Capitolo 2 Lo spazio vettoriale euclideo tridimensionale

Capitolo 2
Lo spazio vettoriale euclideo
tridimensionale
2.1
Introduzione
2.1.1 Come già ricordato, lo spazio vettoriale euclideo Rn si dice piano vettoriale euclideo
se n = 2 e spazio vettoriale euclideo tridmensionale se n = 3. Per ragioni di tradizione i vettori
della base canonica E2 di R2 verranno indicati con (i, j) invece che (e1 , e2 ):
1
1
.
i=
e
j=
0
0
Allo stesso modo, i vettori della base canonica E3 di R3 verranno indicati con (i, j, k)
invece che con (e1 , e2 , e3 ):
 
 
 
1
0
0





j= 0 ,
j= 1 ,
j = 0 .
(2.1)
0
0
1
Il piano vettoriale R2 può identificarsi con il sottospazio vettoriale di R3 generato da i, j:
R2 = [i, j] = {u ∈ R3 | u(3) = 0}.
Rispetto al prodotto scalare <, > definito rispettivamente su R2 e R3 , le basi canoniche E2
ed E3 sono ortonormali, come già visto in generale per la base En di Rn . In particolare
i⊥ := [j, k],
j⊥ := [k, i],
17
k⊥ := [i, j].
18
CAPITOLO 2. LO SPAZIO VETTORIALE EUCLIDEO TRIDIMENSIONALE
Ogni vettore u ∈ R3 può pertanto scriversi in modo unico come:
u =< u, i > i+ < u, j > j+ < u, k > k = u(1)i + u(2)j + u(3)k,
con i, j, k dati dalla (2.1)
In generale se B := (b1 , b2 , b3 ) è una base ortonormale, un vettore u ∈ R3 può decomporsi
unicamente lungo le direzioni [b1 ], [b2 ] e [b3 ] secondo l’uguaglianza:
u =< u, b1 > b1 + < u, b2 > b2 + < u, b3 > b3 .
2.1.2 Nella prima parte di questo capitolo si vuole affrontare il seguente problema. Dati
due vettori u, v ∈ R2 in quali casi, e come, un terzo vettore w ∈ R2 può decomporsi
come combinazione lineare di u e v? Similmente, dati tre vettori u, v, w ∈ R3 in quali
casi, e come, un quarto vettore può decomporsi lungo le direzioni da essi determinate?
Le risposte a queste domande sono importanti e offrono il pretesto per l’introduzione di
un fondamentale strumento dell’algebra lineare, detto determinante. Si comincerà col caso
più semplice del determinante di una coppia di vettori.
2.2
Determinanti di coppie di vettori
2.2.1 Nel seguito
u1
u=
,
u2
v
v= 1 ,
v2
w1
w=
,
w2
indicheranno tre vettori arbitrari di R2 . Il determinante di una coppia ordinata (u, v) ∈ R2 ×
R2 è lo scalare u ∧ v definito dall’uguaglianza1 :
u1 v1 =: u1 v2 − u2 v1 .
u ∧ v =: (2.2)
u2 v2 2.2.2 Linearità e antisimmetria. Il determinante è lineare rispetto al primo argomento, ossia:
(λu + µv) ∧ w = λ · u ∧ w + µ · v ∧ w.
(2.3)
La verifica si fa. . . a mano:
λu1 + µv1
w1
∧
=
λu2 + µv2
w2
= (λu1 + µv1 )w2 − (λu2 + µv2 )w1 =
(λu + µv) ∧ w =
= λ(u1 w2 − u2 w1 ) + µ(v1 w2 − v2 w1 ) =
= λ · u ∧ w + µ · v ∧ w,
1
Naturalmente la stessa definizione vale ance se K = C. La definizione generale di determinante verrà
data più avanti
2.2. DETERMINANTI DI COPPIE DI VETTORI
19
come volevasi. Inoltre il determinante è antisimmetrico, cioè
v ∧ u = −u ∧ v,
(2.4)
per ogni u, v ∈ R2 . Infatti
v ∧ u = v1 u2 − u1 v2 = −(u1 v2 − u2 v1 ) = −u ∧ v.
La (2.3) e la (2.4) implicano la linearità rispetto al secondo argomento:
u ∧ (λv + µw) = λu ∧ v + µu ∧ w.
(2.5)
Infatti, per ogni scelta di u, v, w ∈ R2 e λ, µ ∈ R si ha:
u ∧ (λv + µw)
=
−(λv + µw) ∧ u
=
(per la (2.4))
=
−λ · v ∧ u − µ · w ∧ u
=
(per la (2.3))
=
λ · u ∧ v + µ · u ∧ w,
(per la (2.4))
come volevasi dimostrare. Il determinante è perciò una funzione bilineare, nel senso che è
lineare rispetto sia al primo che al secondo argomento. Inoltre, come si verifica facilmente,
i∧j = 1. Non è difficile provare, come si vedrà più avanti e più in generale, che la funzione
determinante

