Sistemi Stocastici
Anno Accademico 2016/2017
Il presente documento contiene
1. Indicazioni sulla determinazione del voto d'esame;
2. Lista degli argomenti trattati all'interno della didattica frontale svolta dal prof. Luca Di
Persio. Tali argomenti costituiscono l'insieme dei saperi [ si veda il paragrafo Argomenti per
l'esame scritto ] sul quale verterà la prova scritta del corso di Sistemi Stocastici;
3. Lista dei progetti inerenti la parte di Analisi delle Serie Storiche [ si veda il paragrafo: Lista
Progetti Analisi delle Serie Storiche ]. Tutti i progetti contrassegnati da un * sono relativi ad
argomenti oggetto anche dell'attività svolta dal tutor, dott. Erik Pillon. I titoli non
contrassegnati da un * sono relativi ad argomenti non trattati nelle ore svolte dal suddetto
tutor. Ogni studente è tenuto a presentare un progetto scegliendo nella lista summenzionata e
producendo in autonomia, ovvero singolarmente, ovvero non in comune con altre/i
colleghe/i, un elaborato. E' anche possibile proporre temi d'approfondimento non inseriti
nella suddetta lista, previa comunicazione ed approvazione del docente del corso.
(1) Determinazione del voto d'esame: il voto finale risulterà dalla seguente formula
Voto = (5/6) * T + (1/6) * E + P
dove :
◦ T è il voto espresso in 30esimi relativo alla parte di Teoria ( scritto di competenza del
prof. Di Persio ) ;
◦ E è il voto espresso in 30esimi relativo alla parte di esercitazioni ( orale di competenza
del prof. Caliari ) ;
◦ P è il punteggio, compreso nell'intervallo [0,2], assegnato dal prof. Di Persio
all'elaborato presentato a valere sulla parte di Analisi delle Serie Storiche, ovvero
inerente uno degli argomenti presenti nella lista di cui al punto (3).
(2) Argomenti per l'esame scritto
• Legami fondamentali tra la teoria della misura ( di Lebesgue ) e la teoria della Probabilità
• Pull-back di misure
• Convergenza: quasi ovunque, in legge, in probabilità, in media, in momento N-esimo, etc.
• Teoremi limite e Teorema centrale del limite ( formulazione standard )
• Funzione caratteristica per variabili aleatori multidimensionali ed applicazioni
• Aspettazioni condizionate, leggi condizionate, sigma-algebre relative
• Definizione di Processi Stocastico (PS) [ tempo discreto e continuo ]
• Spazio di probabilità filtrato, filtrazioni, filtrazione associata ad un PS
• PS adattato (ad una filtrazione)
• Legame da media condizionali e leggi condizionali finito dimensionali
• Martingale (prima definizione ed esempi: Catene di Markov)
• Teorema di caratterizzazione di Kolomogorov
• Tempi di arresto e loro proprietà
• Uguaglianza e disuguaglianza di Doob per PS generali e per PS-martingala
• Definizione di processo martingala, risp. super, risp. sotto, martingala
• Proprietà fondamentali
• Tempi d'arresto per processi martingala
• Teoremi di convergenza per processi martingala
• Misura inviariante per PS a tempo continuo
• Stazionarietà, stazionarietà forte, funzione covarianza, legami con traslazioni temporali
• Catene di Markov a tempo discreto [ CMTD ]
• Matrici di transizione e CMTD, matrici simmetriche, bistocastiche, proprietà
• Costruzione ed esistenza per CMTD
• CMTD omogenee nel tempo e nello spazio
• Spazio e CMTD canonici
• Classificazione degli stati di una CMTD ( e relative classi )
• Equazione di Chapman-Kolmogorov
• Stati ricorrenti, risp. transienti (criteri di classificazione)
• Catene irriducibili e ricorrenti
• Misure invarianti (stazionarie), ergodiche, limite (Teorema ergodico)
• Criteri di regolarità
• Equazioni del bilancio dettagliato
• Teorema di Metropolis, Rosenbluth A., Rosenbluth M., Teller A., Teller E.
• Passeggiate casuali: su grafi connessi: determinazione delle misure invarianti e limite
• Catene periodiche: determinazione del periodo di una CM
• Relazione tra CMTD e modello binomiale: applicazioni in finanza
• Tempi di passaggio e giustificazione rigorosa del sistema di equazioni che li definisce
• CMTD: relazioni tra esistenza/unicità della misura invariante, stazionarietà, periodicità
• CMTD e processi di nascita e morte: rovina del giocatore ed applicazione del teorema ergodico
• Processi di nascita e morte (tempo discreto)
• CM a tempo continuo (CMTC)
• Definizioni basilari
• Matrice di transizione
• Equazioni di Chapman-Kolmogorov
• Distribuzioni assolute e stazionarie
• Classificazione degli stati
• Probabilità e tassi di transizione
• Equazioni forward/backward di Kolmogorov
• Leggi stazionarie
• Processi stocastici di punto (PP) e di conteggio (PC)
• PP marcati
• PC stazionari/strettamente stazionari, ad incrementi omogenei
• Intensità per un PP stazionario
• Stazionarietà, intensità, composizione per PP e PC
• Processi di Poisson (PPo) e PPo-omogenei (PPO)
• Traiettorie di un PPO e legame con i PP e PC associati,
• Stazionarietà/forte stazionarietà per PPo
• PPo segnati (PPS), studio delle caratteristiche dei PPS via trasformata di Laplace
• PPo non omogenei
• PPo misti e doppiamente stocastici
• PPo composti, determinazione dei momenti via trasformata di Laplace
• CMTC: eq. forward/backward di Kolmogorov, tassi di transizione, tempi di soggiorno,
• CMTC e processi di Nascita e Morte (N/M)
• Processi di nascita
• Processi di morte
• Processi di N&M
• Probabilità di stato dipendenti dal tempo
• Probabilità di stato stazionarie
• Processi di N&M non omogenei
• Traiettorie per processi di pura Nascita/Morte e processi misti,
• Uso delle eq. forward/backward di Kolmogorov per lo studio di processi N/M
• Teorema di Feller-Lundberg
• La trasformata Z per lo studio di processi N/M lineari
• Legami tra N/M e teoria delle code
• N/M con immigrazione
• N/M lineari non omogenei
(3) Lista Progetti Analisi delle Serie Storiche
1 - Confrontare i seguenti metodi di stima/eliminazione di trend
*Studio delle differenze al primo ordine
*Smoothing con filtro a media mobile
Trasformata di Fourier
Smoothing esponenziale
Data fitting con polinomio
*Filtro di Hanning
2 - Ricavare ed implementare in il predittore ad un passo dei modelli
FIR(4)
ARX(3,1)
OE(3,1)
* ARMA(2,3)
ARMAX(2,1,2)
Box-Jenkins(nb,nc,nd,nf)
3Prediction Error Minimization (PEM) ( richiede una corposa ricerca autonoma )
*Maximum Likelihood (ML) pro identificazione dei parametri di un modello
Confrontare prestazioni, pregi e difetti di PEM ed ML
4 - Implementazione della k-fold cross-validation, ed associato test [ non importa il software
utilizzato per la realizzazione della parte numerica ]
5 - Spiegazione estesa di (almeno) uno dei seguenti test
Shapiro-Wilk
Kolmogorov-Smirnov
Lilliefors
6 - Esempi ed applicazioni dei seguenti indicatori statistici:
*media, varianza (campionarie)
*funzioni di autocorrelazione,
*trend, stagionalità, stazionarietà,
*retta di regressione
*regressione multinlineare
7- *Analisi in componenti principali (PCA) ed applicazioni
