Le decisioni di consumo III

Le decisioni di consumo III
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Nadia Burani
Università di Bologna
A.A. 2016/17
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In sintesi
Statica comparata
come varia la scelta del consumatore a fronte di variazioni della
ricchezza
come varia la scelta del consumatore a fronte di variazioni dei prezzi
relativi
Equazione di Slutsky
proprietà delle funzioni di domanda
Un approccio alternativo alle decisioni di consumo
le preferenze rivelate
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Statica comparata: variazioni del reddito
Due soli beni K = 2, con k, l = 1, 2 e
rispetto a k.
k che denota l’altro bene
Come cambia la domanda walrasiana dei due beni quando i prezzi
sono …ssi e varia la ricchezza del consumatore?
Curva reddito-consumo CRC luogo geometrico dei panieri che risolvono il
PMU per diversi valori di w
Curva di Engel descrive la relazione tra la ricchezza w e la domanda
x (p, w ) a prezzi costanti
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Statica comparata: variazioni del reddito
Elasticità della domanda del bene k rispetto al reddito w
ηk =
∂xk (p, w )
w
∂w
xk (p, w )
Relazione tra CRC ed elasticità rispetto al reddito della domanda:
Se la CRC (così come la curva di Engel) è una retta che passa per
l’origine, la domanda di ciascun bene ha elasticità al reddito unitaria: si
consuma la stessa proporzione di ciascun bene per ogni livello di
reddito.
Se la CRC è positivamente inclinata ma curvata verso un bene signi…ca
che all’aumentare del reddito aumenta la quantità consumata di
entrambi i beni ma proporzionalmente più di uno (bene di lusso con
η k > 1) che dell’altro (bene necessario con 0 η k < 1)
Se la CRC è curvata all’indietro signi…ca che un aumento del reddito
comporta la riduzione del consumo di un bene e si tratta di un bene
inferiore con η k < 0.
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Statica comparata: variazioni dei prezzi relativi
Come cambia la domanda walrasiana quando varia pk con k = 1, 2 e
gli altri parametri sono …ssi?
Curva prezzo-consumo CPC luogo geometrico dei panieri che risolvono il
PMU per diversi valori di pk
Elasticità incrociata della domanda del bene l rispetto al prezzo
dell’altro bene pk
εl ,k =
∂xl (p, w )
pk
∂pk
xl (p, w )
Relazione tra CPC (O¤er curve) ed elasticità incrociata:
Se la CPC ha pendenza negativa, si tratta di beni sostituti lordi e
l’elasticità incrociata è positiva εl ,k > 0.
Se la CPC ha pendenza positiva, si tratta di beni complementi lordi e
εl ,k < 0.1
1 Le de…nizioni di beni sostituti o complementi netti fanno riferimento all’elasticità
incrociata della domanda hicksiana anziché walrasiana.
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Equazione di Slutsky
Una variazione nei prezzi ha un duplice e¤etto sul comportamento del
consumatore:
si altera il costo relativo dei diversi beni: ceteris paribus, i consumatori
saranno più propensi ad acquistare i beni che diventano relativamente
meno cari (e¤etto di sostituzione)
cambia la ricchezza reale del consumatore: l’aumento del prezzo di un
bene impoverisce i consumatori di quel bene e fa calare il loro potere
d’acquisto (e¤etto di reddito)
L’Equazione di Slutsky permette di isolare i due e¤etti
ET = ES + ER
e stabilisce qual è la pendenza della domanda walrasiana e qual è la
relazione tra la pendenza della domanda walrasiana e quella della
domanda compensata.
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Equazione di Slutsky
Equazione di Slutsky Sia u ( ) una funzione di utilità continua che
rappresenta preferenze strettamente convesse, e localmente
nonsaziate. Allora per ogni (p, w ) e per u = v (p, w ) si ha
∂xl (p, w )
∂h (p, v (p, w )) ∂xl (p, w )
xk (p, w )
= l
∂p
∂pk
∂w {z
}
| {zk } |
{z
}|
ET
ES
ER
per ogni k, l = 1, ...K , dove
∂h (p, u )
∂hl (p, v (p, w ))
= l
∂pk
∂pk
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u =v (p,w )
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Equazione di Slutsky
Dimostrazione Sia u = v (p, w ) . Si consideri l’identità
hl (p, u ) xl (p, e (p, u )) . Di¤erenziando entrambi i lati
rispetto a pk
∂hl (p, u )
∂x (p, e (p, u )) ∂xl (p, e (p, u )) ∂ (e (p, u ))
= l
+
.
