Note sul corso di Algebra Lineare
del Prof. Poletti
(1o semestre a.a. 2008-09)
Osservazioni ed esempi
Giulio Peruginelli
22 dicembre 2008
Aggiunti 2 esercizi nell’ultima pagina.
AVVERTENZA: quanto segue sono approfondimenti/chiarimenti di quanto fatto in classe.
Posso modificare/aggiungere qualcosa a quanto ho scritto nei giorni precedenti, quindi vi invito ogni volta a scorrere tutto questo scritto.
Martedı̀ 18 Novembre
• Scomposizione di una permutazione in prodotto di cicli disgiunti.
Esempio:
Sia data la seguente permutazione
1 2 3 4 5 6 7 8 9
σ=
∈ S9
4 3 1 2 6 7 5 9 8
dove S9 è il gruppo simmetrico di ordine 9. Vogliamo trovare la scomposizione in cicli (disgiunti!) di σ.
Consideriamo le iterate di σ sull’elemento 1, vale a dire i seguenti
elementi di I9 = {1, 2, . . . , 9}:
1, σ(1) = 4, σ(σ(1)) = 2, σ(σ(σ(1))) = 3, σ(σ(σ(σ(1)))) = 1
Continuando in questo modo ad applicare σ continueremo ad ottenere
gli elementi dell’insieme {1, 2, 3, 4}. Abbiamo ottenuto il ciclo (1 4 2 3)
1
(osserviamo anche che considerando un qualsiasi elemento di questo insieme
cosı̀ ottenuto e rioperando la procedura adesso descritta otteniamo sempre
lo stesso insieme).
Per andare avanti scegliamo un altro elemento di I9 non contenuto in
{1, 2, 3, 4}, ad esempio 5. Operando come prima otteniamo:
5, σ(5) = 6, σ(σ(5)) = 7, σ(σ(σ(5))) = 5
Abbiamo ottenuto cosı̀ un altro ciclo, (5 6 7), costituito dagli elementi
{5, 6, 7}. Prendiamo adesso 8 (o comunque un qualsiasi altro elemento di I9
non contenuto nei due cicli finora ottenuti):
8, σ(8) = 9, σ(σ(8)) = 8
Il terzo ciclo che abbiamo ottenuto è costituito dagli elementi {8, 9}.
Avendo esaurito tutti gli elementi di I9 , possiamo scrivere la decomposizione
di σ in cicli disgiunti, in questo modo:
σ = (1 4 2 3)(5 6 7)(8 9)
Il ciclo (1 4 2 3) sta ad indicare la permutazione di I9 che manda 1 in
4, 4 in 2, 2 in 3 e 3 in 1, e lascia fissi i restanti elementi di I9 . Allo stesso
modo (8 9) è lo scambio di 8 e 9 (e lascia inalterati i restanti elementi) e
analogamente per (5 6 7).
NB: l’ordine è importante!! (1 2 3 4) 6= (1 4 2 3) (però allo stesso tempo
abbiamo che (1 4 2 3) = (4 2 3 1)).
Tale procedimento può essere ovviamente generalizzato ad una qualsiasi
permutazione del gruppo simmetrico di ordine n.
• Scomposizione di un ciclo in prodotto di scambi.
In generale abbiamo che:
(i1 i2 . . . , in ) = (i1 in )(i1 in−1 ) . . . (i1 i2 )
ad esempio:
(5 1 2 4 3) = (5 3)(5 4)(5 2)(5 1)
Per la verifica di quest’ultima uguaglianza ricordarsi che quando si compongono permutazioni si inizia prima ad operare a sinistra, come per l’usuale
composizione di funzioni.
In generale non potremo richiedere che nella decomposizione di un ciclo
come prodotto di scambi, gli scambi siano disgiunti.
2
• Segno di una permutazione
I due fatti osservati sopra implicano che data una permutazione essa si
decompone come prodotto di scambi. Il segno di una permutazione σ è
uguale a
sgn(σ) = (−1)h
dove h è il numero di scambi di una qualsiasi decomposizione di σ. Tale
valore NON dipende dalla decomposizione scelta. Osserviamo che sgn(σ) ∈
{1, −1}, ed è uguale ad 1 se e solo se σ si decompone come prodotto di un
numero pari di scambi ed è uguale a −1 se e solo se si decompone come
prodotto di un numero dispari di scambi. In particolare il segno di uno
scambio è pari a −1.
