Capitolo 6

6 Teoremi generali
Come visto in precedenza, i fenomeni elettromagnetici possono essere correttamente interpretati facendo uso di un insieme di equazioni differenziali (equazioni di Maxwell) che
i campi elettromagnetici devono soddisfare. Nonostante la loro apperente semplicità,
sono molto pochi i problemi concreti per i quali è possibile fornire una soluzione esatta
di tali equazioni. A tale scopo, è importante enunciare e dimostrare alcunni importanti
teoremi che seguono direttamente dalle equazioni di Maxwell. In particolare, saranno illustrate le condizioni necessarie che garantiscono l’unicità della soluzione delle equazioni
di Maxwell, saranno ricavate le relazioni generali per la corretta interpretazione del bilancio energetico associato ai campi elettromagnetici. Inoltre, saranno analizzate alcune
tecniche di manipolazione delle equazioni di Maxwell e alcuni teoremi che consentono di
semplificare notevolmente la formulazione del problema elettromagnetico.
6.1 Teorema di Poynting
Come accade in tutti i fenomeni fisici anche in quelli elettromagnetici si verifica il fenomeno della trasformazione dell’energia da una forma ad un altra. L’esperienza dimostra,
infatti, che l’energia spesa dal campo elettrico per mantenere una corrente elettrica è
trasformata in calore. In particolare, il calore generato è distribuito all’interno del volume occupato dal campo e l’energia è fornita da generatori situati in regioni di spazio
differenti. La quantità di calore dissipato dipende direttamente e prevalentemente dalle
condizioni locali e solo indirettamente dai generatori. E’ altrettanto evidente che c’è sempre un trasferimento di energia quando un’onda elettromagnetica si propaga attraverso
lo spazio da un punto sorgente a uno ricevente. Pertanto, al fine di interpretare correttamente questi fenomeni di scambio energetico è indispensabile considerare l’energia
elettrica e magnetica associate rispettivamente al campo elettrico e magnetico e non alle
particelle cariche. Infatti, quando due particelle di carica opposta sono prima separate
e poi lasciate libere di muoversi, c’è sempre un’energia residua che è proprio l’eenrgia
immagazzinata nel campo elettromagnetico di radiazione generato durante la fase in cui
le cariche sono lasciate libere di muoversi. Pertanto, per esaminare l’azione e la reazione
delle sorgenti di campo elettromagnetico sul campo stesso e stabilire il tasso di trasfermento energetico tra le particelle cariche e il campo elettromagnetico è indispensabile
formulare la legge di conservazione dell’energia per i fenomeni elettromagnetici.
Le equazioni di Maxwell permettono di ricavare le leggi di variazione delle proprietà
energetiche relative all’interazione del campo elettromagnetico con la materia. A tale
scopo, si consideri una regione di spazio, V , delimitata da una suprficie chiusa e regolare,
S, invariante nel tempo e che contiene il campo elettromagnetico generato da sorgenti
esterne. Tali sorgenti possono essere delle reali correnti impresse con densità di corrente
92
6.1. Teorema di Poynting
93
V
V’
J0
E, H, J
S
an
Figura 6.1: Regione di spazio sede del campo elettromagnetico generato dalla densità di
corrente impressa J0 .
J0 localizzata all’interno di una regione di spazio V ′ contenuta all’interno di V (vedi
Figura 6.1), o fittizie densità di corrente magnetica Jm che potrebbero rappresentare
l’effetto di un qualche campo o sorgente esterno alla regione di interesse dove si vuole
risolvere il problema elettromagnetico. Si considerino le equazioni di Maxwell
∂B(r, t)
− Jm
∂t
∂D(r, t)
∇ × H(r, t) =
+ J(r, t) + J0
∂t
∇ × E(r, t) = −
(6.1)
(6.2)
dove {E, B} rappresenta il campo elettromagnetico presente nella regione V , J la densità
di corrente indotta in V dal campo elettrico E . Considerando l’dentità vettoriale
∇ · (E × H) = H · ∇ × E − E · ∇ × H
e sostituendo le (6.1)–(6.2), si ricava
(
)
∂D
∂B
∇ · (E × H) + E ·
+H·
+ E · J = −E · J0 − H · Jm
∂t
∂t
da cui integrando sul volume V si ottiene
)
∫
∫ (
∫
∫
∂B
∂D
∇·(E × H) dV +
H·
+E·
dV + E·JdV = −
(E · J0 + H · Jm ) dV
∂t
∂t
V
V
V
V
Applicando il teorema della divergenza al primo membro si ottiene in definitiva
)
I
∫ (
∫
∫
∂B
∂D
(E × H)·an dS+
H·
+E·
dV + E·J dV = −
(E · J0 + H · Jm ) dV
∂t
∂t
S
V
V
V
(6.3)
dove an è la normale alla supedicie S.
Effettuando un’analisi energetica si può dimostrare che la (6.3) descrive la conservazione dell’energia nei sistemi elettromagnetici. Infatti, cariche di conduzione, con densità
Ing. Luciano Mescia
6.1. Teorema di Poynting
94
di carica ρ, sotto l’azione di un campo elettromagnetico tendono a muoversi secondo un
campo di velocità v. Di conseguenza, il campo elettromagnetico compie un lavoro su di
esse e in particolare parte dell’energia elettromagnetica si trasforma in enegia meccanica
e termica. Considerando un generico elementino di volume dV che contiene la carica
dq = ρ dV , la forza di Lorentz è fornita dalla relazione
F = dq (E + v × B) = ρ (E + v × B) dV
Nel tempo dt la carica dq percorrerà un tratto lineare dl = vdt e di conseguenza il lavoro
fatto dalla forza di Lorentz (quindi dal campo elettromagnetico) sarà dato dalla relazione
dL = F · dl = (E + v × B) · ρvdV dt = E · ρvdV dt
dove l’ultima equazione è stata ricavata osservando che v × B · v = v × v · B = 0. Considerando che la densità di corrente J può essere interpretata come il risultato del moto
della densità di carica, J = ρv, il lavoro totale compiuto dalle forze elettromagnetiche,
nell’intervallo di tempo elementare dt, su tutte le cariche contenute in V risulta
∫
dL = dt
E · J dV
V
da cui
dL
=
dt
∫
E · J dV
V
In definitiva, se ne deduce che il terzo termine al primo membro della (6.3) ha le dimensioni di una potenza in quanto rappresenta il lavoro compiuto nell’unità di tempo dal
campo elettrico, richiesto per produrre la densità di corrente J, sulle cariche contenute
nel volume V . In modo analogo il secondo membro della (6.3) rappresenta la potenza
istantanea fornita al campo elettromagnetico in V a spese della fonte di energia (generatori) che sostiene le sorgenti esterne di tipo elettrico J0 e le sorgenti fittizie di tipo
magnetico Jm ma che non compare nelle equazioni di Maxwell.
