Le grandezze e la misura
nel XX secolo
• Il cittadino del XX secolo ha poche occasioni per
apprendere cosa sia fondamentalmente una
misura in quanto:
Appunti sulle grandezze e le
misure di grandezze
– È circondato da dispositivi che, senza che si
maneggino le grandezze, eseguono le operazioni di
misura e forniscono automaticamente
l’informazione in cifre
Fondamenti della Matematica
a.a. 2008-2009
– Esempio: differenza tra il prezzo di una merce dato
da una bilancia elettronica e la pesatura su una
bilancia a due piatti seguita dal calcolo del prezzo
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Il problema del linguaggio
Misure e grandezze
• ESPRESSIONI DIVERSE DEL LINGUAGGIO
QUOTIDIANO:
• In matematica una misura è un numero e va
distinta dalla grandezza:
• NEL PARLARE COMUNE
Questo segmento misura 4 centimetri
• IN MATEMATICA
La misura (della lunghezza)
di questo segmento è 4 centimetri
“Usare due pesi e due misure”
“Con misura, senza misura”
“Esporsi al sole con misura”
“Prendere delle misure”
“Misurare le dimensioni di un campo”
“Misurare l’estensione dei danni subiti”
“Misurarsi con un rivale”
“Misurare la portata delle parole”
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IL SEGMENTO È UNA FIGURA
LA LUNGHEZZA È UNA GRANDEZZA
LA MISURA È UN NUMERO
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Che cosa è una grandezza
• Finché si rimane alle operazioni di confronto e
di addizione nessun numero si mescola con
l’idea di grandezza
• Per l’uso comune e l’apprendimento iniziale
della matematica è sufficiente accettare che in
tutte le operazioni di confronto si può sostituire
un oggetto con un altro della stessa grandezza
• Quando si inizia a moltiplicare o dividere un
oggetto per un n intero entrano in gioco i
numeri naturali ma la nozione di misura non è
ancora presente
• Molto frequentemente l’idea di grandezza
richiama quella di misura e si confondono
grandezza e misura di una grandezza
• Mediante la scelta di un oggetto – unità è
possibile misurare un oggetto
• La misura avvia allo studio delle grandezze da
un punto di vista qualitativo
• È possibile sostituire l’oggetto che si misura e
l’oggetto – unità con oggetti equivalenti
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Aspetto qualitativo
• Segmento A
• Segmento B
• Segmento C
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Visione d’insieme
• Segmento A
• Segmento B
• Segmento C
• Lunghezza l
Aspetto quantitativo
Tre oggetti che
hanno la stessa
lunghezza
Scelta di un oggetto sul quale
effettuare le misure
• Segmento A
• Segmento B
• Segmento C
•
•
•
•
3
6
30
0,3
Cambiando unità:
più misure
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• l
Una sola
lunghezza
•
•
•
•
3
6
30
0,3
Ma, cambiando unità,
si hanno più misure
Questa visione d’insieme porta, nel linguaggio
comune, a dire che è la grandezza stessa che si
misura
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In definitiva:
• Una grandezza è caratterizzata da:
– Un ordine totale
– Un’addizione
– Una divisone in n parti uguali (dove n è un
numero naturale)
• Le grandezze esistono indipendentemente dai
numeri. Si allacciano ai numeri attraverso il ruolo
intermediario della nozione di misura
– Un segmento è una figura
– La lunghezza è una grandezza
– La misura è un numero
Le grandezze composte
• Le misure delle grandezze composte si ottengono
valutando misure di altre grandezze e applicando
una formula
– L’area di un rettangolo non si ottiene ricoprendolo
di quadratini ma misurando le lunghezze dei suoi
lati e poi applicando una formula (prodotto delle
lunghezze dei suoi lati)
– Una velocità si misura misurando la distanza
percorsa, la durata del movimento e poi dividendo
l’una per l’altra
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Obiettivi didattici per la misura…
•
•
•
•
Acquisire una terminologia corretta
Saper confrontare ed effettuare ordinamenti
Saper utilizzare una simbologia per l’ordinamento
Sommare grandezze e confrontarle senza
ricorrere necessariamente alla loro misura
• Moltiplicare e dividere grandezze per un numero
naturale, senza ricorrere necessariamente alla
loro misura
• Effettuare delle stime
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…obiettivi didattici per la misura
• Misurare con regoli arbitrari stabilendo una unità di
misura e comprendendone l’arbitrarietà
• Costruire la nozione di misura senza ricorrere alle
unità convenzionali
• Capire la necessità di utilizzare una misura
standard
• Misurare utilizzando unità di misura convenzionali
• Riconoscere l’utilità dei multipli e dei sottomultipli
per le cose piccole, grandi, inaccessibili, non
trasportabili
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