Vediamo tutto questo nel caso n = 4.
Definiamo il polinomio (NB: è assolutamente proibito e sopratutto inutile
sviluppare questo prodotto!!!!):
D(X1 , X2 , X3 , X4 ) =(X1 − X2 )(X1 − X3 )(X1 − X4 )
(X2 − X3 )(X2 − X4 )
(X3 − X4 )
Un modo compatto di scrivere questo polinomio è il seguente:
Y
D(X1 , X2 , X3 , X4 ) =
(Xi − Xj )
1≤i<j≤4
Data σ ∈ S4 *definiamo* come σ opera sul polinomio D(X1 , X2 , X3 , X4 ):
D(X1 , X2 , X3 , X4 )σ =(Xσ(1) − Xσ(2) )(Xσ(1) − Xσ(3) )(Xσ(1) − Xσ(4) )
(Xσ(2) − Xσ(3) )(Xσ(2) − Xσ(4) )
(Xσ(3) − Xσ(4) )
ad esempio se σ = (1 3 2) abbiamo che
D(X1 , X2 , X3 , X4 )σ = (X3 −X1 )(X3 −X2 )(X3 −X4 )(X1 −X2 )(X1 −X4 )(X2 −X4 ) = D(X1 , X2 , X3 , X4 )
abbiamo cosı̀ ottenuto lo stesso polinomio. Si può dimostrare che ogni
permutazione di S4 associa al polinomio D il polinomio ±D: basta osservare che se σ ∈ S4 e (i, j) è una coppia di valori in I4 , con i < j, allora
σ({i, j}) = {k, l}, dove k, l ∈ I4 , con k 6= l (perchè? riflettere su questo
punto). L’insieme {k, l} non è necessariamente disgiunto dall’insieme {i, j}.
3
Il coefficiente ±1 determina univocamente il segno della permutazione.
Notare che questo NON dipende dalla scomposizione di σ come prodotto di
cicli o di scambi.
Se θ = (2 4) abbiamo che
D(X1 , X2 , X3 , X4 )θ = (X1 −X4 )(X1 −X3 )(X1 −X2 )(X4 −X3 )(X4 −X2 )(X3 −X2 ) = −D(X1 , X2 , X3 , X4
Esercizio: dimostrare che se θ è uno scambio qualsiasi allora Dθ = −D
(per brevità ho omesso di indicare le variabili, ma si tratta sempre dello
stesso polinomio).
Se σ, η ∈ S4 e ψ = ση allora si verifica facilmente che
Dψ = (Dη )σ
NB: FARE ATTENZIONE all’ordine con cui si opera con le due permutazioni σ e η (a lezione forse ho scritto Dψ = (Dσ )η nel qual caso ho
sbagliato!)
Sia adesso σ ∈ S4 una generica permutazione e supponiamo di avere due
scomposizioni distinte:
σ = θ 1 . . . θk
σ = θ10 . . . θh0
dove θi , θi0 sono scambi. Risulta che
Dσ = D(θ1 ...θk ) = (. . . ((Dθk )θk−1 )... )θ1 = (. . . (−D)θk−1 )... )θ1 = (. . . (−1)2 (Dθk−2 )... )θ1 = (−1)k D
se uso la prima decomposizione di σ e allo stesso modo
0
0
Dσ = D(θ1 ...θh ) = (−1)h D
se uso la seconda. Quindi abbiamo ricavato che (−1)h = (−1)k e quindi
h e k hanno la stessa parità.
Esercizi (da svolgere solo per gli interessati, NON sono argomento d’esame!!!):
Scomporre in cicli disgiunti le seguenti permutazioni:
1 2 3 4 5 6 7
∈ S7
4 3 1 6 5 2 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
∈ S11
11 10 8 7 6 5 4 3 9 2 1
4
1 2 3 4 5 6
4 1 5 2 6 3
∈ S6
(5 1 2 4 3)(5 1 3) ∈ S5
(1 2 4)(3 1 4)(1 4 2) ∈ S4
NB: Per gli ultimi due esempi, bisognerà prima calcolare il prodotto delle
permutazioni (che NON sono digiunte!) e poi applicare l’ usuale procedura.