∂pk
∂pk
∂e (p, u )
∂pk
Visto che u = v (p, w ) e e (p, v (p, w )) = w possiamo
riscrivere
∂hl (p, u )
∂x (p, w ) ∂xl (p, w ) ∂ (e (p, u ))
= l
+
∂pk
∂pk
∂w
∂pk
∂(e (p,u ))
Dal Lemma di Shephard ∂pk = hk (p, u ) e inoltre
hk (p, v (p, w )) = xk (p, w ) , quindi
∂hl (p, u )
∂x (p, w ) ∂xl (p, w )
= l
+
xk (p, w ) .
∂pk
∂pk
∂w
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Equazione di Slutsky
La quantità
∂xl (p, w ) ∂xl (p, w )
+
xk (p, w )
∂pk
∂w
slk (p, w )
rappresenta il termine lk della matrice di sostituzione di Slutsky.
La matrice di sostituzione di Slutsky è una matrice di dimensioni
K K che è data da
2
3
s11 (p, w )
s1K (p, w )
6
7
..
..
..
S (p, w ) = 4
5.
.
.
.
sK 1 (p, w )
sKK (p, w )
I suoi termini rappresentano gli e¤etti di sostituzione.
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Equazione di Slutsky
Esempio Funzione di utilità CES. Si consideri la variazione della
domanda del bene 1 rispetto alla variazione del suo prezzo.
La domanda walrasiana
del bene 1 è data da
wp r 1
x1 (p, w ) = p r +1 p r .
1
2
Derivando rispetto a p1 si ha
wp1r
∂x1 (p, w )
=
∂p1
2
((r 1) p2r
(p1r + p2r )2
p1r )
mentre derivando rispetto a w e moltiplicando per x1 (p, w )
si ottiene
2 (r 1 )
wp1
∂x1 (p, w )
x1 (p, w ) =
∂w
(p1r + p2r )2
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Equazione di Slutsky
Esempio Funzione di utilità CES. La funzione di domanda hicksiana
up r 1
del bene 1 è data da h1 (p, u ) = r 1r r 1 che derivata
(p 1 +p 2 )
rispetto a p1 dà
r
u (r 1) p1r 2 p2r
∂h1 (p, u )
=
2r 1
∂p1
(p1r + p2r ) r
Sostituendo al posto di u la funzione di utilità indiretta
1
v (p, w ) = w (p1r + p2r ) r si ha
w (r 1) p1r 2 p2r
∂h1 (p, v (p, w ))
=
∂p1
(p1r + p2r )2
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Equazione di Slutsky
Esempio Funzione di utilità CES. Dunque
w (r 1) p1r 2 p2r
∂h1 (p, v (p, w ))
=
∂p1
(p1r + p2r )2
e
∂x1 (p, w ) ∂x1 (p, w )
+
x1 (p, w )
∂p1
∂w
wp1r
2
2 (r 1 )
wp
((r 1) p2r p1r )
+ r1 r 2
2
r
r
(p1 + p2 )
(p1 + p2 )
r 2 r
w (r 1) p1 p2
∂h1 (p, v (p, w ))
=
=
2
r
r
∂p1
(p1 + p2 )
=
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Equazione di Slutsky
Nel caso di una variazione del prezzo dello stesso bene, l’equazione di
Slutsky si scrive come
∂xk (p, w )
∂h (p, u )
= k
∂pk
∂pk
∂xk (p, w )
xk (p, w )
∂w
Quando varia un prezzo, la domanda compensata h (p, u ) stabilisce
come varia la quantità domandata quando la ricchezza del
consumatore si aggiusta in modo fargli raggiungere la stessa utilità u
Partendo da una situazione iniziale (p, w ) se i prezzi diventano p0 , la
compensazione della ricchezza di Hicks è data da
∆wHicks = e (p0 , u ) w
∂x (p,w )
Cosa possiamo dire sul segno di k∂pk ovvero sulla pendenza della
domanda walrasiana del bene k?
∂h (p,u )
Dobbiamo sapere qualcosa sul segno di k∂pk ovvero sulla pendenza
della domanda compensata del bene k
ma la domanda compensata non è osservabile perché dipende da u
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Proprietà delle funzioni di domanda compensata
Proprietà delle funzioni di domanda compensata: discendono dal
Lemma di Shephard e dalle proprietà della funzione di spesa e (p, u )
(i ) Vale la legge della domanda compensata: l’e¤etto della
variazione del prezzo di un bene sulla domanda
compensata di quel bene è non-positivo, ovvero
∂hk (p, u )
∂2 e (p, u )
=
∂pk
∂pk2
0
essendo e (p, u ) concava in p ed essendo la matrice
delle derivate seconde (hessiana) di e (p, u ) semide…nita
negativa.2
2 Condizione
necessaria a¢ nché una matrice simmetrica sia semide…nita negativa è
che gli elementi lungo la diagonale principale siano non positivi. Condizione necessaria e
su¢ ciente è che i minori principali di guida di ordine dispari siano non-positivi e di ordine
pari siano non-negativi.