Nel caso generale di un mezzo temporalmente dispersivo o con memoria, le relazioni
costitutive assumono la forma
∫ t
(
) (
)
ge r, t, t′ E r, t′ dt′
D(r, t) =
∫
B(r, t) =
−∞
t
−∞
(
) (
)
gh r, t, t′ H r, t′ dt′
dove ge e gh rappresentano le induzioni elettriche e magnetiche corrispondenti al campo
impulsivo unitario elettrico e magnetico. Considerando la prima relazione costitutiva, si
capisce che E · (∂D/∂t) dipende dal campo elettrico. Da un’analisi dimensionale risulta
inoltre che il campo scalare E · D ha la dimensione di una densità di volume dell’energia
e pertanto il termine E · (∂D/∂t) rappresenta la velocità di variazione della densità di
volume dell’energia elettrica we . Considerando invece la seconda relazione costitutiva
se ne deduce che il termine H · (∂B/∂t) dipende dal campo magnetico e rappresenta la
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6.1. Teorema di Poynting
95
velocità di variazione della densità di volume dell’energia magnetica wm . Pertanto, si
può scrivere
∂D
∂we
=E·
∂t
∂t
∂wm
∂B
=H·
∂t
∂t
e di conseguenza le densità di energia elettrica e magnetica possono essere ricavate per
mezzo delle relazioni generali
∫
∂D
we = E ·
dt + Ce
(6.4)
∂t
∫
∂B
wm = H ·
dt + Cm
(6.5)
∂t
dove Ce e Cm sono costanti d’integrazione che dipendono da come è stato ottenuto il
campo elettromagnetico. In particolare, per segnali che crescono partendo da zero a
t = −∞, si avrà che a t = −∞ il campo elettrico e magnetico sono entrambi nulli, e
quindi we (−∞) = wm (−∞) = 0, da cui si ricava Ce = Cm = 0. Quindi, per un onda
elettromagnetica che inizia a t = −∞ dal valore zero e cresce gradualmente, le costanti
di integrazione Ce e Cm sono nulle e we (t) e wm (t) sono completamente determinate.
Pertanto, la variazione della densità di energia totale può essere espressa come
∂we ∂wm
∂D
∂B
∂w
=
+
=E·
+H·
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
Dalle relazioni ottenute si osserva che per determinare la densità istantanea di energia
di un mezzo con memoria è necessario conoscere sia i valori istantanei del campo elettromagnetico sia il modo con cui evolve il sistema. Tale considerazione può essere tradotta
da un punto di vista matematico dicendo che dw, dwe e dwm non sono dei differenziali
esatti e perciò non è possibile ricavare per w, we e wm delle espressioni esplicite. Di conseguenza, una volta considerate le relazioni costitutive del mezzo, il bilancio energetico
deve essere riformulato caso per caso.
Il termine della (6.3) in cui compare l’integrale di superficie è invece il flusso del campo
vettoriale
S(r, t) = E(r, t) × H(r, t)
detto vettore di Poynting, attraverso la superficie S che racchiude il volume V . Tale
vettore ha le dimensioni di una densità di flusso di potenza (W/m2 ) e di conseguenza
esso rappresenta, in linea di principio, la densità di potenza fluente nel punto individuato
dal vettore r e all’istante t. E’ necesario comunque considerare che non è possibile dare
a S un significato fisico valido punto per punto, e che solo il suo flusso attraverso una
superficie chiusa ha l’esatta interpretazione fisica di una potenza elettromagnetica. Si
osservi inoltre che per la convenzione scelta per il versore an il termine
I
I
ΦS =
(E × H) · an dS =
S · an dS
S
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S
6.1. Teorema di Poynting
96
rappresenta la potenza che esce o entra attraverso la superficie S. Tale relazione è applicabile in ogni situazione, e in particolare sia ai campi stazionari sia ai campi variabili nel
tempo. Nel caso di campi stazionari è però un errore attribuire al flusso di S attraverso
la superficie S il significato di potenza che attraversa l’unità di superficie perpendicolare
alla direzione an , in quanto le origini del campo sono statiche. Infatti essendo
∇×E=0
∇×H=0
segue che il flusso di S attraverso una superficie chiusa è
I
∇·S=0 ⇒
S · an dS = 0
S
Si osservi inoltre che considerando le componenti di campo tangenziali e longitudinali si
ha
S · an = E × H · an = [(Et + En an ) × (Ht + Hn an )] · an = Et × Ht · an
e quindi per un conduttore perfetto, per il quale vale Et = 0, si ricava
S · an = 0
e cioè non può esserci un flusso di potenza all’interno di un conduttore perfetto. Di
conseguenza, i conduttori nelle linee elettriche hanno solo la funzione di guidare l’energia
che si trasmette attraverso il dielettrico interposto tra essi.
Visto che il flusso di S attraverso una superficie chiusa è una potenza elettromagnetica
è possibile ipotizzare che il campo elettromagnetico trasporti una energia la cui densità
di potenza è individuata proprio dal vettore di Poynting. Tale interpretazione, conduce
come conseguenza all’equazione della forma locale del teorema di Poynting
∇·S+
∂w
+ σE2 = −E · J0 − H · Jm
∂t
(6.6)
Dalla (6.6) si osserva che per un mezzo senza perdite (σ = 0) e in assenza di densità
di correnti esterne di tipo elettrico (J0 = 0)e sorgenti fittizie esterne di tipo magnetico
(Jm = 0) si ha
∂w
∇·S=−
∂t
e cioè la quantità ∇ · S rappresenta la variazione temporale della densità di energia elettromagnetica immagazzinata nel campo campo elettromagnetico. In un campo statico
w è indipendente dal tempo e quindi, ponendo Q = σE2 + E · J0 , la (6.6) diventa
∇·S+Q=0
dove Q è positivo o negativo se il lavoro fatto dai generatori che sostengono le sorgenti
esterne J0 è maggiore o minore dell’energia dissipata in calore.
In definitiva, la (6.3) esprime un bilancio energetico e può essere enunciata come segue:
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6.1. Teorema di Poynting
97
Definizione 1. Considerata una regione di spazio delimitata da una superficie chiusa,
regolare e invariante nel tempo, la potenza istantanea fornita dalle sorgenti esterne è
uguale alla somma algebrica di tre termini:
1. il lavoro compiuto nell’unità di tempo dal campo elettromagnetico sulle cariche
elettriche contenute nel volume V ;
2. la variazione nell’unità di tempo dell’energia accumulata nella regione V dal campo
elettrico e magnetico;
3. la potenza elettromagnetica scambiata con la regione esterna al volume V .
Interpretazione termodinamica Facendo riferimento al primo principio della termodinamica, è possibile fornire una interpretazione energetica della (6.3). In particolare,
moltiplicando ambo i membri della (6.3) per dt si ottiene
ΦS dt + dL + dU = 0
(6.7)
Il primo principio della termodinamica applicato alla materia contenuta in V può essere
scritto come
dL + dLg = dQ + dU0
(6.8)
dove dLg è il lavoro compiuto dai campi elettromotori, nell’intervallo di tempo dt, sulle
cariche elettriche presenti in V , e dQ e dU0 sono rispettivamente il calore uscente da V
nell’intervallo dt e la variazione di energia interna associate alle particelle contenute in
V . Ricavando dL dalla (6.8) e sostituendolo nella (6.7), e posto dUtot = dU + dU0 si ha
dLg = dQ + dUtot + ΦS dt
(6.9)
Dalla (6.8) se ne deduce che
Definizione 2. Il lavoro compiuto dai campi elettromotori, nell’intervallo di tempo dt,
sulle cariche elettriche contenute nel volume V è uguale alla somma tra
1. la quantità di calore uscente da V durante dt;
2. la variazione dell’energia interna del campo elettromagnetico (dU ) contenuto in V ;
3. la variazione dell’energia interna della materia contenuta in V (dU0 );
4. il prodotto tra il flusso del vettore di Poynting che attraversa S e l’intervallo di
tempo dt.
