Formulario 2

Applicazione dell’algebra alla geometria
POLIGONI INSCRITTI IN UNA CIRCONFERENZA
triangolo, rettangolo, quadrato, trapezio isoscele
R = raggio della circonferenza circoscritta; 2R = diametro; centro della circonferenza = circocentro
triangolo
A
Se si conosce la misura di due lati es. b, c
e l’altezza ha relativa la terzo lato a, il raggio R è dato da:
R=
b
ha
bc
e quindi: 2R  hA  b  c
2  ha
O
R
Se non si conosce l’altezza, ma solo la misura dei tre lati:
R=
a b c
;
4 A
c
H
a
B
C C
l’area del triangolo si calcola con la formula di Erone, oppure
con la formula:
A
a bc
4 R
quadrilatero
Angoli A+C=180° e angoli D+B=180°
semiperimetro p =
d
A
abcd
2
a
Formula di BRAHMAGUPTA
O
c
C
A=
D
R
A
(serve a calcolare l’area di un quadrilatero inscritto in una
circonferenza se si conosce la misura dei quattro lati)
D
B
C
C
b
( p  a)( p  b)( p  c)( p  d )
Per calcolare il raggio della circonferenza si applica la formula: R =
(ab  cd )ad  bc (ac  bd )
;
4A
(il prodotto delle misure dei lati si prendono in senso antiorario, poi orario e poi opposto).
rettangolo
D
R
AC
2
2
; AC  a  b
2
C
c
d
O
b
R
1 2
a  b2 ;
R=
2
a
A
B
1
teorema di TOLOMEO (Prodotto delle misure delle diagonali)
A
Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora
il prodotto delle misure delle diagonali è uguale
alla somma dei prodotti delle misure dei lati opposti.
B
a
b
f
BD  AC  AB  DC  BC  AD  e  f  a  c  b  d
B
D
e
d
teorema inverso di Tolomeo:
D
c
Se il prodotto delle misure delle diagonali di un quadrilatero
è uguale alla somma dei prodotti delle misure dei lati opposti allora
il quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza.
C
POLIGONI IRREGOLARI CIRCOSCRITTI ALLA CIRCONFERENZA
triangolo, quadrato, rombo, trapezio isoscele con lato obliquo uguale alla semisomma delle basi
r = raggio circonferenza inscritta nel poligono; 2r = diametro; centro della circonferenza = incentro.
L’area di qualsiasi poligono irregolare circoscritto a una circonferenza è data dal prodotto del semiperimetro per il
raggio della circonferenza cui il poligono è circoscritto ( tanti triangoli di pari altezza che è uguale al raggio della
circonferenza, e la cui somma delle basi è il perimetro del poligono).
A  A1  A2  A3  ... 
b1  b2  b3  ...  r  p  r
2
D
C
t4
E
t5
t3
0 t2
t1
O
O
t1
A
B
A
t2
B
O
O
t3
h=r
O
t4
C
t5
D
E
A
A
triangolo
A r p; r=
c
A
2A
 2r 
p
p
b
0
c
r
questa formula vale per qualsiasi poligono
C
B
a
triangolo rettangolo
A  CT  TB ; oppure A  p  r ; r =
C
A
p
T
o
per calcolare il raggio r si può anche utilizzare anche la formula:
r=
c1  c 2  i
;
2
r
2r  c1  c2  i
A
A
B
2
quadrilatero
D
C
AB+DC=AD+BC
A=
pr
o
r
A
B
D
b
H
C
trapezio rettangolo
b
A  AB  DC  B  b (per l’equivalenza delle figure piane)
oppure A  p  r
2r = AD = h; r =
AD
2
A
K
B
B
trapezio isoscele
h = HK = 2r, r =
oppure A  p  r
A
H
B
HK
2
D
ABCD  2 AHK
K
C
2 AD  AB  DC ;
ABCD  2AHK ; AD 
Bb
;
2
D
rombo (o losanga)
A=
pr ;
oppure
r
r
A
p
A
C
Dd
4l
B
POLIGONI REGOLARI PARTICOLARI
triangolo equilatero, quadrato, esagono
I poligoni regolari sono inscrittibili e circoscrittibili alla circonferenza.
Il centro O della circonferenza inscritta e di quella circoscritta si chiama centro del poligono regolare.
l = lato del poligono, n = numero dei lati,
R = raggio del poligono regolare = raggio del cerchio circoscritto,
a = apotema = raggio del cerchio inscritto, 2p = perimetro, p = semiperimetro,
A = area del poligono.
3
triangolo equilatero
l3  R  3;
ra
l
3;
6
l
3;
3
R
A
l2
3
4
Le formule scritte relative al lato del poligono, al raggio della circonferenza inscritte e circoscritta e all’area del
poligono regolare si ottengono nel modo seguente:
Considerato il triangolo rettangolo AHC con angolo HAC = 30° e considerati i raggi OA e OC della circonferenza
circoscritta al triangolo si ottiene un triangolo isoscele AOC i cui angoli alla base misurano OAC = ACO = 30°. Poiché
l’angolo HCA = 60°, nel triangolo rettangolo OHC l’angolo OCH = ACH – ACO = 60°- 30° = 30° e quindi l’angolo
HOC = 60°.
A
Lato del triangolo:
OC = i = R; OH =
poiché BC = 2HC si ha l3 = BC = 2 
R
R
 3,
e HC =
2
2
30°
R
 3 = R 3 ,
2
l3=R 3
raggio circonferenza inscritta: poiché h=m=b si ha:
h  AH  R  r ;
h  3r perché: AO = R,
O
(l’ortocentro divide la mediana in due parti quella contenente
il vertice doppia dell’altra); AH = AO + OH = h;
60°
R/2
B
H
1
h  AH  R  r; h  3r; r  apotema  h ;
3
l
1 l
l
3 si ha: r  a  
3; a 
3
poiché h 
2
3 2
6
raggio della circonferenza circoscritta:
area del triangolo:
A
R  2r ;
2r  2 
l
3
6
bh
l
1 l2
l
3 
3
2
2
2 4
R
quindi
60°
R
30°
R/2  3
C
l
3
3
quadrato
l4  R  2 ;
l
ra ;
2
R
l
2;
2
A  l2
Nel triangolo rettangolo isoscele ADB si ha:
BD = 2R ;
2R  AB  2 ;
D
l4 = AB = AD =
2R
2R 2 2 2  R
 R 2 


