SOMMARIO DELLE MISURE DIRETTE Studio delle caratteristiche degli strumenti usati, evidenziare possibili errori sistematici, correggerli. – p. 1/21 SOMMARIO DELLE MISURE DIRETTE Studio delle caratteristiche degli strumenti usati, evidenziare possibili errori sistematici, correggerli. Effettuare misure ripetute, se possibile. Trattazione statistica dell’indeterminazione. – p. 1/21 SOMMARIO DELLE MISURE DIRETTE Studio delle caratteristiche degli strumenti usati, evidenziare possibili errori sistematici, correggerli. Effettuare misure ripetute, se possibile. Trattazione statistica dell’indeterminazione. Se non è possibile, assumere come indeterminazione l’inverso della sensibilità dello strumento. – p. 1/21 SOMMARIO DELLE MISURE DIRETTE Studio delle caratteristiche degli strumenti usati, evidenziare possibili errori sistematici, correggerli. Effettuare misure ripetute, se possibile. Trattazione statistica dell’indeterminazione. Se non è possibile, assumere come indeterminazione l’inverso della sensibilità dello strumento. Applicare il criterio del 3σ per l’eventuale rigetto di dati anomali. – p. 1/21 SOMMARIO DELLE MISURE DIRETTE Studio delle caratteristiche degli strumenti usati, evidenziare possibili errori sistematici, correggerli. Effettuare misure ripetute, se possibile. Trattazione statistica dell’indeterminazione. Se non è possibile, assumere come indeterminazione l’inverso della sensibilità dello strumento. Applicare il criterio del 3σ per l’eventuale rigetto di dati anomali. Stima più attendibile della grandezza misurata: x – p. 1/21 SOMMARIO DELLE MISURE DIRETTE Studio delle caratteristiche degli strumenti usati, evidenziare possibili errori sistematici, correggerli. Effettuare misure ripetute, se possibile. Trattazione statistica dell’indeterminazione. Se non è possibile, assumere come indeterminazione l’inverso della sensibilità dello strumento. Applicare il criterio del 3σ per l’eventuale rigetto di dati anomali. Stima più attendibile della grandezza misurata: x Stima dell’interminazione: σx . – p. 1/21 SOMMARIO DELLE MISURE DIRETTE Studio delle caratteristiche degli strumenti usati, evidenziare possibili errori sistematici, correggerli. Effettuare misure ripetute, se possibile. Trattazione statistica dell’indeterminazione. Se non è possibile, assumere come indeterminazione l’inverso della sensibilità dello strumento. Applicare il criterio del 3σ per l’eventuale rigetto di dati anomali. Stima più attendibile della grandezza misurata: x Stima dell’interminazione: σx . Significato statistico: semiampiezza dell’intervallo di confidenza centrato sulla media e avente probabilità di includere il valore vero pari al 68% – p. 1/21 LA DISTRIBUZIONE DI POISSON Distribuzione discreta detta degli eventi rari. – p. 2/21 LA DISTRIBUZIONE DI POISSON Distribuzione discreta detta degli eventi rari. Limite della binomiale quando p → 0 e n → ∞, tale per cui λ = np rimane finito. – p. 2/21 LA DISTRIBUZIONE DI POISSON Distribuzione discreta detta degli eventi rari. Limite della binomiale quando p → 0 e n → ∞, tale per cui λ = np rimane finito. Corrisponde a realizzare un grandissimo numero di prove bernoulliane, ove la probabilità di successo della singola prova è estremamente bassa. – p. 2/21 LA DISTRIBUZIONE DI POISSON Distribuzione discreta detta degli eventi rari. Limite della binomiale quando p → 0 e n → ∞, tale per cui λ = np rimane finito. Corrisponde a realizzare un grandissimo numero di prove bernoulliane, ove la probabilità di successo della singola prova è estremamente bassa. Si applica alle misure di conteggio, ovvero allo studio di