservative.
Tra le proprietà utili delle parentesi di commutazione, c’è quella distributiva:
ˆ , Βˆ Cˆ ] = [Α
ˆ , Βˆ ] Cˆ + Βˆ [Α
ˆ , Cˆ ] ≡ [Α
ˆ , Βˆ ] Cˆ − Βˆ [Α
ˆ , Cˆ ] ;
[Α
−
−
−
+
+
(1.1)
la forma corretta analoga per le parenesi di anti-commutazione è
ˆ , Βˆ Cˆ ] = [Α
ˆ , Βˆ ] Cˆ − Βˆ [Α
ˆ , Cˆ ] ≡ [Α
ˆ , Βˆ ] Cˆ + Βˆ [Α
ˆ , Cˆ ] .
[Α
+
+
−
−
+
(1.2)
La definizione del campo quantizzato si completa con la definizione di due operatori hermitiani:
l’operatore hamiltoniano, Η̂ , e l’operatore-numero Ν̂ (contatore di particelle create\distrutte).
L’hamiltoniano di campo si scrive
Ηˆ := Κˆ + Φˆ .
(2)
In esso, le espressioni dell’energia cinetica, Κ̂ , e dell’energia potenziale, Φ̂ , del sistema sono
Κˆ = ∫ d 3r ψˆ α† (r ) (( − ℏ 2 /(2 m ))∇ 2 )ψˆ α (r ) ,
Φˆ = (1/2) ∫ d 3r1d 3r2ψˆ α† 1 (r1 )ψˆ α† 2 (r2 ) φ (r1 , r2 )ψˆ α 2 (r2 )ψˆ α 1 (r1 ) .
(2.1)
(2.2)
Φ̂ è determinata sovrapponendo i contributi ψˆ α† (r1 )ψˆ α† (r2 ) φ (r1 , r2 )ψˆ α (r2 )ψˆ α (r1 ) di densità di
1
2
2
1
energia di interazione interna a ciascuna coppia di particelle, contando ogni coppia una sola volta
(di qui, il fattore 1/2, poiché φ (r1 , r2 ) ≡ φ (r2 , r1 ) ). Il termine interattivo a due-corpi φ vs. gli
operatori ψ̂ e ψ̂
†
è solo una funzione complessa di argomento simmetrico, un c-numero (1).
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
18
Infine, l’operatore-numero è definito dall’integrale di campo
Νˆ :=
∫d
3
ξ ψˆ α† (ξ )ψˆ α (ξ ) .
(3)
Oltre a r , r1 , r2 , anche ξ rappresenta il vettore-posizione nello spazio 3D di Hilbert-Fock.
□
Sia P̂ l’operatore momento lineare (quantità di moto) in 2a quantizzazione. P̂ , il generatore degli
spostamenti, è, qui, considerato in regime di invarianza traslazionale. Questo implica che
ˆ , Ηˆ ] = [Ηˆ , P
ˆ] ,
[P
±
±
dove Η̂ , l’operatore hamiltoniano del sistema, è indipendente dal tempo.
In uno spazio illimitato, le osservabili fisiche di bosoni e di fermioni liberi, creabili e distruggibili,
possono essere espanse da una base di operatori di campo d’onda piana di particella singola,
{ψˆ α† (r ), ψˆ α (r )} ≡ { ∑ α ψ α (r )†cˆ α† , ∑ α ψ α (r ) cˆ α } .
(4)
ψˆ α† e ψˆ α sono operatori di campo nello spazio astratto di Hilbert dei numeri di occupazione. Essi
incorporano gli operatori ĉ α† e ĉα rispettivi, di creazione e di distruzione (2); i fattori coniugati
ψ α (r )† e ψ α (r ) sono solo funzioni d’onda piana orto-normalizzate di particella singola (c-numeri)
mentre le somme variano vs. l’insieme {α } ≡ { k , λ , s } di numeri quantici.
Pertanto, l’operatore momento lineare del sistema è definibile nella forma appropriata
ˆ := ∑ d 3r ψˆ † (r ) (− i ℏ∇ )ψˆ (r ) = ∑ ℏ k cˆ † cˆ .
P
α ∫
α
α
α
α α
(5)
Problema 4
Ref. : FETTER, A. L., - WALECKA, J. D., Quantum Theory of Many-particle Systems, P. 74, MCGRAW-HILL (1980).
