LEZIONE. 3
L’ELASTICITA’
Estratto dalla Tesi di Laurea in Matematica
“Strumenti Matematici per lo Studio dell’Economia”
di Ginella MERCURI
Università degli Studi della Calabria
A.A. 2004-2005
Relatore Prof. Renato Guzzardi
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L’elasticità della domanda rispetto al prezzo.
<<Informazioni del tipo di quelle concernenti l’andamento ascendente o discendente di una curva
sono dette qualitative e gli asserti basati su queste informazioni vengono chiamati asserti
qualitativi. Sono tali le conclusioni cui siamo giunti nell’analisi precedente. Infatti, tali conclusioni
concernono la direzione del mutamento del prezzo e della quantità di equilibrio a seguito di
spostamenti delle curve di domanda e/o offerta.
Ora, in alcune situazioni, la conoscenza degli andamenti delle curve è tutto quanto si richiede al fine
di risolvere determinati problemi; ma già nel caso in cui le curve di domanda e di offerta si spostano
simultaneamente non è più possibile dire alcunché circa il livello del nuovo prezzo di equilibrio
sulla base di informazioni solo qualitative.
In quel caso, infatti, per conoscere la dimensione del mutamento medesimo occorre conoscere le
pendenze delle curve di domanda e di offerta, e la pendenza di una curva è una tipica informazione
quantitativa.
In non poche situazioni, però, soffermarsi sulla pendenza di una curva può trarre pericolosamente
in inganno, dal momento che la pendenza dipende dalla scelta delle unità di misura con cui si
esprimono quantità e prezzo. Ecco perché è importante avere a disposizione uno strumento che
misuri di quanto varia la quantità domandata al variare del prezzo, ma che non dipenda dalla scelta
dell’unità di misura con cui si esprimono prezzi e quantità.
A ciò provvede la nozione di elasticità della domanda rispetto al prezzo.>>
Il concetto di elasticità rappresenta in economia uno strumento introdotto nell’analisi economica
piuttosto recentemente.
Definiamo elasticità della domanda di una merce rispetto al prezzo della stessa (eD) il rapporto
tra la variazione percentuale della quantità domandata (che si ha in conseguenza a una data
variazione di prezzo) e la variazione percentuale del prezzo.
In simboli:
eD
q p q p
q
p p q
dove “” denota una variazione finita piccola a piacere.
I valori assunti dall’elasticità indicano le variazioni percentuali subite dalla variabile dipendente
quando il valore della variabile indipendente viene fatto variare dell’ 1%.
Il valore dell’elasticità della domanda rispetto al prezzo indica, quindi, la variazione percentuale
subita dalla quantità domandata quando il prezzo viene modificato (aumentato o diminuito)
dell’1%.
2
Considerando variazioni infinitesime e richiamando alla mente la nozione di derivata, la formula
dell’elasticità diventa:
eD
dq p
,
dp q
dove
dq
q
lim
dp p0 p
e poiché:
d (log q) d (log q) dq
dp
1 dq
p eD
d (log p)
dq
dp d (log p) q dp
si ha che l’elasticità di q rispetto a p è la derivata del logaritmo di q rispetto al logaritmo di p.
Due osservazioni sono qui opportune:
i. mutando l’unità di misura delle grandezze prezzo e quantità non sorge alcuna difficoltà, dal
momento che nella formula dell’elasticità entrano solo variazioni relative e perciò numeri
puri. (E’ puro un numero privo di dimensione logica).Si consideri infatti la variazione relativa
della quantità q/q. E’ chiaro che, mutando unità di misura, il valore del rapporto non muta,
dato che numeratore e denominatore sono espressi nella medesima unità. L’elasticità, essendo
il rapporto tra due numeri puri, è anch’essa un numero puro.
ii. l’elasticità – nozione che la scienza economica ha mutuato pari pari dalla fisica – è un indice
di reattività; nel caso in questione, della reattività della quantità domandata ad una variazione
di prezzo. Discende da ciò che i valori assunti dal coefficiente di elasticità vengono ordinati
in base ai valori assoluti e non ai valori algebrici. Così un’elasticità pari a -2, è maggiore di
un’elasticità pari a -1, anche se algebricamente sarebbe vero il contrario.
Ora, poiché la curva di domanda è discendente da sinistra verso destra, è chiaro che se p è
maggiore di zero, cioè se il prezzo aumenta, q dovrà risultare minore di zero, cioè la quantità
domandata diminuisce.
Se ne trae che eD è sempre un numero negativo, a causa del rapporto inverso che lega la domanda
al prezzo. Una volta che ciò sia compreso, possiamo tranquillamente dimenticarci del segno
algebrico avendo presente di fare sempre riferimento al valore assoluto quando parleremo del
coefficiente di elasticità; di conseguenza formalmente l’elasticità della domanda è definita come
segue:
eD 1
Variazione percentuale nella quantità
.
Variazione percentuale nel prezzo
3
Il valore dell’elasticità può variare da zero all’infinito. L’elasticità è uguale a zero quando non si
verifica nessun cambiamento nella quantità domandata al variare del prezzo; la domanda non
reagisce affatto al variare del prezzo. Quanto maggiore è il valore dell’elasticità, tanto più ampio è il
mutamento percentuale nella quantità domandata che si verifica di fronte a una data variazione
percentuale del prezzo. Quindi quanto più il valore dell’elasticità della domanda è inferiore
all’unità, tanto maggiore è la variazione percentuale del prezzo rispetto alla variazione percentuale
della quantità domandata. Quando l’elasticità è uguale all’unità, le due variazioni percentuali, del
prezzo e della quantità domandata, sono tra di loro uguali. Mentre, quando la variazione percentuale
della quantità domandata è superiore alla variazione percentuale del prezzo, il valore dell’elasticità
della domanda è superiore all’unità.
Quando la variazione percentuale della quantità domandata è inferiore alla variazione percentuale
del prezzo (elasticità minore dell’unità) la domanda è denominata anelastica o rigida. Quando la
variazione percentuale della quantità domandata è superiore alla variazione percentuale del prezzo
(elasticità maggiore dell’unità) la domanda è denominata elastica.
La discussione che precede è riassunta nella tabella seguente:
u ociVorun erolaV
lrii'riccllalle
Descrizione
Terminologia
eD=0
La quantità domandata non
varia al variare del prezzo
La domanda è
completamente
anelastica o rigida
0<eD<1
La quantità domandata varia;
ma la sua variazione
percentuale è inferiore alla
variazione percentuale del
prezzo
Anelastica o rigida
eD=1
La quantità domandata varia;
la sua variazione percentuale è
uguale alla variazione
percentuale del prezzo
Elasticità uguale
all' unità o unitaria
1<eD<
La quantità domandata varia; la
sua variazione percentuale è
superiore alla variazione
percentuale del prezzo
Elastica
eD=
I consumatori sono disposti a
comperare tutta la quantità
disponibile a un certo prezzo e
niente a un prezzo, anche
leggermente, superiore
Perfettamente o
infinitamente
elastica
4
Un metodo geometrico di misurazione dell’elasticità:
Il concetto di elasticità è stato anche tradotto graficamente, secondo una rappresentazione che ormai
fa parte delle elaborazioni classiche acquisite alla teoria economica.
Così, per misurare il coefficiente di elasticità in un punto qualsiasi della curva di domanda è stato
proposto un metodo geometrico particolarmente conveniente.
Si consideri il punto P sulla curva di domanda D rappresentato in figura 19.
Figura 19.
Si mandi la tangente in P alla curva medesima, FC.