Pertanto, risulta che il flusso del vettore di Poynting corrisponde a un termine di
energia che nell’unità di tempo attraversa la superficie S.
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6.1. Teorema di Poynting
98
6.1.1 Mezzi non dispersivi o senza memoria
Per i mezzi lineeari, omogenei, isotropi e non dispersivi le relazioni costitutive assumono
la forma semplificata
D = ϵE
B = µH
J = σE
dove ϵ, µ e σ sono la permittività, la permeabilità e la conducibilità del mezzo. Pertanto,
sostituendo la prima relazione nellea(6.4) e integrando per parti, si ottiene
∫ t
∫ t
∫ t
∂D
∂E
∂E
2
2
E·
dt = ϵ
E·
dt = ϵE (t) − ϵE (−∞) − ϵ
E·
dt
∂t
∂t
∂t
−∞
−∞
−∞
da cui, ricordando che E(−∞) = 0, si ricava
∫ t
∂D
2
E·
dt = ϵE2 (t)
∂t
−∞
e quindi
1
1
we (t) = ϵE2 (t) = E · D
2
2
Sostituendo la seconda relazione nellea(6.5) si ottiene per il campo magnetico la relazione
1
1
wm (t) = µH2 (t) = H · B
2
2
per cui la densità di volume dell’energia elettromagnetica assume la forma
1
1
w(t) = we (t) + wm (t) = ϵE2 (t) + µH2 (t)
2
2
Si fa osservare che in questa situazione il termine di energia compare come un differenziale
esatto in quanto le sue variazioni temporali dipendono solo dai valori che i campi E e H
assumono agli estremi dell’intervallo e non da come si è giunti a tali valori. Infatti,
∫ t2
∫ t2
∫ t2
∫ t2
∫ t2
dw(t)
dE
dH
dt = ϵ
E dt + µ
H
dt = ϵ
EdE + µ
HdH
dt
dt
dt
t1
t1
t1
t1
t1
t2
1
1 t2
= ϵE + µH = we (t2 ) − we (t1 ) + wm (t2 ) − wm (t1 )
2
2
t1
t1
= w(t2 ) − w(t1 )
e di conseguenza la w può essere considerata una funzione di stato. In questo caso
l’energia elettromagnetica immagazzinata nel volume V è data da
)
∫ (
1 2 1
2
ϵE + µH dV
U (t) =
2
2
V
Ing. Luciano Mescia
6.1. Teorema di Poynting
e quindi
99
)
∫ (
∂B
dU (t)
∂D
+H·
dV =
E·
∂t
∂t
dt
V
Considerando la terza relazione si ricava
∫
∫
∫
2
E dV =
pc dV
E · J dV = σ
V
V
V
con
pc = σE2
Sostituendo quanto ottenuto nella (6.3) si ottiene in definitiva, per i mezzi lineari, isotropi
e non dispersivi, l’espressione semplificata del teorema di Poynting.
)
I
∫ (
∫
∫
∂
1 2 1
2
2
S · an dS+
ϵE + µH dV + σ
E dV = −
(E · J0 + H · Jm ) dV
∂t V 2
2
S
V
V
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
{z
} |
Potenza uscente
da V
Variazione energia em
Potenza dissipata
Potenza fornita
accumulata in V
per effetto Joule
dai generatori
(6.10)
Si osservi che per i campi statici i due addendi che compaiono al secondo termine del
primo membro della (6.10) rappresentano la densità di energia elettrostatica e la densità
di energia magnetostatica.
Per i mezzi lineari, anisptropi e non dispersivi le relazioni viste continuano a valere
con purchè si considerino i tensori. Infatti per essi valgono le relazioni costitutive
D=ϵ·E
B=µ·H
J=σ·E
da cui
1
1 ∑∑
we = E · ϵ · E =
ϵij Ei Ej
2
2
3
3
(6.11)
i=1 j=1
1
1 ∑∑
µij Hi Hj
wm = H · µ · H =
2
2
3
3
(6.12)
i=1 j=1
pc = σ · E · E =
3 ∑
3
∑
σij Ei Ej
(6.13)
i=1 j=1
dove we , wm , pc sono forme quadratiche che, per il loro significato fisico di energie, devono
essere definite positive. Tale condizione pone dei vincoli ai tensori ϵ, µ, σ i quali devono
avere autovalori tutti positivi. Inoltre, si può dimostrare che affinchè le energie siano
delle funzioni di stato i tensori devono essere simmetrici.
Ing. Luciano Mescia
6.1. Teorema di Poynting
100
6.1.2 Teorema di Poynting in regime sinusoidale
In regime armonico le sorgenti e i loro campi sono funzioni periodiche del tempo. Ne
segue che in regime sinusoidale è opportuno considerare i valori medi in un periodo di
tutte le grandezze che compaiono nella legge di conservazione dell’energia nei sistemi
elettromagnetici. A tale scopo, si considerino le equazioni di Maxwell per il fasori e si
consideri l’operatore complesso coniugato ∗
∇ × E = −jωB − Jm
∇ × H∗ = −jωD∗ + J∗ + J∗ 0
Moltiplicando scalarmente ambo i membri della prima equazione per H∗ ed ambo i
membri della seconda equazione per E, e considerando le relazioni costitutive per un
mezzo lineare, omogeneo ed isotropo J = σE, B = µH, D = ϵE si ricava
H∗ · ∇ × E = −jωµH · H∗ − H∗ · Jm
E · ∇ × H∗ = −jωϵ∗ E · E∗ + σE · E∗ + E · J∗ 0
o anche
H∗ · ∇ × E = −jωµ |H|2 − H∗ · Jm
E · ∇ × H∗ = −jωϵ∗ |E|2 + σ |E|2 + E · J∗ 0
da cui sottraendo la seconda equazione dalla prima risulta
∇ · (E × H∗ ) − jωϵ∗ |E|2 + jωµ |H|2 + σ |E|2 = −E · J∗ 0 − H∗ · Jm
Introducendo il vettore di Poynting complesso il cui fasore è
S=
1
(E × H∗ ) = Sr + jSi
2
(6.14)
e considerando che ϵ = ϵ′ − jϵ′′ e µ = µ′ − jµ′′ , si ricava
)
)
1 (
1 (
1
1
1
∇·(Sr + jSi )− jω ϵ′ + jϵ′′ |E|2 + jω µ′ − jµ′′ |H|2 + σ |E|2 = − E·J∗ 0 − H∗ ·Jm
2
2
2
2
2
ed eguagliando la parte reale ed immaginaria dell’equazione si ha
{(
)}
ωϵ′′
ωµ′′
1
1
1 ∗
2
2
2
∗
∇ · Sr +
|E| +
|H| + σ |E| = − Re
E · J 0 + H ·Jm
2
2
2
2
2
(
)
{(
)}
1 ′
1 ′
1
1 ∗
2
2
∗
∇ ·Si + 2ω
µ |H| − ϵ |E| = − Im
E ·J 0 + H ·Jm
4
4
2
2
Ing. Luciano Mescia
(6.15)
(6.16)
6.1. Teorema di Poynting
101
Per esaminare i singoli termini delle (6.15)–(6.16) è utile considerare le proprietà dei
campi in regime sinusoidale (5.72)–(5.73) e in particolare
⟨
⟩
e
∂
D
1
ωϵ′′
e·
E
= Re{(−jωϵ∗ E ·E∗ )} =
|E|2
∂t
2
2
⟩
⟨
e
∂
B
1
ωµ′′
e·
H
= Re{(−jωµ∗ H ·H∗ )} =
|H|2
∂t
2
2
⟨
⟩
e ·E
e = 1 Re{(σE ·E∗ )} = 1 σ |E|2
σ E
2
2
⟨
⟩ 1
e×H
e = Re{(E × H∗ )} = Sr
E
2
Indicando inoltre con Pre la densità di volume di potenza media fornita al campo dai
generatori di tipo elettrico e con Prm è la densità di volume di potenza media fornita al
campo dai generatori di tipo magnetico si ha
⟨
⟩
e ·J
e0 = − 1 Re{(E ·J∗ 0 )} = Pre
− E
2
⟩
⟨
e ·J
em = − 1 Re{(E ·J∗ m )} = Prm
− H
2
da cui si può osservare che tali densità di potenza, dette anche densità di potenze medie
attive, possono calcolarsi come la parte reale di una densità di potenza complessa
1
Pe = Pre + jPie = − (E ·J∗ 0 )
2
1
Pm = Prm + jPim = − (E ·J∗ m )
2
(6.17)
(6.18)
la parte immaginaria rappresenta invece la densità di potenza media reattiva.