Si verifichi, che, per fermioni liberi,
ˆ ] = − i ℏ∇ ψˆ (r ) .
[ψˆ α (r ), P
+
α
(6)
Soluzione
Espandendo l’anti-commutatore (6) dopo l’inserimento dell’integrale (5), si ha
ˆ ] = − i ℏψˆ (r ) ∑ ψˆ † (r ' )∇ ' ψˆ (r ' ) d 3r ' −
[ψˆ α (r ), P
+
α
α' ∫
α'
α'
↳
(
↲
)
− iℏ ∑ α ' ∫ ψˆ α ' (r ' )∇ ' ψˆ α ' (r ' ) d 3r ' ψˆ α (r )
†
= − i ℏ ∑ α ' ∫ [ψˆ α (r ), ψˆ α†' (r ' )∇ ' ψˆ α ' (r ' )] + d 3r ' .
(7)
Nell’Eq. (7), le variabili senza apice vanno intese indipendenti da quelle con apice; pertanto, α è
invariante vs. la somma ∑ α ' mentre ∇ ' e ∫ d 3r ' operano vs. r ' , non vs. r .
Ora, conviene ridurre il commutatore nell’integrale dell’Eq. (7) con l’uso ripetuto della proprietà
distributiva (1.2) di anti-commutazione:
[ψˆ α (r ), ψˆ α† ' (r ' ) (− i ℏ∇ ' )ψˆ α ' (r ' )] + =
= [ψˆ α (r ), ψˆ α†' (r ' )] + ( − i ℏ∇ ' )ψˆ α ' (r ' ) − ψˆ α† ' (r ' )[ψˆ α (r ), ( − i ℏ∇ ' )ψˆ α ' (r ' )] −
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
= δ αα ' δ (r − r ' ) (− i ℏ∇ ' )ψˆ α ' (r ' ) −
19
↲
− ψˆ α ' (r ' ) ([ψˆ α (r ), (− i ℏ∇ ' )] −ψˆ α ' (r ' ) − (− i ℏ∇ ' )[ψˆ α (r ), ψˆ α ' (r ' )] − )
†
↳
= δ αα ' δ (r − r ' ) (− i ℏ∇ ' )ψˆ α ' (r ' ) − ↲
(
↳
− ψˆ α† ' (r ' ) ψˆ α (r ) (− i ℏ∇ ' )ψˆ α ' (r ' ) − (− i ℏ∇ ' )ψˆ α ' (r ' )ψˆ α (r ) +
↳
+ (− i ℏ∇ ' ) (ψˆ α (r )ψˆ α ' (r ' ) − ψˆ α ' (r ' )ψˆ α (r ))
↲
)
= δ αα ' δ (r − r ' )(− iℏ∇ ' )ψˆ α ' (r ' ) − ψˆ α†' (r ' ) (ψˆ α (r )(− iℏ∇ ' )(ψˆ α ' (r ' ) − ψˆ α ' (r ' )) )
= δ αα ' δ (r − r ' ) ( − iℏ∇ ' )ψˆ α ' (r ' ) .
Pertanto, dalle proprietà impulsive sia di δ α α ' (Kronecker) che di δ (r − r ' ) (Dirac), seguono le
contrazioni singolari della somma e dell’integrale. Il risultato è
3
ˆ ] = − iℏ ∑
ˆ
ˆ
[ψˆ α (r ), P
α ' ∫ δ αα ' δ (r − r ' )∇ ' ψ α ' (r ' ) d r ' = − i ℏ∇ ψ α (r ) .
(8)
□
Osservazioni
●
Introducendo le rappresentazioni (4) degli operatori di campo, la rappresentazione integrale di Ν̂ si riduce a
Νˆ = ∑ α cˆ α† cˆ α .
●
Ovviamente, nel caso di bosoni liberi, la relazione appropriata, corrispondente alla (6), è
ˆ ] = − i ℏ∇ ψˆ (r ) .
[ψˆ α (r ), P
−
α
La verifica, analoga a quella per i fermioni, è lasciata come esercizio.