Applicando la definizione, riscriviamo la formula dell’elasticità come segue:
eD p / q /
p
.
q
Allora nel punto P della figura 19 si ha che:
eD
BP
OB
BP BC
BC OB
essendo BP la misura del prezzo del bene, OB quella della quantità domandata e BP/BC quella del
coefficiente angolare della tangente della curva nel punto P.
In parole, l’elasticità della domanda rispetto al prezzo è misurata, graficamente, dal rapporto tra
le lunghezze dei due segmenti dell’asse orizzontale individuati dall’intercetta su tale asse della
tangente geometrica alla curva di domanda nel punto considerato e dalla perpendicolare, da quel
punto, sul medesimo asse.
5
Analogamente, considerando i triangoli simili FPA e PCB, si constata immediatamente che
l’elasticità nel punto P è pure misurata dai rapporti:
eD
CP
PF
e
eD
OA
.
AF
Naturalmente, se la curva di domanda fosse lineare, l’applicazione del metodo precedente
risulterebbe maggiormente spedita, dal momento che la tangente alla curva coinciderebbe con la
curva stessa.
Il valore dell’elasticità in un punto è dunque il prodotto di due fattori: la pendenza della curva
rispetto all’asse del prezzo e il rapporta tra prezzo e quantità nel punto in considerazione.
Il notevole vantaggio di tale metodo è quello di consentirci di cogliere, a prima vista, la legge di
variazione dell’elasticità, man a mano che ci si muove lungo la curva di domanda.
Come si constata, osservando la figura 19, il rapporto BC/OB (ovvero i rapporti CP/PF e
OA/AF) diminuisce per movimenti lungo la curva di domanda da sinistra verso destra.
In generale, dunque, l’elasticità è diversa nei vari punti della curva di domanda.
E’ questa la ragione che rende necessario, sul piano teorico, il concetto di elasticità puntuale, quale
è espresso dalla formula della definizione di elasticità data all’inizio .
Ancora, è importante osservare che il concetto di elasticità non va confuso con quello di pendenza
in un punto della curva di domanda, componente quest’ultima della definizione di elasticità.
6
Elasticità puntuale e elasticità di una curva.
Si consideri una curva di domanda lineare che taglia entrambi gli assi cartesiani (figura 20).
Figura 20.
Applicando il metodo geometrico di misurazione dell’elasticità, si può dedurre che il coefficiente
di elasticità varia da (meno) infinito, nel punto in cui la retta interseca l’asse verticale, a zero, nel
punto in cui essa interseca l’asse orizzontale. Nel punto intermedio, essa assume valore unitario
essendo, per costruzione BC=OC.
Ciò conferma le due osservazioni precedenti e cioè che l’elasticità varia a seconda del punto sulla
curva che si considera e che l’elasticità non va confusa con la pendenza (la pendenza della retta di
domanda AB della figura 20 è ovviamente costante, ma l’elasticità varia lungo di essa).
Vi sono, tuttavia, tre categorie di curve di domanda che presentano lo stesso valore del
coefficiente di elasticità in ogni loro punto (figura 21).
Figura 21.
7
Si tratta delle:
1. curve lineari e parallele all’asse delle ascisse, la cui elasticità è ovunque , e che
vengono denominate curve perfettamente elastiche;
2. curve lineari e parallele all’asse delle ordinate, la cui elasticità è ovunque zero, e che
vengono denominate curve completamente rigide;
3. curve rappresentate da un’iperbole equilatera, la cui elasticità è ovunque uguale all’unità.
k
Infatti, sia q
la funzione di domanda, dove k è una costante positiva arbitraria.
p
Applicando la formula dell’elasticità
eD
dq p
,
dp q
si ricava:
eD
k p
1 1.
p2 k p
Al di fuori di questi tre casi , non è corretto confrontare il grado di elasticità di curve tra loro
diverse, proprio perché, in generale, l’elasticità varia da punto a punto.
Tuttavia, tali paragoni , possono considerarsi accettabili se dal contesto del discorso risulta chiaro
quali sono i punti o l’insieme di punti rispetto ai quali viene istituito il confronto.
Ad esempio, in figura 20, le due curve lineari di domanda si intersecano in F, punto intermedio
della HG. Allora, istituendo il confronto rispetto a tale punto, si potrà dire che la HG è più elastica
della AB. Non avrebbe invece senso affermare la stessa cosa in generale.
8
Elasticità e spesa totale.
Un approccio alternativo alla misurazione dell’elasticità della domanda rispetto al prezzo, di
largo impiego nelle applicazioni pratiche, è quello basato sulle variazioni della spesa sostenuta dai
consumatori nell’acquisto del bene.
L’ammontare complessivo di moneta che i consumatori spendono per acquistare un certo bene,
determina l’ammontare delle entrate dei produttori che fabbricano e vendono tale bene. Una
diminuzione nella spesa dei consumatori necessariamente comporta una riduzione di uguale
importo nelle entrate dei produttori. Pertanto il problema delle conseguenze di un mutamento del
prezzo sulla spesa complessiva (o totale) dei consumatori, è di estrema importanza. Una
diminuzione di prezzo non significa necessariamente una diminuzione della spesa totale. La spesa
totale diminuisce o aumenta al diminuire del prezzo, a secondo di come la domanda reagisce (ai
mutamenti di prezzo).
Si ha infatti:
se l’elasticità puntuale è maggiore di uno, a seguito di una riduzione modesta del prezzo nel
punto considerato, la spesa totale degli acquirenti aumenta (e viceversa nel caso di aumento
del prezzo);
se l’elasticità puntuale è unitaria, una variazione modesta del prezzo, in aumento o in
diminuzione, non modifica la spesa totale dell’acquirente;
se l’elasticità puntuale è inferiore a uno, una diminuzione lieve del prezzo provoca una
diminuzione della spesa totale (e viceversa nel caso di aumento del prezzo).
Dimostriamo tali relazioni.
Si indichi con S la spesa sostenuta per l’acquisto della quantità q, quando il prezzo della merce è p,
e con S ' la spesa sostenuta per l’acquisto di q ' , quando il prezzo sale da p a p ' .
In simboli:
S pq
e
S ' p' q'
con
p p' e q' q .
Allora, la variazione della spesa è data da:
S S ' S p ' q ' p q ( p p)(q q) pq qp pq pq
dove p denota la variazione (finita) del prezzo e q la variazione (finita) della quantità domandata.
Se p e q sono, come si deve postulare, di modesta entità, il loro prodotto può essere senz’altro
trascurato, così che:
S qp pq .
9
Dividendo primo e secondo membro per p q , otteniamo la variazione percentuale della spesa
conseguente alla variazione di prezzo:
S p q
pq
p
q
Da cui si trae che, a seguito di un aumento di prezzo:
S
0
pq
se e solamente se
p q
.
p q
In altre parole: la spesa aumenta in termini relativi se e solo se la variazione relativa del prezzo
supera la variazione relativa della quantità, ovvero se e solo se l’elasticità è (in valore assoluto)
minore di uno; la spesa non varia se e solo se l’elasticità è uguale ad uno; infine, la spesa diminuisce
se e solo se l’elasticità è maggiore di uno.
Nel caso invece di diminuzione del prezzo, si ha:
S q p
pq
q
p
da cui si trae che:
S
0
pq
se e solo se
q p
q p
e l’interpretazione è la medesima della precedente.
E’ per questa ragione che si è soliti prendere quello unitario come il valore che discrimina
“domande elastiche” e “domande anelastiche”.