fenomeni (nello spazio o nel tempo) di cui siamo interessati al numero di occorrenze, indipendentemente dall’ordine. Fenomeni intrinsecamente discreti, soggetti a fluttuazioni. – p. 2/21 LA DISTRIBUZIONE DI POISSON Distribuzione discreta detta degli eventi rari. Limite della binomiale quando p → 0 e n → ∞, tale per cui λ = np rimane finito. Corrisponde a realizzare un grandissimo numero di prove bernoulliane, ove la probabilità di successo della singola prova è estremamente bassa. Si applica alle misure di conteggio, ovvero allo studio di fenomeni (nello spazio o nel tempo) di cui siamo interessati al numero di occorrenze, indipendentemente dall’ordine. Fenomeni intrinsecamente discreti, soggetti a fluttuazioni. Esempio 1: decadimento radioattivo di un nucleo instabile. Il numero di nuclei che potenzialmente possono decadere è molto grande (per una mole di materiale radioattivo il numero di nuclei è dell’ordine di 1023 , numero di Avogadro). La probabilità di "successo" (decadimento) per ogni nucleo è molto piccola. Esempio 2: conteggi di fotoni provenienti da una sorgente celeste per mezzo di un fotorivelatore (ad es: CCD) – p. 2/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE La distribuzione di Poisson può essere anche derivata direttamente in un modo che mostra come essa possa essere applicata a situazioni reali. – p. 3/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE La distribuzione di Poisson può essere anche derivata direttamente in un modo che mostra come essa possa essere applicata a situazioni reali. Consideriamo un rivelatore in grado di contare il numero di fotoni provenienti da una sorgente celeste (stella, galassia) nell’intervallo di tempo ∆t. – p. 3/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE La distribuzione di Poisson può essere anche derivata direttamente in un modo che mostra come essa possa essere applicata a situazioni reali. Consideriamo un rivelatore in grado di contare il numero di fotoni provenienti da una sorgente celeste (stella, galassia) nell’intervallo di tempo ∆t. La distribuzione di Poisson si basa su tre assunzioni di base, elencate nella diapositiva che segue. – p. 3/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE La distribuzione di Poisson può essere anche derivata direttamente in un modo che mostra come essa possa essere applicata a situazioni reali. Consideriamo un rivelatore in grado di contare il numero di fotoni provenienti da una sorgente celeste (stella, galassia) nell’intervallo di tempo ∆t. La distribuzione di Poisson si basa su tre assunzioni di base, elencate nella diapositiva che segue. La generalità delle assunzione permette di utilizzare questo tipo di modello per analizzare diversi sistemi reali. – p. 3/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE Si assumano le seguenti ipotesi: 1. La probabilità di contare un fotone in ∆t è proporzionale a ∆t quando ∆t è infinitesimo: P (1; dt) = λ dt – p. 4/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE Si assumano le seguenti ipotesi: 1. La probabilità di contare un fotone in ∆t è proporzionale a ∆t quando ∆t è infinitesimo: P (1; dt) = λ dt 2. La probabilità di osservare più di un fotone in intervallo infinitesimo dt sia trascurabile rispetto a quella che ne arrivi esattamente uno. In altre parole, o contiamo un fotone o non ne contiamo nessuno. P (1; dt) + P (0; dt) = 1 se l’intervallo di tempo dt è infinitesimo. – p. 4/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE Si assumano le seguenti ipotesi: 1. La probabilità di contare un fotone in ∆t è proporzionale a ∆t quando ∆t è infinitesimo: P (1; dt) = λ dt 2. La probabilità di osservare più di un fotone in intervallo infinitesimo dt sia trascurabile rispetto a quella che ne arrivi esattamente uno. In altre parole, o contiamo un fotone o non ne contiamo nessuno. P (1; dt) + P (0; dt) = 1 se l’intervallo di tempo dt è infinitesimo. 