R
det : R2 ∧ R2 −→

(u, v)
7−→ u ∧ v,
è l’unica forma2 bilineare antisimmetrica tale che i ∧ j = 1.
2.2.3 Osservazioni.
i) L’uguaglianza u ∧ u = 0 vale per ogni u ∈ R2 . Infatti, valendo l’antisimmetria (2.4)
per ogni coppia di vettori (u, v) essa vale, in particolare, per la coppia (u, u). Quindi:
u ∧ u = −u ∧ u,
ossia 2u ∧ u = 0. Siccome3 2 6= 0, allora u ∧ u = 0.
ii) il determinante della coppia (u, v) è nullo se uno dei due vettori è nullo, quale
conseguenza della bilinearità. Infatti:
0 ∧ v = (0 · u) ∧ v = 0 · u ∧ v = 0
dove u è un vettore arbitrario.
2
Una forma bilineare è un’espressione polinomiale omogenea di grado due nelle componenti di sue vettori.
Purtroppo la condizione 2 6= 0 non è uno scherzo. Esistono campi in cui 1 + 1 = 0, i cosiddetti campi di
caratteristica 2. Non è però il caso di R o C o di quaslsiasi campo chescontenga Q come sottocampo.
3
20
CAPITOLO 2. LO SPAZIO VETTORIALE EUCLIDEO TRIDIMENSIONALE
2.2.4 Proposizione. Due vettori u, v ∈ R2 sono collineari se e solo se
u∧v =0
Dimostrazione. Se u ∈ [v] allora u = λv da cui
u ∧ v = λv ∧ v = 0
per l’Osservazione 2.2.3 i). Viceversa, supponiamo che u ∧ v = 0. Se u = 0 non c’è nulla
da provare per 2.2.3 ii). Se u 6= 0 allora almeno una componente è non nulla. Sia, per
esempio, u1 6= 0. Se λ è l’unico scalare tale che v1 = λu1 , allora:
u1 v1 =
0=u∧v = u2 v2 = u1 v2 − u2 v1 = u1 v2 − u2 (λu1 ) =
= u1 (v2 − λu2 ),
da cui si ottiene v2 = λu2 , poiché u1 6= 0. Pertanto v = λu e i due vettori sono collineari.
2.3
Sistemi lineari di due equazioni in due incognite.
2.3.1 Sia

a1 x + b1 y = c1
,
(2.6)

a2 x + b2 y = c2
un sistema di due equazioni di primo grado nelle incognite x e y. L’uguaglianza (2.6) può
scriversi equivalentemente nella forma
c
a1 x + b1 y
= 1
a2 x + b2 y
c2
ossia ancora
xa + yb = c,
dove
a1
a=
,
a2
b
b= 1
b2
c
e c= 1 .
c2
L’uguaglianza (2.7) implica ovviamente:
(xa + yb) ∧ b = c ∧ b
(2.7)
2.4. COLLINEARITÀ E COMPLANARITÀ IN R3
21
da cui,
xa ∧ b + yb ∧ b = c ∧ b
avendo usato la linearità rispetto al primo argomento e siccome b∧b = 0 si ha, finalmente:
xa ∧ b = c ∧ b.
Similmente si ottiene
a ∧ (xa + yb) = a ∧ c,
da cui
y · a ∧ b = a ∧ c.
Se il determinante dei coefficienti dell’equazione è diverso da zero, il sistema ha soluzione
unica data da:
c∧b a∧c
(x, y) =
,
.
(2.8)
a∧b a∧b
Se invece fosse a ∧ b = 0, si avrebbero due possibilità: o c ∧ b = a ∧ c = 0, nel qual caso
il sistema avrebbe infinite soluzioni, oppure (almeno) uno tra c ∧ b o a ∧ c è non nullo. In
quest’ultimo caso il lettore converrà con l’autore che il sistema è manifestamente impossibile. La (2.8) esprime la classica regola di Cramer che risolve i sistemi di due equazioni
lineari in due incognite, detti anche sistemi di Cramer 2 × 2.
2.3.2 Decomposizione di vettori lungo due direzioni date. Siano u e v vettori non collineari. Allora è possibile decomporre ogni w ∈ R2 come somma di due vettori w1 + w2
tali che w1 ∈ [u] e w2 ∈ [v]. Esistono infatti λ, µ ∈ R tali che
w = λu + µv,
poiché, trascrivendo la (2.8), basta prendere
λ=
w∧v
u∧v
e
µ=
u∧w
.
u∧v
In conclusione, se due vettori u e v non sono collineari, si ha che R2 = [u, v], ossia u, v
sono generatori di R2 . Si vedrà che il piano vettoriale R2 può immergersi nello spazio
vettoriale R3 delle terne di numeri reali elencati per colonna.
2.4
Collinearità e complanarità in R3
Sarà utile considerare, nel seguito, per ogni 1 ≤ i ≤ 3, la funzione
qi : R 3 → R 2
22
CAPITOLO 2. LO SPAZIO VETTORIALE EUCLIDEO TRIDIMENSIONALE
che “dimentica” l’i-esima componente:
u2
u1
q1 (u) =
,
q2 (u) =
,
u3
u3
u1
q3 (u) =
.
u2
(2.9)
dove u è come in (2.11). Il lettore verificherà per esercizio che qi è un’ applicazione lineare,
per ogni i ∈ {1, 2, 3}, cioè “rispetta” le combinazioni lineari nel senso seguente:
qi (λu + µv) = λ · qi (u) + µ · qi (v).
2.4.1 Cosı̀ come visto in generale in Rn , una colonna non nulla
 