■
Problema 5
Ref.:
K. HUANG, Statistical Mechanics, 2ND ED., P. 478, JOHN WILEY & SONS (1987).
Si verifichi che, nello spazio di Hilbert-Fock di un sistema di N bosoni liberi, le osservabili Η̂ e
Ν̂ sono compatibili (i.e., commutano tra loro).
Soluzione
Poiché la condizione di compatibilità si implica con quella di commutabilità, deve risultare
[Ηˆ , Νˆ ] − ≡ [Κˆ + Φˆ , Νˆ ] − = [Κˆ , Νˆ ] − + [Φˆ , Νˆ ] − = 0 .
(9)
____________________
Per un sistema di N fermioni liberi, l’analoga dell’Eq. (9) è [Ηˆ , Νˆ ] + ≡ [Κˆ + Φˆ , Νˆ ] + = [Κˆ , Νˆ ] + + [Φˆ , Νˆ ] + = 0 .
La verifica procede in modo del tutto parallelo allo svolgimento per i bosoni, come, inversamente, nel Problema 4.
____________________
Il calcolo dei commutatori coinvolge gli integrali (2.1), (2.2) e (3), le cui variabili di integrazione
sono vettori-posizione, variamente indicati per una migliore distinguibilità nei passaggi di calcolo.
Si noti che l’operatore laplaciano ∇ 2 agisce solo sulla variabile r .
Inoltre, poiché le integrazioni riguardano la sola posizione, esse non influiscono sugli altri numeri
quantici. Pertanto, l’indice α – pur restando sottinteso – non compare sugli operatori di campo.
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
20
Espandendo il primo commutatore a destra nell’Eq. (9), si scrive
[Κˆ , Νˆ ] − =
∫d
r ψˆ † (r ) (( − ℏ 2 /(2 m ))∇ 2 )ψˆ (r ) ∫ d 3 ξ ψˆ † (ξ )ψˆ (ξ ) −
3
↳
↲
− ∫ d ξ ψˆ (ξ )ψˆ (ξ ) ∫ d r ψˆ (r ) (( − ℏ /(2 m ))∇ 2 )ψˆ (r )
†
3
†
†
3
2
= ( − ℏ 2 /(2 m )) ∫ d 3r d 3 ξ ( (ψˆ † (r )∇ 2ψˆ (r ))ψˆ †(ξ )ψˆ (ξ ) − ψˆ † (ξ )ψˆ (ξ ) (ψˆ † (r )∇ 2ψˆ (r )) )
≡ (− ℏ 2 /(2 m )) ∫ d 3r d 3 ξ [ψˆ † (r )∇ 2ψˆ (r ), ψˆ † (ξ )ψˆ (ξ )] − .
(10)
Riduzione del commutatore contenuto nell’integrale (10):
[ψˆ † (r )∇ 2ψˆ (r ), ψˆ † (ξ )ψˆ (ξ )] − =
= [ψˆ † (r )∇ 2ψˆ (r ), ψˆ †(ξ )] −ψˆ (ξ ) + ψˆ †(ξ )[ψˆ †(r )∇ 2ψˆ (r ), ψˆ (ξ )] −
= ([ψˆ † (r )∇ 2 , ψˆ †(ξ )] −ψˆ (r ) + ψˆ †(r )∇ 2 [ψˆ (r ), ψˆ † (ξ )] − )ψˆ (ξ ) +
↳
(
↲
ψˆ †(ξ ) [ψˆ †(r )∇ 2 , ψˆ (ξ ) ] −ψˆ (r ) + ψˆ †(r )∇ 2 [ψˆ (r ), ψˆ (ξ ) ] −
= ( (ψˆ †(r )ψˆ †(ξ )∇ 2 − ψˆ †(ξ )ψˆ †(r )∇ 2 )ψˆ (r ) + ψˆ †(r )∇ 2δ (r − ξ ) )ψˆ (ξ ) +
+ ψˆ (ξ ) (ψˆ (r )ψˆ (ξ )∇ − ψˆ (ξ )ψˆ (r )∇
†
↳
†
†
2
2
)
↲
)ψˆ (r )
= [ψˆ †(r ), ψˆ †(ξ ) ] − ∇ 2ψˆ (r ) + ψˆ †(r )∇ 2 δ (r − ξ )ψˆ (ξ ) + ψˆ †(ξ ) (− δ (ξ − r ))∇ 2ψˆ (r )
≡ ψˆ †(r )∇ 2δ (ξ − r )ψˆ (ξ ) − ψˆ † (ξ ) δ (ξ − r )∇ 2ψˆ (r ) ,
valendo la proprietà di simmetria δ (r − ξ ) ≡ δ (ξ − r ) .