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Proprietà delle funzioni di domanda compensata
Proprietà delle funzioni di domanda compensata:
)
è semide…nita
(ii ) La matrice dei termini di sostituzione ∂hl∂p(p,u
k
negativa perché l’hessiana di e (p, u ) è semide…nita negativa.
(iii ) La matrice dei termini di sostituzione
∂h l (p,u )
∂p k
è simmetrica
∂2 e (p, u )
∂2 e (p, u )
∂h (p, u )
∂hl (p, u )
=
=
= k
∂pk
∂pk ∂pl
∂pl ∂pk
∂pl
essendo la matrice delle derivate seconde (hessiana) di
e (p, u ) simmetrica.
(iv ) Quindi la matrice di sostituzione di Slutsky i cui termini sono
slk (p, w ) =
∂xl (p, w ) ∂xl (p, w )
+
xk (p, w )
∂pk
∂w
è simmetrica e semide…nita negativa.
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Proprietà delle funzioni di domanda compensata
Proprietà delle funzioni di domanda compensata:
(v ) Visto che h (p, u ) è omogenea di grado zero nei prezzi, dalla
formula di Eulero3 discende che
K
∑
l =1
∂hk (p, u )
pl = 0
∂pl
Due beni k ed l si dicono sostituti netti (complementi netti)
∂h (p,u )
∂h (p,u )
0 (se k∂pl
0).
in corrispondenza di (p, u ) se k∂pl
∂h k (p,u )
∂p k
∂h k (p,u )
0:
∂p l
Dato che
che
netto.
0, ci deve essere almeno un bene l tale
ogni bene deve avere almeno un sostituto
3 Sia f (x , ..x ) una funzione di¤erenziabile e omogenea di grado r , ovvero
1
K
f (αx1 , .., αxK ) = αr f (x1 , ..xK ) per ogni α > 0. La formula di Eulero stabilisce che
K
∂f (x1 , ..xK )
xk = rf (x1 , ..xK )
∂xk
k =1
in corrispondenza di qualsiasi vettore x.
∑
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Proprietà delle funzioni di domanda walrasiana
Come cambia la domanda walrasiana di un bene quando varia il
prezzo di quel bene?
Legge della domanda Si supponga che u ( ) sia una funzione di utilità
continua che rappresenta delle preferenze % razionali,
localmente nonsaziate e strettamente convesse de…nite
sull’insieme di consumo X = RK+ . Se un bene è normale
allora una diminuzione del suo prezzo causerà un aumento
della domanda walrasiana. Se una diminuzione del prezzo
causa una diminuzione della domanda walrasiana allora il
bene è inferiore.
Se un bene k è normale in corrispondenza di (p, w ) allora la domanda
walrasiana (inversa) del bene k è meno negativamente inclinata al
prezzo pk rispetto alla domanda hicksiana (inversa).
Se un bene k è inferiore in corrispondenza di (p, w ) allora la domanda
walrasiana (inversa) del bene k è più negativamente inclinata al
prezzo pk rispetto alla domanda hicksiana (inversa).
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Un approccio alternativo: le preferenze rivelate
La teoria classica della domanda ha un approccio alle decisioni di
consumo basato sulle preferenze
L’approccio alternativo è basato direttamente sulle scelte del
consumatore, ovvero sul suo comportamento
si impongono delle restrizioni di coerenza sulle scelte e¤ettuate dal
consumatore
Dato l’insieme di consumo X = RK+ e l’insieme di bilancio walrasiano
Bp,w , il problema del consumatore è quello di scegliere un paniere di
consumo x all’interno di Bp,w
la scelta x (p, w ) è la funzione di domanda walrasiana
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Un approccio alternativo: le preferenze rivelate
Si assume che la funzione di domanda walrasiana soddis… due
proprietà:
(i ) omogeneità di grado zero in p e w , ovvero
x (αp, αw ) = x (p, w ) per α > 0
(ii ) Legge di Walras p x (p, w ) = w
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Un approccio alternativo: il WARP
WARP La funzione di domanda walrasiana x (p, w ) soddisfa
l’assioma debole delle preferenze rivelate (WARP) quando,
per ogni coppia di vettori di prezzi e reddito (p, w ) e
(p0 , w 0 ) :
p x p0 , w 0
w e x p0 , w 0 6= x (p, w ) ) p0 x (p, w ) > w 0
Di fronte a (p, w ) il consumatore sceglie x (p, w ) quando anche
x (p0 , w 0 ) è ammissibile.