u1
u := u2  ∈ R3
u3
(2.10)
(2.11)
genera una retta vettoriale di R3 , indicata con [u], che è l’insieme {λu | λ ∈ R}. Chiaramente
[0] = {0}. L’insieme
RP2 = {[u] | u ∈ R3 \ {0}}
di tutte le direzioni di R3 si dice piano proiettivo reale. La definizione di collinearità di due
vettori di R3 è come quella per vettori a due componenti. Due vettori u e v sono collineari
se e solo se v ∈ [u] oppure u ∈ [v]. Quindi il vettore nullo è collineare con qualsiasi altro
vettore di R3 , poiché 0 = 0 · u ∈ [u]. Se u e v sono entrambi non nulli, le due condizioni
sono equivalenti, ed entrambi equivalenti all’uguaglianza [u] = [v]. I determinanti di
coppie di vettori forniscono il seguente criterio:
2.4.2 Proposizione. Due vettori u, v ∈ R3 sono collineari se e solo se
qi (u) ∧ qi (v) = 0
(2.12)
per ogni i ∈ {1, 2, 3}.
Più esplicitamente:


q1 (u) ∧ q1 (v) = u2


u3







u
q2 (u) ∧ q2 (v) = 1
u3








u


q3 (u) ∧ q3 (v) = 1
u2
v2 = u2 v3 − u3 v2 = 0,
v3 v1 = u1 v3 − u3 v1 = 0,
v3 (2.13)
v1 = u1 v2 − u2 v1 = 0.
v2 Dimostrazione. Infatti, se u e v sono collineari, tutte le loro rispettive componenti sono
proporzionali e, quindi, tutti i determinantii (2.13) si annullano. Viceversa, si supponga
2.4. COLLINEARITÀ E COMPLANARITÀ IN R3
23
che (2.12) sia verificata per ogni i ∈ {1, 2, 3}. Se u = 0 non c’è nulla da provare. Se u 6= 0
esiste almeno un indice 1 ≤ i ≤ 3 tale che l’i-esima componente ui di u sia non nulla. Per
fissare le idee, si supponga che sia u3 6= 0. Allora l’equazione q1 (u) ∧ q1 (v) = 0 implica
l’esistenza di λ ∈ K tale che
v2 = λ · u2
(2.14)
v3 = λ · u3
La seconda delle (2.13), utilizzando la seconda delle (2.14), dà:
0 = u1 v3 − u3 v1 = λu1 u3 − u3 v1 = u3 (λu1 − v1 )
da cui, dividendo primo e ultimo membro per u3 6= 0, si ottiene v1 = λ · u1 , sufficiente per
concludere che v = λ · u, cioè v ∈ [u] secondo quanto asserito.
2.4.3 Sia
[u, v] := {λu + µv | λ, µ ∈ R}
(2.15)
l’insieme di tutte le combinazioni lineari di u e v a coefficienti reali. Se v = 0, allora
[u, 0] = [u].
Se u e v sono entrambi non nulli e collineari, si ha l’uguaglianza:
[u, v] = [u] = [v].
Se [u] 6= [v], l’insieme (2.15) si dice piano vettoriale generato da u e v.
Se [u, v] è un piano vettoriale, una qualsiasi coppia di vettori (u0 , v0 ) tali che che
[u, v] = [u0 , v0 ]
si dice base del piano vettoriale [u, v]. In particolare (u, v) è una base di [u, v].
