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Decisioni di consumo II
Minimizzazione della spesa, dualità
Nadia Burani
Università di Bologna
A.A. 2016/17
Nadia Burani (Università di Bologna)
Decisioni di consumo II
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In sintesi
Il problema duale
La minimizzazione della spesa
domanda hicksiana
funzione di spesa
La dualità: relazione tra il problema di massimizzazione dell’utilità e il
problema di minimizzazione della spesa
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Il problema duale: la minimizzazione della spesa
Il problema duale rispetto al PMU è la minimizzazione della spesa
(PmS):
Min
p x
x 0
(PmS)
s.v .
u (x) u
con p
0 e u > u (0) .
Entrambi i problemi PMU e PmS caratterizzano lo scopo di un uso
e¢ ciente del potere d’acquisto del consumatore ma il PmS rovescia i
ruoli di obiettivo e vincolo rispetto al PMU.
La soluzione del PmS è detta funzione di domanda compensata o
hicksiana e si denota con h (p, u ) 2 RK+ .
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La minimizzazione della spesa: la domanda hicksiana
Proprietà della domanda hicksiana Si supponga che u ( ) sia una funzione
di utilità continua che rappresenta delle preferenze %
razionali, localmente nonsaziate e strettamente convesse
de…nite sull’insieme di consumo X = RK+ . Allora per ogni
p
0 la funzione di domanda hicksiana h (p, u ) soddisfa le
seguenti proprietà:
(i ) omogeneità di grado zero in p :
h (αp, u ) = h (p, u ) per ogni α > 0.
(ii ) Assenza di eccesso di utilità: u (x) = u per
ogni x = h (p, u )
(iii ) Unicità: se u ( ) è strettamente quasi-concava,
allora h (p, u ) è unica.
(iv ) Soddisfa la legge della domanda compensata:
per tutti i prezzi p e p0 ,
p0
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p
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h p0 , u
h (p, u )
0
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La minimizzazione della spesa: la domanda hicksiana
La legge della domanda compensata implica che se cambia solo il
prezzo del bene k, allora
pk0
pk
hk p0 , u
hk (p, u )
0
L’e¤etto di una variazione del prezzo pk sulla domanda compensata
per il bene k è non-positivo: la domanda hicksiana non può mai
essere positivamente inclinata.
Quando varia un prezzo, la domanda compensata h (p, u ) permette di
stabilire come varia la quantità domandata quando la ricchezza del
consumatore si aggiusta in modo da permettergli di raggiungere la
stessa utilità u
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La minimizzazione della spesa: la domanda hicksiana
Se le preferenze % sono strettamente monotone, se la funzione di
utilità u ( ) che le rappresenta è di¤erenziabile e se si assume che la
soluzione del PmS sia interiore (ovvero h (p, u )
0) allora essa si
caratterizza attraverso le condizioni del primo ordine della Lagrangiana
L (x, λ) =p x
λ (u (x)
u)
dove λ è il moltiplicatore di Lagrange.
Le condizioni del primo ordine sono
∂L
∂xk
∂L
∂λ
= pk
λ
= u (x)
∂u (x)
= 0 per k = 1, .., K
∂xk
u=0
Dividendo la k esima per la l esima c.p.o. si ottiene la stessa
condizione del problema diretto, ovvero SMSk ,l = ppkl
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La minimizzazione della spesa: la domanda hicksiana
β
Esempio Funzione di utilità Cobb-Douglas u (x1 , x2 ) = x1α x2
Le funzioni di domanda hicksiana sono date da
x1 = h1 (p, u ) = u
1
α+ β
αp2
βp1
1
α+ β
βp1
αp2
e
x2 = h2 (p, u ) = u
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β
α+ β
α
α+ β
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La minimizzazione della spesa: la domanda hicksiana
ρ
ρ
1
Esempio Funzione di utilità CES u (x1 , x2 ) = x1 + x2 ρ
Le funzioni di domanda hicksiana sono date da
1
ρ 1
up1
x1 = h1 (p, u ) =
ρ
ρ 1
p1
e
1
ρ
+ p2
1
ρ 1
up2
x2 = h2 (p, u ) =
ρ
ρ 1
p1
Ponendo r = ρ/ (ρ
x1 =
ρ
ρ 1
1
ρ
+ p2
1) si ottiene
r 1
r 1
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ρ
ρ 1
up1
(p1r + p2r )
r 1
r
e x2 =
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up2
(p1r + p2r )
r 1
r
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La minimizzazione della spesa: la domanda hicksiana
E’possibile avere non solo soluzioni interiori ma anche soluzioni
d’angolo, tali per cui hk (p, u ) = 0 per qualche k.
