Frazioni e numeri decimali

FRAZIONI E NUMERI DECIMALI 1
Frazioni e numeri decimali
Def.
I numeri razionali sono quozienti fra due numeri naturali e si rappresentano
tramite le frazioni.
I numeri razionali possono essere:
1. un numero naturale:
10
= 10 ∶ 5 = 2,0 = 2
5
2. un numero decimale limitato, cioè con un numero finito di cifre
decimali:
3
= 3 ∶ 5 = 0,6
5
3. un numero decimale illimitato, cioè con un numero infinito di cifre
decimali:
5
= 5 ∶ 3 = 1,66666666 …
3
NUMERI DECIMALI LIMITATI
Senza eseguire l’operazione è possibile stabilire se una frazione da origine ad
un decimale limitato:
 Frazione decimale: ha come denominatore una potenza di 10 (10,
100, 1000, …). Si può sempre trasformare in un numero decimale
limitato.
Esempio:
71
= 71: 10 = 7,1
10
243
= 2,43
100
FRAZIONI E NUMERI DECIMALI 2
 Frazioni ordinarie
Def:
Una frazione irriducibile si può trasformare in un numero decimale limitato
se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene solo i fattori 2 e 5
o solo uno di essi.
Esempio:
33
33
= 2 2  numero decimale limitato
100
2 ∙5
12
6
50
=
13
200
25
=
=
6
52
13
23 ∙52
 numero decimale limitato
 numero decimale limitato
Def:
un numero PERIODICO, ha un gruppo di cifre decimali che si ripetono.
PERIODICO SEMPLICE: si ripetono tutte le cifre dopo la virgola
̅̅̅̅̅ = 3,214214214214214 ….
Es: 3, 214
PERIODICO MISTO: le prime cifre non si ripetono
(ANTIPERIODO),
le altre si ripetono (PERIODO)
̅̅̅̅ = 4,217474747474 ….
ES: 4,2174
21 è antiperiodo
74 è periodo
Regola 2:
Una frazione irriducibile si può trasformare in un numero decimale
periodico semplice se il suo denominatore, scomposto in fattori primi,
contiene solo fattori diversi da 2 e da 5.
Esempio:
2
2
=
 numero decimale periodico semplice
33
25
231
11∙3
=
25
3∙7∙11
numero periodico semplice
FRAZIONI E NUMERI DECIMALI 3
Regola 3:
Una frazione irriducibile si può trasformare in un numero decimale
periodico misto se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene i
fattori primi 2 e 5 (entrambi o solo uno) e altri fattori.
Esempio:
7
7
=
 numero decimale periodico misto
22
31
75
2∙11
=
31
3∙52
 numero decimale periodico misto
DAI NUMERI DECIMALI ALLE FRAZIONI
1) DECIMALI LIMITATI
La frazione generatrice di un numero decimale limitato è la frazione che
ha per numeratore il numero naturale ottenuto togliendo la virgola nel
numero dato e per denominatore la cifra 1 seguita da tanti zeri quante sono le
cifre decimali del numero considerato.
Esempi:
3,219 =
3219
1000
0,6352 =
6352
10000
2) DECIMALI ILLIMITATI
La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice ha per
numeratore il numero naturale senza virgola diminuito della parte intera e per
denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo.
Esempi:
13025 − 13 13012
=
999
999
25841 − 25 25816
̅̅̅̅̅ =
25, 841
=
999
999
34 − 3 31
3, 4̅ =
=
9
9
̅̅̅̅̅ =
13, 025
FRAZIONI E NUMERI DECIMALI 4
La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto ha per
numeratore il numero naturale senza virgola diminuito del numero formato
dalla parte intera e dall’antiperiodo e per denominatore tanti 9 quante sono le
cifre del periodo e tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo.
Esempi:
12,56̅ =
1256 − 125 1131
=
90
90
610 − 6
604
=
9900
9900
2315 − 23 2292
̅̅̅̅ =
2,315
=
990
990
̅̅̅̅ =
0,0610
NUMERI RAZIONALI
Frazioni apparenti
Frazioni non apparenti
Numeri naturali
Numeri decimali
limitati
illimitati
periodici semplici
periodici misti