Dalla (6.15) si vede che al secondo membro compare la densità di potenza media
fornita al campo dai generatori di tipo elettrico e magnetico, mentre al primo membro
si ha
• Sr rappresenta il valore medio della densità di flusso di potenza elettromagnetica
fluente attraverso la superficie S;
•
•
σ |E|2
rappresenta il valore medio della densità di potenza dissipata per effetto
2
Joule;
ωϵ′′
ωµ′′
|E|2 +
|H|2 corrispondono ai valori medi della densità di potenza dissipata
2
2
per altri meccanismi di natura non conduttiva come ad esempio le perdite dovute
ad isteresi dielettrica e magnetica
Ing. Luciano Mescia
6.1. Teorema di Poynting
102
Considerando inoltre le espressioni della densità di volume dell’energia media elettrica e
magnetica e facendo la media in un periodo si ottiene
⟨
⟩
{(
)}
1e e
1
1 ∗
1
∗
⟨we ⟩ =
E ·D = Re
ϵ E ·E
= ϵ′ |E|2
(6.19)
2
2
2
4
⟩
{(
)}
⟨
1
1 ∗
1
1e e
∗
H ·B = Re
µ H ·H
= µ′ |H|2
(6.20)
⟨wm ⟩ =
2
2
2
4
si vede che la quantità tra parentesi al primo membro delle (6.16) corrisponde, nel caso di
mezzo non dispersivo, alla differenza tra i valori medi della densità di energia magnetica
ed elettrica. Si osservi che nel caso di mezzi dispersivi tale risultato non è più valido, in
quanto il termine di energia non è un differenziale esatto, e perciò i due termini sono detti
densità di pseudoenergia elettrica e di pseudoenergia magnetica. Al secondo membro
della (6.16) compare invece la parte immaginaria della densità di potenza complessa
detta densità di potenza reattiva associata alle sorgenti di tipo elettrico e magnetico.
Integrando le (6.15)–(6.16) sul volume V e applicando il teorema della divergenza si
ottiene invece
)
∫
I
∫ ( ′′
∫
ωµ′′
σ |E|2
ϵ
2
2
|E| +
|H| dV +
dV =
(Pre + Prm ) dV
Sr ·an dS + ω
2
2
2
V
V
S
V
(6.21)
)
I
∫ (
∫
1 ′
1
Si ·an dS + 2ω
µ |H|2 − ϵ′ |E|2 dV =
(Pie + Pim ) dV
4
4
S
V
V
(6.22)
Dal punto di vista matematico le (6.21)–(6.22) sono valide per qualunque campo elettromagnetico, ovvero per qualunque soluzione delle equazioni di Maxwell. Dalla (6.21)
si ricava che per il vuoto ϵ′′ = 0, µ′′ = 0, σ = 0 risulta
I
∫
Sr ·an dS =
(Pre + Prm ) dV
S
V
cioé tutta la potenza fornita dalle sorgenti al campo elettromagnetico nel volume V si
trasforma in flusso uscente dalla superficie S del vettore Sr . Non essendoci perdite nel
volume V , tutta questa potenza una volta uscita dalla superficie S o è dissipata oppure
compie lavoro all’esterno del volume. Pertanto
I
Sr ·an dS
S
può essere interpretata come la potenza che fuoriesce dal volume V . Il flusso di Sr ,
coinvolgendo solo il valore dei campi sulla superficie S, è indipendente dal tipo materiale
contenuto nel volume V e perciò questa interpretazione è valida anche quando ϵ′′ ̸=
0, µ′′ ̸= 0, σ ̸= 0. In questo secondo caso, la potenza attiva media fornita dalle sorgenti
elettriche e magnetiche è in parte dissipata sotto forma di calore a causa del valore finito
della conducibiltà elettrica e delle perdite per isteresi dielettrica e magnetica ed in parte
Ing. Luciano Mescia
6.1. Teorema di Poynting
103
bilanciata dalla potenza media che fluisce attraverso la superficie S. Inoltre, si osservi
che la (6.22) coincide con il valor medio nel periodo della (6.10) e rappresenta quindi il
valor medio nel periodo del bilancio energetico all’interno del volume V .
Dalla (6.22) se ne deduce invece che la potenza reattiva messa a disposizione dalle
sorgenti elettriche e magnetiche, divisa per 2ω, compensa la differenza tra i valori medi
dell’energia magnetica ed elettrica (o pseudoenergia per i materiali dispersivi) immagazzinate sia all’interno del volume V (per mezzo dell’integrale di volume al primo membro)
sia all’esterno (per mezzo dell’integrale di superficie al primo membro). Pertanto, potenza reattiva, divisa per 2ω, non è altro che un’energia di scambio tra le sorgenti e l’ambiente esterno. Più precisamente, durante un determinato periodo di tempo l’energia
fornita dalle sorgenti è immagazzinata dall’ambiente esterno in forma prevalentemente
di energia elettrica e magnetica. Se durante il periodo di tempo considerato i valori medi
dell’energia elettrica e magnetica non coincidono dovranno essere i generatori ad assicurare l’equilibrio, fornendo energia all’ambiente esterno durante una parte del periodo e
ricevendola nella rimanente parte.