Ricorrendo al calcolo differenziale, l’elasticità puntuale della spesa si definisce come:
eS p
d ( pq) p
dp ( pq)
da cui, applicando la regola di differenziazione di un prodotto:
dp
dq
eS p q
dp
dp
p
dq
p
q
dp
pq
1
dq p
p 1
1 eD .
q
dp
q
Dunque, l’elasticità puntuale della spesa è pari all’elasticità puntuale della domanda aumentata
dell’unità.
10
Elasticità d’arco.
Considerando l’elasticità puntuale della domanda, è necessario occuparsi di variazioni di prezzo
infinitesime.
Nella pratica, tuttavia, queste variazioni non risultano mai di tale ordine di grandezza, così che il
valore dell’elasticità calcolato secondo la formula precedente dipende da quale dei due prezzi (e
relativa quantità) viene scelto come base di partenza per i calcoli.
Al fine di evitare tale indeterminatezza e ottenere un unico valore del coefficiente di elasticità,
l’economista calcola la cosiddetta elasticità d’arco, utilizzando la media aritmetica dei valori del
prezzo e della quantità. Vale a dire, se il prezzo della merce passa da p1 a p2 e corrispondentemente
la quantità passa da q1 a q2, la formula dell’elasticità d’arco è :
e Darco
dove p p2 p1
e
q
p
q p1 p 2
q1 q 2
p1 p 2 p q1 q 2
2
2
q q2 q1 .
Quindi, l’elasticità d’arco è una misura dell’elasticità media, cioè dell’elasticità calcolata nel punto
intermedio (M) della corda che congiunge i due punti, H e K, sulla curva di domanda (figura 22).
Figura 22.
E’ chiaro che l’elasticità d’arco ci fornisce una misura approssimata dell’elasticità, e tale misura
risulterà tanto meno esatta quanto più sensibile è la variazione di prezzo che si considera. D’altro
canto, in non poche applicazioni empiriche quando non si conosca la forma esatta della curva di
domanda, è questa la formula dell’elasticità che viene di fatto impiegata.
11
Il concetto di elasticità ha un’applicazione molto vasta in economia.
Esso si applica non solo alla domanda, ma, come si vedrà, anche all’offerta e ad altre funzioni che
vengono normalmente utilizzate da questa disciplina.
In genere l’elasticità trova applicazione in tutte le relazioni tra grandezze caratterizzate dalla
presenza di una variabile indipendente e di una dipendente.
Si è visto che la domanda (quantità domandata per unità di tempo) è funzione di più variabili.
Più precisamente essa è funzione del prezzo del bene o servizio in questione, dei prezzi di altri beni
e servizi, del reddito e del gusto del consumatore. Finora si è considerata l’elasticità della domanda
nei confronti del prezzo e si è proceduto sotto la clausola ceteris paribus (cioè fermi restando tutti
gli altri fattori influenzanti la domanda).
Ci si propone ora di esaminare l’elasticità della domanda nei confronti del prezzo degli altri beni
e servizi, e nei confronti del reddito.
Collegamenti tra mercati e elasticità incrociata della domanda.
In generale, si è detto,la quantità domandata di una merce dipende anche, almeno in una certa
misura, dal prezzo di altre merci. Si pensi agli esempi da manuale del burro e della margarina o del
caffè e dello zucchero.
Si considerino le possibili relazioni, già illustrate in precedenza, tra le curve di domanda del bene imo corrispondenti a prezzi diversi del bene j-mo:
a. se la curva di domanda del bene i (burro) si sposta verso destra quando il prezzo del bene
j (margarina) aumenta, diremo che i è un sostituto del bene j ;
b. se la curva di domanda del bene i (caffè) si sposta verso sinistra quando il prezzo del bene
j (zucchero) aumenta, diremo che i è un bene complementare di j .
Di solito, si assume che le relazioni siano simmetriche, così che i è un sostituto di j, se il secondo
bene è un sostituto del primo bene. Lo stesso dicasi per la relazione di complementarità.
Allo scopo di valutare quantitativamente l’influenza di variazioni nel prezzo di un bene – il bene
j-mo – sulla quantità domandata di un altro bene – l’i-mo – ovvero il modo con cui la domanda di
un bene reagisce alle variazioni intervenute nel prezzo di altri beni – definiamo l’ elasticità
incrociata della domanda come il rapporto tra variazione percentuale della quantità domandata di
un bene e variazione percentuale del prezzo di un altro bene.
In simboli:
ei , j
qi
qi
p j
pj
ovvero
ei , j
dqi p j
.
dp j qi
Il valore assoluto ed il segno di ei,j rispecchiano, naturalmente, la relazione che intercorre tra le
due merci.
L’elasticità incrociata della domanda può variare da meno infinito a più infinito.
12
I beni complementari avranno elasticità incrociate negative mentre i beni sostituti avranno elasticità
incrociate positive.
Se il bene i ed il bene j sono complementari, una diminuzione nel prezzo del bene i condurrà ad un
aumento nel consumo di entrambi i beni. Le variazioni nel prezzo di i e nella quantità di j avranno
segno opposto.
Se invece i beni i e j sono sostituti, una diminuzione nel prezzo del bene i aumenterà il consumo del
bene i, ma ridurrà la quantità consumata del bene j: di conseguenza le variazioni nel prezzo del bene
i e nella quantità del bene j saranno dello stesso segno.
Se i due beni sono invece fra di loro pressoché indipendenti, allora l’elasticità incrociata della
domanda assumerà un valore vicino allo zero.
In generale avremo:
i e j sono beni succedanei
ei , j
0
se e solo se
i e j sono beni indipendenti
i e j sono beni complementari
e quanto maggiore il valore assoluto di ei,j tanto più intenso il legame, dell’uno o dell’altro tipo,
esistente tra i due beni.
Si tenga presente che se due mercati sono collegati i loro equilibri sono inevitabilmente connessi,
nel senso che non possiamo determinare l’equilibrio dell’uno senza determinare, simultaneamente,
l’equilibrio dell’altro. In altri termini, la ricerca delle posizione di equilibrio deve avvenire
simultaneamente. Ne deriva che, in situazione del genere, l’applicabilità del metodo di analisi
parziale presuppone, per risultare corretta, che ciò che si considera in isolamento siano i due mercati
presi in coppia.
13
L’elasticità della domanda rispetto al reddito.
La reattività della domanda alle variazioni del reddito è denominata elasticità della domanda
rispetto al reddito ed è definita come il rapporto tra variazioni percentuali della quantità domandata
e variazioni percentuali del reddito.
In simboli:
eR
q
q
R
R
oppure
dq R
.
dR q
Il valore assunto da e R ci dà informazioni circa la natura del bene in questione.
Per la maggior parte dei beni gli incrementi nel reddito conducono ad incrementi nella domanda e
quindi l’elasticità rispetto al reddito è positiva:
a. se eR 1 , si tratterà di un bene di lusso oppure di un nuovo bene introdotto sul mercato.
Così, se il reddito del consumatore aumenta, poniamo, dell’1% la sua domanda del bene
aumenta più dell’1%. Ne deriva che, all’aumentare del reddito, la famiglia spende una
frazione sempre più alta nell’acquisto di beni di lusso. E viceversa nel caso di diminuzioni
del reddito;
b. se e R varia tra 0 e 1, si tratterà di beni di primaria necessità ovvero di beni normali.
Pertanto, all’aumentare del reddito, il consumatore spende una frazione più piccola di esso
nell’acquisto di tali beni.
