Istituzioni di Logica Matematica

Istituzioni di Logica Matematica
Sezione 7 del Capitolo 2
Alessandro Andretta
Dipartimento di Matematica
Università di Torino
A. Andretta (Torino)
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Ordini e reticoli e algebre di Boole
Ordini
Ordini
Lordini è il linguaggio contenente ≤. (M, ≤M ) è un ordine se soddisfa
∀x (x ≤ x)
∀x, y (x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y)
∀x, y, z (x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z) .
Se ≤M è connessa su M , cioè (M, ≤M ) soddisfa
∀x, y (x ≤ y ∨ y ≤ x ∨ x = y)
si ha un ordine totale o lineare. Un ordine lineare con tre elementi è
rappresentato dal digrafo
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Ordini e reticoli e algebre di Boole
Ordini
Ordini
y è un successore immediato di x ovvero y ricopre x se
x ≤M y ∧ x 6= y ∧ ∀z(x ≤M z ∧ z ≤M y ⇒ z = x ∨ z = y).
L’ordine lineare con tre elementi è descritto dal grafo diretto
o dal diagramma di Hasse
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Ordini e reticoli e algebre di Boole
Ordini
Dualità
Il duale di una Lordini -struttura M = (M, ≤M ) è la Lordini -struttura
M∆ = (M, ≤−1
M)
−1
dove ≤M
= ≥M = {(y, x) ∈ M × M | x ≤M y}. Chiaramente
∆∆
M
= M.
La duale di una formula ϕ del linguaggio Lordini è la formula ϕ∆
ottenuta sostituendo in ϕ ogni sotto-formula atomica del tipo ‘x ≤ y’ con
‘y ≤ x’.
Formalmente la formula duale è definita per induzione sulla complessità,
stabilendo che (x ≤ y)∆ è y ≤ x, (¬ϕ)∆ è ¬(ϕ∆ ), (ϕψ)∆ è ϕ∆ ψ∆
dove è un connettivo binario, (∃xϕ)∆ è ∃xϕ∆ e (∀xϕ)∆ è ∀xϕ∆ .
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Ordini e reticoli e algebre di Boole
Ordini
Dualità
M σ se e solo se M∆ σ∆ per ogni enunciato σ.
Le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva sono duali di sé stesse,
quindi M è un ordine se e solo se M∆ è un ordine. Riassumendo:
Principio di dualità per ordini
Se P è un ordine e σ è un enunciato di Lordini allora
P σ se e solo se
P ∆ σ∆ .
In particolare: σ è conseguenza logica degli assiomi degli ordini se e solo se
σ∆ lo è.
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Ordini
Insiemi inferiori
Un insieme Q ⊆ P è un segmento iniziale o insieme inferiore di P se
x∈Q ∧ yx⇒y∈Q
Per esempio,
↓ Q = {y ∈ P | ∃x ∈ Q(y x)}
è un insieme inferiore, per ogni Q ⊆ P ; infatti Q è un insieme inferiore se
e solo se ↓ Q = Q. Quando Q è un singoletto {x} scriveremo ↓ x invece
di ↓ {x}.
La famiglia dei sottoinsiemi inferiori dell’ordine parziale P si denota con
Down(P) ed è anch’esso un ordine parziale sotto inclusione, con massimo
P e minimo ∅. La mappa x 7→ ↓ x è un’immersione di P in Down(P ),
quindi ogni ordine parziale è isomorfo ad una famiglia di insiemi ordinati
per inclusione.
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Ordini
Insiemi superiori
Q ⊆ P è un segmento finale o insieme superiore se è un insieme
inferiore dell’ordine duale P ∆ , e
↑ Q = {y ∈ P | ∃x ∈ Q(x y)}
è l’insieme ↓ Q calcolato in P ∆ . L’insieme dei sottoinsiemi superiori di P
si denota con Up(P) ed è ordinato per inclusione. Per il principio di
dualità per gli ordini, la mappa Q 7→ P \ Q è un isomorfismo tra
Down(P)∆ e Up(P ∆ ).
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Ordini
Estremo superiore
Un maggiorante di un sottoinsieme X di P è un elemento a ∈ P tale che
∀x ∈ X (x a); un sottoinsieme che ammette un maggiorante si dice
limitato superiormente. Se a b per ogni maggiorante b di X diremo
che a è estremo superiore di X. Le definizioni di minorante,
sottoinsieme inferiormente limitato estremo inferiore sono ottenute
“dualizzando” le definizioni precedenti.
L’estremo superiore di X (se esiste) è unico e verrà indicato con sup X o
con
j
X.
Quando X = {a, b} scriveremo sup(a, b) o a g b.
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Ordini
Estremo inferiore
Formalizzando l’affermazione precedente (quando X è formato da due
elementi) si ottiene
(P, ) ∀x, y, z, w [x ≤ z ∧ y ≤ z ∧ ∀z 0 (x ≤ z 0 ∧ y ≤ z 0 ⇒ z ≤ z 0 )]
∧ [x ≤ w ∧ y ≤ w ∧ ∀w0 (x ≤ w0 ∧ y ≤ w0 ⇒ w ≤ w0 )] ⇒ z = w
per ogni insieme parzialmente ordinato. Per il principio di dualità, (P, )
soddisfa anche l’enunciato duale che asserisce che l’estremo inferiore di
due elementi (se esiste) è unico. L’estremo inferiore di X ⊆ P verrà
indicato con inf X, o
k
X,
e quando X = {a, b} scriveremo inf(a, b) o a f b.