Altrimenti si può applicare anche l’usuale procedura anche direttamente,
senza sviluppare il prodotto: provare.
5
Martedı̀ 25 Novembre
• Determinante
Il determinante di una matrice si comporta in questo modo rispetto alle
seguenti operazioni
• scambio di due colonne (o di due righe): il determinante cambia di
segno
• somma ad una colonna (rispettivamente: riga) di un multiplo scalare di
un’altra colonna (rispettivamente riga): il determinante della matrice
non cambia
Esempi di queste operazioni.
Sia
a11
a21
A=
a31
a41
a12
a22
a32
a42
a13
a23
a33
a43
a14
a24
a34
a44
a14
a24
det(A) = − det
a34
a44
a12
a22
a32
a42
a13
a23
a33
a43
a11
a21
a31
a41
abbiamo scambiato la 1a e 4a colonna.
Allo stesso modo abbiamo che
a11
a31
det(A) = − det
a21
a41
a12
a32
a22
a42
a13
a33
a23
a43
a14
a34
a24
a44
una matrice 4 × 4.
Abbiamo che
dove abbiamo scambiato la 2a e 3a riga.
Vediamo adesso due esempi di operazioni del secondo
a11 + 3a13 a12 a13 a14
a21 + 3a23 a22 a23 a24
det(A) = det
a31 + 3a33 a32 a33 a34
a41 + 3a43 a42 a43 a44
tipo.
abbiamo sommato alla 1a colonna un multiplo della 3a. La 1a colonna
dell’ultima matrice è appunto: a1 + 3a3 , dove a1 e a3 sono la 1a e 3a colonna
della matrice A.
6
Ancora:
a11
a12
a13
a14
a21 − 7a41 a22 − 7a42 a23 − 7a43 a24 − 7a44
det(A) = det
a31
a32
a33
a34
a41
a42
a43
a44
Abbiamo sommato alla 2a riga un multiplo della 4a riga.
Il 2o tipo di operazione può essere generalizzata dicendo che: il determinante di una matrice non cambia se sommiamo ad una colonna (rispettivamente: riga) una combinazione lineare delle restanti colonne (rispettivamente: righe).
Il metodo di Gauss permette di ricondursi al calcolo del determinante di
una matrice triangolare (superiore o inferiore) mediante appunto operazioni
dei due tipi precedenti. Sappiamo infatti che il determinante di una matrice
triangolare (e in particolare di quelle diagonali) è semplicemente il prodotto
degli elementi sulla diagonale.
Metodo di Laplace per il calcolo del determinante. Enuncio il risultato
nel caso di matrici 4 × 4 (facilmente si generalizza al caso di matrici n × n).
Sia
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
4×4
A=
a31 a32 a33 a34 ∈ K
a41 a42 a43 a44
Fissiamo una riga, ad esempio la 3a. Risulta che:
det(A) = a31 (−1)3+1 det(A31 )+a32 (−1)3+2 det(A32 )+a33 (−1)3+3 det(A33 )+a34 (−1)3+4 det(A34 )
dove ricordo che Aij è il minore 3 × 3 di A ottenuto levando la riga i e
la colonna j (quanti minori del tipo Aij ha una matrice quadrata di ordine
4?). Ad esempio:
a11 a13 a14
A32 = a21 a23 a24 ∈ K 3×3
a41 a43 a44
Fissiamo adesso una colonna di A, ad esempio la 4a. Risulta che:
det(A) = a14 (−1)1+4 det(A14 )+a24 (−1)2+4 det(A24 )+a34 (−1)3+4 det(A34 )+a44 (−1)4+4 det(A44 )
7
Faccio osservare che questa formulazione del teorema di Laplace è contenuta implicitamente nel teorema 4.4.4 delle dispense del prof. Poletti;
*riflettete* bene su questo fatto, che ho spiegato in classe, cercando di rendervene conto. Provate a svolgere il prodotto della matrice A per la sua
aggiunta A0 e anche il prodotto di A0 per A.