 R 2 ;
2
2
2 2
C
45°
1
AB
2
r
O
2R  2  AB
1
l
R  d 
2
2
2
a
R
A
A
R 2
N
45°
B
A  l2
4
pentagono
Lato del pentagono regolare l5  R 
10  2 5
;
2
esagono
l6  R;
l
ra
3;
2
2
l
R l  a   ;
2
A
2
3
3 l2
2
F
E
Considerato il triangolo isoscele BOC
poichè l’angolo BOC =
1
 360  60 ; si ha:
6
A
l’angolo OBC = OCB = 60° ciò implica che il triangolo
BOC avente i tre angoli uguali è un triangolo equilatero,
e quindi l6 =BC = BO = OC = R
Se considero l’altezza OH relativa al lato BC del triangolo
BOC si viene a formare un triangolo rettangolo con
A
B
O
AA
A
R
D
a
lùùlll
B
C C
l
2
R 3 l

3
2
2
B  b   h  2l  l   l 3  3l  l 3  3 3  l 2
A  2
2
2
2
2
gli angoli di 90°, 60° e 30° si ha OH= a =
decagono
Lato del decagono regolare l10  R 
5 1
;
2
Numero fisso dei poligoni regolari
In un poligono regolare il rapporto tra l’apotema e il lato è un valore costante detto numero fisso (f)
a
f  ;
a  f  l;
l
Il numero fisso è caratteristico di ogni tipo di poligono regolare.
numero lati
nome poligono regolare
numero fisso (f)
n f
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
triangolo equilatero
quadrato
pentagono
esagono
ettagono
ottagono
ennagono
decagono
endecagono
dodecagono
pentadecagono
0,289
0,5
0,6881
0,866
1,038
1,207
1,374
1,539
1,703
1,866
2,352
0,4330
1
1,72
2,598
3,634
4,828
6,182
7,694
9,366
11,962
17,642
5
Area dei poligoni regolari
L’area di un poligono regolare è data dal prodotto del semiperimetro per l’apotema. A  p  a oppure
ottenuta nel modo seguente: A 
A
nl
 l  f ; dalla formula A  p  a si può ricavare: a  ;
2
p
p
n f
2
A
p
a
A  l2 
a
6