I beni la cui domanda aumenta (diminuisce) in corrispondenza a un aumento (diminuzione) del
reddito del consumatore sono denominati beni superiori (normali).
Per beni inferiori, tuttavia, per i quali un aumento nel reddito induce i consumatori a domandare
meno del bene stesso, l’elasticità della domanda rispetto al reddito risulta negativa: il consumatore
diminuisce la quantità domandata del bene all’aumentare del suo reddito.
Se si ritorna alla fig. 4, si vedranno differenti curve che mettono in relazione la quantità domandata
col reddito dei consumatori. Allorché una curva è ascendente l’elasticità rispetto al reddito è
positiva. Quando la domanda non risulta influenzata dal livello del reddito, come avviene per la
parte di destra della curva D2 , l’elasticità rispetto al reddito è zero. Quando la curva è discendente,
infine, come per la curva D3 dal punto S, l’elasticità rispetto al reddito è negativa. Queste curve
illustrano un’ipotesi largamente accettata: l’elasticità rispetto al reddito di un dato bene varia al
variare del reddito.
14
Esercizio 11
Data la funzione di domanda
q 650 5 p p 2 ,
calcolare il valore dell’elasticità in corrispondenza del prezzo p 10 .
Risoluzione
Per quanto sappiamo, il valore dell’elasticità si può esprimere con la seguente relazione:
eD
dq p
.
dp q
Calcoliamo la derivata della funzione di domanda rispetto al prezzo. Si ha:
dq
5 2 p .
dp
Calcoliamo la funzione di domanda per un prezzo p 10 ; sostituiamo allora tale valore del prezzo
nell’equazione della funzione di domanda:
q 650 5 10 10 2 650 50 100 500.
A questo punto sostituiamo il valore di q trovato e il valore della derivata nell’espressione
dell’elasticità:
e D 5 2 10
10
0.5 .
500
Essendo eD 0.5 1 la domanda sarà anelastica.
15
Esercizio 12
Noti i seguenti valori:
q5
p 10
eD 7
scrivere la funzione di domanda diretta.
Risoluzione
In base ai dati possiamo impostare il sistema di due equazioni in due incognite per il calcolo dei
parametri della funzione:
q a bp
.
p
e
b
D
q
Sostituendo i valori noti nel sistema otteniamo i valori del parametro b e del parametro a :
5 a b 10
10
7 b 5
5 a b 10
7
b 2 3.5
da cui:
5 a 3.5 10
5 35 a a 40.
La funzione di domanda nella forma generale è:
q a bp .
In base ai parametri ottenuti si può scrivere:
q 40 3.5 p .
16
Esercizio 13 (Interpolazione della curva di domanda)
Si ipotizzi che la funzione di domanda di un certo bene sia lineare. Si è osservato che in
corrispondenza di un prezzo pari a 5 la quantità domandata è pari a 30. Inoltre si stima che
l’elasticità puntuale in corrispondenza di tale punto della curva di domanda sia pari al 40%.
Si determini l’equazione della curva di domanda di tale bene.
Risoluzione
L’equazione della curva di domanda è:
q a bp
dove a e b sono i parametri incogniti che dobbiamo determinare.
Il parametro b, cioè l’opposto della pendenza della curva, può essere ricavato dall’informazione che
abbiamo sull’elasticità. In particolare, sappiamo che l’elasticità della domanda è pari in valore
assoluto a 0.4, quindi sostituiamo questo valore e quelli di p e q dati nella formula dell’elasticità
(poiché si tratta di una funzione lineare, la sua pendenza sarà costante):
eD
dq p
0.4
dp q
b
5
0.4 .
30
Da cui si ottiene b 2.4 . Ora sostituiamo il valore di b, insieme a quelli di p e q, nell’equazione
della curva di domanda:
30 a 2.4 5
dalla quale si ottiene a 42 .
Una volta determinati i valori di entrambi i parametri a e b, possiamo quindi scrivere l’equazione
della curva di domanda come:
q 42 2.4 p.
17
Esercizio 14
Data la seguente funzione di domanda inversa
p 12 0.3q
stabilire per quali valori di p la domanda è elastica e anelastica.
Risoluzione
Conviene esplicitare la funzione di domanda rispetto a q in modo da ottenere la funzione di
domanda diretta
0.3q 12 p
q 40 3.33 p.
Esprimiamo l’elasticità della domanda servendoci della relazione:
eD b
p
;
q
ipotizzando unitaria l’elasticità della funzione di domanda questa relazione diventa:
12 0.3q
1 3.33
q
da cui
q 39.96 0.99q;
q 0.99q 39.96;
q
39.96
20 (quantità domandata in corrispond enza dell' elasticità e D 1).
1.99
Questo valore di q , inserito nella funzione di domanda inversa rende il valore di p :
p 12 0.3 20 6.
Si può verificare che, per p 6 la domanda è anelastica perché rende 0 eD 1 ; al contrario, per
p 6 la domanda è elastica perché 1 eD .
18
Rappresentiamo graficamente la funzione di domanda diretta:
si ha:
q 40 3.33 p
q 40 (intercett a sull' asse delle ascisse)
p 0
q 40 3.33 p
q 0
0 40 3.33 p
q 0
3.33 p 40
40
p
12 (intercett a sull' asse delle ordinate)
3.33
q 0
Dal grafico risulta evidente che a valori di p 6 corrisponde una domanda anelastica e per valori
di p 6 corrisponde una domanda elastica.
19
Esercizio 15
Data la funzione di domanda di un bene
q 5000 10 p
b) calcolare il valore dell’elasticità di domanda quando il prezzo varia da p 150 a
p' 200 ;
b) esporre graficamente il risultato.
Risoluzione
a) Il valore dell’elasticità è espresso dalla relazione
eD
dq p
.
dp q
Calcoliamo la derivata della funzione di domanda:
dq
10 .
dp
Pertanto il valore di eD sarà
eD 10
150
1500
0.42 .
5000 10150 3500
Essendo il valore dell’elasticità compreso nell’intervallo 0 eD 1 , la domanda rimane
anelastica nonostante la variazione del prezzo, il che fa supporre che il bene di cui si tratta
abbia pochi sostituti.
Si osservi, inoltre, che il coefficiente di elasticità dipende solo da p e non da p ' .
In alternativa l’elasticità, nel caso di funzione di domanda lineare, può essere calcolata nel
modo seguente:
q'q
q'q
p
p q'q
q
eD
p' p
q
p' p q p' p
p
e, per sostituzione, si avrà:
eD
5000 10 200 5000 10 150 ;
150
5000 10 150
200 150
20
eD
eD
5000 2000 5000 1500 ;
150
5000 1500
50
33000 3500 3 500 1500
0.42 .
3500
3500
3500
b) Per rappresentare graficamente la funzione di domanda conviene calcolare le intercette con
gli assi cartesiani.
Ossia
q 5000 10 p
q 5000
p 0
q 5000 10 p
q 0
0 5000 10 p
q 0
10 p 5000
5000
p
500.
10
q 0
21
a
a
e q
corrispondono ad un valore eD 1 . Infatti la funzione di
2b
2
domanda lineare può essere scritta come:
I valori di p
q a bp .
Il valore dell’elasticità è pari a:
eD p
b
q
ed essendo eD 1 si avrà
b
;
1 p
a bp
pb
;
1
a bp
a bp pb ;
a bp bp ;
a
a 2bp p
2b
che sostituito nell’equazione generale rende
a
q a b ;
2b
a
qa ;
2
2q 2a a ;
a
2q a q .
