versione B - Corsi a Distanza

Nome e COGNOME.........................................................
Matricola.................
Consorzio Nettuno - Polo di Torino
MATEMATICA I
VERSIONE
B
23 marzo 2002
Esercizio 1
Z
a) Calcolare il seguente integrale indefinito:
x2 + x + 18
dx
x3 + 9x
Z
+∞
♣ b) Calcolare il seguente integrale improprio:
2
Z
♣ c) Dire se converge l’integrale improprio
0
2
x2 + x + 18
dx
x3 + 9x
x2 + x + 18
dx.
x3 + 9x
d) Enunciare il teorema fondamentale del calcolo integrale:
e) Alla funzione g(x) =
ficare la risposta).
x2 +x+18
x3 +9x
si può applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale nell’intervallo [0, 2]? (Giusti-
B
Esercizio 2
E’ data la funzione
1
ln(1 + x2 ) − arctan x.
2
a) Trovare il dominio e i limiti agli estremi del dominio di f (giustificare i calcoli dei limiti) .
f (x) = x −
b) Trovare gli eventuali asintoti di f ; in particolare, dire (giustificando i calcoli dei limiti) se esistono asintoti obliqui.
c) Calcolare f 0 (x) , i suoi zeri e il suo segno.
d) Indicare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo di f .
B
f) Tracciare un grafico qualitativo di f .
♣ g) Giustificandolo alla luce di opportune proprietà teoriche, dire quanti zeri ha f .
h) Scrivere il polinomio di MacLaurin di ordine 5 di f
i) Utilizzando lo sviluppo trovato, dire quanto vale f (5) (0).
♣ j) Dire per quali valori di m ∈ N il limite
f (x) + 12 x2
x→0
xm
è finito. Calcolare tale limite per il massimo valore possibile di m ∈ N (per cui tale limite è finito).
lim
B
Esercizio 3
Di una serie numerica a termini strettamente positivi
+∞
X
an si sa che converge e che S =
n=0
a) la serie
b)
¶
+∞ µ
X
1
an + n converge a 10:
2
n=0
¶
+∞ µ
X
1
an −
= 8:
n
n=1
c) La serie
♣ d)
+∞
X
+∞
X
1
1
converge a :
a
8
n=0 n
(an − 1) = 7:
+∞
X
an = 8 . Allora:
n=0
VERO
FALSO
VERO
FALSO
PERCHE’
VERO
FALSO
PERCHE’
VERO
PERCHE’
FALSO
n=0
Esercizio 4
½
Sia
f (x) =
1 − |x|, se |x| ≤ 1
1−x2
se |x| > 1 .
2 ,
a) disegnare il grafico di f
b) f non ha punti di massimo o minimo, né relativi né assoluti:
VERO
FALSO
PERCHE’
c) f è derivabile in x = 1:
VERO
FALSO
PERCHE’
♣ d) f è continua e derivabile in R:
e) ad f si può applicare il teorema di Lagrange nell’intervallo [−2, 0]:
VERO
VERO
FALSO
FALSO
PERCHE’