Condizioni di Kuhn-Tucker Esistono h (p, u ) 0 soluzioni del PMS e
λ 0 che soddisfano le condizioni del primo ordine:
∂L
∂xk
∂L
xk
∂xk
∂L
∂λ
∂L
λ
∂λ
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= pk
= xk
∂u (x)
0
∂xk
∂u (x)
pk λ
=0
∂xk
λ
= (u (x)
= λ (u (x)
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u)
0
u) = 0
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La minimizzazione della spesa: la domanda hicksiana
Esempio Funzione di utilità lineare u (x1 , x2 ) = αx1 + βx2
Le funzioni di domanda hicksiana sono date da
8
p1
α
u
>
α , 0 se SMS1,2 = β > p 2
<
0, uβ se SMS1,2 = αβ < pp12
(h1 (p, u ) ; h2 (p, u )) =
>
:
qls paniere su c.i. u se αβ = pp12
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La minimizzazione della spesa: la domanda hicksiana
Esempio Funzione di utilità Leontie¤ u (x1 , x2 ) = min fαx1 ; βx2 g
Le funzioni di domanda hicksiana sono indipendenti dai
prezzi e sono rappresentate dal punto angoloso sulla curva di
indi¤erenza di livello u che tocca la retta di isospesa più
bassa possibile.
Le domande hicksiane soddisfano la relazione
αx1 = βx2 = u.
Risolvendo per x1 e x2 si trova
x1 = h1 (p, u ) =
u
α
x2 = h2 (p, u ) =
u
.
β
e
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La minimizzazione della spesa: la funzione di spesa
Per ogni x
0 e u > u (0) la spesa minima si denota con e (p, u ) , è
data da p x dove x è la soluzione di PmS, e si chiama funzione di
spesa.
Proprietà della funzione di spesa La funzione di spesa e (p, u ) è:
(i ) omogenea di grado uno in
p : e (αp, u ) = αe (p, u ) per ogni α > 0.
(ii ) strettamente crescente in u e non-decrescente
in pk per ogni k = 1, ..K
(iii ) concava in p : e (αp + (1 αp0 ) , u )
αe (p, u ) + (1 α) e (p0 , u ) per ogni
α 2 [0, 1] ; oppure con matrice hessiana delle
derivate seconde semide…nita negativa.
(iv ) continua in p e u
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La minimizzazione della spesa: la funzione di spesa
β
Esempio Funzione di utilità Cobb-Douglas u (x1 , x2 ) = x1α x2
Date le funzioni di domanda hicksiane, la funzione di spesa è
data da
e (p, u ) = p1 h1 (p, u ) + p2 h2 (p, u )
ovvero
e (p, u ) = p1 u
1
α+ β
αp2
βp1
"
p1
= (α + β) u
α
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β
α+ β
+ p2 u
α
p2
β
1
α+ β
β
# α+1 β
βp1
αp2
α
α+ β
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La minimizzazione della spesa: la funzione di spesa
ρ
ρ
1
Esempio Funzione di utilità CES u (x1 , x2 ) = x1 + x2 ρ
Date le funzioni di domanda hicksiane, la funzione di spesa è
data da
e (p, u ) = p1 h1 (p, u ) + p2 h2 (p, u )
ovvero
1
ρ 1
1
ρ 1
up1
e (p, u ) = p1
ρ
ρ 1
p1
ρ
ρ 1
= u p1
Ponendo r = ρ/ (ρ
1
ρ
ρ
ρ 1
up2
+ p2
ρ
ρ 1
+ p2
ρ
ρ 1
p1
ρ
ρ 1
1
ρ
+ p2
ρ 1
ρ
+ p2
1) si ottiene
1
e (p, u ) = u (p1r + p2r ) r
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Relazione tra PMU e PmS
Relazione tra minimizzione di spesa e massimizzazione dell’utilità:
(i ) Se x è ottimo nel PMU quando la ricchezza è w , allora x è
ottimo nel PmS quando il livello di utilità desiderato è
u (x ) . La spesa minima in questo PmS è esattamente w ,
ovvero
e (p, v (p, w )) w .
(ii ) Se x è ottimo nel PmS quando il livello di utilità desiderato
è u > u (0) , allora x è ottimo nel PMU quando il livello di
ricchezza è p x . L’utilità massima in questo PMU è
esattamente u, ovvero
v (p, e (p, u ))
(iii ) x (p, e (p, u ))
(iv ) h (p, v (p, w ))
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u.
h (p, u ) per ogni p e u
x (p, w ) per ogni p e w
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Relazione tra PMU e PmS
Le condizioni (i ) e (ii ) implicano che, per un vettore di prezzi …ssato
p, le funzioni e (p, ) e v (p, ) sono una l’inversa dell’altra.