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Ordini
Esercizio
In un insieme parzialmente ordinato (P, ) sono equivalenti
1
ogni ∅ =
6 X ⊆ P superiormente limitato ammette un estremo
superiore,
2
ogni ∅ =
6 X ⊆ P inferiormente limitato ammette un estremo inferiore.
Un insieme parzialmente ordinato (P, ) in cui valga una (e quindi anche
l’altra) delle due condizioni dell’Esercizio si dice Dedekind-completo.
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Ordini
Teorema di punto fisso per ordini parziali
Teorema
b
Sia (P, ) un ordine parziale tale che X esiste per ogni X ⊆ P , e sia
f : P → P una funzione crescente. Allora c’è un punto fisso per f , vale a
dire
∃a ∈ P (f (a) = a) .
Dimostrazione.
b
Sia A = {x ∈ P | x f (x)} e sia a = A. Se x ∈ A, allora x a e
x f (x) da cui
x f (x) f (a).
Quindi f (a) è un maggiorante di A. Da questo segue che a f (a) e
quindi f (a) f (f (a)), per la crescenza di f . Ne segue che f (a) ∈ A, da
cui f (a) a. Quindi a = f (a).
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Reticoli
Reticoli
Un semi-reticolo superiore è un ordine (M, ) in cui due elementi hanno
sempre un estremo superiore, cioè (M, ) soddisfa
∀x, y∃z (x ≤ z ∧ y ≤ z ∧ ∀w (x ≤ w ∧ y ≤ w ⇒ z ≤ w)) .
Un semi-reticolo inferiore è un ordine il cui duale è un semi-reticolo
superiore, cioè è un ordine che soddisfa
∀x, y∃z (z ≤ x ∧ z ≤ y ∧ ∀w (w ≤ x ∧ w ≤ y ⇒ w ≤ z)) .
Un reticolo è un ordine che è simultaneamente semi-reticolo superiore e
semi-reticolo inferiore. In un reticolo ordinato il massimo e il minimo (se
esistono) si denotano con > e ⊥, e in questo caso parleremo di reticolo
limitato.
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Reticoli
Esempi
Ogni ordine lineare è un reticolo, ma la nozione di reticolo è molto più
generale. I seguenti due esempi di reticoli sono importanti:
N5
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M3
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Reticoli
Sottoreticoli
Se (M, ) è un reticolo, un sotto-reticolo è un sottoinsieme non vuoto
M 0 ⊆ M tale che
sup(a, b), inf(a, b) ∈ M 0
per ogni a, b ∈ M 0 , dove gli estremi superiore ed inferiore sono calcolati in
M . È facile verificare che M 0 è un reticolo e che i valori di sup(a, b) e
inf(a, b), calcolati in M o M 0 , coincidono. Un reticolo M è generato da
a1 , . . . , an ∈ M se ogni sotto-reticolo di M che contiene a1 , . . . , an
coincide con M .
In un reticolo valgono la proprietà associativa e commutativa per f e g, e
le leggi di assorbimento, cioè ∀x, y ((x g y) f y = y) e
∀x, y ((x f y) g y = y).
Queste sono formulate nel linguaggio Lreticoli contenente due simboli di
operazione binaria: f e g. Una Lreticoli - struttura che soddisfi
assorbimento e commutatività si dice algebra reticolare.
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Reticoli
Equivalenza tra reticoli e algebre reticolari
Esercizio
Sia M = (M, g, f) un’algebra reticolare. Verificare che:
1
M soddisfa le proprietà di idempotenza, cioè
∀x(x = x g x)
∀x(x = x f x)
2
M ∀x, y (x g y = y ⇔ x f y = x),
3
la relazione definita su M da
ab ⇔ agb=b ⇔ afb=a
è un ordinamento su M e la struttura M◦ = (M, ) è un reticolo
tale che sup(a, b) = a g b e inf(a, b) = a f b,
4
M soddisfa la proprietà associativa per f e g.
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Reticoli
Dualità
Il duale di un termine t di Lreticoli è il termine t∆ ottenuto scambiando
tra loro i simboli g e f. La duale di una formula ϕ è la formula ϕ∆
ottenuta rimpiazzando ogni termine con il suo duale.
La struttura duale di M = (M, g, f) è la struttura M∆ = (M, t, u)
dove t = f e u = g. Il duale del duale è la struttura di partenza, cioè
M∆∆ = M. Se σ è un enunciato, allora M σ se e solo se M∆ σ∆ .
Poiché gli assiomi per le algebre reticolari sono duali di sé stessi, il duale di
un reticolo è un reticolo.
Principio di dualità per i reticoli
Se M è reticolo e σ è un enunciato, allora
M σ se e solo se
M∆ σ∆ .
In particolare: σ è conseguenza logica degli assiomi dei reticoli se e solo se
σ∆ lo è.
