Esercizi di probabilità e statistica Catene di Markov - 2 Luca Palmieri 7 Aprile 2017 Esercizio 1. Tempo fa Harvard, Darthmout e Yale ammettevano solo studenti di sesso maschile. Le statistiche ci dicono che: • l’80 per cento dei figli degli uomini che avevano studiato ad Harvard si iscriveva a sua volta ad Harvard e il restante 20 per cento a Yale; • il 40 per cento dei figli degli uomini che avevano studiato ad Yale si iscriveva a sua volta a Yale e il restante 60 per cento si divideva equamente tra Harvard e Darthmouth; • il 70 per cento dei figli degli uomini che avevano studiato ad Darthmouth si iscriveva a sua volta ad Darthmouth, il 20 per cento a Harvard e il restante 10 per cento a Yale. il 40 Si calcoli la probabilità che un ragazzo con il nonno laureato ad Harvard si iscriva a sua volta ad Harvard. Esercizio 2. Un sistema informatico può trovarsi in tre stati: 0, 1 e 2. Ogni ora effettua una transizione verso uno stato diverso da quello in cui si trova, scegliendo con probabilità pari a 0.5 tra i due stati rimanenti. Ad esempio, dallo stato 0 la transizione può portare il sistema allo stato 1 con probabilità 0.5 e allo stato 2 con probabilità 0.5. 1. Perché il processo in questione si può schematizzare come una catena di Markov? 2. Scrivere la matrice di transizione; 3. Calcolare la matrice di transizione a tre passi; 4. Determinare, se esiste, una misura invariante associata alla catena. E’ unica? Esercizio 3. Una catena di Markov {Xn }n∈N con spazio degli stati S = {0, 1} ha la seguente matrice di transizione: 0.7 0.3 (1) 0.4 0.6 Se la distribuzione di probabilità all’istante iniziale (n = 0) è µ = (0.8, 0.2) qual è la probabilità che X3 = 1? 1