3. Il numero di fotoni che arrivano in un intervallo finito sia indipendente dal numero di fotoni che arrivano in un altro intervallo disgiunto → eventi compatibili indipendenti. – p. 4/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE Si assumano le seguenti ipotesi: 1. La probabilità di contare un fotone in ∆t è proporzionale a ∆t quando ∆t è infinitesimo: P (1; dt) = λ dt 2. La probabilità di osservare più di un fotone in intervallo infinitesimo dt sia trascurabile rispetto a quella che ne arrivi esattamente uno. In altre parole, o contiamo un fotone o non ne contiamo nessuno. P (1; dt) + P (0; dt) = 1 se l’intervallo di tempo dt è infinitesimo. 3. Il numero di fotoni che arrivano in un intervallo finito sia indipendente dal numero di fotoni che arrivano in un altro intervallo disgiunto → eventi compatibili indipendenti. Problema: Qual è la probabilità che in un intervallo di tempo t il fotorivelatore conti esattamente un numero prefissato x di fotoni ? – p. 4/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE Dalle ipotesi assunte si ha: P (1; dt) = λ dt =⇒ P (0; dt) = 1 − λ dt – p. 5/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE Dalle ipotesi assunte si ha: P (1; dt) = λ dt =⇒ P (0; dt) = 1 − λ dt Qual è la probabilità che in un intervallo di tempo t si osservino x = 0 fotoni ? – p. 5/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE Dalle ipotesi assunte si ha: P (1; dt) = λ dt =⇒ P (0; dt) = 1 − λ dt Qual è la probabilità che in un intervallo di tempo t si osservino x = 0 fotoni ? Essa è pari alla probabilità composta che zero fotoni arrivino in t − dt e zero fotoni arrivino nel successivo intervallo dt. Poichè i due intervalli temporali non sono sovrapposti, gli eventi sono compatibili indipendenti: P (0; t) = P (0; t − dt) P (0; dt) – p. 5/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE Dalle ipotesi assunte si ha: P (1; dt) = λ dt =⇒ P (0; dt) = 1 − λ dt Qual è la probabilità che in un intervallo di tempo t si osservino x = 0 fotoni ? Essa è pari alla probabilità composta che zero fotoni arrivino in t − dt e zero fotoni arrivino nel successivo intervallo dt. Poichè i due intervalli temporali non sono sovrapposti, gli eventi sono compatibili indipendenti: P (0; t) = P (0; t − dt) P (0; dt) Utilizzando le assunzioni 1. e 2. si ha: P (0; t) = P (0; t − dt) [1 − P (1; dt)] = P (0; t − dt) [1 − λdt], da cui P (0; t) − P (0; t − dt) = −λP (0; t − dt) dt – p. 5/21 LA DISTRIBUZIONE DI POISSON Questa corrisponde all’equazione differenziale: d P (0; t) = −λ P (0; t) −→ P (0; t) = e−λt + cost. dt – p. 6/21 LA DISTRIBUZIONE DI POISSON Questa corrisponde all’equazione differenziale: d P (0; t) = −λ P (0; t) −→ P (0; t) = e−λt + cost. dt Da P (0; 0) = 1 si ottiene la costante di integrazione cost = 0 – p. 6/21 LA DISTRIBUZIONE DI POISSON Questa corrisponde all’equazione differenziale: d P (0; t) = −λ P (0; t) −→ P (0; t) = e−λt + cost. dt Da P (0; 0) = 1 si ottiene la costante di integrazione cost = 0 – p. 6/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE Consideriamo la probabilità che x fotoni arrivino nell’intervallo t + dt. In base alle assunzioni fatte ci sono solo due possibilità: – p. 7/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE Consideriamo la probabilità che x fotoni arrivino nell’intervallo