Quindi, il completamento dell’integrazione (11) dà
( ∫ d r d ξ ψˆ (r )∇ δ (ξ − r )ψˆ (ξ ) − ∫ d r d ξ ψˆ (ξ ) δ (ξ − r )∇ ψˆ (r )) =
= (− ℏ /(2m )) ( ∫ d r ψˆ (r )∇ ψˆ (r ) − ∫ d r ψˆ (r )∇ ψˆ (r ) ) ≡ 0 .
(− ℏ 2 /(2m ))
3
†
3
2
2
3
†
3
2
3
†
3
†
2
2
□
Riguardo al secondo commutatore a destra nell’Eq. (9), si ha:
[Φˆ , Νˆ ] − = (1/2) ∫ d 3r1d 3r 2ψˆ † (r1 )ψˆ †(r2 ) φ (r1 , r2 )ψˆ (r2 )ψˆ (r1 ) ∫ d 3 ξ ψˆ † (ξ )ψˆ (ξ ) −
↳
↲
− ∫ d ξ ψˆ (ξ )ψˆ (ξ ) (1/2) ∫ d r1d r 2ψˆ (r1 )ψˆ (r2 ) φ (r1 , r2 )ψˆ (r2 )ψˆ (r1 )
3
†
3
3
†
†
= (1/2) ∫ d 3r1d 3r2 d 3 ξ φ (r1 , r2 )[ψˆ †(r1 )ψˆ † (r2 )ψˆ (r2 )ψˆ (r1 ), ψˆ † (ξ )ψˆ (ξ ) ] − .
(11)
Nell’Eq. (11), la posizione di φ (r1 , r2 ) esterna al commutatore consegue dal fatto che φ (r1 , r2 ) è un
c-numero vs. gli operatori di campo (3).
Ora, poiché la proprietà distributiva (1.1) è esprimibile nella forma equivalente
ˆ ] = − [Α
ˆ , Βˆ ] Cˆ − Βˆ [Α
ˆ , Cˆ ] ,
[Βˆ Cˆ , Α
−
−
−
(12)
si può proseguire mediante le identificazioni
Βˆ := ψˆ †(r1 )ψˆ †(r2 ) ,
Cˆ := ψˆ (r2 )ψˆ (r1 ) ,
arrivando alla riduzione
[ψˆ † (r1 )ψˆ †(r2 )ψˆ (r2 )ψˆ (r1 ), ψˆ †(ξ )ψˆ (ξ ) ] − =
Αˆ := ψˆ †(ξ )ψˆ (ξ ) ,
(13)
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
= −ψˆ †(r1 )ψˆ †(r2 ) (ψˆ (r2 ) δ (r1 − ξ ) + δ (r2 − ξ )ψˆ (r1 ) )ψˆ (ξ ) +
↳
↲
+ ψˆ (ξ ) (ψˆ (r1 ) δ (r2 − ξ ) + δ (r1 − ξ )ψˆ (r2 ) )ψˆ (r2 )ψˆ (r1 ) .
†
†
21
†
(14)
Sostituendo l’espressione (14) nell’integrale (11) e, quindi, eseguendo per prima l’integrazione vs.
la coordinata ξ , risulta
[Φˆ , Νˆ ] − =
∫d
r1d 3r2 φ (r1 , r2 ) (ψˆ †(r1 )ψˆ †(r2 )ψˆ (r2 )ψˆ (r1 ) − ψˆ †(r1 )ψˆ †(r2 )ψˆ (r2 )ψˆ (r1 )) ≡ 0 .
3
↳ (15)
In definitiva, è verificato che
[Ηˆ , Νˆ ] − ≡ [Κˆ , Νˆ ] − + [Φˆ , Νˆ ] − = 0 .
□
Osservazioni
1
()
Una chiarificazione esauriente del termine c-numero, introdotto da P. A. M. Dirac, e la distinzione tra c-numeri e
q-numeri nelle varie rappresentazioni della Teoria Quantistica è contenuta in: PARK, D., Introduction to the
Quantum Theory, 3RD ED., P. 348, MCGRAW-HILL (1992).
