versione A - Corsi a Distanza

Cognome Nome ................................................
Matricola ..................
Laurea/diploma in INGEGNERIA .........................
MATEMATICA I - 18 Maggio 2002
A
Esercizio 1
a) Una funzione f : D ⊆ IR → IR si dice derivabile in un punto x0 interno a D se:
b) Tracciare il grafico della funzione

 (x + 1)2
f (x) =
|x − 1|

cos(πx)
se x < 0
se 0 ≤ x ≤ 2 .
se x > 2
c) Dire se esistono punti in cui la funzione f (x) del punto b) non è derivabile.
d) Enunciare il teorema di Rolle
d) Alla funzione f (x) del punto b) si può applicare il teorema di Rolle:
nell’intervallo [−2 , 0 ]?
nell’intervallo [ 0 , 2 ]?
SI, perché
SI, perché
NO, perché
NO, perché
ESERCIZIO 2.
E’ data la funzione f (x) =
2x
.
(1 − x2 )3
1. Determinare il dominio e le eventuali simmetrie di f ; studiarne il segno.
2. Trovare i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti della funzione f .
3. Calcolare la derivata prima e studiarne il segno;determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali estremi (massimi
e minimi relativi e assoluti) della funzione f .
4. ♣ Calcolare la derivata seconda e studiarne il segno; determinare gli intervalli di convessità e gli eventuali punti di
flesso della funzione f .
5. Tracciare un grafico qualitativo di f .
6. ♣ Determinare lo sviluppo di MacLaurin del terzo ordine di f .
7. Calcolare l’area della parte di piano compresa tra il grafico della funzione f (x) e l’asse delle x, per x ∈ [2, 3].
Z
8. ♣ Dire se l’integrale
+∞
f (x) dx è convergente, e, in caso affermativo, calcolarlo.
2
ESERCIZIO 3.
E’ data la funzione
2
f (x) = xex + 1.
a) Se F (x) è una primitiva di f (x), anche F (x) + 1 lo è:
b) Una primitiva di f (x) è la funzione G(x) =
1 x2
e + x + 1:
2
VERO
FALSO
PERCHE’
VERO
FALSO
PERCHE’
c) Il polinomio di MacLaurin di ordine 5 di f (x) è p(x) = 1 + x + x3 +
x5
2 :
VERO
FALSO
PERCHE’
♣ d) Il volume del solido che si ottiene facendo ruotare intorno all’asse delle x la regione piana compresa tra il grafico di
Z 1³
´2
2
VERO
FALSO
PERCHE’
f (x) e l’asse delle x, per x ∈ [0, 1] vale V = π
xex + 1 dx:
0
ESERCIZIO 4.
¶n
+∞ µ
X
3+a
E’ data la serie numerica
, dove a ∈ R. Allora:
1 + a2
n=0
VERO
1. se a = 1 la serie converge a 1
2. se a = 3 la somma della serie vale
5
2
3. se a = −5 la serie diverge a −∞
4. ♣ se −1 ≤ a ≤ 0 la serie converge.
FALSO
VERO
VERO
VERO
PERCHE’
FALSO
FALSO
FALSO
PERCHE’
PERCHE’
PERCHE’