programma d`esame

LAUREA TRIENNALE IN MATEMATICA
ANALISI COMPLESSA
6 CFU, A.A. 2013–2014
Stefano Meda
Capitolo 1. Preliminari all’analisi complessa
Funzioni olomorfe. Regioni. Funzioni olomorfe: definizione ed esempi.
Funzioni intere.
Funzioni a valori complessi visti come mappe Funzioni olomorfe e
funzioni differenziabili da R2 in sé (Proposizion 2.3∗ ). Condizioni di Cauchy–
Riemann (Teorema 2.4∗ ).
Serie di potenze. Serie di potenze. Formula di Hadamard per il raggio di
convergenza di una serie di potenze (Teorema 2.5). Serie di ez , sin z e cos z.
Le serie di potenze definiscono funzioni olomorfe all’intero del loro cerchio di
convergenza (Teorema 2.6∗ e Corollario 2.7).
Integrazione lungo curve. Curve parametriche, curve parametriche lisce,
curve parametriche regolari a pezzi, curve parametriche equivalenti. Curve
lisce, curve regolari a pezzi. Orientazione. Integrazione lungo curve e sue
proprietà (Proposizione 3.1). Primitiva di una funzione (Teorema 3.2∗ ) e
proprietà dell’integrale di funzioni che ammettono primitive (Corollario 3.3).
Funzioni che ammettono primitive in una regione sono costanti (Corollario 3.4∗ ).
Capitolo 2. Il teorema di Cauchy e applicazioni
Il lemma di Goursat. Il lemma di Goursat per triangoli (Teorema 1.1∗ ).
Analogo per rettangoli.
Esistenza di primitive locali e il teorema di Cauchy per un disco.
Esistenza di primitive di una funzione olomorfa in un disco (Teorema 2.1∗ ).
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Teorema di Cauchy in un disco (Teorema 2.2∗ ). Contorni giocattolo e teorema
di Cauchy relativo.
Calcolo di alcuni integrali. Esempi di calcolo di integrali utilizzando il
teorema di Cauchy.
Formula integrale di Cauchy. Formula integrale di Cauchy per un disco
(Teorema 4.1∗ ). Analogo per contorni giocattolo. Formula di Cauchy per
le derivate (Corollario 4.2). Disuguaglianze di Cauchy (Corollario 4.3). Le
funzioni olomorfe sono localmente somma di serie di potenze (Teorema 4.4∗ ).
Teorema di Liouville (Corollario 4.5). Teorema fondamentale dell’algebra
(Corollari 4.6∗ e 4.7∗ ). Principio di identità delle funzioni olomorfe o prolungamento analitico (Teorema 4.8∗ e Corollario 4.9∗ ).
Ulteriori applicazioni. Il teorema di Morera (Teorema 5.1∗ ). Convergenza
uniforme sui compatti di successioni di funzioni olomorfe (Teorema 5.2∗ e
Teorema 5.3). Funzioni olomorfe definite mediante integrali (Teorema 5.4).
Il principio di simmetria (Teorema 5.5) e il principio di riflessione di Schwarz
(Teorema 5.6). Il problema dell’approssimazione mediante polinomi e il teorema di Runge (Teorema 5.7). Viceversa del teorema di Runge (Problema 4,
p. 69∗ ).
Capitolo 3. Funzioni meromorfe e il logaritmo
Zeri e poli. Forma di una funzione olomorfa in un intorno di un suo zero
(Teorema 1.1∗ ). Molteplicità di uno zero, zeri semplici. Polo di una funzione
olomorfa. Forma di una funzione olomorfa in un intorno di un suo polo
(Teorema 1.2∗ ). Ordine del polo (Teorema 1.3∗ ), parte principale e residuo.
Formula per il residuo di un polo di ordine n (Teorema 1.4∗ ).
Formula dei residui. Il teorema dei residui (Teorema 2.1∗ e Corollario 2.2∗ ).
Esempi di applicazione del teorema dei residui.
Singolarità e funzioni meromorfe. Singolarità rimovibili. Il teorema
di Riemann sulle singolarità rimovibili (Teorema 3.1∗ ). Caratterizzazione dei
poli (Corollario 3.2∗ ). Singolarità essenziali. Comportamento di una funzione
in un intorno di una singolarità essenzial: il teorema di Casorati–Weierstrass
(Teorema 3.3). Funzioni meromorfe in una regione. Il piano complesso esteso
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(compattificazione a un punto). Singolarità all’infinito. Caratterizzazione
delle funzioni meromorfe nel piano complesso esteso (Teorema 3.4∗ ). La
sfera di Riemann.
Il principio dell’argomento e applicazioni. Il principio dell’argomento
(Teorema 4.1∗ e Corollario 4.2). Il teorema di Rouché (Teorema 4.3∗ ). Teorema della mappa aperta (Teorema 4.4). Teorema del massimo modulo (Teorema 4.5).
Omotopie e domini semplicemente connessi. Integrazione di funzioni
olomorfe su curve omotope (Teorema 5.1). Domini semplicemente connessi.
Esistenza di primitive di funzioni olomorfe (Teorema 5.2∗ ) e teorema di
Cauchy (Corollario 5.3∗ ) in domini semplicemente connessi.
Il logaritmo complesso. Esistenza del logaritmo in una regione semplicemente connessa (Teorema 6.1∗ ). Determinazione principale del logaritmo.
Serie di potenze del logaritmo. Esistenza del logaritmo di una funzione che
non si annulla in una regione semplicemente connessa (Teorema 6.2). Il teorema della media per funzioni olomorfe (Teorema 7.1).
Capitolo 4. Mappe conformi
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Equivalenza conforme ed esempi. Definizione di mappa conforme e di
equivalenza conforme. Una mappa conforme ha inverso olomorfo (Proposizione 1.1∗ ). Il disco e il semipiano (Teorema 1.2). Trasformazioni lineari
fratte. Esempi ulteriori: mappe conformi da settori nel semipiano, dalla
striscia al semipiano.
Il lemma di Schwarz: automorfismi del disco e del semipiano Il
lemma di Schwarz (Lemma 2.1∗ ). Descrizione del gruppo degli automorfismi
del disco (Teorema 2.2∗ , Corollario 2.3). Automorfismi del semipiano superiore (Teorema 2.4) e azione di SL(2, R). Il teorema della mappa di Riemann
(Teorema 3.1).
Il problema di Dirichlet. Funzioni armoniche. Armonica coniugata di una
funzione armonica in un dominio semplicemente connesso (SS, Ex. 12 (a),
p. 66). Enunciato del problema di Dirichlet (con dato continuo). Il problema
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Vd. Cap. 8 del libro di Stein e Shakarchi, cui la numerazione seguente si riferisce.
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di Dirichlet per il disco. Soluzione nel caso in cui il dato al bordo sia un
polinomio trigonometrico. Nucleo di Poisson. Formula di rappresentazione
di una funzione armonica nel disco e continua sulla sua chiusura (SS, Ex. 12,
p. 66). Soluzione del problema di Dirichlet. Unicità. Rappresentazione
della soluzione come serie. Problema di Dirichlet per la striscia (Lemma 1.3,
Paragrafo 1.3 ed Esercizio 7, p. 248).
Il candidato dovrà conoscere i dettagli delle dimostrazioni contrassegnate
con ∗ ed essere in grado di discutere le principali definizioni, i concetti fondamentali e le tecniche illustrate durante le lezioni e le esercitazioni.
Per la numerazione dei risultati di cui si richiede la dimostrazione il candidato può fare riferimento al libro di testo.
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