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Reticoli
Osservazioni
1
2
3
Il principio di dualità non dice che se un reticolo soddisfa σ allora
soddisfa anche σ∆ — per esempio ci sono reticoli che hanno il
minimo, ma non il massimo (o viceversa) e che quindi soddisfano
∃x∀y (x f y = x) ma non ∃x∀y (x g y = x).
Similmente, non dice che un reticolo soddisfa ogni enunciato
autoduale — un enunciato è autoduale se è logicamente equivalente
al duale di sé stesso. Per esempio, un reticolo privo di massimo e
minimo non soddisfa l’enunciato autoduale
∃x∀y (x f y = x) ∧ ∃x∀y (x g y = x) che asserisce l’esistenza di
massimo e minimo.
Vedremo che se in un reticolo vale l’identità
(x g y) f z = (x f z) g (y f z), allora vale anche l’identità
(x f y) g z = (x g z) f (y g z). Tuttavia è possibile che in un
reticolo M valga (a g b) f c = (a f c) g (b f c) per qualche
a, b, c ∈ M e tuttavia non valga (a f b) g c = (a g c) f (b g c).
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Reticoli
Reticoli completi
b
c
Un reticolo si dice completo se X e X esistono per ogni sottoinsieme
X — questa nozione non è formalizzabile al prim’ordine, dato che si
quantifica su sottoinsiemi arbitrari. Poiché ogni elemento
è tanto
b
c
maggiorante quanto minorante di ∅, ne segue che ∅ = ⊥ e ∅ = >.
Quindi un reticolo completo ha massimo e minimo. Se X = {a1 , . . . , an },
allora sup X = a1 g . . . g an e inf X = a1 f . . . f an esistono e sono ben
definiti, quindi ogni reticolo finito è completo.
Lemma
In un reticolo le seguenti affermazioni sono equivalenti:
1
2
3
(M, g, f) è un reticolo completo
b
X esiste, per ogni X ⊆ M ,
c
X esiste, per ogni X ⊆ M .
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Reticoli
Esempi
(P(X), ⊆) è un reticolo completo,bdove le operazioni
Ssono le
intersezioni e unioni
c
T generalizzate: {Ai | i ∈ I} = i∈I Ai e
{Ai | i ∈ I} = i∈I Ai .
Una famiglia di insiemi S chiusa per intersezioni e unioni finite si dice
reticolo di insiemi. Se S ⊆ P(X) contiene ∅ e X ed è chiusa per
unioni e intersezioni generalizzate, allora è reticolo completo. In
questo caso parleremo di reticolo completo di insiemi.
Se (P, ) è un ordine parziale allora (Down(P ), ⊆) è un reticolo
completo di insiemi.
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Reticoli
Esempi
Se S ⊆ P(X) è una famiglia di insiemi chiusa per intersezioni e
unioni
finite e chiuso per unioni generalizzate, cioè tale che
S
A
i∈I i ∈ S per ogni famiglia {Ai | i ∈ I} ⊆ S, oppure chiuso per
intersezioni generalizzate, allora è un reticolo completo. Per esempio
la famiglia degli aperti di uno spazio topologico è un reticolo
completo, dove
j
[
k
\
{Ui | i ∈ I} =
Ui e
{Ui | i ∈ I} = Int( Ui ).
i∈I
i∈I
Analogamente la famiglia dei chiusi è un reticolo completo, dove
k
\
j
[
{Ci | i ∈ I} =
Ci e
{Ui | i ∈ I} = Cl( Ci ).
i∈I
i∈I
I chiusi e gli aperti sono esempi di reticoli di insiemi, reticoli completi,
ma non sono reticoli completi di insiemi.
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Reticoli distributivi
Modularità
Dati tre elementi a, b, c in un reticolo M , allora a f b ≤ a e
a f b ≤ b ≤ b g c quindi a f b ≤ a f (b g c) per definizione di estremo
inferiore; inoltre a f c ≤ a e a f c ≤ c ≤ b g c, da cui a f c ≤ a f (b g c).
Per la definizione di estremo superiore (a f b) g (a f c) ≤ a f (b g c),
quindi in ogni reticolo:
∀x, y, z ((x f y) g (x f z) ≤ x f (y g z)) .
Per il principio di dualità, tenendo presente che la formula duale di x ≤ y,
cioè di x f y = x, è la formula y ≤ x, otteniamo che
∀x, y, z (x g (y f z) ≤ (x g y) f (x g z))
vale in ogni reticolo.
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Reticoli distributivi
Modularità
Definizione
Un reticolo si dice:
modulare se soddisfa i seguenti assiomi detti legge modulare
∀x, y, z ((x f y) g (x f z) = x f (y g (x f z)))
∀x, y, z ((x g y) f (x g z) = x g (y f (x g z)))
distributivo se soddisfa gli enunciati
∀x, y, z ((x g y) f z = (x f z) g (y f z))
∀x, y, z ((x f y) g z = (x g z) f (y g z))
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Reticoli distributivi
Modularità
Gli assiomi per i reticoli modulari o distributivi sono autoduali, quindi
duale di un reticolo modulare/distributivo è ancora dello stesso tipo, e il
principio di dualità si generalizza al caso dei reticoli modulari e dei reticoli
distributivi in modo ovvio: se σ è un enunciato di Lreticoli che vale in ogni
reticolo modulare/distributivo, allora anche il suo duale σ∆ vale in ogni
reticolo modulare/distributivo.