6.1.3 Teorema dell’energia
Come detto in precedenza, per un mezzo dispersivo l’espressione del termine relativo
all’energia non compare nella forma di un differenziale esatto e pertanto è necessario
riformulare il teorema di Poynting caso per caso. Infatti, considerando ad esempio un
materiale polare, nell’ipotesi di bassi valori dell’ampiezza del campo elettrico e di lente
variazioni temporali, il vettore di polarizzazione P è legato al campo elettrico E per
mezzo dell’equazione differenziale
dP
+ P = ϵ0 χ e E
dt
dove τ è il tempo di rilassamento e χe la suscettività elettrica. Ricordando che D =
ϵ0 E + P si ha
τ
E·
∂
∂P
∂E
τ ∂P ∂P
1
∂P
∂E
(ϵ0 E + P) = E ·
+ ϵ0 E ·
=
·
+
P·
+ ϵ0 E ·
∂t
∂t
∂t
ϵ0 χe ∂t ∂t
ϵ0 χe
∂t
∂t
e osservando inoltre che
∂E
1 ∂E2
=
∂t
2 ∂t
∂P
1 ∂P2
E·
=
∂t
2 ∂t
E·
si ottiene in definitiva
∂D
τ
E·
=
∂t
ϵ0 χ e
( 2
)
∂P 2
P
1
2
+ ∂
+ ϵ0 E
∂t ∂t 2ϵ0 χe 2
Di conseguenza, l’energia elettromagnetica immagazzinata nel volume V è data dalla
relazione
)
)
∫ (
∫
∫ ( 2
∂
∂D
∂B
τ ∂P 2
P
1
1
2
2
E·
+ H·
dV =
+ ϵ0 E + µ0 H dV
dV + ∂t
∂t
∂t
2ϵ0 χe 2
2
V
V ϵ0 χe ∂t
V
Ing. Luciano Mescia
6.1. Teorema di Poynting
104
da cui è possibile isolare un termine
∫
Qd (t) =
V
τ
ϵ0 χ e
∂P 2
∂t dV
che rappresenta una potenza dissipata all’interno del dielettrico, e un termine
)
∫ ( 2
P
1
1
U (t) =
+ ϵ0 E2 + µ0 H2 dV
2ϵ0 χe 2
2
V
che non può essere una funzione di stato in quanto, oltre alla dipendenza dal campo
elettromagnetico istantaneo, compare anche la dipendenza dal vettore di polarizzazione
i cui valori istantanei dipendono in generale dall’evoluzione del campo elettromagnetico.
Nel caso di segnali a banda stretta è comunque possibile riformulare il teorema di Poynting identificando una energia elettromagnetica per il mezzo dispersivo che è esprimibile
come un differenziale esatto.
I segnali a banda stretta sono segnali per i quali lo spettro è diverso da zero solo in
un intervallo 2∆ω (detta banda del segnale) centrato intorno a una frequenza ω (detta
frequenza centrale o portante), con la condizione ∆ω ≪ ω. Un esempio di segnale
a banda stretta è un segnale sinusoidale con frequenza ω la cui ampiezza è modulata
da un altro segnale sinusoidale la cui variazione temporale è lenta rispetto al periodo
T = 2π/ω. In particolare, la dipendenza dal tempo del vettore campo elettrico può
essere scritta come
e (t) = E sin ∆ωt sin ωt = 1 E [cos (ω − ∆ω)t − cos (ω + ∆ω) t]
E
2
(6.23)
dove E0 è un vettore costante e Il vettore induzione elettrica è
e (t) = ϵ (ω) E
e (t) = 1 E [ϵ (ω − ∆ω) cos (ω − ∆ω)t − (ω + ∆ω) cos (ω + ∆ω) t] (6.24)
D
2
da cui può essere calcolata la densità di corrente di spostamento come
e
∂D
1
= − E [(ω − ∆ω) ϵ (ω − ∆ω) sin (ω − ∆ω)t − (ω + ∆ω) (ω + ∆ω) sin (ω + ∆ω) t]
∂t
2
(6.25)
Per ottenere le (6.24)–(6.25) si è ipotizzato che la permittività è costante o una funzione
lentamente variabile nel tempo. In questo modo è possibile trascurare la derivata della
permittività fatta rispetto al tempo.
Sviluppando le funzioni ϵ (ω − ∆ω) e ϵ (ω + ∆ω) in serie di Taylor e considerando solo
i primi due termini si ha
∂ϵ (ω)
∂ω
∂ϵ (ω)
ϵ (ω + ∆ω) ≈ ϵ (ω) + ∆ω
∂ω
ϵ (ω − ∆ω) ≈ ϵ (ω) − ∆ω
Ing. Luciano Mescia
(6.26)
(6.27)
6.1. Teorema di Poynting
105
da cui segue
∂ϵ (ω)
− ∆ωϵ (ω) + (∆ω)2
∂ω
∂ [ωϵ (ω)]
≈ ωϵ (ω) − ∆ω
∂ω
∂ϵ (ω)
(ω + ∆ω) [ϵ (ω + ∆ω)] = ωϵ (ω) + ω∆ω
+ ∆ωϵ (ω) + (∆ω)2
∂ω
∂ [ωϵ (ω)]
≈ ωϵ (ω) + ∆ω
∂ω
(ω − ∆ω) [ϵ (ω − ∆ω)] = ωϵ (ω) − ω∆ω
∂ϵ (ω)
∂ω
(6.28)
∂ϵ (ω)
∂ω
(6.29)
che è stata ottenuta trascurando i termini quadratici in ∆ω. Sostituendo (6.28)–(6.29)
in (6.25) si ottiene
]
{[
e
∂D
1
∂ [ωϵ (ω)]
sin (ω − ∆ω) t+
= − E ωϵ (ω) − ∆ω
∂t
2
∂ω
[
]
}
∂ [ωϵ (ω)]
− ωϵ (ω) + ∆ω
sin (ω + ∆ω) t
∂ω
o anche
e
∂D
1
= − E {ωϵ (ω) [sin (ω − ∆ω) t − sin (ω + ∆ω) t] +
∂t
2
}
∂ [ωϵ (ω)]
[sin (ω − ∆ω) t + sin (ω + ∆ω) t]
− ∆ω
∂ω
e in definitiva
{
}
e
∂ [ωϵ (ω)]
∂D
= E ωϵ (ϵ) sin (∆ωt) cos ωt + ∆ω
cos (∆ωt) sin ωt
∂t
∂ω
(6.30)
La variazione temporale della densità di energia eletrica è
e
∂we
e · ∂D
=E
∂t
∂t
e quindi l’energia guadagnata durante l’intervallo di tempo t0 ∇ · t è data da
∫
we (t) − we (t0 ) =
t
t0
e
e · ∂ D dt
E
∂t
e (0) = 0. Visto che la modulante sin ∆ωt varia lentamente
Dalla (6.23) si vede che E
nel tempo, il tempo necessario affinchè il campo elettrico cresca da zero al suo valore
massimo è ∆ωt = π/2 da cui t = π/(2∆ω). Pertanto, l’energia guadagnata nell’intervallo
che va da t = 0 a t = π/(2∆ω) è
∫
we (t) =
0
Ing. Luciano Mescia
π/(2∆ω)
e
e · ∂ D dt
E
∂t
6.1. Teorema di Poynting
106
Sostituendo la (6.23) e la (6.30) si ottiene
∫ π/(2∆ω)
we (t) = E ·Eωϵ (ω)
sin2 (∆ωt) sin ωt cos ωt dt+
0
∂ [ωϵ (ω)]
+ E ·E∆ω
∂ω
∫
π/(2∆ω)
sin (∆ωt) cos (∆ωt) sin2 ωt dt
(6.31)
0
Osservando che
2 sin2 (∆ωt) = sin2 (∆ωt) + 1 − cos2 (∆ωt) = 1 − cos (2∆ωt)
e che
sin 2ωt = 2 sin ωt cos ωt
per il primo integrale al secondo membro della (6.31) si ha