t + dt. In base alle assunzioni fatte ci sono solo due possibilità: 1. x fotoni arrivano in t e 0 arrivano in dt. – p. 7/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE Consideriamo la probabilità che x fotoni arrivino nell’intervallo t + dt. In base alle assunzioni fatte ci sono solo due possibilità: 1. x fotoni arrivano in t e 0 arrivano in dt. 2. x − 1 fotoni arrivano in t e 1 arrivano in dt – p. 7/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE Consideriamo la probabilità che x fotoni arrivino nell’intervallo t + dt. In base alle assunzioni fatte ci sono solo due possibilità: 1. x fotoni arrivano in t e 0 arrivano in dt. 2. x − 1 fotoni arrivano in t e 1 arrivano in dt Poichè le due combinazioni sono incompatibili si deve applicare il teorema della probabilità totale; e ricordando le relazioni P (1; dt) = λ dt P (x; t + dt) = P (x − 1; t) · P (1; dt) + P (x; t) · P (0; dt) = P (x − 1; t) λ dt + P (x; t) (1 − λ dt) Quindi si ottiene l’equazione differenziale: P (x; t + dt) − P (x; t) d ≡ P (x; t) = −λ P (x; t) + λ P (x − 1; t) dt dt – p. 7/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE Si tratta di un’equazione differenziale recursiva che lega P (x; t) a P (x − 1; t). Riscriviamola nella forma: d P (x; t) + λ P (x; t) = λ P (x − 1; t) dt – p. 8/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE Si tratta di un’equazione differenziale recursiva che lega P (x; t) a P (x − 1; t). Riscriviamola nella forma: d P (x; t) + λ P (x; t) = λ P (x − 1; t) dt Moltiplichiamo tutti i termini per eλt : d P (x; t) + λ eλt P (x; t) = λ eλt P (x − 1; t) e dt λt – p. 8/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE Si tratta di un’equazione differenziale recursiva che lega P (x; t) a P (x − 1; t). Riscriviamola nella forma: d P (x; t) + λ P (x; t) = λ P (x − 1; t) dt Moltiplichiamo tutti i termini per eλt : d P (x; t) + λ eλt P (x; t) = λ eλt P (x − 1; t) e dt λt Il membro di sinistra può essere espresso come una derivata totale: d λt e P (x; t) = λ eλt P (x − 1; t) dt – p. 8/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE d λt e P (x; t) = λ eλt P (x − 1; t) dt Integriamo rispetto a t: λt e P (x; t) = Z t 0 λ eλτ P (x − 1; τ )dτ + cost. – p. 9/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE d λt e P (x; t) = λ eλt P (x − 1; t) dt Integriamo rispetto a t: λt e P (x; t) = Z t 0 λ eλτ P (x − 1; τ )dτ + cost. Si noti che per t = 0 −→ P (x; 0) = 0, l’integrale è identicamente nullo per cui la costante di integrazione è pure cost = 0. Otteniamo quindi: P (x; t) = λe−λt Z 0 t eλτ P (x − 1; τ )dτ – p. 9/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE Applichiamo la relazione recursiva per x = 1 per ottenere P (1; t). P (1; t) = λ e −λt = λ e−λt = λ e−λt Z Z Z t eλτ P (0; τ )dτ 0 t eλτ e−λτ dτ 0 t dτ 0 = λ t e−λt – p. 10/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE Applichiamo la relazione recursiva per x = 1 per ottenere P (1; t). P (1; t) = λ e −λt = λ e−λt = λ e−λt Z Z Z t eλτ P (0; τ )dτ 0 t eλτ e−λτ dτ 0 t dτ 0 = λ t e−λt Quindi applichiamo la formula recursiva per x = 2 per ottenere P (2; t); poi per x = 3 per ottenere P (3; t) e così via. – p. 10/21 Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE Applichiamo la relazione recursiva per x = 1 per ottenere P (1; t). P (1; t) = λ e −λt = λ e−λt = λ e−λt Z Z Z t eλτ P (0; τ )dτ 0 t eλτ e−λτ dτ 0 t dτ 0 = λ t e−λt Quindi applichiamo la formula recursiva per x = 2 per ottenere P (2; t); poi per x = 3 per ottenere P (3; t) e così via. Infine, per un valore arbitrario si ha: (λt)x −λt e P (x; t) = x! – p. 10/21 DISTR. DI POISSON: VALORE