PROVA del 16/04/2015
0
5
@
2
1) Sia data matrice A =
2h
A è diagonalizzabile
1
2 2h
0
0 A
0
7
rg(A) 6= 3 tranne che per un solo valore di h 2 R
esistono valori di h 2 R per cui rg(A) = 1
il rg(A) dipende da h 2 R
non esistono valori di h 2 R per cui rg(A) = 3
Essendo A una matrice simmetrica essa è sicuramente diagonalizzabile.
2) Data l’applicazione lineare f : V ! W tra spazi vettoriali, allora
f (!
v + 3!
w ) = f (!
v ) + 3f (!
w)
f è invertibile
f è iniettiva
f è suriettiva
f non può essere biunivoca
La risposta corretta segue banalmente dalla de…nizione di applicazione lineare.
3) Date due matrici A 2 R4;3 e A0 2 R2;3 , se rgA = rg(A0 ) si deduce che:
Il sistema di equazioni lineari AX = B può ammettere soluzioni per qualche B.
I sistemi di equazioni lineari AX = B e A0 X = B hanno le stesse soluzioni qualunque
sia il termine noto B:
La dimensione degli insiemi delle soluzioni di AX = B e A0 X = B è la stessa per ogni
termine noto B.
Il sistema di equazioni lineari A0 X = B ha soluzioni per ogni B.
1
I sistemi di equazioni lineari AX = B e A0 X = B 0 hanno le stesse soluzioni qualunque
siano i termini noti B e B 0 .
Il sistema ammetterà soluzioni solo se il rgA = rg(A; B).
4) Dati una retta ed un piano in R3 , si dica quali tra le seguenti a¤ermazioni è corretta.
La distanza tra la retta ed il piano è la minima distanza tra un punto del piano ed un
punto della retta.
La distanza tra la retta ed il piano non è calcolabile.
La distanza tra la retta ed il piano non è sempre calcolabile.
La distanza tra la retta ed il piano non può essere nulla.
Se la retta non è parallela al piano, allora la distanza tra la retta e il piano non è
costante.
Segue direttamente dalla de…nizione di distanza tra due insiemi di punti.
5) Dato l’endomor…smo fA : R3 ! R3 tale che X 7! AX dove
0
1
0 1 1
A=@ 0 k 1 A
0 0 k2
si dica quale tra le seguenti a¤ermazioni è vera.
L’endomor…smo può essere non semplice per qualche valore k 2 R.
L’endomor…smo è semplice per ogni valore k 2 R.
L’endomor…smo non è semplice se k =
1.
L’endomor…smo è semplice se k = 1.
L’endomor…smo è semplice se k = 0.
Se k = 1 la matrice A è diagonale con tre autovalori distinti e quindi fA è semplice.
Per k = 0 (oppure k = 1) avremo l’autovalore 0 (oppure 1) con molteplicità algebrica
maggiore di 1 per il quale andrebbe veri…cata l’uguaglianza con la corrispondente molteplicità geometrica.
2
ESERCIZI
6) Dato il sottospazio
V = (x1 ; x2 ; x3 ) 2 R3 jx1
x2 = x1
x3 = 0
e la forma bilineare g su R3 così de…nita
g(!
x ;!
y ) = 2x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
a) veri…care che g è un prodotto scalare su R3 ;
b) determinare V ? rispetto al prodotto scalare g.
Consideriamo la matrice G associata al prodotto scalare
0
1
2 0 0
G=@ 0 1 0 A
0 0 1
Essendo G una matrice simmetrica, la forma bilineare g è anch’essa simmetrica. Per
veri…care che g sia un prodotto scalare dobbiamo provare che G è de…nita positiva. Determiniamo allora gli autovalori della matrice G. Poichè G è una matrice diagonale, gli
autovalori sono 1 = 2 con molteplicità algebrica 1 e 2 = 2 con molteplicità algebrica
2. Poichè tutti gli autovalori sono strettamente positivi possiamo concludere che g è un
prodotto scalare.
Determiniamo una base di V .
!
x (x1 ; x2 ; x3 ) 2 V , x1
x2 = 0 = x1
x3 , !
x = (x2 ; x2 ; x2 ) = x2 (1; 1; 1)
detto !
v 1 = (1; 1; 1) si ha che f!
v 1 g è una base di V . Ora
V? = !
x 2 R3 jg(!
x ;!
v 1) = 0
2x1 + x2 + x3 = 0 )
x3 = x1
x4 = x1
da cui segue
!
x (x1 ; x2 ; x3 ) 2 V ? , 2x1 +x2 +x3 = 0 , !
x (x1 ; 2x1 x3 ; x3 ) = x1 (1; 2; 0)+x3 (0; 1; 1)
detti !
v 2 = (1; 2; 0) e !
v 3 = (0; 1; 1) si ha che f!
v 2; !
v 3 g è una base di V ? .
3
8
< x = 2t 1
x y+z =0
y=t
7) Si considerino le rette r :
ed s :
: Veri…care
x y z=0
:
z=1
che r ed s sono sghembe e determinare la retta di minima distanza tra r ed s
Il vettore direttore della retta r è !
r (1; 1; 0) mentre !
s (2; 1; 0) quindi le due rette non
sono parallele. Inoltre considerando r \ s si ha:
2t
2t
1
1
t+1=0
,
t 1=0
t=0
t=2
ossia il sistema è incompatibile. Poichè le rette r ed s non sono parallele e non sono
incidenti, esse sono sghembe.
Consideriamo le equazioni parametriche per la retta r
8
< x = t0
y = t0
r:
:
z=0
Sia R un generico punto di r con R(t0 ; t0 ; 0) ed S un generico punto di s, con S(2t 1; t; 1).
!
Da cui RS = (2t 1 t0 ; t t0 ; 1)
( !
2t 1 t0 + t t0 = 0
t=1
RS ? !
r
! ! , 2(2t 1 t0 ) + t t0 = 0 , t0 = 1
RS ? s
Quindi R(1; 1; 0) e S(1; 1; 1) e la retta di minima distanza RS ha equazioni:
x
1
0
=
y
1
0
=
ossia
RS :
x
y
4
1=0
1=0
z
1