2
22
Esercizio 16
Data la seguente tabella sulle quantità di ciliegie domandate e offerte, con i rispettivi prezzi,
Prezzo delle ciliegie al Kg (€) Quantità domandata (Kg) Quantità offerta (Kg)
0
200
0
1
180
80
2
160
160
5
100
400
10
0
800
a) si traccino in uno spazio apposito la curva di domanda e offerta, indicando la quantità di
equilibrio e definire e chiarire il concetto di equilibrio di mercato;
b) sapendo che le coppie dei punti (prezzo, quantità domandata) e (prezzo, quantità offerta)
giacciono su due rette distinte, si risolva analiticamente per l'equilibrio, tramite un sistema
di due equazioni in due incognite;
c) si calcoli l’elasticità della domanda a partire dal prezzo pari a 5 euro, se il prezzo
diminuisce di 3 euro. Si dia un’interpretazione economica. Si faccia attenzione al concetto
di variazione in termini assoluti.
Risoluzione
a) Si devono rappresentare in un grafico simultaneamente i punti che individuano le quantità
domandate e le quantità offerte per i prezzi dati. Nel momento in cui la quantità domandata
uguaglia quella offerta, si ottiene l’equilibrio di mercato, cioè quella combinazione di
domanda e offerta di ciliegie per cui non ci sono ne’ eccessi di domanda, ne’ di offerta; tutti
consumano e vendono esattamente la quantità desiderata per quel dato prezzo. In questo
senso si parla di equilibrio di mercato: in equilibrio, il prezzo è tale per cui la domanda
uguaglia l’offerta. Possiamo riportare i valori dati in un semplice grafico come se fosse un
foglio a quadretti.
Si nota come le combinazioni dei punti delle rette che esprimono la domanda (in verde, D) e
dell’offerta (in blu, S) si incontrano in corrispondenza del punto E (in rosso): significa che in
corrispondenza del prezzo 2 euro la quantità offerta è esattamente uguale a quella
domandata, 20 Kg di ciliegie.
23
b) Il sistema di due equazioni in due incognite ricavabile dai dati della tabella non è altro che il
sistema di domanda e offerta rappresentate nel grafico sopra. Per ricavare l'espressione delle
curve, è innanzitutto opportuno sottolineare che in generale la forma delle equazioni della
domanda e dell'offerta non è necessariamente lineare. In questo semplice esempio però i dati
sono stati scelti in modo tale che appartengano esattamente a due rette.
Nota questa informazione, possiamo ricavare l'espressione della retta della domanda e quella
dell'offerta tramite la formula della retta passante per due punti.
Dalla geometria analitica sappiamo che dati due punti di coordinate x1 , y1 e x2 , y2 , si
trova
l'equazione dell'unica e sola retta passante per i due punti dati come:
y y1
x x1
.
y 2 y1 x2 x1
24
Prendo dunque due punti qualsiasi della domanda, e li inserisco nella formula sopra per
trovare l'equazione della retta. Ad esempio, (1, 180) e (2, 160):
p 1
q 180
2 1 160 180
da cui
q 180
;
20
20 p 20 q 180 ;
20 p q 200 ;
p 0.05q 10 questa è l'equazione della domanda.
p 1
Si ripete il procedimento per l'offerta, scegliendo due punti, ad esempio (1, 80) e (2, 160):
p 1
q 80
2 1 160 80
da cui
q 80
;
80
80 p 80 q 80 ;
80 p q ;
1
p
q questa è l'equazione dell'offerta.
80
p 1
Ora, si pongono a sistema la domanda e l'offerta. Abbiamo un sistema di due equazioni in q
e p:
p 0.05q 10
p 0.0125q
e tra i tanti modi di risoluzione possibili, il sistema si può risolvere sostituendo la seconda
nella prima:
0.0125q 0.05q 10 ;
0.0625q 10 ;
10
q
160 ;
0.0625
sostituisco nell'offerta:
p 0.0125 160 2 ;
la soluzione di equilibrio del sistema è q 160, p 2 .
Quindi la quantità di equilibrio è 160 e il prezzo di equilibrio è pari a 2 euro.
25
c) L’elasticità è una misura della reattività della domanda a variazioni del prezzo; in
particolare, essendo espressa in termini percentuali, è indipendente dalle unità di misura
adottate per calcolare le quantità domandate e i prezzi.
Nella tabella precedente, se il prezzo diminuisce di 3 a partire da 5, diventa pari a 2; la
quantità domandata aumenta da 100 a 160.
Per calcolare il coefficiente di elasticità
q
q
eD
p
p
ossia eD
q p
p q
occorrono la quantità e il prezzo iniziali, assieme alla variazione della quantità e del prezzo
intervenute: p 5 , p 3 , q 100 , q 60 .
Quindi possiamo procedere:
eD
q p 60 5
1 .
p q
3 100
Un coefficiente di valore unitario indica che al variare del prezzo da 5 a 3 euro (che in
termini percentuali, corrisponde a (5-2)/5 ossia al 60 %, la quantità domandata varia di
(160 -100)/100 ossia del 60%. I due valori sono identici per cui possiamo concludere che il
rapporto è pari a 1:
ad una diminuzione del prezzo del 60% quando p 5 corrisponde un aumento della
quantità domandata pari al 60%. Si dice che nel punto in cui p 5 la domanda mostra un
coefficiente di elasticità unitaria.
Attenzione: stiamo usando il valore assoluto delle variazioni (la variazione del prezzo è
negativa) o meglio, quale che sia il valore dell'elasticità, ne abbiamo considerato il valore
assoluto.
26
Esercizio 17 Elasticità, metodo geometrico
Il mercato di un determinato bene è caratterizzato dalle seguenti funzioni (inverse) di domanda e di
offerta:
1
p 30 q D
2
1 D
q .
10
Determinare l’equilibrio di mercato e l’elasticità della domanda rispetto al prezzo nel punto di
equilibrio individuato.
p 10
Risoluzione
L’equilibrio di mercato si ottiene uguagliando la domanda e l’offerta del mercato del bene,
60 2 p 100 10 p ,
per cui il prezzo di equilibrio risulta p*
40
. Sostituendo questo valore nella funzione di domanda
3
100
. (Osserviamo che medesimi risultati si ottengono direttamente
3
dalle funzioni di domanda e di offerta inverse).
o di offerta si ottiene che q*
L’elasticità della domanda rispetto al prezzo e D è il rapporto tra la variazione relativa della
quantità domandata e la variazione relativa del prezzo. Nel punto di equilibrio essa diventa, in
simboli:
eD
q D p *
.
p q *
Per calcolare eD utilizziamo il metodo geometrico:
27
eD
GB AF EB 4
.
AG FC EC 5
Esercizio 18
Se il prezzo di un bene normale è p1 700 , la quantità che il consumatore x ne domanda è
q1 100 .
Quando il prezzo aumenta, ad esempio a p2 750 , la quantità domandata diventa q2 60 .
Determinare l’elasticità d’arco della domanda.
Risoluzione
A seguito della variazione del prezzo, andiamo a calcolare l’elasticità d’arco della domanda.
La relazione da adoperare è la seguente:
eDarco
q p1 p2 q2 q1 p1 p2
p q1 q2
p2 p1 q1 q2
ed inserendo i dati si avrà:
e Darco
60 100 700 750 40 1450
7.25
750 700 100 60 50 160
quindi, in valore assoluto sarà e Da rco 7.25 .
Poiché e Da rco 1 la domanda è elastica rispetto a variazioni del prezzo.