Calcoliamo per esercizio il determinante di una matrice 3×3, applicando
l’espressione esplicita del determinante. Sia
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23 ∈ K 3×3
a31 a32 a33
La formula dice che
det(A) =
X
sgn(σ)aσ(1)1 aσ(2)2 aσ(3)3
σ∈S3
P
dove il simbolo
σ∈S3 indica la somma al variare di *tutte* le permutazioni del gruppo simmetrico di ordine 3 (quanti addendi abbiamo in
generale nel caso generale di una matrice n × n?). aσ(1)1 indica l’elemento
della matrice A che ha per riga σ(1) e colonna 1 e cosı̀ gli altri due fattori
di ciascun addendo. Elenchiamo gli elementi di S3 , il gruppo simmetrico di
ordine 3:
S3 = { Id, (12), (13), (23), (123), (132)}
1
−1
−1
−1
1
1
in effetti #S3 = 3! = 6 e quindi questi sono tutti gli elementi di S3
(provare per esercizio ad elencare gli elementi di S4 ). Sotto ad ogni permutazione di S3 abbiamo indicato il suo segno (ricordo che ogni scambio ha
segno −1 e ogni k-ciclo ha segno (−1)k−1 , perchè può essere decomposto in
k − 1 scambi: vedi sopra).
Adesso possiamo calcolare il determinante di A:
det(A) = a11 a22 a33 −a21 a12 a33 −a31 a22 a13 −a11 a32 a23 +a21 a32 a13 +a31 a12 a23
Osserviamo che i singoli addendi di questa espressione contengono ciascuno 3 fattori, e questi sono ottenuti prendendo un elemento per ogni colonna
della matrice in maniere tale da non avere mai due elementi che appartengono alla stessa riga (all’interno dello stesso addendo!!).
Ad esempio scegliamo un elemento dalla 1a colonna: a21 . Prendo poi
un elemento della 2a colonna, in maniera tale che non sia nella 2a riga (gia’
8
scelta nella 1a colonna); ad esempio a32 . Infine scelgo l’ elemento della 3a
colonna che non appartenga alle due righe già scelte, quello nella 1a riga:
a13 . Osservare che tale scelta fatta corrisponde a prendere la permutazione
σ = (123): a21 a32 a13 = aσ(1)1 aσ(2)2 aσ(3)3 . Davanti ad ogni addendo ci va
messo il segno della permutazione corrispondente alla scelta effettuata.
9
Esercizi: calcolare il determinante delle seguenti matrici, cercando ogni
volta di usare il metodo più opportuno di quelli esposti sopra.
5 0 3
5 −10 3
−2 0 0
0 1 0 , 4 −8 1 , 0 1 10
4 0 2
1 −2 2
7 1 2
Nel 2o caso si può già dire ad occhio perchè il determinante viene uguale
a zero?
Calcolare il rango delle seguenti matrici, individuando un minore di rango
massimo.
−2 1
1
−5 11 3 0 1
−4 3 −6 2 −3 0 −1 11
,
0 −2 2 1 9 , 17 1
0
7
1 −1
0
1
4 7 −2
2 2 3 1
0 −1 0 1
10
Venerdı̀ 28 Novembre
• Risoluzione sistemi equazioni lineari di n equazioni in m incognite
Sia K un campo e sia
a11 x1 + . . . + a1m xm = b1
...
an1 x1 + . . . + anm xm = bn
un sistema di n equazioni lineari a coefficienti aij ∈ k in m incognite
x1 , . . . , x m .
Siano
a11 . . . a1m
b1
∈ K n×m , b = . . .
...
A=
an1 . . . anm
bn
la matrice incompleta associata al sistema e il vettore dei termini noti.
Sia
a11
(A, b) =
an1
. . . a1m b1
...
. . . ∈ K n×(m+1)
. . . anm bn
la matrice completa associata al sistema. Sia
S = {x ∈ K n |Ax = b}
l’insieme delle soluzioni del sistema (NB: osservare che il sistema è equivalente a scrivere l’equazione matriciale Ax = b). Il sistema si dice risolubile
se S 6= ∅.
Se n = m e det(A) 6= 0 allora per il teorema di Cramer esiste una e una
sola soluzione x = A−1 b che possiamo ricavare esplicitamente.
Nel caso generale si procede in quest’ ordine:
• Teorema-Criterio di Rouché-Capelli:
Il sistema e’ risolubile se e solo se rk(A) = rk(A, b).
Se il sistema non è risolubile abbiamo concluso: non ci sono soluzioni.
