Per ogni numero reale m vale la disuguaglianza: 1 + m 4 > m Dim. 1

SOLUZIONE DEL PROBLEMA DI SETTEMBRE 2002
PROPOSIZIONE 1
Per ogni numero reale m vale la disuguaglianza:
1 + m4 > m
Dim.
1° caso) m < 1 : banalmente m < 1 ≤ 1+ m4 e quindi 1 + m4 > m;
2° caso) m ≥ 1 : moltiplicando ripetutamente ambo i membri per il numero positivo m
si ha m2 ≥ m ; m3 ≥ m2 e m4 ≥ m3 da cui m4 ≥ m, ma 1 + m4 > m4 e
quindi 1 + m4 > m.
PROPOSIZIONE 2
Per ogni coppia di numeri reali (x; y) con x ≠ 0 vale la disuguaglianza:
x4 + y4 > x3 y
Dim.
y
in virtù della prop.1 si ha:
x
Ponendo m =
4
y
y
1 +   >  
x
x
da cui moltiplicando ambo i membri per il numero positivo x4 si ottiene: x4 + y4 > x3 y.
PROPOSIZIONE 3
x4 + y4 = x3 y
sse x=0 e y=0
Dim
Se x=0 e y=0 si ha banalmente l’uguaglianza. Viceversa se x4 + y4 = x3 y allora per la
prop.2 necessariamente x=0. Supponiamo ora che la coppia (0;y) sia una soluzione
dell’equazione, si avrà: y4 = 0 , da cui necessariamente y=0.
CONCLUSIONE
Dall’osservazione che per ogni coppia del tipo (0; y) la relazione x4 + y4 ≥ x3 y
è vera perché si riduce a: y4 ≥ 0 e in virtù della prop.2 si può concludere che:
per ogni coppia di numeri reali x e y vale la relazione x4 + y4 ≥ x3 y
Per la prop.3 possiamo concludere che
si ha l’uguaglianza solo nel caso x=0 e y=0.