Nella pratica, la formulazione più conveniente della legge modulare è (la
chiusura universale di)
z ≤ x ⇒ x f (y g z) = (x f y) g z.
(M)
Gli assiomi per i reticoli, la legge modulare, le proprietà distributive sono
enunciati universali e positivi, quindi si preservano per sottostrutture e
immagini omomorfe
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Reticoli distributivi
Distributività e modularità
Esercizio
Dimostrare che:
1
Ogni reticolo distributivo è modulare.
2
Il reticolo N5 non è modulare, mentre il reticolo M3 è modulare, ma
non distributivo.
Teorema
1
Un reticolo è modulare se e solo se non contiene un sotto-reticolo
isomorfo a N5 .
2
Un reticolo è distributivo se e solo se non contiene un sotto-reticolo
isomorfo a N5 o a M3 .
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Reticoli distributivi
Reticoli finitamente generati
Definizione
Il reticolo libero su n elementi Free(n) è il reticolo più generale possibile,
generato da n elementi.
Ogni reticolo generato da n elementi è immagine omomorfa di Free(n).
Free(1) ha un solo elemento.
Free(2) ha 4 elementi:
xgy
y
x
xfy
dove x e y sono i generatori,
Free(3) ha infiniti elementi. Quindi Free(n) è infinito per ogni n ≥ 3.
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Reticoli distributivi
Reticoli modulari e distributivi liberi
Definizione
Il reticolo libero modulare su n elementi FreeM (n) è il reticolo modulare
più generale possibile, generato da n elementi.
Ogni reticolo modulare generato da n elementi è immagine omomorfa di
FreeM (n). Analogamente si definisce FreeD (n) nel caso distributivo.
FreeM (3) ha 28 elementi, FreeM (n) ha infiniti elementi se n ≥ 4.
FreeD (n) è finito per tutti gli n: se Dn è la taglia di FreeD (n), allora
D1 = 1, D2 = 2, D3 = 18, D4 = 166, . . . ,
D8 = 56.130.437.228.687.557.907.786 ≈ 56 × 1021 .
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Reticoli distributivi
FreeD (3)
Se x, y, z sono i generatori e
a = (x g y) f (x g z) f (y g z) = (x f y) g (x f z) g (y f z),
b = (x g y) f (y g z), c = (x f y) g (y f z), allora
xgygz
xgy
xgz
(x g y) f (x g z)
b
(x g z) f (y g z)
x
a
y
(x f y) g (x f z)
xfy
ygz
c
z
(x f z) g (y f z)
yfz
xfz
xfyfz
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Reticoli distributivi
Forma normale congiuntiva e disgiuntiva
Un termine si dice congiunzione di variabili {x1 , . . . , xn } se è della forma
x i1 f . . . f x ik
con {i1 , . . . , ik } ⊆ {1, . . . , n}, mentre se è della forma
xj1 g . . . g xjh
con {j1 , . . . , jh } ⊆ {1, . . . , n}, si dice disgiunzione di variabili
{x1 , . . . , xn }.
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Reticoli distributivi
Forma normale congiuntiva e disgiuntiva
Per induzione sulla complessità di t si dimostra. . .
Lemma
Per ogni termine s ∈ Termreticoli (x1 , . . . , xn ) esistono termini
u, v ∈ Termreticoli (x1 , . . . , xn ) tali che
u è in forma disgiuntiva, vale a dire è una disgiunzione di
congiunzioni delle variabili {x1 , . . . , xn },
v è in forma congiuntiva, vale a dire è una congiunzione di
disgiunzioni delle variabili {x1 , . . . , xn },
la formula s = u = v è conseguenza degli assiomi dei reticoli
distributivi.
Corollario
Un reticolo distributivo finitamente generato è finito.
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Algebre di Boole
Reticoli complementati
Un reticolo con > e ⊥ è complementato se per ogni x c’è un y, detto
complemento di x, tale che
xfy =⊥ e
x g y = >.
Se per ogni x c’è un unico complemento, denotato con x∗ , diremo che il
reticolo è univocamente complementato. Chiaramente in un reticolo
siffatto x∗∗ = x per ogni x.
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Algebre di Boole
Reticoli complementati
Lemma
In un reticolo distributivo e limitato, il complemento di un elemento, se
esiste è unico.
Dimostrazione.
Supponiamo y e z siano complementi di un x:
y = > f y = (x g z) f y = (x f y) g (z f y) = ⊥ g (y f z) = y f z,
da cui y ≤ z. Scambiando y con z si ottiene z ≤ y.
Quindi, dato che ⊥ f > = ⊥ e ⊥ g > = > ne segue che
⊥∗ = > e
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>∗ = ⊥.
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Algebre di Boole
Algebre di Boole
Definizione
Sia LBoole il linguaggio che estende Lreticoli mediante un simbolo di
operazione unaria ∗ e che contiene due simboli di costante > e ⊥.
Un’algebra di Boole è una struttura in questo linguaggio che soddisfa la
proprietà commutativa per f e per g, la proprietà distributiva per f e per
g, l’esistenza del complemento
∀x (x g x∗ = >)
∀x (x f x∗ = ⊥),
∀x (x g ⊥ = x)
∀x (x f > = x),
e
e tale che ⊥ =
6 >.