∫
∫ π/(2∆ω)
1 π/(2∆ω)
2
sin (∆ωt) sin ωt cos ωt dt =
sin 2ωt [1 − cos (2∆ωt)] dt
4 0
0
}
{∫
∫
π/(2∆ω)
1
1 π/(2∆ω)
[sin 2 (ω + ∆ω) t + sin 2 (ω − ∆ω) t]
=
sin 2ωtdt −
4
2 0
0
ed essendo ∆ω ≪ ω si ha sin 2 (ω + ∆ω) t ≈ sin 2ωt e sin 2 (ω − ∆ω) t ≈ sin 2ωt e perciò
il primo integrale può essere approssimato come
∫ π/(2∆ω)
sin2 (∆ωt) sin ωt cos ωt dt ≈ 0
0
Per il secondo integrale al secondo membro della (6.31) si ha
∫ π/(2∆ω)
∫
1 π/(2∆ω)
sin2 ωt sin (∆ωt) cos (∆ωt) dt =
sin 2 (∆ωt) (1 − cos 2ωt) dt
4 0
0
{∫
}
∫
π/(2∆ω)
1
1 π/(2∆ω)
=
sin 2 (∆ωt)dt −
[sin 2 (ω + ∆ω) t − sin 2 (ω − ∆ω) t]
4
2 0
0
e quindi
∫
π/(2∆ω)
sin2 ωt sin (∆ωt) cos (∆ωt) dt ≈
0
1
4
∫
π/(2∆ω)
sin 2 (∆ωt)dt ≈
0
1
4∆ω
Sostituendo quanto ottenuto nella (6.31) segue che la densità di energia elettrica mediata
in un periodo è data dalla relazione
1
∂ [ωϵ (ω)]
1 ∂ [ωϵ (ω)]
⟨we ⟩ = E ·E
=
|E|2
4
∂ω
4
∂ω
(6.32)
Procedendo in maniera analoga per un mezzo magnetico dispersivo si ha che la densità
di energia magnetica mediata in un periodo è data dalla relazione
1
∂ [ωϵ (ω)]
1 ∂ [ωϵ (ω)]
⟨wm ⟩ = H ·H
=
|H|2
4
∂ω
4
∂ω
Ing. Luciano Mescia
(6.33)
6.2. Teorema di unicità
107
In definitiva, per un segnale a banda stretta la densità media dell’energia elettromagnetica può identificarsi come
1 ∂ [ωϵ (ω)]
1 ∂ [ωϵ (ω)]
|E|2 +
|H|2
(6.34)
4
∂ω
4
∂ω
dove le derivate sono calcolate in corrispondenza della frequenza centrale. Si osservi che
nel caso di mezzo non dispersivo (ϵ e µ funzioni costanti al variare di ω) le (6.32)–(6.33)
coincidono rispettivamente con la (6.19) e la (6.20).
⟨w⟩ =
6.2 Teorema di unicità
Considerando che la determinazione di un campo eelttromagnetico richiede la risoluzione di equazioni differenziali è importante stabilire le condizioni che garantiscono, una
volta verificate, l’unicità della soluzione delle equazioni di Maxwell. A tale scopo, si
consideri una regione di spazio limitata V delimitata da una superficie chiusa e regolare
S invariante nel tempo. Il teorema di unicità afferma che
Teorema 1 (nel dominio del tempo). Le equazioni di Maxwell ammettono una sola
soluzione nel volume V se sono soddisfatte le seguenti condizioni
1. è nota la densità di corrente impressa J0 in ogni punto di V e per tutti gli istanti
di tempo successivi ad un istante iniziale t0
2. sono assegnati i valori del campo elettromagnetico in tutto il volume V all’istante
t0 (condizioni iniziali)
3. è noto il componente del campo elettrico o del campo magnetico tangente alla superficie S in ogni punto di S e per tutti gli istanti di tempo successivi ad un istante
iniziale t0 (condizioni al contorno)
Per dimostrare il teorema si ipotizzi per assurdo che nel volume V esistano i campi
{E1 , H1 } e {E2 , H2 } entrambi soluzioni delle equazioni di Maxwell e prodotti dalle stesse
sorgenti J0 . Si ipotizzi inoltre che i due campi soddisfano le stesse condizioni iniziali e
al contorno. Nell’ipotesi di mezzo lineare, i due campi soddisfano la seconda equazione
di Maxwell
∂E1
+ σE1 + J0
∇ × H1 =
∂t
∂E2
∇ × H2 =
+ σE2 + J0
∂t
e considerao il campo differenza E = E1 − E2 e H = H1 − H2 , sottraendo membro a
membro si ricava
∂E
∇×H=
+ σE
∂t
Considerando invece la seconda equazione di Maxwell e procedendo in maniera analoga
si ricava
∂B
∇×E=−
∂t
Ing. Luciano Mescia
6.2. Teorema di unicità
108
Di conseguenza, se ne deduce che il campo {E, H} soddisfa in V le equazioni di Maxwell
prive del termine che tiene conto delle sorgenti.
Il teorema di Poynting per il campo {E, H} porta alla relazione
)
I
∫ (
∫
∂B
∂D
E × H ·an dS +
H·
+ E·
dV +
σE2 dV = 0
∂t
∂t
S
V
V
Dette Et , Ht le componenti del campo elettromagnetico tangenti alla superficie S e con
En , Hn le componenti del campo elettromagnetico normali a S si ha
E × H ·an = [(Et + En ) × (Ht + Hn )] ·an
= Et × Ht ·an + Et × Hn ·an + En × Ht ·an + En × Hn ·an
= Et × Ht ·an
per cui
)
∫ (
∫
∂B
∂D
Et × Ht ·an dS = −
H·
+ E·
dV −
σE2 dV = 0
∂t
∂t
S
V
V
I
Considerando che sul contorno E1 e E2 oppure H1 e H2 hanno lo stesso componente
tangente, si avrà che o è nullo Et o è nullo Ht e quindi
I
E × H ·an dS = 0
S
e quindi
)
∫ (
∫
∂B
∂D
H·
+ E·
dV = −
σE2 dV
∂t
∂t
V
V
cioè il campo {E, H} non riceve energia né dall’interno né dall’esterno.Per ipotesi a
t = t0 il campo elettromagnetico {E1 , H1 } è uguale a {E2 , H2 } da cui E(0) = H(0) = 0
ed energia elettromagnetica w(0) = 0. Nell’ultima relazione, l’integrale al secondo, o è
negativo o nullo e di conseguenza l’energia elettromagnetica per t > t0 o è negativa o
nulla. La prima condizione è da scartare perchè l’energia va intesa come integrale di
quantità positive o nulle, e di conseguenza essa dovrà essere sempre nulla. Ma affinché
ciò avvenga per ogni istante e in ogni punto di V è necessario che
E=H=0
⇒ E1 = E2 , H1 = H2
cioè la soluzione è unica.