Viceversa se il sistema è risolubile, sia q uguale al rango di A (1 ≤ q ≤
min{n, m}). Sia M un minore q × q di A di rango massimo (ovverosia
det(M ) 6= 0 e per ogni minore M 0 di A di ordine (q + 1) × (q + 1) che estende
M si ha det(M 0 ) = 0).
• Metodo dell’eliminazione:
11
Il sistema di partenza è equivalente (nel senso che ha lo stesso insieme
di soluzioni di) al seguente sistema:
ai1 ,1 x1 + . . . + ai1 ,m xm = bi1
...
aiq ,1 x1 + . . . + aiq ,m xm = biq
che è lo stesso sistema di prima a cui sono state cancellate le righe che
non attraversano il minore M ({i1 , . . . , iq } ⊂ {1, . . . , n} sono le righe di A
e ∈ K q×m la matrice incompleta
che appartengono al minore M ). Siano A
e eb ∈ K q il vettore dei termini noti associati a questo nuovo sistema. Se
indichiamo con Se l’insieme delle soluzioni di questo sistema, vale a dire
e = eb}, risulta che
Se = {x ∈ K m |Ax
e
Se = se + H
es = eb, detta soluzione
dove se ∈ K m è un qualsiasi vettore tale che Ae
e e
particolare del sistema (in altre parole se è un qualsiasi elemento di S),
e
H = ker(LAe), è l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato
e = eb, vale a dire il sistema Ax
e = 0. Sappiamo inoltre che la
al sistema Ax
e
dimensione dello spazio vettoriale H è pari a n − rank(A) = n − q (ricordare
e hanno lo stesso rango; perchè vale questo?).
che A e A
Vediamo adesso come procedere (cioè come ricavare una soluzione pare su un esempio specifico.
ticolare del sistema e una base di H)
Consideriamo il seguente sistema a coefficienti
=
ix1 + x2 + x3
x1 − ix2 + (1 + i)x3 =
2x1 − 2ix2 + x3
=
in C:
i
2
3
da risolversi in x = (x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ C4 .
La matrice incompleta è
i
1
1
0
A = 1 −i 1 + i 0 ∈ C3×4
2 −2i
1
0
Il vettore dei termini noti è
i
b= 2
3
Tramite il metodo di Kronecker si verifica che rk(A) = 2 e che rk(A, b) =
2. Pertanto il sistema è risolubile. Fisso un minore M di ordine 2 di rango
massimo:
12
M=
i
1
1 1+i
∈ C2×2
Per il metodo dell’eliminazione il sistema è equivalente a
ix1 + x2 + x3
= i
x1 − ix2 + (1 + i)x3 = 2
e e eb la matrice incompleta e il vettore dei termini noti associati
Siano A
a quest’ultimo sistema.
Cerco una soluzione particolare della forma
ξ1
0
se =
ξ3
0
con ξ1 , ξ3 ∈ C. Ho posto uguali a 0 le righe di se che corrispondono alle
e che non sono colonne del minore M e ho lasciato le restanti righe
colonne di A
es = eb otteniamo equivalentemente la seguente
incognite. Imponendo che Ae
equazione:
ξ1
i
M
=
2
ξ3
la quale, risolta con il metodo di Cramer (perchè si può applicare?) porta
alla (unica!) soluzione
i i i
1 1 2 2 1+i i−3
i
=
,
ξ3 =
=
ξ1 =
det(M )
i−2
det(M )
i−2
Pertanto una soluzione particolare del sistema è data da
i−3
i−2
0
se =
i
i−2
0
es = eb può andare bene per
NB: una qualsiasi altra soluzione se di Ae
questo procedimento. A volte capita di poterla trovare ad occhio!, senza
dover ricorrere a Cramer.
e che nel nostro caso avrà
Passiamo adesso alla ricerca di una base di H,
dimensione 4 − rank(A) = 2.
e del tipo
Cerco una base di H
13
z1
0
v2 =
z3
1
y1
1
v1 =
y3 ,
0
e
Come per la ricerca di se, anche qua ho considerato le colonne di A
che non sono colonne di M , nel nostro caso la 2a e la 4a. Fatto questo
pongo alternativamente 1 e 0 nei posti corrispondenti (se, tanto per fare un
e che non sono colonne del minore di rango massimo
esempio, le colonne di A
fossero state 3, avremmo dovuto sistemare in esse i numeri (1, 0, 0), (0, 1, 0)
e (0, 0, 1)).