Allora, se il consumatore sceglie x (p0 , w 0 ) quando fronteggia
(p0 , w 0 ) , signi…ca che non può permettersi di acquistare x (p, w ) .
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Un approccio alternativo: il WARP
Conseguenze di una variazione nei prezzi sul comportamento del
consumatore:
isoliamo l’e¤etto di una variazione nel prezzo relativo dei beni
supponiamo che la variazione nei prezzi sia accompagnata da una
variazione nella ricchezza che consente al consumatore di acquistare il
paniere iniziale ai nuovi prezzi
Il consumatore che fronteggia (p, w ) acquista x (p, w ) . Se i prezzi
diventano p0 immaginiamo che la ricchezza del consumatore si
aggiusti a w 0 = p0 x (p, w ) .
L’aggiustamento di reddito ∆w = (p0 p) x (p, w ) = ∆p x (p, w )
si chiama compensazione della ricchezza di Slutsky.
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Un approccio alternativo: il WARP
L’assioma WARP è equivalente alla legge della domanda compensata
Legge della domanda compensata Se la funzione di domanda walrasiana
x (p, w ) è omogenea di grado zero e soddisfa la legge di
Walras, allora x (p, w ) soddifa il WARP se e solo se, per ogni
variazione compensata nei prezzi da una situazione iniziale
(p, w ) a una nuova situazione (p0 , w 0 ) = (p0 , p0 x (p, w ))
vale:
p0
p
x p0 , w 0
x (p, w )
0
(LDWC)
con diseguaglianza stretta se x (p0 , w 0 ) 6= x (p, w ) .
Legge della domanda walrasiana compensata: le quantità domandate
e i prezzi si muovono in direzioni opposte (per variazioni compensate
dei prezzi), ovvero ∆p ∆x 0.
Quando cambia solo il prezzo del bene k, allora se ∆pk > 0 deve
essere che ∆xk
0.
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Un approccio alternativo: il WARP
Se la funzione di domanda walrasiana x (p, w ) è di¤erenziabile, la
LDWC può essere scritta come
dp dx
0
dove dp è una variazione compensata dei prezzi con
dw = x (p, w ) dp.
La variazione nella domanda si trova calcolando il di¤erenziale totale
ed è data da
dx = Dp x (p, w ) dp + Dw x (p, w ) dw
dove
2
6
Dp x (p, w ) = 6
4
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∂x1 (p,w )
∂p 1
..
.
∂xK (p,w )
∂p 1
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..
∂x1 (p,w )
∂p K
.
..
.
∂xK (p,w )
∂p K
3
7
7
5
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Un approccio alternativo: il WARP
e dove
2
6
Dw x (p, w ) = 4
∂x1 (p,w )
∂w
..
.
∂xK (p,w )
∂w
3
7
5
Visto che il reddito varia in modo compensato e dw = x (p, w ) dp,
possiamo sostituire e ottenere
h
i
dx = Dp x (p, w ) + Dw x (p, w ) x (p, w )T dp
Quindi dp dx
dp
0 diventa
h
i
Dp x (p, w ) + Dw x (p, w ) x (p, w )T dp
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Un approccio alternativo: il WARP
Dentro la parentesi quadra
h
i
Dp x (p, w ) + Dw x (p, w ) x (p, w )T
c’è una matrice di dimensioni K
di Slutsky S (p, w ).
K che è la matrice di sostituzione
Se la funzione di domanda walrasiana x (p, w ) è di¤erenziabile,
omogenea di grado zero, soddisfa la legge di Walras e il WARP allora
la matrice di sostituzione di Slutsky S (p, w ) è semide…nita negativa
perché soddisfa
v S (p, w ) v 0
per ogni vettore v 2 RK .
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Un approccio alternativo: il WARP
In particolare, se S (p, w ) è semide…nita negativa, lungo la diagonale
principale di S (p, w ) vale
∂xk (p, w ) ∂xk (p, w )
+
xk (p, w )
∂pk
∂w
0
L’e¤etto di sostituzione per il bene k quando varia il prezzo del bene
stesso è sempre negativo.
Un bene può essere di Gi¤en solo se è inferiore:
∂x (p, w )
∂xk (p, w )
> 0 =) k
<0
∂pk
∂w
Tuttavia, a di¤erenza dell’approccio classico, la matrice di Slutsky
non è necessariamente simmetrica per K > 2.
L’assioma WARP non implica la legge della domanda walrasiana tout
court.
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