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Algebre di Boole
Dualità
Il duale di un termine di LBoole è il termine ottenuto scambiando f con g
e > con ⊥; la duale di una formula ϕ è la formula ϕ∆ ottenuta
sostituendo ogni termine col suo duale.
La duale dell’algebra di Boole B = (B, f, g, ∗ , ⊥, >) è l’algebra di Boole
B ∆ = (B, u, t, ∗ , 0, 1) dove u = g, t = f, 0 = > e 1 = ⊥.
B → B ∆ , x 7→ x∗ , è un isomorfismo.
Principio di dualità per algebre di Boole
Se B un’algebra di Boole e σ è un enunciato, allora
B σ se e solo se
B σ∆ .
In particolare: σ è conseguenza logica degli assiomi delle algebre di Boole
se e solo se σ∆ lo è.
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Ordini e reticoli e algebre di Boole
Algebre di Boole
Reticoli complementati e distributivi
Ogni reticolo complementato e distributivo (B, ≤) con almeno due
elementi definisce un’algebra di Boole (B, f, g, ∗ , ⊥, >).
Proposizione
Ogni algebra di Boole è un reticolo complementato e distributivo con
almeno due elementi.
Esercizio
1
x f y = ⊥ ⇔ x ≤ y∗;
2
(x f y)∗ = x∗ g y ∗ e (x g y)∗ = x∗ f y ∗ (Leggi di De Morgan);
3
x ≤ y ⇔ y ∗ ≤ x∗ ;
4
se x ≤ y e z ≤ w, allora x f z ≤ y f w e x g z ≤ y g w;
5
x f y ≤ z ⇔ x ≤ z g y∗.
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Ordini e reticoli e algebre di Boole
Algebre di Boole
Distributività
Lemma
Sia B un’algebra di Boole e X ⊆ B un insieme tale che
b
{b f x | x ∈ X} esiste per ogni b ∈ B, e
j
j
bf
X = {b f x | x ∈ X}.
Analogamente,
se
c
b g X.
c
X esiste, allora anche
c
b
X esiste. Allora
{b g x | x ∈ X} esiste ed è
Dimostrazione.
b
b
b f x ≤ b f X per ogni x ∈ X, allora b f X è un maggiorante di
{b f x | x ∈ X}. Se c è un altro maggiorante b
di questo insieme, allora per
ognibx ∈ X, b f x ≤ c ⇒ x ≤ b∗ g c e quindi X ≤ b∗ g c, da cui
b f X ≤ c.
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Ordini e reticoli e algebre di Boole
Distributività finita
Algebre finitamente generate
Se X ⊆ B, l’algebra generata da X è la più piccola subalgebra B 0 di B
contenente X, e X è un insieme di generatori di B 0 . Un’algebra di Boole
si dice finitamente generata se ha un insieme finito di generatori. Se B
ha un insieme di n generatori, allora B è finita, dato che un reticolo
distributivo finitamente generato è finito.
Se I è un insieme finito e gli Ji sono insiemi non vuoti (i ∈ I), allora gli
elementi del prodotto cartesiano "i∈I Ji si possono identificare con le
funzioni f di dominio I tali che f (i) ∈ Ji per ogni i ∈ I.
Lemma
Sia B un’algebra di Boole e siano I e Ji (i ∈ I) degli insiemi finiti e non
vuoti. Allora, per ogni xi,j ∈ B (i ∈ I e j ∈ Ji )
k j
j k
j k
k j
xi,j =
xi,f (i) e
xi,j =
xi,f (i) .
i∈I j∈Ji
f ∈"i∈I Ji i∈I
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i∈I j∈Ji
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f ∈"i∈I Ji i∈I
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Ordini e reticoli e algebre di Boole
Distributività finita
Dimostrazione
Per dualità è sufficiente dimostrare la prima delle due formule. La
dimostrazione procede per induzione su |I| ≥ 1. Se |I| = 1 il risultato è
banale, quindi possiamo assumere che il risultato valga per ogni insieme I
di cardinalità n ≥ 1 e dimostrarlo per insiemi di cardinalità n + 1.
Supponiamo |I| = n + 1 e chiaramente possiamo supporre che
I = n + 1 = {0, . . . , n}. Allora:
c
b
b
c
b
i≤n j∈Ji xi,j =
j∈J0 x0,j f
1≤i≤n j∈Ji xi,j
b
b
c
=
j∈J0 x0,j f
f ∈J1 ×···×Jn
1≤i≤n xi,f (i)
b
b
c
= j∈J0 x0,j f
x
f ∈J1 ×···×Jn
1≤i≤n i,f (i)
b
b
c
= j∈J0 f ∈J1 ×···×Jn x0,j f
x
1≤i≤n i,f (i)
b
c
= f ∈"i≤n Ji i≤n xi,f (i) .
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Ordini e reticoli e algebre di Boole
Distributività finita
Algebre finitamente generate
X f = {x1 f . . . f xn | x1 , . . . , xn ∈ X e n ≥ 1}
X g = {x1 g . . . g xn | x1 , . . . , xn ∈ X e n ≥ 1}.
Teorema
Se B è un’algebra di Boole e X ⊆ B, l’algebra generata da X è
g
def
C = (X ∪ {x∗ | x ∈ X} ∪ {⊥, >})f .