28
Esercizio 19
Per due beni, che indichiamo con A e B, si sono verificate le seguenti variazioni di prezzo e
quantità:
Bene A
p a 20
p a' 10
Bene B
q A 40
pb 35
q A' 50
p b' 60
q B 50
q B' 20
Calcolare l’elasticità incrociata.
Risoluzione
L’elasticità incrociata permette di misurare quanto varia la quantità domandata del A al variare del
prezzo del bene B:
e AB
q A
qA
pb
.
pb
Sostituendo i valori numerici si avrà:
e AB
10 25
0.35 .
40 35
Poiché e AB 0 i beni sono succedanei.
29
Esercizio 20
Le seguenti funzioni di domanda si riferiscono a due beni A e B:
qA
30
;
pa
qB
60
.
pb
Calcolare:
a) l’elasticità della domanda rispetto al prezzo per ciascun bene;
b) l’elasticità della domanda rispetto al reddito delle seguenti funzioni:
q A 0.16 Ra
e q B 0.70 Rb .
Risoluzione
a) Per calcolare l’elasticità della domanda del bene A rispetto al prezzo si consideri la
relazione:
eDA
dq A pa
.
dpa q A
Calcoliamo la derivata prima della funzione q A
30
. Si ha:
pa
dq A
30
2 .
dp a
pa
Sostituendo nella relazione dell’elasticità le espressioni di q A e della sua derivata, si avrà:
e DA
30 p a 30 p a
2
1
p a 30 p a 30
pa
ovvero eDA 1 .
Lo stesso procedimento si seguirà per il bene B:
eDB
dq B pb
.
dpb q B
Calcoliamo la derivata prima della funzione q B
60
:
pb
30
dq B
60
2 .
dpb
pb
Sostituendo i valori trovati:
e DB
60 pb 60 pb
2
1
pb 60 pb 60
pb
cioè eDB 1 .
Essendo eDB 1 vorrà che ad una variazione percentuale del prezzo corrisponde una pari,
ma opposta, variazione percentuale della quantità domandata. Quando ciò avviene, la
funzione di domanda del bene è detta isoelastica.
b) L’elasticità della domanda del bene A rispetto al reddito è espressa dalla relazione:
eRa
dq A Ra
,
dRa q A
pertanto sarà
eRa 0.16
Ra
.
qA
Sostituendo in questa relazione il valore della funzione di domanda, si ottiene:
eRa 0.16
Ra
0.16Ra
1 .
0.16Ra 0.16Ra
In modo analogo si calcolerà l’elasticità per il bene B:
eRb
dq B Rb
;
dRb q B
eRb 0.70
Rb
qB
eRb 0.70
Rb
1.
0.70Rb
ed effettuando la consueta sostituzione si ottiene:
31
Esercizio 21
Data la funzione di domanda:
q 2000 5 p1 2 p2 0.02R
posto
p1 300
p2 250
R 5000
q 1100
calcolare i valori di elasticità rispetto:
a) al prezzo del primo bene;
b) al prezzo del secondo bene (elasticità incrociata);
c) rispetto al reddito.
Risoluzione
a) e D1
dq p
300
5
1.36 1.36 ;
dp1 q
1100
b) eD 2
dq p2
250
2
0.45 .
dp1 q
1100
Poiché il valore dell’elasticità è risultato positivo, i due beni sono succedanei.
c) eR
dq R
5000
0.02
0.09 .
dR q
1100
32
L’elasticità dell’offerta rispetto al prezzo.
Le considerazioni avanzate a proposito della reattività della domanda dei consumatori alle
variazioni di prezzo, possono essere riproposte nei confronti dell’offerta dei produttori.
Così, possiamo misurare la reattività della quantità offerta alle variazioni di prezzo mediante il
coefficiente di elasticità dell’offerta rispetto al prezzo eS .
Esso sarà definito dal rapporto tra la variazione percentuale della quantità offerta e la
corrispondente variazione percentuale del prezzo.
Le osservazioni qui possibili sono del tutto analoghe a quelle concernenti l’elasticità della domanda,
tenendo comunque presente che, essendo la curva di offerta ascendente, il segno del coefficiente di
elasticità sarà, ovviamente, positivo.
Anche per il caso in questione è possibile tradurre geometricamente la formula dell’elasticità.
Si consideri la curva di offerta di figura 23.
Figura 23.
Dal punto H si tracci la tangente alla curva che taglia l’asse verticale in B.
Dalla definizione di eS q p p q si ha che:
eS
BG HQ
.
HG OQ
33
D’altro canto, si constata immediatamente che, per costruzione, BG=OQ, HQ=OP e HG=PB.
Dunque, nel punto H:
eS
OP
.
BP
In parole, l’elasticità puntuale dell’offerta è misurata dal rapporto tra il prezzo della merce
corrispondente al punto considerato e la differenza tra il prezzo e il valore dell’intercetta verticale
della tangente alla curva di offerta nel punto considerato.
Se, come accade nel caso indicato dal punto H ( figura 23 (a) ), l’intercetta verticale della tangente
geometrica alla curva è positiva, l’elasticità dell’offerta sarà maggiore di uno in quel punto.
Se invece la tangente geometrica passa per l’origine, come accade nel caso indicato nel punto K
(figura 23 (b) ), l’elasticità sarà uguale ad uno in quel punto.
Infine, se l’intercetta verticale della tangente è negativa, come avviene nel caso del punto M
(figura 23 (b) ), l’elasticità è minore di uno in quel punto.
Come si vede, anche con la curva di offerta, il valore del coefficiente di elasticità varia da punto a
punto lungo la curva stessa.
Con curve lineari di offerta, le precedenti determinazioni risultano semplificate. Osserviamo la
figura 24.
Figura 24.
La curva di offerta lineare S1 taglia, col suo prolungamento, l’asse del prezzo al di sotto
dell’origine; in tutti i suoi punti si ha allora eS < 1 ( anche se, tra due punti qualsiasi, quello più
lontano dall’origine avrà il valore maggiore).
La S2 ha invece elasticità unitaria in tutti i suoi punti, perché il suo prolungamento passa per
l’origine.
Infine la S3 ha elasticità maggiore di uno in tutti i suoi punti, anche se il coefficiente assumerà valori
tanto più piccoli mano a mano che ci si allontana dall’origine.
34
Una curva di offerta parallela all’asse orizzontale ha ovunque elasticità infinita: l’offerta è infinita a
un determinato prezzo, ma basta una lieve diminuzione di prezzo per farla cadere a zero; in altri
termini i produttori sono disposti ad offrire tutta la quantità di merce fabbricabile a un dato prezzo,
ma niente ad un prezzo anche di poco inferiore.
Invece, una curva parallela all’asse verticale ha ovunque elasticità nulla (infinitamente rigida): la
quantità offerta non varia al variare del prezzo; questo caso si verifica quando i produttori
continuano a offrire la stessa quantità nonostante le variazioni di prezzo.
Anche qui e per le stesse ragioni si può definire una elasticità d’arco dell’offerta rispetto al
prezzo. La formula sarà, ovviamente, uguale a quella già vista per la curva di domanda.
35
Determinanti dell’elasticità:
A questo punto è importante descrivere per sommi capi i fattori da cui dipende il valore di un
certo coefficiente di elasticità.
Di alcuni di essi ci siamo già ampiamente occupati nel corso dell’analisi fin qui svolta.
Iniziamo dalla elasticità della domanda.