2.4.4 Tre vettori u, v, w ∈ R3 si dicono complanari se appartengono allo stesso piano
vettoriale, ossia se almeno uno è combinazione lineare degli altri due.
24
CAPITOLO 2. LO SPAZIO VETTORIALE EUCLIDEO TRIDIMENSIONALE
Se [u] = [v] = [w], allora u, v, w sono ovviamente complanari. Se invece, diciamo, [u] 6=
[v]4 , allora u, v, w sono complanari se e solo se w appartiene al piano vettoriale [u, v]
generato da u e v. Se tre vettori u, v, w, a due a due non collineari, sono complanari,
allora
W := [u, v] = [u, w] = [v, w].
e (u, v), (u, w) e (v, w) sono tre basi (ma non le sole) di W .
2.4.5 Esercizio. Si provi che se [u] 6= [v], allora ogni w ∈ [u, v] può essere scritto come
combinazione lineare di u e v in modo unico.
2.4.6 Definizione. Se u, v, w sono tre vettori di R3 tali che:
[u, v, w] = R3
(ossia: se ogni vettore di R3 si può scrivere come combinazione lineare di u, v, w), allora la terna
ordinata (u, v, w) si dice base di R3 .
2.4.7 Indipendenza lineare. Se la terna ordinata (u, v, w) è una base di R3 allora u, v, w
sono vettori linearmente indipendenti nel senso che l’uguaglianza
λu + µv + νw = 0
implica λ = µ = ν = 0. Infatti se, per esempio, λ 6= 0, si avrebbe
µ
ν
u = − v − w,
λ
λ
cioè u apparterrebbe al sottospazio vettoriale [v, w] e i vettori u, v, w sarebbero complanari, contraddicendo l’ipotesi di indipendenza lineare.
2.5
Determinanti di terne di vettori
2.5.1 La lettura di questo paragrafo presuppone quella di 2.2, riguardante la definizione
di determinante di una coppia di colonne di R2 , cosı̀ come un ripasso delle funzioni qi :
R3 → R2 , che “dimenticano” l’i-esima componente di una colonna di R3 – si veda 2.4.
2.5.2 Il determinante di una terna ordinata (u, v, w) di vettori di R3 è lo scalare u ∧ v ∧ w
definito da:
u ∧ v ∧ w := u1 · q1 (v) ∧ q1 (w) + u2 · q2 (v) ∧ q2 (w) + u3 · q3 (v) ∧ q3 (w).
4
Che, per la Proposizione 2.4.2 è equivalente a qi (u) ∧ qi (v) 6= 0, per almeno un i ∈ {1, 2, 3}.
(2.16)
2.5. DETERMINANTI DI TERNE DI VETTORI
25
Più esplicitamente:
u1 v1 w1 v1 w1 v 1 w1 v2 w2 =
+ u3 − u2 u ∧ v ∧ w : = u2 v2 w2 := u1 v 2 w2 v 3 w3 v 3 w3 u3 v3 w3 = u1 (v2 w3 − v3 w2 ) − u2 (u1 w3 − u3 w1 ) + u3 (u1 v2 − u2 v1 )
(2.17)
dove, per ogni 1 ≤ i ≤ 3, ui , vi , wi denotano le i-esime componenti dei vettori u, v, w
rispettivamente. Il lettore verificherà, in particolare, che:
i ∧ j ∧ k = 1.
2.5.3 Linearità rispetto ad un argomento. Il determinante di tre vettori è lineare rispetto