Dimostrazione.
C è non vuoto, chiuso per g, ed è contenuto nell’algebra generata da X.
Quindi è sufficiente dimostrare
b checè chiuso per complementi: un generico
elemento di C è della forma i∈I j∈Ji yi,j dove
yi,j ∈ X ∪ {x∗ |c
x ∈ X}
>}be I e Ji sono
finiti, quindi il suo
b ∪ {⊥,
c insiemi
∗
∗
complemento è i∈I j∈Ji yi,j = f ∈"i∈I Ji i∈I yi,j ∈ C.
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Morfismi e prodotti
Morfismi e prodotti
Corollario
Sia A un’algebra di Boole, B ⊆ A e x ∈ A \ B. La sub-algebra di A
generata da B ∪ {x} è
{(b1 f x) g (b2 f x∗ ) | b1 , b2 ∈ B}.
Un omomorfismo di algebre di Boole è una mappa tra algebre di Boole
che è un morfismo di LBoole -strutture. Per quanto detto è sufficiente che
preservi f, g, ⊥ e >; equivalentemente, per le leggi di De Morgan è
sufficiente che preservi f e ∗ o che preservi g e ∗ .
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Ordini e reticoli e algebre di Boole
Morfismi e prodotti
Morfismi e prodotti
Gli assiomi delle algebre di Boole sono enunciati universali, quindi ogni
LBoole -sottostruttura C di un’algebra di Boole B è a sua volta un’algebra
di Boole e diremo che C è una sub-algebra di B. L’algebra minimale è
l’unica algebra di Boole (a meno di isomorfismo) con esattamente due
elementi > e ⊥, ed è (isomorfa ad) una sub-algebra di ogni algebra di
Boole.
Gli assiomi delle algebre di Boole sono formule positive eccetto > =
6 ⊥.
Quindi se f : B → C è un morfismo suriettivo di LBoole -strutture e se B è
un’algebra di Boole e >C 6= ⊥C , allora anche C è un’algebra di Boole.
Gli assiomi delle algebre di Boole eccetto > =
6 ⊥ sono equazioni. Quindi il
prodotto di algebre di Boole è ancora un’algebra di Boole.
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Ordini e reticoli e algebre di Boole
Algebre libere
Algebre libere
Sia t un termine di LBoole nelle variabili x1 , . . . , xn : rimpiazzando le
occorrenze di ⊥ e > con x1 f x∗1 e x1 g x∗1 rispettivamente, e applicando
ripetutamente le leggi di De Morgan, è possibile trasformare t in un
termine t0 nelle medesime variabili x1 , . . . , xn in cui il simbolo di
complementazione ∗ compaia solo applicato alle variabili:
t0 = s[x∗1 /y1 , . . . , x∗n /yn ] dove s ∈ Termreticoli (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ).
s è equivalente tanto ad un termine in forma disgiuntiva u quanto ad un
termine in forma congiuntiva v. Possiamo supporre che in ciascuna
disgiunzione di u non compaia mai una variabile e il suo complemento e un
discorso analogo vale per v.
Abbiamo quindi dimostrato il seguente. . .
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Algebre libere
Forma normale congiuntiva e disgiuntiva
Lemma
Per ogni termine t ∈ TermBoole (x1 , . . . , xn ) allora esistono termini
u, v ∈ Termreticoli (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ) tali che, posto
def
u0 = u[x∗1 /y1 , . . . , x∗n /yn ] ∈ TermBoole (x1 , . . . , xn ),
def
v 0 = v[x∗1 /y1 , . . . , x∗n /yn ] ∈ TermBoole (x1 , . . . , xn )
si ha
u0 è in forma disgiuntiva, vale a dire è una disgiunzione di
congiunzioni di {x1 , . . . , xn , x∗1 , . . . , x∗n } in cui in nessuna
congiunzione compaiono tanto xi quanto x∗i , (1 ≤ i ≤ n),
v 0 è in forma congiuntiva, vale a dire è una congiunzione di
disgiunzioni delle variabili {x1 , . . . , xn , x∗1 , . . . , x∗n } in cui in nessuna
disgiunzione compaiono tanto xi quanto x∗i , (1 ≤ i ≤ n),
la formula t = u0 = v 0 è conseguenza degli assiomi delle algebre di
Boole.
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Anelli Booleani
Anelli Booleani
La somma in un’algebra di Boole è l’operazione binaria + definita da
x + y = (x f y ∗ ) g (y f x∗ ).
def
Osserviamo che l’operazione di somma è commutativa e che se f : B → C
è un omomorfismo di algebre di Boole, allora f (x + y) = f (x) + f (y).
1
x = y ⇔ x + y = ⊥;
2
x + y = (x g y) f (x f y)∗ ;
3
(x + y)∗ = (x f y) g (x∗ f y ∗ );
4
x f y = ⊥ ⇒ x + y = x g y;
5
x g y = (x + y) + (x f y);
6
x + (y + z) = (x + y) + z;
7
x f (y + z) = (x f y) + (x f z).