DI ASPETTAZIONE x è la variabile casuale discreta, e λ è un parametro, il cui significato è quello di rate o tasso medio di arrivo dei fotoni nell’unità di tempo (in unità di [ fotoni /s]). – p. 11/21 DISTR. DI POISSON: VALORE DI ASPETTAZIONE x è la variabile casuale discreta, e λ è un parametro, il cui significato è quello di rate o tasso medio di arrivo dei fotoni nell’unità di tempo (in unità di [ fotoni /s]). Per comprendere meglio, valutiamo il valore di aspettazione, ovvero il numero atteso di fotoni nell’intervallo di tempo t – p. 11/21 DISTR. DI POISSON: VALORE DI ASPETTAZIONE x è la variabile casuale discreta, e λ è un parametro, il cui significato è quello di rate o tasso medio di arrivo dei fotoni nell’unità di tempo (in unità di [ fotoni /s]). Per comprendere meglio, valutiamo il valore di aspettazione, ovvero il numero atteso di fotoni nell’intervallo di tempo t Ponendo µ = λt, otteniamo: µx −µ P (x; µ) = e x! – p. 11/21 DIST. DI POISSON VALORE DI ASPETTAZIONE E(x) +∞ X µx −µ e = x x! x=0 +∞ X µx −µ = e x x! x=1 +∞ X µx−1 −µ = µe (x − 1)! x=1 = µ e−µ +∞ y X µ y=0 y! = µ e−µ eµ = µ E(x) = µ = λt da cui si comprende che λ rappresenta il tasso medio di arrivo dei fotoni. – p. 12/21 DIST. DI POISSON VALORE DI ASPETTAZIONE E(x) +∞ X µx −µ e = x x! x=0 +∞ X µx −µ = e x x! x=1 +∞ X µx−1 −µ = µe (x − 1)! x=1 = µ e−µ +∞ y X µ y=0 y! = µ e−µ eµ = µ E(x) = µ = λt da cui si comprende che λ rappresenta il tasso medio di arrivo dei fotoni. Si noti che λt corrisponde al parametro n p della distribuzione binomiale. – p. 12/21 DISTRIBUZIONE DI POISSON: VARIANZA 2 E(x ) = +∞ X 2µ x x=0 x x! e−µ +∞ X µx−1 −µ = µ e x (x − 1)! x=1 = µ +∞ X x=1 µx−1 −µ e (x − 1) + 1 (x − 1)! " +∞ # +∞ y y X µ Xµ −µ = µ y e + e−µ y! y! y=0 y=0 = µ " +∞ X y=0 2 V ar(x) = E x − E(x) 2 y P (y) + +∞ X y=0 # P (y) = µ (µ + 1) = µ (µ + 1) − µ2 = µ coincide E(x). – p. 13/21 LA DISTRIBUZIONE DI POISSON – p. 14/21 LA DISTRIBUZIONE DI POISSON link: Come dipende la dist. di Poisson dal parametro µ All’aumentare di µ la poissoniana diventa sempre più simmetrica fino a convergere verso a distribuzione di Gauss. – p. 15/21 LA DISTRIBUZIONE DI POISSON link: Come dipende la dist. di Poisson dal parametro µ All’aumentare di µ la poissoniana diventa sempre più simmetrica fino a convergere verso a distribuzione di Gauss. La poissoniana può essere utilizzata per approssimare la binomiale nel caso in cui il numero di prove n → ∞ e p → 0, in modo tale che n p sia finito. La poissoniana corrispondente è quella definita dal parametro µ = np. n! P (x; n) = px q n−x = x! (n − x)! µx µ n−x µx −µ n! 1− e ≈ x! (n − x)! n n x! – p. 15/21 Una tipica applicazione astronomica In Astronomia un tipico fenomeno rappresentato dalla statistica di Poisson è il conteggio di dei fotoni provenienti da una sorgente luminosa su di un dispositivo fotorivelatore. – p. 16/21 Una tipica applicazione astronomica In Astronomia un tipico fenomeno rappresentato dalla statistica di Poisson è il conteggio di dei fotoni provenienti da una sorgente luminosa su di un dispositivo fotorivelatore. Anche assumendo che il sensore sia esposto ad una sorgente uniforme, la risposta che ne deriva non è uniforme: ogni elemento rivelatore, detto pixel, registrerà un numero di fotoni incidenti leggermente diverso e l’aspetto globale dell’immagine astronomica è quello di un’immagine granulosa, rumorosa, che varia senza alcuna possibilità di previsione da un pixel all’altro e in funzione del tempo. – p. 16/21 Una tipica applicazione astronomica In Astronomia un tipico fenomeno rappresentato dalla statistica di Poisson è il conteggio