Perché la domanda di certi beni è molto più reattiva di quella di altri beni rispetto a postulate
variazioni del prezzo? Una risposta può essere trovata in uno o più dei seguenti fattori
esplicativi:
a. grado di sostituibilità tra merci. La domanda di una merce sarà tanto più elastica quanto più
numerosi e ad essa vicini sono i sostituti disponibili. Tale asserto si fonda sull’ “effetto
sostituzione” associato alla variazione di prezzo. Basti riferirsi agli esempi classici del burro
e della margarina, del pane e dei grissini e così via;
b. beni di primaria necessità e beni di lusso. La domanda di un bene di lusso è, in genere, più
elastica di un bene di prima necessità. L’asserto può essere dimostrato sulla base dell’
“effetto reddito” associato alla variazione di prezzo. Si pensi, infatti, al caso di un genere di
primaria necessità (sale da cucina): la struttura dei bisogni del consumatore può essere tale
da “imporgli” il consumo di una certa quantità del bene, qualunque sia il suo prezzo;
c. importanza della merce. Una merce “importante”, una merce cioè che rappresenta una
elevata percentuale del reddito speso dal consumatore, è caratterizzata da una elevata
elasticità. Anche tale asserto può essere dimostrato sulla base dell’effetto reddito, e chiama
in causa, come visto, la distinzione tra beni inferiori e beni superiori;
d. livello di prezzo della merce. Più elevato il prezzo della merce, più elevato tende ad essere,
in generale, il coefficiente di elasticità della domanda rispetto al prezzo. Infatti, se la curva
di domanda taglia l’asse verticale, l’elasticità è infinita in quel punto, ed essa decresce mano
a mano che ci muove verso l’intercetta orizzontale.
Da che cosa dipende l’elasticità dell’offerta di una data merce? Per rispondere occorre
considerare, seppure brevemente, i fattori che determinano la posizione e la forma della
curva di offerta:
a. gli stock (grandezze riferite a un preciso punto del tempo) di merce che, nel periodo preso
in considerazione, sono a disposizione dei venditori virtuali;
b. i costi di conservazione e di trasporto della merce;
c. i costi di produzione della merce;
d. le aspettative di prezzo da parte dei venditori, cioè i prezzi futuri ai quali i venditori si
aspettano di collocare la merce sul mercato.
36
Da tale elenco, si può intuire come la durata del periodo di tempo a disposizione dei venditori per
adeguarsi ad eventuali variazioni del prezzo della loro merce contribuisca non poco a determinare
l’elasticità dell’offerta.
Infatti, se tale periodo è troppo breve perché i venditori abbiano la possibilità di modificare il flusso
corrente di produzione della merce, l’offerta virtuale non potrà superare il livello fissato dagli stock
esistenti della stessa e della produzione che era già stata programmata.
Se poi la merce è deperibile e/o i costi di conservazione sono ingenti, la curva di offerta risulterà
anelastica. D’altro canto, se la merce può essere agevolmente conservata, la quantità che verrà
immessa sul mercato per la vendita nel periodo corrente dipenderà dalle aspettative degli operatori
circa i prezzi futuri, così che la curva di offerta non potrà risultare anelastica.
Seguendo la terminologia marshalliana, chiameremo curve di offerta di periodo di mercato quelle
curve basate solamente sugli stock esistenti di merce e sul flusso predeterminato di produzione.
A parità di altre condizioni, quanto maggiore è il tempo a disposizione dei venditori per reagire
alle variazioni di prezzo, tanto più elevata risulterà l’elasticità.
Più specificamente, se il tempo è sufficientemente lungo da consentire variazioni nel flusso di
produzione, fermi restando gli impianti e le attrezzature esistenti, la curva di offerta sarà più elastica
di quella di periodo di mercato. E’ questa la curva di offerta di breve periodo.
Infine, se l’orizzonte temporale che si considera viene esteso fino ad ammettere la possibilità che
le imprese, in relazione a livelli diversi di prezzo, possono variare anche gli impianti fissi e le
attrezzature in dotazione, allora la curva di offerta risulterà, ceteris paribus, ancora più elastica.
Curve di questo tipo vengono denominate curve di offerta di lungo periodo.
37
Esercizio 22
Data la funzione di offerta di un prodotto:
q 15 3 p
a) calcolare il valore dell’elasticità;
b) calcolare il valore dell’elasticità se q 42 .
Risoluzione
a) L’elasticità viene calcolata adoperando la relazione
eS
Poiché
dq p
.
dp q
dq
3 allora possiamo scrivere
dp
eS 3
p
q
e, sostituendo in quest’ultima l’espressione della funzione di offerta, avremo:
eS 3
Poiché 0
p
p
15 3 p 5 p
(con p 0 ).
p
1 sarà 0 eS 1 .
5 p
b) Sostituendo q 42 nella funzione di offerta si avrà
42 15 3 p ;
42 15 3 p ;
27 3 p p 9
valore che, sostituito in e S 3
p
darà:
q
eS 3
9
27
0.64 .
42 42
38
Esercizio 23 (Elasticità)
In un determinato mercato, la domanda e l’offerta inverse sono rappresentate rispettivamente dalle
funzioni:
qD
p 80
30
p
qS
5.
20
a) Determinare l’equilibrio di mercato;
b) calcolare l’elasticità della domanda e dell’offerta rispetto al prezzo nel punto di equilibrio;
c) calcolare l’elasticità della domanda rispetto al prezzo in corrispondenza del punto in cui il
prezzo è pari a 30;
d) determinare le coordinate del punto in cui l’elasticità della domanda è pari a 1 (in valore
assoluto).
Risoluzione
a) Per determinare la quantità scambiata sul mercato in equilibrio, uguagliamo le curve di
domanda e di offerta inverse:
80
q
q
5.
30 20
Otteniamo quindi q* 900 e, per sostituzione, p* 50 .
b) Ricordiamo che l’elasticità della quantità domandata rispetto al prezzo è data dalla formula:
eD
dq D p
,
dp q D
dq D
indica la derivata della quantità rispetto al prezzo, cioè la pendenza della curva di
dp
domanda (diretta).
dq D
Poiché la curva di domanda in oggetto è lineare, cioè ha pendenza costante, la derivata
dp
è costante. La pendenza della curva di domanda inversa è:
dp
1
.
D
30
dq
dove
dq D
30 ( alternativamente,
dp
si può ricavare la curva di domanda diretta, che è pari a q D 2400 30 p da cui si vede
immediatamente che la derivata rispetto a p è pari a –30 ).
Quindi la pendenza della curva di domanda diretta è pari a
39
Il valore dell’elasticità della domanda rispetto al prezzo nel punto di equilibrio è quindi:
e D p* 50, q* 900 30
50
5
1.6 .
900
3
Procediamo allo stesso modo per determinare l’elasticità della quantità offerta rispetto al
prezzo
nel punto di equilibrio. La pendenza della curva di offerta
dp
1
dq S
inversa è pari a
,
quindi
la
pendenza
della
curva
di
offerta
diretta
è
20 .
dq S 20
dp
L’elasticità della curva di offerta nel punto di equilibrio è quindi:
eS p* 50, q* 900 20
50 10
1.1 .
900 9
c) Per calcolare l’elasticità della domanda nel punto in cui il prezzo è pari a 30, dobbiamo
innanzitutto determinare la quantità corrispondente a tale prezzo sulla curva di domanda.
Sostituendo p 30 nell’equazione della curva di domanda diretta:
q D 30 2400 30 30 1500 .
Quindi l’elasticità in tale punto è:
e D p 30, q D 1500 30
30
3
0.6 .