e i = 0, per i = 1, 2, otteniamo che
Imponendo che Av
y1
1
z1
0
M
=−
,
M
=−
y3
−i
z3
0
che portanto alle soluzioni
y1
i
,
=
y3
0
z1
z3
=
0
0
Pertanto
i
1
v1 =
0 ,
0
0
0
v2 =
0
1
Le soluzioni del sistema di partenza sono tutti e soli gli elementi dell’insieme
i−3
i−2
* i
0
+ 1 ,
Se =
i
0
i−2
0
0
0 +
0
0
1
Invito a risolvere l’esercizio scegliendo un altro minore M di rango massimo. Sicuramente troveremo un’altra soluzione particolare e un’altra base
dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo; ciò nonostante i due
insiemi di soluzioni trovati daranno luogo allo stesso insieme.
14
Esercizi vari
Provare per esercizio a risolvere il seguente sistema
5x1 + 4x2 + x3 + 3x4 + 4x6 = 4
7x1 + 4x2 + 2x4 + x5 + 5x6 = 4
4x
= −1
1 − 3x2 + 3x4 + 2x6
9x1 + x2 + x3 + 6x4 + 6x6 = 3
da risolversi in x = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 )T ∈ R4 .
(NB: la scelta del minore di rango massimo può semplificare enormemente i conti!!!)
Trovare l’insieme delle soluzioni del seguente sistema
−2x1 + x2 − 32x3 = −1
x1 + 2x2 + 11x3 = 3 + a
7x2 − 14x3 = 7
al variare del parametro reale a ∈ R.
Trovare l’insieme delle soluzioni del seguente
7ix1 + 2x2 + 19ix3 =
3x1 + x2 + (9 − ai)x3 =
4x1 − 5x2 + (12 + 5i)x3 =
al variare del parametro reale a ∈ R.
15
sistema
−5
3i + 1
4i − 5
Trovare la matrice A ∈ R3×5 associata all’ unica applicazione lineare
L : R3 → R5 che manda i vettori
5
1
0
7
0
4
v1 =
,
v2 =
,
v3 =
8
1
6
rispettivamente in
2
1
−7
2
0
w1 =
,
w2 =
4
−8
0
−5
11
,
w3 =
0
0
1
3
1
(perchè di L ce n’e’ una sola?) applicando l’ ultimo metodo spiegato
all’ultima lezione fatta in classe.
Siano
2
v1 = 1 ,
1
0
v2 = 1 ,
1
1
v3 = 0
−1
3 vettori di R3 . Verificare che formano una base di R3 . Trovare una
applicazione lineare L : R3 → R3 tale che
• f (v1 ) = v2
• f 2 = Id
dove ricordo che f 2 = f ◦ f . Scrivere tale applicazione nella forma LA ,
per una qualche matrice A ∈ R3×3 .
16
Dire se i seguenti vettori sono linearmente
5
3
3
2
0 ,
1 ,
7
−4
1
1
indipendenti.
2
−1
−11
93
−4
In caso affermativo completarli ad una base di R5 usando i vettori ei della
base canonica. In caso negativo trovare prima una base dello spazio vettoriale da essi generato e dopo completarli ad una base di R5 usando i vettori
ei della base canonica.
Stessa domanda per questi vettori (ovviamente sostituendo a R5 lo spazio
R3 ):
5
3
7
1
2 ,
0 ,
1 ,
4
√
1
−1
1
2
procedere poi come sopra.
e per questi altri (R4 al posto
2
5
−11 ,
0
di R5 ):
1
1
−4 ,
3
procedere poi come sopra.
17
0
7
2
1
Si considerino i seguenti sottospazi di R3 :
W = {x ∈ R3 |x1 − x2 + 3x3 = 0}
U = {x ∈ R3 |5x1 + 7x2 − 2x3 = 0}
Trovare una base B1 di W e una base B2 di U . Trovare poi una base
B di W ∩ U . Per i = 1, 2, esprimere gli elementi di B come combinazioni
lineari dei vettori di Bi .
Stesse domande per i seguenti sottospazi di R4 :
W = {x ∈ R4 |5x1 + 2x2 − 7x3 + x4 = 0 e 4x1 − 2x2 + x3 + x4 = 0}
U = {x ∈ R4 |18x2 − 33x3 − x4 = 0}
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