al primo argomento:
(λu1 + µu2 ) ∧ v ∧ w = λ · u1 ∧ v ∧ w + µ · u2 ∧ v ∧ w.
(2.18)
per ogni quadrupla u1 , u2 , v, w ∈ R3 . Infatti, applicando la definizione (2.16):
(λu1 + µu2 ) ∧ v ∧ w =
= (λu1 + µu2 )(1) · q1 (v) ∧ q1 (w) + (λu1 + µu2 )(2) · q2 (v) ∧ q2 (w)
+ (λu1 + µu2 )(3) · q3 (v) ∧ q3 (w) =
(2.19)
dove per ogni 1 ≤ i ≤ 3, l’espressione (λu1 + µu2 )(i) denota la i-esima componente
della combinazione lineare di u1 e u2 con coefficienti λ e µ. Indicando con uj (i) la iesima componente del vettore uj , per j = 1, 2, e invocando la definizione di combinazione
lineare di colonne, l’espressione (2.19) uguaglia la somma:
= (λu1 (1) + µu2 (1)) · q1 (v) ∧ q1 (w) + (λu1 (2) + µu2 (2)) · q2 (v) ∧ q2 (w) +
+ (λu1 (3) + µu2 (3)) · q3 (v) ∧ q3 (w) =
da cui, riorganizzando gli addendi:
= λ(u1 (1) · q1 (v) ∧ q1 (w) + u1 (2) · q2 (v) ∧ q2 (w) + u1 (3) · q3 (v) ∧ q3 (w)) +
= µ (u2 (1) · q1 (v) ∧ q1 (w)
+
u2 (2) · q2 (v) ∧ q2 (w) + u2 (3) · q3 (v) ∧ q3 (w)) =
= λ · u1 ∧ v ∧ w + µ · u2 ∧ v ∧ w,
come volevasi.
26
CAPITOLO 2. LO SPAZIO VETTORIALE EUCLIDEO TRIDIMENSIONALE
2.5.4 Esercizio. Il lettore verificherà che il determinante u ∧ v ∧ w cambia di segno scambiando u con v e u con w. E’ sufficiente osservare che scambiando ui con vi o ui con wi
nella (2.17), si ottiene la (2.17) cambiata di segno.
2.5.5 Linearità rispetto ad ogni argomento. L’ antisimmetria implica, di nuovo, la linearità del determinante di tre vettori rispetto ad ogni argomento. A titolo di esempio
verifichiamo quella rispetto al terzo. Si ha:
u ∧ v ∧ (λw1 ∧ µw2 ) = −(λw1 + µw2 ) ∧ v ∧ u =
da cui, applicando la (2.18, già verificata, e nuovamente l’antisimmetria:
= −λ · w1 ∧ v ∧ u − µ · w2 ∧ v ∧ u = λ · u ∧ v ∧ w1 + µ · u ∧ v ∧ w2
come si voleva dimostrare. Riassumendo, la funzione determinante R3 ∧ R3 ∧ R3 → R è
una
forma tri-lineare antisimmetrica tale che i ∧ j ∧ k = 1.
2.5.6 Osservazione. Come nel caso dei determinanti 2 × 2, la linearità rispetto a ciascun
argomento implica l’annullarsi del determinante di tre vettori di R3 qualora almeno una
colonna sia nulla. Similmente, l’antisimmetria implica l’annullarsi del determinante di
tre vettori qualora due colonne coincidessero. La verifiche si eseguono esattamente come
in 2.2.3 i) e in 2.2.3 ii) e il lettore è invitato a ripercorrerle in questo caso. In particolare,
per ogni u, v ∈ R3 , si hanno le equazioni:

u1 · q1 (u) ∧ q1 (v) + u2 · q2 (u) ∧ q2 (v) + u3 · q3 (u) ∧ q3 (v) = 0
(2.20)

v1 · q1 (u) ∧ q1 (v) + v2 · q2 (u) ∧ q2 (v) + v3 · q3 (u) ∧ q3 (v) = 0
che sono lo sviluppo (2.16) delle identità:
u∧u∧v =0
e
v ∧ u ∧ v = 0,
in cui almeno due argomenti del determinante siano uguali.
2.5.7 Proposizione. Tre vettori di u, v, w ∈ R3 sono complanari se e solo se
u ∧ v ∧ w = 0.
Dimostrazione. Se i tre vettori sono complanari, almeno uno, diciamo w, è della forma
λu + µv per opportuni λ, µ ∈ R. Allora
u ∧ v ∧ w = u ∧ v ∧ (λu + µv) = λ · u ∧ v ∧ v + µ · u ∧ v ∧ v = 0
2.5. DETERMINANTI DI TERNE DI VETTORI
27
per la 2.5.6. Viceversa, supponiamo che
u ∧ v ∧ w = 0.
Se [v] = [w], i tre vettori sono sicuramente complanari, in quanto, per esempio, w ∈ [u, v].
Supponiamo allora che [v] 6= [w]. Nell’espressione (2.16) esiste allora almeno un 1 ≤ i ≤ 3
tale che qi (v) ∧ qi (w) 6= 0, altrimenti v e w sarebbero paralleli. Non è restrittivo supporre
che sia i = 3. Siano λ, µ ∈ R le soluzioni del sistema lineare
q1 (u) = λq1 (v) + µq1 (w)
(2.21)
u = λv + µw.
(2.22)
e proviamo che esse implicano
L’equazione (2.21) equivale a u2 = λv1 + µw2 e u3 = λv3 + µw3 , pertanto per provare (2.22)
è sufficiente provare che u1 = λv1 + µw1 . L’equazione u ∧ v ∧ w = 0 e la (2.16) implicano
l’uguaglianza:
u1 · q1 (v) ∧ q1 (w) = −u2 · q2 (v) ∧ q2 (w) − u3 · q3 (u) ∧ q3 (w)
(2.23)
cioè, usando la (2.21):
= −(λv2 + µw2 ) · q2 (v) ∧ q2 (w) − (λv3 + µw3 ) · q3 (u) ∧ q3 (w)
da cui, mettendo in evidenza λ e µ:
= λ(−v2 · q2 (v) ∧ q2 (w) − v3 · q3 (v) ∧ q3 (w)) +
+ µ(−w2 · q2 (v) ∧ q2 (w) − w3 · q3 (v) ∧ q3 (w)).
Utilizzando di nuovo la (2.20) si ottiene:
= λv1 · q3 (v) ∧ q3 (w) + µw1 · q3 (v) ∧ q3 (w) =
= (λv1 + µw1 ) · q3 (v) ∧ q3 (w).
(2.24)
Dall’uguaglianza del primo membro della (2.23) e l’ultimo membro della (2.24) si ottiene
finalmente:
u1 · q3 (v) ∧ q3 (w) = (λv1 + µw1 ) · q3 (v) ∧ q3 (w),
che implica la (2.22) in forza dell’ipotesi q3 (v) ∧ q3 (w) 6= 0.
28
2.6
CAPITOLO 2. LO SPAZIO VETTORIALE EUCLIDEO TRIDIMENSIONALE
La regola di Cramer per i sistemi 3 × 3
2.6.1 Generalizzando la situazione esposta in 2.3, si consideri il sistema di tre equazioni
e tre incognite

u1 x + v1 y + w1 z = b1 ,
u2 x + v2 y + w2 z = b2 ,
(2.25)

u3 x + v3 y + w3 z = b3 .
La tabella


u1 v1 w1
(u, v, w) := u2 v2 w2  ,
u3 v3 w3
si dice anche matrice dei coefficienti del sistema (2.25), il quale può scriversi equivalentemente come
xu + yv + zw = b,
(2.26)
con (si spera) ovvio significato dei simboli: b è la colonna dei termini noti e (x, y, z) sono
le incognite. L’uguaglianza (2.26) implica, ovviamente, le seguenti tre uguaglianze:

(xu + yv + zw) ∧ v ∧ w = b ∧ v ∧ w





u ∧ (xu + yv + zw) ∧ w = u ∧ b ∧ w





u ∧ v ∧ (xu + yv + zw) = u ∧ v ∧ b
Applicando la trilinearità e il fatto che il determinate di triple di vettori con due argomenti
uguali si annulla, si ottiene:

xu ∧ v ∧ w = b ∧ v ∧ w





yu ∧ v ∧ w = u ∧ b ∧ w
(2.27)