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Anelli Booleani
Anelli Booleani
Ad ogni algebra di Boole possiamo associare un anello commutativo
unitario,
(B, g, f, ∗ , ⊥, >) 7→ (B, +, ·, 0, 1)
def
ponendo x + y come sopra, 0 = ⊥, 1 = > e x · y = x f y.
Questo è un esempio di anello Booleano cioè un anello unitario in cui
vale ∀x(x2 = x). Ogni anello Booleano è commutativo ed è l’anello
costruito a partire da una qualche algebra di Boole; ogni omomorfismo
f : B → C di algebre di Boole è un omomorfismo di anelli con unità.
Il nucleo di un morfismo di algebre di Boole f : B → C è
def
ker(f ) = {b ∈ B | f (b) = ⊥C }.
Quindi f è iniettivo se e solo se il suo nucleo è {⊥B }.
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Anelli Booleani
Ideali
Definizione
Un ideale di un’algebra di Boole B è un sottoinsieme non vuoto I tale che
se x, y ∈ I allora x g y ∈ I e
se x ∈ I e y ≤ x allora y ∈ I.
I è proprio se I 6= B.
Esercizio
Dimostrare che I è un ideale nel senso della Definizione qui sopra se e solo
se è un ideale nel senso degli anelli.
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Anelli Booleani
Ideali e quozienti
Se R è un anello commutativo unitario e I un suo ideale proprio possiamo
costruire il quoziente R/I che sarà ancora un anello commutativo unitario;
inoltre se R è Booleano che anche il quoziente è un anello Booleano, dato
che ∀x(x2 = x) è una formula positiva.
Un ideale proprio I si dice
primo se x · y ∈ I ⇒ x ∈ I ∨ y ∈ I, o equivalentemente se R/I è un
dominio di integrità;
massimale se non esiste alcun ideale proprio che contiene I, o
equivalentemente se R/I è un campo;
quindi un ideale massimale è primo.
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Anelli Booleani
Ideali e quozienti
Proposizione
Sia (B, f, g, ∗ , ⊥, >) un’algebra di Boole e I un ideale proprio.
1
Sia ∼I la relazione d’equivalenza su B data da x ∼I y ⇔ x + y ∈ I.
L’insieme quoziente che si denota usualmente con B/I è un’algebra
di Boole ponendo
0 = [⊥]
[x] u [y] = [x f y]
0
1 = [>]
[x] t [y] = [x g y]
∗
[x] = [x ].
L’ordinamento su B/I è dato da [x] v [y] ⇔ y f x∗ ∈ I.
2
I è primo se e solo se I è massimale se e solo se ∀x(x ∈
/ I ⇔ x∗ ∈ I).
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Atomi
Un ideale I di un’algebra di Boole B è principale se è della forma
↓ x = {y ∈ B | y ≤ x} per qualche x ∈ B; l’elemento x si dice
generatore di I e diremo che I è generato da x.
Un atomo di un’algebra di Boole B è un elemento minimale di B \ {⊥}
cioè un a ∈ B \ {⊥} per cui non esistono ⊥ < b < a. At(B) è l’insieme
degli atomi di B. Un’algebra si dice atomica se per ogni b ∈ B \ {⊥} c’è
un atomo a ≤ b.
P(X) è un’algebra atomica e gli atomi sono i singoletti. Una sua
subalgebra è una famiglia S ⊆ P(X) contenente ∅ e X e chiusa per
unioni, intersezioni e complementi.
Ogni algebra di Boole finita è atomica.
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Atomi
Proposizione
Se a ∈ B, le seguenti condizioni sono equivalenti:
1
a è un atomo;
2
a 6= ⊥ e per ogni b, c ∈ B, a ≤ b g c se e solo se a ≤ b oppure a ≤ c;
3
per ogni b ∈ B, a ≤ b oppure a ≤ b∗ , ma non entrambi;
4
l’ideale generato da a∗ è primo.
[a è un atomo] ⇒ [a 6= ⊥ e ∀b, c(a ≤ b g c ⇔ (a ≤ b oppure a ≤ c))]
Se a ≤ b oppure a ≤ c allora, chiaramente, a ≤ b g c. Viceversa, se a b
e a c, allora a f b∗ 6= ⊥ e a f c∗ 6= ⊥. Poiché a è un atomo, a f b∗ = a
e a f c∗ = a, cioè a ≤ b∗ e a ≤ c∗ , da cui a ≤ b∗ f c∗ = (b g c)∗ . Se
a ≤ b g c allora a ≤ (b g c)∗ f (b g c) = ⊥: una contraddizione. Quindi
a b g c.
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Anelli Booleani
Atomi
[a 6= ⊥ e ∀b, c(a ≤ b g c ⇔ (a ≤ b oppure a ≤ c))]⇒
[∀b(a ≤ b aut a ≤ b∗ )]
Fissato b ∈ B, si ha che a ≤ > = b g b∗ e quindi a ≤ b oppure a ≤ b∗ .
Tuttavia, non è possibile che a ≤ b e a ≤ b∗ valgano entrambe poiché ciò
implicherebbe a ≤ ⊥ = b f b∗ .
[ ∀b(a ≤ b aut a ≤ b∗ )] ⇒ [a è un atomo]
Osserviamo che 3 implica banalmente che a 6= ⊥. Se esistesse ⊥ < b < a,
allora a b implica che a ≤ b∗ , da cui ⊥ = a f b∗∗ = a f b = b,
contraddizione.