Quando V si estende all’infinito si dovrebbero fornire condizioni al contorno sul valore
dei campi all’infinito. Considerando però che la velocità di propagazione è finita si
avrà che il camp elettromagnetico non raggiungerà mai l’infinito e quindi il campo sul
contorno è sempre nullo.
Quando si opera nel dominio della frequenza si deve far riferimento alla sola condizione
al contorno visto che non ci sono più condizioni iniziali. Infatti, le soluzioni in tale
dominio si riferiscono a campi a regime che esistono quindi da tempo infinito. In tale
dominio il teorema di unicità è modificato leggermente e afferma che
Ing. Luciano Mescia
6.2. Teorema di unicità
109
Teorema 2 (nel dominio della frequenza). Le equazioni di Maxwell ammettono una sola
soluzione nel volume V se sono soddisfatte le seguenti condizioni
1. è nota la densità di corrente impressa J0 in ogni punto di V
2. è noto il componente del campo elettrico o del campo magnetico tangente alla
superficie S in ogni punto di S
3. il mezzo contenuto in in tutto il volume V ha conducibilità non nulla.
Procedendo sulla falsariga di quanto fatto in precedenza e considerando questa volta
i fasori del campo eelttromagnetico si avrà che il campo differenza E = E1 − E2 e
H = H1 − H2 sarà sicuramente soluzione delle equazioni di Maxwell omogenee in V con
la condizione di campo tangente elettrico e magnetico nullo sul contorno. Di conseguenza,
il teorema di Poynting per i vettori complessi porta, in questo caso, alla relazione
)
∫ ( ′′
∫
ωµ′′
σ |E|2
ϵ
2
2
|E| +
|H| dV +
dV = 0
ω
2
2
2
V
V
)
∫ (
1 ′
1 ′
2
2
µ |H| − ϵ |E| dV = 0
2ω
4
4
V
dove si è omesso l’integrale di suprficie in quanto è noto il campo tangente. Dalla prima
relazione si osserva che le funzioni integrande sono tutte quantità non negative e perciò
anche i corrispondenti integrali sono sicuramente non negativi. In particolare, solo se si
ha σ ̸= 0 si ricava E = H = 0 che corrisponde all’unicità della soluzione. Nel caso in cui
il mezzo è senza perdite (σ = 0), si vede che la prima relazione è una identità. Per la
seconda relazione, oltre alla soluzione E = H = 0, sono compatibili altre distribuzioni
di campo elettromagnetico non sostenute da correnti impresse tali che sia verificata la
condizione
∫
∫
1 ′
1 ′
µ |H|2 =
ϵ |E|2 dV
4
4
V
V
che, per i mezzi non dispersivi, corrisponde all’ugualianza tra i valori medi temporali
dell’energia elettrica e magnetica accumulate in V . TAli soluzioni delle equazioni di
Maxwell sono dette risonanti le quali non è detto che esistano per qualunque frequenza.
Di conseguenza, si può affermare che in un volume limitato con mezzo privo di perdite
la soluzione delle equazioni di Maxwell è unica a meno delle possibili soluzioni risonanti.
Si fa osservare che la condizione 3 del teorema implica solo l’esistenza di perdite e non di
un limite inferiore a tali perdite. Pertanto, nel caso σ = 0, non si va in contrasto con il
teorema di unicità in quanto la soluzione coincide con il limite per σ → 0 della soluzione
con perdite.
Nel caso in cui V si estende all’infinito non si può più prodere alla dimostrazione
del teorema di unicità per segnali sinusoidali seguendo quanto affermato per il caso nel
dominio del tempo. Infatti, in questo caso non è possibile affermare che il campo non
giunge mai all’infinito in quando la condizione di regime per il campo sinusoidale coincide
con l’accensione delle sorgenti da un tempo infinito. Per ovviare a questo inconveniente
è allora necessario richiedere che tutte le sorgenti del camp siano al finito e che a grande
Ing. Luciano Mescia
6.3. Teorema di reciprocità
110
distanza ci sia un flusso di potenza reale verso l’infinito. Tale condizione detta condizione
di radiazione di Somemrfeld implica che siano verificate le relazioni
lim r |E| = 0
(6.35)
lim r |H| = 0
(6.36)
r→∞
r→∞
dove r è la distanza dall’origine di un generico sistema di riferimento. E’ possibile
verificare che le condizioni (6.35)–(6.36) implicano che il vettore di Poynting all’infinito
sia reale e diretto nel verso positivo del vettore r. Pertanto, il principio di causalità nel
dominio del tempo coincide, nel dominio della frequenza, con un flusso di potenza verso
l’esterno all’infinito.
6.3 Teorema di reciprocità
Il teorema di reciprocità è una conseguenza diretta delle equazioni di Maxwell e rappresenta un potente strumento della teoria elettromagnetica. Infatti, esso può essere
utilizzato per stabilire le proprietà di ortogonalità dei modi che possono esistere all’interno di guide d’onda e cavità risonanti, è alla base della dimostrazione delle proprietà
reciproche dei circuiti a microonde e può essere utilizzato per dimostrare che le caratteristiche di ricezione e trasmissione delle antenne sono le stesse. Inoltre, tale teorema è
utile per studiare l’eccitazione di un campo in guida d’onda.
Si consideri una regione di spazio V delimitata da una superficie S e un sistema di
correnti impresse {Ji , Jmi } all’interno di tale regione. Si consideri inoltre un campo
elettromagnetico {E, H} definito in V che non coincide necessariamente con il campo
elettromagnetico sostenuto da {Ji , Jmi }.