di dei fotoni provenienti da una sorgente luminosa su di un dispositivo fotorivelatore. Anche assumendo che il sensore sia esposto ad una sorgente uniforme, la risposta che ne deriva non è uniforme: ogni elemento rivelatore, detto pixel, registrerà un numero di fotoni incidenti leggermente diverso e l’aspetto globale dell’immagine astronomica è quello di un’immagine granulosa, rumorosa, che varia senza alcuna possibilità di previsione da un pixel all’altro e in funzione del tempo. Il numero di fotoni che giungono in un intervallo di tempo (o di spazio) sul singolo pixel segue la statistica di Poisson, poichè i) il numero di fotoni totali è enorme, ii) mentre è bassa la probabilità diincidenza, iii) ed essi sono eventi indipendenti l’uno dall’altro. – p. 16/21 Una tipica applicazione astronomica Dunque se n è il numero di fotoni conteggiati da un certo pixel (convenzionalmente si parla di segnale S = n), l’indeterminazione sul conteggio (convenzionalmente si parla di rumore N - dall’inglese √ noise) è N = n, per cui il parametro “rapporto segnale-rumore”, è √ dato da S/N = n. – p. 17/21 Una tipica applicazione astronomica Dunque se n è il numero di fotoni conteggiati da un certo pixel (convenzionalmente si parla di segnale S = n), l’indeterminazione sul conteggio (convenzionalmente si parla di rumore N - dall’inglese √ noise) è N = n, per cui il parametro “rapporto segnale-rumore”, è √ dato da S/N = n. Maggior numero di fotoni, migliore è la qualità dell’immagine astronomica. – p. 17/21 Una tipica applicazione astronomica Dunque se n è il numero di fotoni conteggiati da un certo pixel (convenzionalmente si parla di segnale S = n), l’indeterminazione sul conteggio (convenzionalmente si parla di rumore N - dall’inglese √ noise) è N = n, per cui il parametro “rapporto segnale-rumore”, è √ dato da S/N = n. Maggior numero di fotoni, migliore è la qualità dell’immagine astronomica. Grande apertura dei telescopi (collecting area) / lunghi tempi di esposizione. – p. 17/21 Una tipica applicazione astronomica Pannello sinistro: immagine uniformemente illuminata Pannello destro: immagine con rumore di Poisson. a): Immagine simulata di galassie e stelle b): Immagine simulata con aggiunta di rumore poissoniano. – p. 18/21 LA DISTRIBUZIONE UNIFORME CONTINUA La variabile casuale x solo valori in [a, b], tutti equiprobabili. – p. 19/21 LA DISTRIBUZIONE UNIFORME CONTINUA La variabile casuale x solo valori in [a, b], tutti equiprobabili. La densità di probabilità f (x) =cost in [a, b], nulla esternamente all’intervallo. – p. 19/21 LA DISTRIBUZIONE UNIFORME CONTINUA La variabile casuale x solo valori in [a, b], tutti equiprobabili. La densità di probabilità f (x) =cost in [a, b], nulla esternamente all’intervallo. la cost. deriva dalla condizione di normalizzazione. per x < a e per x > b; f (x) = 0 f (x) = 1 = cost. b−a per a ≤ x ≤ b. – p. 19/21 LA DISTRIBUZIONE UNIFORME CONTINUA – p. 20/21 LA DISTRIBUZIONE UNIFORME CONTINUA a+b Valore di aspettazione E(x) = 2 – p. 21/21 LA DISTRIBUZIONE UNIFORME CONTINUA a+b Valore di aspettazione E(x) = 2 (b − a)2 Varianza V ar(x) = 12 – p. 21/21 LA DISTRIBUZIONE UNIFORME CONTINUA a+b Valore di aspettazione E(x) = 2 (b − a)2 Varianza V ar(x) = 12 b−a ≈ 0.3(b − a) σ= √ 12 – p. 21/21 LA DISTRIBUZIONE UNIFORME CONTINUA a+b Valore di aspettazione E(x) = 2 (b − a)2 Varianza V ar(x) = 12 b−a ≈ 0.3(b − a) σ= √ 12 Usata per trattare gli errori ogni qual volta si sa con sicurezza che una certa variabile è contenuta in un certo intervallo, ma non si ha alcun motivo per ritenere alcuni valori più plausibili di altri. – p. 21/21