1500
5
d) Per determinare le coordinate del punto in cui l’elasticità della domanda è pari a –1
imponiamo
appunto che l’elasticità assuma tale valore (sappiamo già dal punto a) che la
pendenza della curva di domanda è costante e pari a –30):
p
30 D 1
q
da cui q D 30 p . Sostituendo questa espressione nella curva di domanda diretta otteniamo:
30 p 2400 30 p ,
da cui p 40 e per sostituzione q D 1200 . Abbiamo quindi determinato le coordinate della
curva di domanda in cui l’elasticità rispetto al prezzo è unitaria (in valore assoluto).
40
Al fine di vedere come varia l’elasticità puntuale lungo la curva di domanda, può essere utile
rappresentare graficamente la curva di domanda e associare i valori dell’elasticità che
abbiamo determinato ai vari punti della curva a cui corrispondono.
Dalla figura possiamo notare che l’elasticità è più elevata (in valore assoluto) nella parte alta
della curva di domanda (fino ad arrivare a nell’intersezione con l’asse verticale), e
decresce progressivamente man mano che ci si muove verso il basso lungo la curva di
domanda (fino ad arrivare a zero nell’intersezione con l’asse orizzontale). Si noti che in
presenza di una funzione lineare il punto di elasticità unitaria è esattamente il punto medio
della porzione della curva di domanda che giace nel quadrante positivo.
41
Esercizio 24 (Funzioni non lineari)
Si consideri un mercato in cui la domanda e l’offerta sono rappresentate dalle seguenti funzioni:
qD
40
,
p
q S 10
10
.
p
a) Si determini l’equilibrio di mercato;
b) si calcolino l’elasticità della domanda e dell’offerta rispetto al prezzo nel punto di
equilibrio.
Risoluzione
a) Determiniamo innanzitutto la configurazione di equilibrio:
10 40
.
p
p
Da cui si ottiene p* 5 e quindi q* 8 .
10
b) Ricordiamo che l’elasticità della quantità domandata rispetto al prezzo è data dalla formula:
dq D p
.
eD
dp q D
Calcoliamo quindi la pendenza della curva di domanda:
dq D
40
2 .
dp
p
Si noti che, poiché la funzione di domanda non è lineare, la pendenza non è costante lungo
la
curva.
Quindi l’elasticità della domanda nel punto di equilibrio è pari a:
e D p* 5, q* 8
40 p *
40
1 .
2
58
p* q*
L’elasticità della quantità offerta rispetto al prezzo è invece:
dq S p
.
eS
dp q S
42
Calcoliamo quindi la pendenza della curva di offerta:
dq S 10
2 .
dp
p
Come la funzione di domanda, anche la funzione di offerta non è lineare, quindi la pendenza
non è costante lungo la curva.
Quindi l’elasticità dell’offerta nel punto di equilibrio è pari a:
eS p* 5, q* 8
10 p * 10 1
.
p *2 q * 5 8 4
Esercizio 25 Equilibrio di un mercato concorrenziale.
Si supponga che le funzioni relative alla domanda e all’offerta totale di pomodori (in kg) sul
mercato ortofrutticolo di Milano siano rispettivamente:
q D 80 5 p e q S 20 20 p .
a) Calcolare il prezzo e la quantità di equilibrio di tale mercato. Tracciare il grafico.
b) Calcolare l’elasticità dell’offerta nel punto di equilibrio e spiegarne il significato.
c) Si supponga ora che, a seguito di uno spostamento di preferenze verso l’insalata verde, la
domanda di pomodori si riduca di 25 kg per ogni livello di prezzo. Dopo aver scritto la
nuova funzione di domanda, calcolare e individuare su un grafico il nuovo equilibrio del
mercato.
d) Spiegare con chiarezza perché il nuovo prezzo è diverso da quello precedente.
Risoluzione
a) Quando un mercato è in equilibrio, le scelte dei consumatori (domanda) sono compatibili
con quelle dei produttori (offerta). Dunque dovrà essere q D q S . Ciò implica (uguagliando
i secondi membri delle funzioni di domanda e offerta) che
80 5 p 20 20 p ,
da cui p* 4 € e (sostituendo p * indifferentemente in q D o q S ) q* 60 kg .
Il grafico che rappresenta tale equilibrio è ottenuto tracciando le due funzioni lineari.
Poichè, tuttavia, il diagramma cartesiano riporta p sull’asse verticale e q su quello
orizzontale, bisogna riscrivere le due funzioni in modo da avere p in funzione di q
(funzioni inverse di domanda e offerta).
43
1
1 S
q .
Esse sono rispettivamente: p 16 q D e p 1
5
20
1
1
e
) determinano il fatto che la domanda
5
20
decrescente (inclinata negativamente) e l’offerta crescente (inclinata positivamente).
Come si vede, i due coefficienti angolari (
sia
b) Si ricordi che in un intervallo discreto l’elasticità è pari a
q
q p q p
q
e
.
p
q p p q
p
In un punto, invece, sia ha che p tende a zero, per cui il rapporto
q
dq
diventa
, ovvero
dp
p
la
derivata di q rispetto a p .
Dunque l’elasticità dell’offerta è calcolabile come
dq S p
,
e
dp q S
dove
dq S
è la pendenza della funzione diretta di offerta. Nel caso in questione si ha che
dp
dq S d 20 20 p
20 ,
dp
dp
per cui
e 20
4
1.33 .
60
Nel punto di equilibrio, pertanto, l’offerta è elastica, e dunque la quantità offerta di
pomodori reagisce più che proporzionalmente a variazioni del loro prezzo: ad esempio, un
aumento del prezzo pari all’1% causerebbe un incremento di offerta (e quindi di produzione)
pari all’1.33%.
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In generale, in un dato punto di una funzione lineare (di domanda o di offerta), l’elasticità è
data dal prodotto tra la pendenza della funzione diretta e il rapporto tra il prezzo e la quantità
che costituiscono le coordinate del punto.
c) Se la domanda si riduce di 25 kg per ogni livello di prezzo, ciò vuol dire che si ha uno shock
negativo sulla domanda di pomodori, e che la funzione lineare di domanda si sposta indietro
(verso sinistra) di un ammontare (misurato sull’asse delle ascisse, ovvero quello delle
quantità) pari a 25.
In termini analitici,
q D' q D 25 80 5 p 25 55 5 p .
Il nuovo equilibrio è quello per il quale q D ' q S , ovvero
55 5 p 20 20 p .
Consegue che p ' 3 € e q ' 40 kg.
1
Graficamente, la nuova funzione (inversa) di domanda è p 11 q D ' , per cui il nuovo
5
grafico (che considera anche il vecchio equilibrio) è il seguente:
d) Nel nuovo punto di equilibrio, sia il prezzo sia la quantità scambiata sono minori. Infatti, lo
shock dal lato della domanda riduce le richieste dei consumatori di 25 kg per ogni livello di
prezzo; perciò, al vecchio prezzo p* 4 € si ha un eccesso di offerta (60 kg prodotti contro
35 domandati).
Perché l’equilibrio sia ripristinato, il prezzo dei pomodori dovrà ridursi: ciò determinerà un
calo di offerta (a prezzi più bassi i produttori non sono più disposti ad offrire l’ammontare di
pomodori precedente) e un aumento di domanda (i pomodori sono più convenienti, e dunque
le richieste dei consumatori crescono), processo che andrà avanti finché non si raggiungerà
un nuovo prezzo (qui corrispondente a p ' 3 €) per il quale le scelte di domandanti e
offerenti sono di nuovo compatibili. Tuttavia, la nuova quantità scambiata ( q ' 40 kg) sarà
minore a causa dello shock esogeno.
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