La condizione (iii ) spiega perché h (p, u ) si chiami domanda
compensata: quando i prezzi variano, h (p, u ) fornisce la quantità che
il consumatore domanderebbe se il suo reddito fosse aggiustato per
mantenere l’utilità u.
La domanda walrasiana, invece, mantiene …ssa la ricchezza monetaria
ma lascia variare l’utilità
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Relazione tra PMU e PmS
ρ
ρ
Esempio Funzione di utilità CES u (x1 , x2 ) = x1 + x2
1
ρ
(i ) Dalla funzione di spesa alla funzione di utilità indiretta.
1
Sia la funzione di spesa e (p, u ) = u (p1r + p2r ) r : prendendo
un livello di utilità u = v (p, w ) si ha
1
e (p, v (p, w )) = v (p, w ) (p1r + p2r ) r
Dato che e (p, v (p, w )) = w si ottiene
1
w = v (p, w ) (p1r + p2r ) r
e risolvendo per v (p, w )
v (p, w ) = w (p1r + p2r )
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1
r
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Relazione tra PMU e PmS
ρ
ρ
Esempio Funzione di utilità CES u (x1 , x2 ) = x1 + x2
1
ρ
(ii ) Dalla funzione di utilità indiretta alla funzione di spesa.
1
Sia la funzione di utilità indiretta v (p, w ) = w (p1r + p2r ) r :
prendendo un livello di ricchezza pari a w = e (p, u ) si ha
v (p, e (p, u )) = e (p, u ) (p1r + p2r )
1
r
Dato che v (p, e (p, u )) = u si ottiene
1
r
u = e (p, u ) (p1r + p2r )
e risolvendo per e (p, u )
1
e (p, u ) = u (p1r + p2r ) r
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Relazione tra PMU e PmS
ρ
1
ρ
Esempio Funzione di utilità CES u (x1 , x2 ) = x1 + x2 ρ
(iii ) Dalla domanda walrasiana a quella hicksiana. Siano le
funzioni di domanda walrasiana
wp r 1
xi (p, w ) = r i r
p1 + p2
1
e la funzione di spesa e (p, u ) = u (p1r + p2r ) r : sostituendo
e (p, u ) a w si ha
xi (p, e (p, u )) =
e (p, u ) pir
p1r + p2r
1
1
=
u (p1r + p2r ) r pir
p1r + p2r
1
r 1
=
upi
(p1r + p2r )
r 1
r
= hi (p, u )
che è la domanda hicksiana.
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Relazione tra PMU e PmS
ρ
ρ
1
Esempio Funzione di utilità CES u (x1 , x2 ) = x1 + x2 ρ
(iv ) Dalla domanda hicksiana a quella walrasiana. Siano le
funzioni di domanda hicksiana
r 1
hi (p, u ) =
upi
(p1r + p2r )
r 1
r
e la funzione di utilità indiretta v (p, w ) = w (p1r + p2r )
sostituendo v (p, w ) a u si ha
1
r
:
r 1
hi (p, v (p, w )) =
=
v (p, w ) pi
(p1r + p2r )
r 1
r
w (p1r + p2r )
(p1r + p2r )
1
r
r 1
pi
r 1
r
r 1
=
di consumo II
che è la domandaDecisioni
walrasiana.
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wpi
= xi (p, w )
p1r + p2r
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Relazione tra PMU e PmS
Identità di Roy Se x (p, w ) è una funzione di domanda walrasiana, se
v (p, w ) è di¤erenziabile e se (p, w )
0, allora
xk (p, w ) =
∂v (p,w )
∂p k
∂v (p,w )
∂w
per ogni k = 1, ...K
Lemma di Shephard Se h (p, u ) è una funzione di domanda hicksiana, se
e (p, u ) è di¤erenziabile e se p
0, allora
hk (p, u ) =
∂e (p, u )
∂pk
per ogni k = 1, ...K .
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Relazione tra PMU e PmS
Dimostrazione Identità di Roy Si prenda la funzione di utilità indiretta e si
derivi rispetto a pk
K
∂v (p, w )
∂u (x (p, w ))
∂u (x (p, w )) ∂xl (p, w )
=
=∑
.