(2)
Le Eq.i (2.1), (2.2) e (4) indicano che, nel sistema di misura MKSA, [ψˆ α (r )] = [ψˆ α† (r )] = m − 3 / 2 ≡ volume − 1 / 2
mentre [ĉ α ] e [ĉ α† ] sono adimensionali. Ne segue, dimensionalmente, che [φ (r1 , r2 )] = J ( ≡ energia ).
(3)
L’energia potenziale di interazione a due-corpi, φ (r1 , r2 ) , è esprimibile empiricamente, e.g., mediante la forma di
Buckingham modificata
φ (r1 , r2 ) ≡ φ (r ) = φ 0 (α e
− β (r /r 0 )
− η (r 0 /r )6 ) ,
(16)
nella quale, r ≡ r1 − r2 mentre (r 0 ; − φ 0 ) , valori tabulati di ‘best fit’ da dati sperimentali ( φ 0 > 0 ), sono le
coordinate del minimo di graf φ ( graf E , nella figura). La terna di parametri {α , β , η } ≡ { 6 e 13 /7, 13, 13 /7 }
ottimizza il profilo di graf φ nel caso di numerosi gas reali, soprattutto dei gas nobili, generalizzando il modello
(12-6) di Lennard-Jones puro [ref.: McGee, B. C., Hobbs, M. L., Baer, M. R., Exponential-6 Parameterization for
the JCZ3-EOS, Sandia Report 1191 (1998)].
■■■
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
22
La Trasformata di Legendre
(discussione essenziale)
1 – Preliminari analitici
In un intervallo aperto I ≡ ( a , b ) ⊂ Χ , si considerino
• la funzione f ∈ C 2 , monotòna e strettamente convessa,
• il fascio Φ delle corde di graf ( f ) di equazione y = px ( p ∈ J ⊂ R ),
• la Y - distanza massimale delle corde di Φ da graf ( f ) , max (px − f (x )) .
x ∈I
La distanza massimale max (px − f (x )) definisce il funzionale bi-iettivo f ∗ ∈ C 2 , tra i domini I e
x ∈I
J , detto Trasformata (o Trasformazione) di Legendre,
f ∗ := p ֏ f ∗ (p ) ≡ max (px − f (x )) ( > 0 ).
x ∈I
(1)
La condizione di massimizzazione della distanza tra graf ( f ) e rNO in I richiede che sia
d
d f (x )
max (px − f (x )) = p −
= 0,
dx x ∈I
dx
i.e., che sia
p = d f (x )/dx
x = x (p )
≡ d f (x (p ))/dx .
(2)
Nella figura, è rappresentata geometricamente f ∗ (p ) vs. T ≡ (x 0 ; f (x 0 ) .
Questo è anche il coefficiente angolare della retta r TM tangente a graf ( f ) alla distanza massimale
NT ≡ OM da rNO , essendo ONTM un parallelogramma.
Quindi, in generale, OM ≡ f ∗ (p) > 0 e l’equazione della retta r TM ha la forma
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
y = px − OM ≡ f ′(x 0 ) x − f ∗ (p ) ,
23
(3)
con M ≡ (0 ; − f ∗ (p )) e p ≡ p (x 0 ) .
Il risultato (2) consente di dare una forma più esplicita alla definizione generale (1):
f ∗ (p ) := px (p ) − f (x (p )) .
(4)
Proposizione
La Funzione Legendriana f ∗ ∈ C 2 (J ) è strettamente convessa, i.e., d 2 f ∗ (p)/d p 2 > 0 , in J . ▲
Dimostrazione
Dal differenziale dei termini dell’Eq. (4),
d f ∗ (p ) := x (p ) d p + pdx − d f (x (p )) ,
si ha che d f ∗ (x )/d p = x (p) . Quindi, per l’invertibilità tra p (x ) e x (p ) e dall’Eq. (2), risulta
d 2 f ∗ (p ) dx (p)
1
1
=
≡
= 2
> 0,
2
dp
dp
d p (x )/dx
d f (x )/dx 2
poiché l’ipotesi di convessità stretta di f implica che d 2 f (x )/dx 2 > 0 , q. e. d..