[a 6= ⊥ e ∀b, c(a ≤ b g c ⇔ (a ≤ b oppure a ≤ c))] ⇔ [ ↓ a∗ è primo]
segue dal principio di dualità.
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Anelli Booleani
Teorema di Stone per algebre complete
Teorema
1
Per ogni algebra di Boole B tale che At(B) 6= ∅, la funzione
f : B → P(At(B)), f (b) = {a ∈ At(B) | a ≤ b} è un omomorfismo.
2
B è atomica se e solo se f è iniettivo.
b
Se B è completa, o anche solo: se X esiste per ogni X ⊆ At(B),
allora f è suriettivo.
3
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Anelli Booleani
Teorema di Stone per algebre complete
Dimostrazione.
1 Sia a ∈ At(B). Allora a ≤ b f c se e solo se a ≤ b e a ≤ c e per la
Proposizione 3, a ≤ b g c se e solo se a ≤ b oppure a ≤ c. Quindi
f (b f c) = f (b) ∩ f (c) e f (b g c) = f (b) ∪ f (c), cioè f è un omomorfismo.
2 È immediato verificare che B è atomica se e solo se ker(f ) = {⊥}.
b
3 Se X ⊆ At(B), sia b = X. Allora X ⊆ f (b). Vogliamo dimostrare
che X = f (b): se per assurdo esistesse a ∈ f (b) \ X, allora, trattandosi di
atomi, ∀x ∈ X (a f x = ⊥), quindi
j
j
a=afb=af
X = {a f x | x ∈ X} = ⊥,
contraddizione.
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Teorema di Stone per algebre complete
Corollario
Ogni algebra di Boole atomica è isomorfa ad una sub-algebra di P(I), per
qualche insieme
b I. Ogni algebra di Boole atomica e completa (o anche
solo: tale che X esiste per ogni X ⊆ At(B)) è isomorfa a P(I), per
qualche insieme I.
La somma, in P(X), come anello Booleano, è la differenza simmetrica
Y + Z = Y 4 Z.
Un ideale di una subalgebra S ⊆ P(X) è una famiglia I ⊆ S chiusa per
unioni finite e per sottoinsiemi.
L’ideale generato da un A ∈ S è {B ∈ S | B ⊆ A}.
Non tutti gli ideali di P(X) sono principali — per esempio
Fin = {A ⊆ N | A è finito}
è un ideale non principale di P(N).
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Anelli Booleani
Algebra quoziente
Se I è un ideale di una subalgebra S ⊆ P(X) l’ordinamento dell’algebra
quoziente S/I è dato da
[Y ] ≤ [Z] ⇔ Z \ Y ∈ I.
L’algebra quoziente P(N)/ Fin è priva di atomi: infatti se A è infinito
(cioè [A] 6= 0 = Fin) allora A può essere scritto come unione di due
insiemi B e C infiniti e disgiunti, A = B ∪ C e B ∩ C = ∅, quindi
0 < [B] < [A].
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Anelli Booleani
Aperti regolari
U aperto di uno spazio topologico X è regolare se
def
r(U ) = Int(Cl(U )) = U .
Esercizio
Se U è aperto e A, B sono sottoinsiemi arbitrari di X, spazio topologico:
1
U ⊆ r(U );
2
A ⊆ B ⇒ r(A) ⊆ r(B);
3
r(r(A)) = r(A);
4
r(U ) è il più piccolo aperto regolare contenente U ;
5
Int(X \ U ) è regolare.
RO(X) = {U ⊆ X | U è regolare}.
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Anelli Booleani
Aperti regolari
Se U, V ∈ RO(X), allora r(U ∩ V ) ⊆ r(U ) = U e r(U ∩ V ) ⊆ r(V ) = V ,
da cui r(U ∩ V ) ⊆ U ∩ V . Quindi RO(X) è chiuso per intersezioni.
Se U è aperto e Y arbitrario, allora U ∩ Cl(Y ) ⊆ Cl(U ∩ Y ), quindi,
tenendo presente che l’interno di un’intersezione è l’intersezione degli
interni,
U ∩ Int(Cl(Y )) = Int(U ) ∩ Int(Cl(Y ))
= Int(U ∩ Cl(Y ))
⊆ Int(Cl(U ∩ Y )).
In particolare, se V è aperto U ∩ r(V ) ⊆ r(U ∩ V ).
Ponendo U f V = U ∩ V , U g V = r(U ∪ V ) e U ∗ = Int(X \ U ) si ha
che RO(X) è un’algebra di Boole.
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Anelli Booleani
Aperti regolari
Verifichiamo, per esempio, la proprietà distributiva. Siano
U, V, W ∈ RO(X):
U f (V g W ) = U ∩ r(V ∪ W )
⊆ r(U ∩ (V ∪ W ))
= r((U ∩ V ) ∪ (U ∩ W ))
= (U f V ) g (U f W ).
b
S
Se A è una famiglia di aperti regolari, A = r( A); quindi RO(X) è
un’algebra completa.
CLOP(X) è una sub-algebra di RO(X) e di P(X), ma, in generale,
RO(X) non è una sub-algebra di P(X), dato che l’operazione di g può
non coincidere con l’unione.
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