zu ∧ v ∧ w = u ∧ v ∧ b
Se il determinante u ∧ v ∧ w (della matrice) dei coefficienti è non nullo, l’unica soluzione
del sistema è:
b∧v∧w u∧b∧w u∧v∧b
,
,
,
(x, y, z) =
u∧v∧w u∧v∧w u∧v∧w
che esprime la regola di Cramer per la soluzione dei sistemi di tre equazioni lineari (cioè di
primo grado) in tre incognite. Se u ∧ v ∧ w = 0, le tre colonne u, v, w sono complanari.
Si hanno due casi a seconda che i determinanti a secondo membro della (2.27) siano tutti
nulli o meno. Nel primo caso il sistema ammette infinite soluzioni. Nel secondo caso, se
almeno uno fosse non nullo, il sistema sarebbe evidentemente impossibile.
2.7. IL PRODOTTO VETTORE
29
2.6.2 Conseguenza. Una tripla ordinata B := (u, v, w) di vettori di R3 è una base di R3
se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Infatti se i vettori di B fosser linearmente indipendenti essi non sarebbero complanari e il determinante non sarebbe nullo.
Essi genererebbero pertanto R3 , poiché ogni b ∈ R3 si potrebbe scrivere (in modo unico)
come combinazione lineare di u, v, w con coefficienti uguali alle soluzioni (uniche) del
sistema (2.25). Viceversa, se u ∧ v ∧ w 6= 0, il sistema lineare (2.25) ha soluzione per ogni
scelta della colonna b, ossia ogni b ∈ R3 è combinazione lineare unica di u, v, w.
2.6.3 Definizione. Una base (u, v, w) si dice orientata positivamente se e solo se
u∧v∧w >0
e orientata negativamente se e solo se
u ∧ v ∧ w < 0.
2.7
Il prodotto vettore
2.7.1 Definizione. Il prodotto vettore euclideo standard su R3 è l’unica funzione
× : R3 × R3 −→
R3
(u, v) 7−→ u × v
lineare rispetto al primo argomento, antisimmetrica e tale che:
i × j = k,
j × k = i,
k × i = j.
(2.28)
2.7.2 La condizione (2.28) spesso si riassume con il diagramma:
i
−→
j
.
k
che suggerisce che la prima delle (2.28), in cui i vettori compaiono in ordine alfabetico, è
sufficiente per ricostruire le rimanenti, seguendo il senso orario.
2.7.3 La linearità rispetto al primo argomento significa l’uguaglianza:
(λu + µv) × w = λ · u × w + µ · v × v,
∀u, v, w ∈ R3
(2.29)
mentre l’antisimmetria:
u × v = −v × u,
∀u, v ∈ R3 .
(2.30)
Il lettore smaliziato è già conscio del fatto che la (2.29), insieme alla (2.30), implicano la
linearità rispetto al secondo argomento, ossia
u × (λv + µw) = λ · u × v + µ · u × w
Infatti
(2.31)
30
CAPITOLO 2. LO SPAZIO VETTORIALE EUCLIDEO TRIDIMENSIONALE
u × (λv + µw)
=
=
=
−(λv + µw) × u =
−λ · v × u − µ · w × u =
λ·u×v+µ·u×w
usando la (2.30)
usando la (2.29)
usando nuovamente la (2.30).
Siccome la (2.30) vale per ogni coppia di vettori (u, v) ∈ R3 × R3 , essa vale in particolare
per la coppia (u, u), con u vettore arbitrario, da cui l’uguaglianza:
u × u − u × u ⇐⇒ 2 · u × u = 0
che, essendo 2 6= 0 nel campo dei numeri reali, implica:
u × u = 0,
∀u ∈ R3 .
(2.32)
2.7.4 Verremo ora a scrivere un’espressione esplicita per il prodotto vettore, attraverso
l’elenco esplicito delle componenti. Se ui e vi denotano come al solito la i-esima componente, rispettivamente, di due vettori u, v ∈ R3 , per ogni 1 ≤ i ≤ 3, si ha:
u × v = (u1 i + u2 j + u3 k) × (v1 i + v2 j + v3 k)
da cui, invocando la linearità rispetto al primo argomento:
u × v = u1 i × (v1 i + v2 j + v3 k) + u2 j × (v1 i + v2 j + v3 k) + u3 k × (v1 i + v2 j + v3 k)
La linearità rispetto al secondo argomento e l’antisimmetria (in particolare il fatto che
i × i = j × j = k × k = 0), implicano quindi:
u × v = u1 v1 i × i + u1 v2 i × j + u1 v3 i × k + u2 v1 j × i + u2 v2 j × j + u2 v3 j × k +
+ u3 v1 k × i + u3 v2 k × j + u3 v3 k × k =
= (u2 v3 − u3 v2 )j × k − (u1 v3 − u3 v1 )k × i + (u1 v2 − u2 v1 )i × j
= (u2 v3 − u3 v2 )i + (u3 v1 − u1 v3 )j + (u1 v2 − u2 v1 )k
(2.33)
avendo usato nell’ultima uguaglianza le espressioni (2.28). Equivalentemente, in modo
più pratico:


u2 v3 − u3 v2
u × v = u3 v1 − u1 v3  .
u1 v2 − u2 v1
2.7.5 Si noterà che la (2.33) può essere riscritta utilizzando la funzione qi : R3 → R2 che
“dimentica” la i-esima componente (si veda (2.9)):
u × v = q1 (u) ∧ q1 (v)i + q2 (u) ∧ q2 (v)j + q3 (u) ∧ q3 (v)k
2.7. IL PRODOTTO VETTORE
31
che suggerisce anche che il prodotto vettore può
un determinante formale:
i u1
u × v = j u2
k u3
calcolarsi per mezzo dello sviluppo di
v1 v2 .
v3 In particolare
< u × v, w >= q1 (u) ∧ q1 (v)w1 + q2 (u) ∧ q2 (v)w2 + q3 (u) ∧ q3 (v)w3 u ∧ v ∧ w.
L’espressione < u × v, w > è nota come prodotto misto e coincide di fatto col determinante
dei tre vettori u, v, w.
Utilizzando l’espressione esplicita (2.33) possono provarsi le seguenti proprietà:
2.7.6 Proprietà del prodotto vettore. Per ogni u, v, w ∈ R3 e ogni λ, µ ∈ R si ha:
a) u × v = 0 se e solo se u e v sono paralleli;
b) u × v è un vettore ortogonale sia ad u che a v;
c) Vale la formula:
(u × v) × w =< u, w > v− < v, w > u.
(2.34)
Dimostrazione. Se v = λu si ha u × v = u × λu = λu × u = 0 e ciò prova la a). Per
verificare che u × v è orfogonale a u e v è sufficiente calcolarne il prodotto scalare con u e
v ottenendo::
< u × v, u >= u ∧ v ∧ u = 0
e
< u × v, v >= u ∧ v ∧ v = 0
poiché il determinate di tre vettori è nullo se due argomenti sono uguali. Per quanto
riguarda la c) vi sono due metodi: uno diretto e uno indiretto. Quello diretto consiste
nel calcolare separatamente il primo membro e il secondo membro e verificare che sono
uguali. Il secondo consiste nell’osservare che è sufficiente verificare la proposizione per
(u × v) × u
dove u e v sono due qualsiasi vettori distinti della base canonica.
2.7.7 Esercizio. Provare che il prodotto vettore non è associativo, ossia che esiste almeno
una terna di vettori u, v, w tali che
(u × v) × w 6= u × (v × w).
32
CAPITOLO 2. LO SPAZIO VETTORIALE EUCLIDEO TRIDIMENSIONALE
2.7.8 Osservazione (importante). Lo spazio vettoriale R3 , rispetto al prodotto vettore
“×”, è un’algebra di Lie5 , ossia verifica le proprietà pv1), pv2), pv3) e l’identità di Jacobi:
(u × v) × w + (v × w) × u + (w × u) × v = 0
(2.35)
per ogni scelta di u, v, w. Il lettore è invitato a provare tale identità in almeno uno dei
tanti modi possibili, per esempio usando la (2.34).
2.7.9 Siano u, v ∈ R3 . Il seno dell’angolo compreso tra (u, v) è definito dall’uguaglianza:
|u × v| = |u||v| sin(u, v).
Esso è indeterminato se almeno uno tra i due vettori u o v è nullo.
2.7.10 Volume. Il volume euclideo di tre vettori in R3 è per definizione
V ol(u, v, w) =< u × v, w > .
Immaginando i vettori come delle freccette, il volume corrisponde intuitivamente al volume del parallelepipedo avente spigoli di lunghezza |u|, |v|, |w|. Per esempio, se u, v, w
fossero due a due ortogonali si avrebbe:
V ol(u, v, w) =< u × v, w >= |u × v| · |v|
2.7.11 Osservazione. La definizione data di prodotto vettore ha l’indubbio vantaggio di
essere ready for use. Non è comunque quella preferita dall’autore. Il prodotto vettore di
due vettori u, v può definirsi come l’unico vettore di R3 tale che
< u × v, w >= u ∧ v ∧ w
Tale definizione, usando le proprietà di bilinearità del prodotto scalare e trilinearità e antisimmetria del determinante, mostra immediatamente che il prodotto vettore definisce una
funzione R3 × R3 → R3 bilineare, antisimmetrica, tale che i × j = k. Inoltre l’uguaglianza:
u × v =< u × v, i > i+ < u × v, j > i+ < u × v, k > k
dà immediatamente
< u × v, i > = u ∧ v ∧ i = u2 v3 − u3 v2
< u × v, j > = u ∧ v ∧ j = u3 v1 − u1 v3
< u × v, k > = u ∧ v ∧ k = u1 v2 − u2 v1
in accordo con l’espressione (2.33). Il modo più diretto usato per definire il prodotto vettore si basa sul procedimento col quale s definisce un’algebra per mezzo delle costanti
di struttura, che sono esattamente i coefficienti di i, j, k nell’espressione di u × v come
combinazione lineare di i, j, k quando u, v siano due qualsiasi vettori della base canonica
(i, j, k).
5
Dal nome del matematico norvegese Sophus Lie (17 dicembre 1842 - 18 febbraio 1899).