□
La bi-iettività legendriana definita si esprime nella forma simmetrica equivalente
f ∗∗ (x ) ≡ ( f ∗ )∗ (x ) = max (x p − f ∗ (p)) ≡ x p (x ) − f ∗ (p (x )) .
p ∈J
(5)
Infatti, dalla massimizzazione rispettiva, risulta (cfr/c l’Eq. (2))
d f ∗ (p )
dp
x =
≡
p = p (x )
d f ∗ (p (x ))
.
dp
(6)
D’altra parte, come con l’Eq. (2),
d f ∗ (p )
d
dx (p ) d f (x (p )) dx (p )
,
=
(px (p ) − f (x (p ))) = x (p ) + p
−
⋅
dp
dp
dp
dx
dp
≡p
così che, dall’Eq. (6), si conclude che
d f ∗ (p )
dp
≡ x (p (x )) .
(7)
p = p (x )
Infine, introducendo il risultato (7) nell’Eq. (5), si ottiene
f ∗∗ (x ) = x (p (x )) ⋅ p (x ) − (p(x ) ⋅ x (p(x )) − f (x (p (x ))))
≡ x (p (x )) ⋅ (p(x ) − p(x )) + f (x ) .
(8)
□
Alternativamente, si assuma che
f
−1
(x ) := f ∗ (x ) ,
(9)
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
24
ovvero, inversamente, che f (x ) := ( f ∗ ) − 1 (x ) . Allora, dall’Eq. (2), segue che
p (x ) =
d
( f ∗ ) − 1 (x ) .
dx
(10)
Se si integrano i membri dell’Eq. (10) da x 0 a x 1 , applicando il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale a sinistra
e sostituendo dx = (d p /dx ) − 1 d p a destra, dal Teorema delle funzioni inverse differenziabili, si prosegue con
∫
−1
x1
x
f (x 1 ) − f (x 0 ) =
1
−1
⌠
⌠
 d2

 d p (x ) 
p (x ) dx ≡  p (x ) ⋅ 
d p (x ) ≡  p (x ) ⋅  2 ( f ∗ ) −1 (x )  d p (x )

dx
dx




⌡x 0
⌡x 0
x1
x0
p1
d 2 f ∗ (p )
⌠
≡  p⋅
dp ,
dp2
⌡p 0
( η = φ (ξ ) ⇐⇒ ξ = φ − 1 (η ) ).
per la proprietà di invertibilità
Ora, con un’integrazione per-parti del membro a destra, risulta
p
1
⌠ d f ∗ (p)
f (x 1 ) − f (x 0 ) = p 1 f (p 1 ) − p 0 f (p 0 ) − 
dp
dp
⌡p 0
∗
∗
= p 1 x 1 − p 0 x 0 − f ∗ (p 1 ) + f ∗ (p 0 )
i.e., ri-disponendo i termini in forma separata vs. i valori estremi,
f (x 1 ) + f ∗ (p 1 ) − p 1 x 1 = f (x 0 ) + f ∗ (p 0 ) − p 0 x 0 .
(11)
La separazione completa dei termini, i.e., la loro indipendenza reciproca, implica che l’uguaglianza (11) è vera sse i due
membri sono uguali a una stessa costante C . Con C ≡ 0 , la scelta più semplice, si conclude che
f ∗ (p ) = px − f (x ) ,
x =
∗
(12.1)
−1
d f (p )
d ( f ) (p )
≡
dp
dp
e, quindi, a meno di costanti additive ininfluenti, che f
−1
(12.2)
(x ) ≡ f ∗ (x ) , dopo lo scambio di variabile p x .
□
Pertanto, poiché f
∗
e f
un’involuzione, i.e., f
∗∗
−1
coincidono, ne segue che la Trasformata di Legendre di f costituisce
≡ f .
□
2 – Funzioni di più variabili
Sia Α ⊂ R n un dominio aperto. La Trasformata di Legendre trova la sua rappresentazione per le
funzioni f ∈ C 2 (Α) di più variabili – vs. tutte o solo alcune di tali variabili – nella forma
f ∗ (p 1 , p 2 , … , p k , x k + 1 , x k + 2 , … , x n ) :=
dove, k ≤ n e pν ≡ ∂ f /∂x ν
x ν = x ν (p ν )
k
∑ pν x ν − f (x
ν =1
1
, x 2 , …, x n ) ,
(13)
.
