Catene di Markov

Esercizi di probabilità e statistica
Catene di Markov - 2
Luca Palmieri
7 Aprile 2017
Esercizio 1. Tempo fa Harvard, Darthmout e Yale ammettevano solo studenti di sesso
maschile. Le statistiche ci dicono che:
• l’80 per cento dei figli degli uomini che avevano studiato ad Harvard si iscriveva a sua
volta ad Harvard e il restante 20 per cento a Yale;
• il 40 per cento dei figli degli uomini che avevano studiato ad Yale si iscriveva a sua volta
a Yale e il restante 60 per cento si divideva equamente tra Harvard e Darthmouth;
• il 70 per cento dei figli degli uomini che avevano studiato ad Darthmouth si iscriveva a
sua volta ad Darthmouth, il 20 per cento a Harvard e il restante 10 per cento a Yale.
il 40 Si calcoli la probabilità che un ragazzo con il nonno laureato ad Harvard si iscriva a sua
volta ad Harvard.
Esercizio 2. Un sistema informatico può trovarsi in tre stati: 0, 1 e 2. Ogni ora effettua
una transizione verso uno stato diverso da quello in cui si trova, scegliendo con probabilità
pari a 0.5 tra i due stati rimanenti.
Ad esempio, dallo stato 0 la transizione può portare il sistema allo stato 1 con probabilità
0.5 e allo stato 2 con probabilità 0.5.
1. Perché il processo in questione si può schematizzare come una catena di Markov?
2. Scrivere la matrice di transizione;
3. Calcolare la matrice di transizione a tre passi;
4. Determinare, se esiste, una misura invariante associata alla catena. E’ unica?
Esercizio 3. Una catena di Markov {Xn }n∈N con spazio degli stati S = {0, 1} ha la seguente
matrice di transizione:
0.7 0.3
(1)
0.4 0.6
Se la distribuzione di probabilità all’istante iniziale (n = 0) è µ = (0.8, 0.2) qual è la
probabilità che X3 = 1?
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