∂pk
∂pk
∂xl
∂pk
l =1
Dalle condizioni del primo ordine del PMU
quindi sostituendo
∂u (x (p,w ))
∂xl
= λpl
K
∂v (p, w )
∂x (p, w )
= λ ∑ pl l
.
∂pk
∂pk
l =1
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Relazione tra PMU e PmS
Dimostrazione Identità di Roy Ma dalla legge di Walras, p x (p, w ) = w .
Di¤erenziando questa identità rispetto a pk , si mantiene
l’uguaglianza e si ottiene
K
∑ pl
l =1
∂xl (p, w )
+ xk (p, w ) = 0.
∂pk
Inoltre, il moltiplicatore di Lagrange è dato da λ =
quindi
∂v (p, w )
=
∂pk
λxk (p, w ) =
e riordinando
xk (p, w ) =
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∂v (p,w )
∂w
∂v (p, w )
xk (p, w )
∂w
∂v (p,w )
∂p k
∂v (p,w )
∂w
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Relazione tra PMU e PmS
Dimostrazione Lemma Shephard Sia e (p, u ) la funzione di spesa
K
∂e (p, u )
∂p h (p, u )
∂h (p, u )
=
= ∑ pl l
+ hk (p, u )
∂pk
∂pk
∂pk
l =1
Dalle condizioni del primo ordine del PmS si ha
∂u (h (p,u )))
pl = λ
e sostituendo
∂h l
K
∂e (p, u )
∂u (h (p, u ))) ∂hl (p, u )
= ∑λ
+ hk (p, u ) .
∂pk
∂hl
∂pk
l =1
Ma dato che le soluzioni del PmS soddisfano il vincolo, vale
l’identità u (h (p, u ))) u, e di¤erenziando rispetto a pk si
K
ha
∑
l =1
∂u (h (p,u ))) ∂h l (p,u )
∂h l
∂p k
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= 0.
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Il Teorema dell’inviluppo
In corrispondenza di un ottimo del PMU (o del PmS), le variazioni
nella domanda walrasiana (hicksiana) causate da variazioni nei prezzi
non hanno e¤etti di prim’ordine sulla funzione di utilità indiretta (di
spesa).
Sia f (x, a) una funzione da ottimizzare sotto un vincolo g (x, a) = c.
Vogliamo tenere conto di una serie di parametri a che possono entrare
o direttamente nella funzione obiettivo o indirettamente nel vincolo.
Sia x (a) la soluzione di questo problema
Sia M (x, a) la funzione valore associata al problema di
ottimizzazione, ovvero
M (x, a) = f (x (a) , a) .
Qual è l’e¤etto su M di un piccolo cambiamento nel vettore di
parametri a?
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Il Teorema dell’inviluppo
Il teorema dell’inviluppo stabilisce che
∂M (x, a)
∂f (x (a) , a)
=
∂ak
∂ak
λ
∂g (x (a) , a)
∂L (x (a) , a, λ)
=
∂ak
∂ak
quindi l’e¤etto di una variazione di ak sulla soluzione x (a) è
trascurabile.
Sia v (p, w ) la funzione di utilità indiretta. Allora
∂v (p, w )
=
∂pk
λxk (p, w ) e
∂v (p, w )
=λ
∂w
da cui discende l’identità di Roy.
Sia e (p, u ) la funzione di spesa. Allora
∂e (p, u )
= hk (p, u ) .
∂pk
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Relazione tra PMU e PmS
ρ
ρ
1
Esempio Funzione di utilità CES u (x1 , x2 ) = x1 + x2 ρ .Identità di
Roy
1
Sia la funzione di utilità indiretta v (p, w ) = w (p1r + p2r ) r :
di¤erenziando rispetto a pi e w si ha
∂v (p, w )
=
∂pi
w (p1r + p2r )
1
r
1
pir
1
1
pir
1
e
∂v (p, w )
= (p1r + p2r )
∂w
Prendendo il rapporto
∂v (p,w )
∂p 1
∂v (p,w )
∂w
=
=
w (p1r + p2r )
1
r
1
r
(p1r + p2r )
1
r
wpir 1
(p1r + p2r )
che è la domanda walrasiana.
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Relazione tra PMU e PmS
ρ
ρ
Esempio Funzione di utilità CES u (x1 , x2 ) = x1 + x2
Shephard.
1
ρ
. Lemma di
1
Sia la funzione di spesa e (p, u ) = u (p1r + p2r ) r :
di¤erenziando rispetto a pi si ha
∂e (p, u )
∂pi
1
= u (p1r + p2r ) r
1
pir
1
r 1
=
upi
(p1r + p2r )
r 1
r
che è la domanda hicksiana.
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