Le Trasformate di Legendre di f determinabili sono 2 n − 1 . Le n variabili indipendenti di f ,
{x 1 , …, x n } , sono dette naturali mentre le n variabili indipendenti della funzione legendriana f ∗
specifica, { p 1 , …, p k , x k + 1 , …, x n } , sono dette canoniche. Ogni pν è coniugata alla sua x ν .
□
Con riferimento esplicito all’Analisi Variazionale, alla Meccanica Analitica, alla Termodinamica,
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
25
alla Meccanica Statistica o Quantistica, può essere di chiarimento il seguente
Esempio 3
Sia assegnata la funzione u ∈ C 2 (Α ) : ֏ u (x , y , z ) , convessa e monotòna. Si ha, dunque,
du =
∂u
∂u
∂u
dx +
dy +
dz ≡ φ x dx + φ y dy + φ z dz ,
∂x
∂y
∂z
con le identificazioni ovvie φ x ≡ ∂u /∂x , etc..
Ora, si voglia esprimere il differenziale du in termini di due funzioni(-potenziale) opportune, legate a u attraverso,
e.g., le sue derivate parziali φ x e φ z . Per tale scopo, mediante l’Eq. (13), si introduce la funzione legendriana
u ∗ (p x , y , p z ) := p x x + p z z − u (x , y , z ) ,
differenziando la quale, si ottiene
du ∗ (p x , y , p z ) = (x d p x + p x d x ) + (z d p z + p z d z ) − ((∂u /∂x ) d x + (∂u /∂y ) dy + (∂u /∂z ) d z )
≡ x d p x + p xdx + z d p z + p z dz − p x dx − φ y dy − p z dz
≡ x d p x − φ y dy + z d p z ,
avendosi, per la Trasformazione di Legendre eseguita, p x ≡ ∂u /∂x
x = x (p x )
, φ y ≡ ∂u /∂y e p z ≡ ∂u /∂z
z = z (p z )
.
Osservazione
L’intera discussione, basata sulle definizioni (4) e (13), riflette le convenzioni formali classiche di definizione della
Meccanica Analitica Hamiltoniana. Altrove, e.g., in Termodinamica e in Meccanica Statistica, tali convenzioni per la
Funzione Legendriana f ∗ sono di segno opposto (†):
f ∗ (p ) := f (x (p )) − px (p ) ,
f ∗ (p 1 , p 2 , … , p k , x k + 1 , x k + 2 , … , x n ) := f (x 1 , x 2 , … , x n ) −
(14.1)
k
∑ pν x ν .
(14.2)
ν =1
Va, dunque, usata attenzione a ogni definizione, più o meno sottintesa, per evitare errori banali.
■■■
____________________
(†)
Per dettagli ulteriori, v. il documento PDF dell’autore: Il modello macroscopico del Gas Ideale, Appendice.
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
26
Problema 6
La Funzione Poli-logaritmica si incontra nel calcolo, e.g., di certi integrali connessi ai diagrammi di Feynman, relativi
a correzioni quanto-elettrodinamiche del rapporto giromagnetico dell’elettrone, e di integrali di densità (distribuzioni)
quantistiche di insiemi di particelle libere, identiche e in equilibrio statistico (†).
•
Nella rappresentazione di un ‘gas’ di fermioni liberi, identici e in equilibrio statistico, dopo averne discusso le
condizioni di integrabilità, si calcoli l’integrale, parametrico in {λ , µ } ⊂ R ,
+∞
⌠
I FD (λ , µ ) := 
⌡0
•
xλ
ex +µ +1
dx ;
si calcoli l’integrale analogo, relativo a un ‘gas’ di bosoni liberi, identici e in equilibrio statistico,
+∞
⌠
I BE (λ , µ ) := 
⌡0
xλ
ex +µ −1
dx .