Definizione 3. Si definisce come reazione del campo {E, H} sulle sorgenti {Ji , Jmi }
nella regione V la quantità scalare
∫
R=
(E ·Ji − H ·Jmi ) dV
V
Il concetto di reazione sarà ora utilizzato per stabilire le condizioni di intercambiabilità
tra due diversi sistemi di correnti impresse {J1 , Jm1 } e {J2 , Jm2 } definite nella stessa
regione V . In particolare, vale il seguente enunciato
Teorema 3. Considerata una regione di spazio V in cui le sorgenti {J1 , Jm1 } sostengono il campo {E1 , H1 } e le sorgenti {J2 , Jm2 } sostengono il campo {E2 , H2 }, se sono
verificate le seguenti ipotesi
1. la regione V è sede di un mezzo lineare, stazionario e isotropo oppure di un mezzo
lineare anisotropo i cui diadici di permettività e permeabilità si possano esprimere
come matrici diagonali in qualche sistema di coordinate ortogonali;
Ing. Luciano Mescia
6.3. Teorema di reciprocità
111
2. V è illimitato e tale che {E1 , H1 } e {E2 , H2 } soddisfano le condizioni di radiazione di Sommerfeld, oppure V è limitato dalla superficie S sulla quale il campo
elettromagentico soddisfa la condizione al contorno di impedenza
E = Z s H × an
oppure la condizione al contorno di ammettenza
H = Ys an × E
dove an è la normale alla superficie S e Zn , Yn funzioni di punto indipendenti dal
campo elettromagnetico dette rispettivamente impedenza e ammettenza della parete
vale la relazione
I
∫
∫
(E1 × H2 − E2 × H1 ) ·an dS =
(E2 ·J1 − H2 ·Jm1 ) dV − (E1 ·J2 − H1 ·Jm2 ) dV
S
V
V
e che la reazione del campo {E1 , H1 } sulle sorgenti {J2 , Jm2 } è uguale alla reazione del
campo {E2 , H2 } sulle sorgenti {J1 , Jm1 } o equivalentemente
∫
∫
(E2 ·J1 − H2 ·Jm1 ) dV =
(E1 ·J2 − H1 ·Jm2 ) dV
V
V
Per dimostrare il teorema si consideri per semplicità una regione di spazio limitata
sede di un mezzo isotropo e il caso di campi sinusoidali. In particolare, si ha che
∇ × E1 = −jωµH1 − Jm1
(6.37)
∇ × H1 = jωϵc E1 + J1
(6.38)
∇ × E2 = −jωµH2 − Jm2
(6.39)
∇ × H2 = jωϵc E2 + J2
(6.40)
e
Moltiplicando scalarmente ambo i membri della (6.37) per H2 ed ambo i membri della
(6.38) per E2 e sommando i risultati membro a membro si ricava
H2 · ∇ × E1 + E2 ·∇ × H1 = −jωµH1 ·H2 − H2 ·Jm1 + jωϵc E1 ·E2 + E2 ·J1
(6.41)
Moltiplicando scalarmente ambo i membri della (6.39) per H1 ed ambo i membri della
(6.40) per E1 e sommando i risultati membro a membro si ricava
H1 ·∇ × E2 + E1 ·∇ × H2 = −jωµH1 ·H2 − H1 ·Jm2 + jωϵc E1 ·E2 + E1 ·J2
(6.42)
Sottraendo poi la (6.42) dalla (6.41) si ottiene
H2 ·∇×E1 +E2 ·∇×H1 −H1 ·∇×E2 −E1 ·∇×H2 = −H2 ·Jm1 +E2 ·J1 +H1 ·Jm2 −E1 ·J2
Ing. Luciano Mescia
6.3. Teorema di reciprocità
112
da cui riodinando ed sfruttando l’identità vettoriale ∇ · (A × B) = B ·∇×A−A ·∇×B
si ricava
∇ · (E1 × H2 − E2 × H1 ) = E2 ·J1 − H2 ·Jm1 − (E1 ·J2 − H1 ·Jm2 )
da cui integrando sul volume V si ha
∫
∫
∫
∇·(E1 × H2 − E2 × H1 ) dV =
(E2 ·J1 − H2 ·Jm1 ) dV − (E1 ·J2 − H1 ·Jm2 ) dV
V
V
V
o anche, applicando il teorema della divergenza,
I
∫
∫
(E1 × H2 − E2 × H1 ) ·an dS =
(E2 ·J1 − H2 ·Jm1 ) dV − (E1 ·J2 − H1 ·Jm2 ) dV
S
V
V
Usando la proprietà A · (B × C) = (A × B) ·C si ha
(E1 × H2 ) ·an − (E2 × H1 ) ·an = (an × E1 ) ·H2 − (an × E2 ) ·H1
= [an × (E1t + an E1n )] ·H2 − [an × (E2t + an Eet )] ·H1
= (an × E1t ) · (H2t + an H2n ) − (an × E2t ) · (H1t + an H1n )
= (an × E1t ) ·H2t − (an × E2t ) ·H1t
= (H2t × an ) ·E1t − (H1t × an ) ·E2t
Se la superficie S è caratterizzata da un’impedenza superficiale Zs tale che Et = Zs Js ,
con Js densità superficiale di corrente, si avrà Et = Zs Ht × an = −Zs an × Ht . Di
conseguenza,
(E1 × H2 − E2 × H1 ) ·an =
1
(E2t ·E1t − E1t ·E2t ) = 0
Zs
I
da cui
(E1 × H2 − E2 × H1 ) ·an dS = 0
S
e di conseguenza
∫
∫
(E2 ·J1 − H2 ·Jm1 ) dV =
V
(E1 ·J2 − H1 ·Jm2 ) dV
V
Se invece la superficie S rappresenta il contorno di un conduttore perfetto si avrà che
su di essa valgono le relazioni an × E1t = an × E2t = 0 e perciò anche in questo caso
l’integrale di superficie si annulla.
Quando il volume V è tutto lo spazio si può pensare che la superficie S sia una
superficie sferica di raggio infinitamente grande. Di conseguenza, se sono soddisfatte le
condizioni di Sommerfeld che il campo elettromagnetico su questa sfera è nullo e perciò
anche in questo caso l’integrale di superficie si annulla.
La formulazione illustrata del teorema di reciprocità è detta forma non coniugata
per distinguerla da un’altra forma detta coniugata che si ottiene seguendo lo stesso
Ing. Luciano Mescia
6.3. Teorema di reciprocità
113
procedimento in cui però si effettuano le operazioni di coniugio. In particolare, nella
forma coniugata il teorema di reciprocità assume la forma
∫
I
∫
(
)
∗
∗
∗
∗
(E1 × H2 − E2 × H1 ) ·an dS = −
(E2 ·J1 + H2 ·Jm1 ) dV −
E1 ·J∗2 + H1 ·J∗m2 dV
S
V
V
da cui si osserva che nei casi in cui l’integrale di superficie si annulla vale la relazione
I
(E1 × H∗2 − E∗2 × H1 ) ·an dS = 0
S
Osservando che l’operazione di coniugo agisce anche sul fattore di propagazione se ne
deduce che in questa nuova forma il teorema di reciprocità fa riferimento a campi che si
propagano in direzione opposta.
In definitiva, il teorema di reciprocità stabilisce che, sotto opportune ipotesi, sussiste
una ‘intercambiabilità’ tra due distinti insiemi di sorgenti: se le sorgenti {J1 , Jm1 }, agendo da sole danno luogo al campo elettromagnetico {E1 , H1 } nei punti che in una diversa
situazione sono sede di un’altra sorgente {J2 , Jm2 }, allora il campo {E2 , H2 }, generato
quando le sorgenti {J2 , Jm2 } agiscono da sole, nei punti che sono sede delle sorgenti
{J1 , Jm1 } non è indipendente dal campo {E1 , H1 }. Questa interprezione costituisce una
versione generalizzata del concetto di reciprocità per una rete elettrica costituita da
bipoli lineari, passivi e reciproci. ∇ · a
Ing. Luciano Mescia