Soluzione
•
Circa l’insieme dei valori del parametro λ , per i quali, I FD (λ , µ ) è convergente ( I FD (λ , µ ) < + ∞ ), definita, per
brevità, φ λ , µ (x ) := x λ /(e x + µ + 1) l’espressione integranda, si osserva che,
se x ∈ U ( + ∞) , è φ λ , µ (x ) = o (1) di ordine > ω ∈ (1, + ∞) vs. l’infinitesimo principale 1 /x e, pertanto, che
φ λ , µ (x ) è integrabile in U( + ∞) ∀ λ ;
se x ∈ Uδ + (0) , allora, φ λ , µ (x ) ~ x λ /(e µ + 1) , i.e., φ λ , µ (x ) risulta integrabile solo per λ ∈ R 0+ .
Come conclusione, I FD (λ , µ ) < + ∞ solo per λ ∈ R + .
□
Poiché I FD (λ , µ ) non è rappresentabile in forma chiusa con funzioni elementari, l’integrazione in serie appropriata
inizia dividendo sia il numeratore che il denominatore di φ λ , µ (x ) per e x + µ :
φ λ , µ (x ) ≡
≡
+∞
x λ e − (x + µ )
λ − (x + µ )
=
∑
( − e − ( x + µ ) )k =
x
e
1 + e − (x + µ )
k =0
+∞
+∞
k =1
k =1
+∞
∑ ( − 1)k e − (k + 1) µ x λ e − (k + 1) x
k =0
∑ ( − 1)k − 1 (e − µ )k (x λe − k x ) ≡ − ∑ ( − e − µ )k (x λe − k x ) .
(1)
Nell’intervallo di integrazione [ 0, + ∞ ) , il fattore (1 + e − (x + µ ) ) − 1 corrisponde alla somma della Serie Geometrica di
ragione variabile r µ (x ) ≡ − e − (x + µ ) sse x > − µ . Ciò implica che, ∀ x , deve essere µ > 0 .
□
Essendo x λe − k x ≤ x λ = o (1) in Uδ + (0) , la rappresentazione (47) di φ λ , µ (x ) è, per il criterio di Weierstrass,
uniformemente convergente in [ 0, + ∞) . Quindi, è lecito scambiare l’ordine delle operazioni di somma-di-una-serie
e di integrazione, scrivendo
+∞
I FD (λ , µ ) = − ∑ ( − e − µ ) k − 1 ∫
k =1
+∞
0
x λ e − k x dx .
Con la sostituzione x := t /k , il cui elemento differenziale è d x = dt /k , si ha
(− e − µ ) k − 1
k λ +1
k =1
+∞
I FD (λ , µ ) = − ∑
∫
+∞
0
(− e − µ ) k − 1
.
k λ +1
k =1
+∞
t (λ + 1) − 1e − t dt = − Γ (λ + 1) ∑
Ora, poiché µ > 0 , segue che | − e − µ | < 1 e, quindi, dall’Eq. (43), risulta
I FD (λ , µ ) = − Γ (λ + 1) Li λ + 1 ( − e − µ ) ;
(2)
27
Risultati e applicazioni con i Metodi Matematici della Fisica –
•
il controllo di convergenza dell’integrale bosonico I BE (λ , µ ) porta a conclusioni identiche. Con procedimento di
calcolo analogo a quello per I FD (λ , µ ) e lasciato come esercizio, si trova facilmente che, ∀ λ ∈ R + ∧ µ > 0 ,
I BE (λ , µ ) = Γ (λ + 1) Li λ + 1 (e − µ ) .
(3)
Osservazioni
•
Il fatto che λ ∈ R corrisponde all’estensione della definizione della Funzione Poli-logaritmica all’ordine reale
relativo. Tale proprietà trova fondamento nel prolungamento di Li (x ) ֏ Li (z ) in C e, quindi, delle Funzioni
(analitiche) ζ di Riemann (e sue associate) e η di Dirichlet (‡), tutte correlate a Li .
•
Nelle Eq.i (1) e (2), il parametro esponenziale e − µ ≡ z
−1
corrisponde al reciproco della fugacità, z , del ‘gas’
quantistico vs. la statistica rispettiva, fermionica (F-D) o bosonica (B-E).
■■■
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Si vedano, e.g., i documenti PDF dell’autore:
(†)
Logaritmi e Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali, P. 13-18. Per un calcolo analogo, cfr/c IS-2 in Esercizi di Calcolo Integrale
in R .
(‡)
Serie di Fourier in
R - Proprietà e applicazioni, P. 16-20.