I numeri - Pearson

UNITÀ
2
I numeri: naturali,
decimali, interi relativi
Contenuti
Dall’idea di numero ai numeri naturali
Come contiamo: il sistema di numerazione decimale
Confronto di numeri naturali
Incontriamo altri numeri: numeri decimali e interi relativi
Prerequisiti
Conoscere il concetto di insieme e saperlo rappresentare
Conoscere la differenza tra insieme infinito, finito, singolo e vuoto
Obiettivi
Acquisire il concetto di numero naturale
Distinguere i numeri cardinali dai numeri ordinali
Conoscere il sistema di numerazione decimale
Riconoscere numeri decimali e interi relativi
Saper confrontare e ordinare i numeri naturali, decimali e interi relativi
1 Dall’idea di numero ai numeri naturali
I numeri naturali
L’evoluzione del concetto di numero accompagna strettamente la conoscenza umana, fin da quando l’uomo cominciò a usare le dita o i sassolini per mettere in relazione gli oggetti con la loro
“quantità”.
Ma come è nata l’idea di numero nella mente dell’uomo?
Per rispondere a questa domanda, proviamo a ricostruire la sua storia.
Nell’epoca primitiva, una delle principali preoccupazioni dei pastori era quella di poter controllare, al ritorno dal pascolo, che gli animali fossero tutti rientrati nell’ovile.
Può sembrare un problema molto semplice: bastava contarli! Ma in quel tempo remoto i numeri
non erano ancora stati ideati e allora il pastore agiva probabilmente così: per ogni pecora metteva
un sassolino in un sacchetto. Se alla sera le pecore erano tante quanti i sassolini, allora voleva dire
che tutto il gregge era rientrato.
osservazioni
Le tribù dei pellerossa, per registrare quanti cavalli avevano, infilavano una pallina in una cordicella:
• per ogni cavallo una pallina;
• per ogni pallina un cavallo.
61
Unità 2. I numeri: naturali, decimali, interi relativi
Questo modo di “contare” fu il primo passo che portò l’uomo a ideare il concetto di numero.
L’uomo comprese infatti che l’insieme dei sassolini e l’insieme delle pecore avevano la caratteristica
comune di contenere la stessa quantità di elementi ma non riusciva ancora ad esprimere questa caratteristica: quindi sarebbe stato comodo darle un nome.
Per indicare quante fossero le pecore di un gregge, o i sassolini o ogni altro gruppo di oggetti della
stessa quantità in generale, fu scelta la parola numero e oggi, per la sua semplicità e spontaneità,
tale concetto viene anche chiamato numero naturale.
A seconda della quantità di oggetti contenuta nei gruppi, o insiemi, ovviamente il numero naturale
ad essi associato cambiava e quindi vennero inventati dei nomi per ciascuno dei numeri naturali.
Impariamo allora a capire il significato dei numeri naturali e a conoscerli osservando questi insiemi.
Ad ogni insieme vuoto associamo il numero
zero: 0.
0
In ogni insieme vuoto “poniamo” un elemento:
otteniamo insiemi singoli a cui associamo il
numero uno: 1.
1
In ogni insieme singolo “poniamo” un altro elemento: otteniamo insiemi formati da coppie a
cui associamo il numero due: 2.
2
Questo procedimento non ha mai termine perché si può sempre porre un altro elemento negli
insiemi e quindi “creare” un nuovo numero: deduciamo allora che i numeri naturali sono infiniti.
Inoltre, in questo modo, abbiamo stabilito un ordine tra i numeri naturali: 1 è il successivo di 0, 2
è il successivo di 1, 3 è il successivo di 2, … e anche: 2 è il precedente di 3, 1 è il precedente di 2,
0 è il precedente di 1. Nessun numero naturale è però il precedente di 0. Quindi, in generale:
Ogni numero naturale ha sempre un numero naturale suo successivo e, tranne lo zero, un
numero naturale precedente.
prova
esEmpiO
9 è il successivo di 8;
0 è il precedente di 1;
8 è il precedente di 9;
153 è il successivo di 152;
1 è il successivo di 0;
152 è il precedente di 153.
Completa le seguenti scritture:
18
19 è il successivo di ..........;
18
.......... è il precedente di 19;
0 è il precedente di 1;
..........
10 è il precedente di 11;
..........
0 non ha il precedente.
..........
Possiamo allora costruire una successione infinita di numeri naturali:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …
I numeri naturali formano dunque un insieme infinito che indichiamo con N.
Per elencazione scriviamo:
N {0, 1, 2, 3, 4, …}
62
tu
Dall’idea di numero ai numeri naturali
dove i puntini indicano che l’insieme è infinito. L’insieme N si può rappresentare anche con un diagramma di Eulero-Venn, indicando solo alcuni dei suoi infiniti elementi.
1
8
0
N
6
2
7
5
3
9
10
11
4
A volte dovremo considerare l’insieme dei numeri naturali privato del numero 0: in tal caso l’insieme si indica col simbolo N0 ( che si legge “enne con zero”):
N0 {1, 2, 3, 4, …}
Possiamo quindi scrivere: 0 ∈N e 0 ∉N0.
Inoltre diciamo che l’insieme dei numeri naturali è un insieme ordinato: ogni numero ha una collocazione precisa non solo tra il precedente e il successivo, ma tra tutti i numeri.
esEmpiO
Volendo elencare in modo ordinato i numeri naturali da 20 a 29 li scriviamo così:
20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29
e non così:
27, 23, 22, 25, 21, 20, 26, 29, 28, 24
Numeri cardinali e numeri ordinali
Nella vita quotidiana spesso i numeri naturali vengono adoperati con due significati diversi.
Ad esempio, si dice: “In quella casa abitano 6 persone”.
Il numero 6 indica quanti sono gli abitanti nella casa: è utilizzato come numero cardinale, cioè
attribuendo ad esso il significato che abbiamo scoperto per capire il concetto di numero naturale.
Ma si dice anche: “Quella casa è al 6 di via Roma”
Il numero 6 indica qual è la posizione occupata dalla casa nella via: è utilizzato come numero ordinale.
In generale diciamo che:
Un numero naturale può avere due significati: come numero cardinale indica la quantità di
elementi di un insieme finito; come numero ordinale indica la posizione occupata da un
elemento in un insieme ordinato.
esEmpi
1 Se consideriamo l’insieme A {do, re, mi, fa, sol, la, si} possiamo dire che il numero naturale 7 indica, come cardinale, la quantità di elementi di A e, come ordinale, il posto occupato
dalla nota “si”.
2 In una classe ci sono 23 alunni e sul registro di classe il nome dell’allievo Lombardi
è preceduto dal numero 15.
In tal caso il numero naturale 23 indica, come cardinale, la quantità degli alunni della classe,
mentre il numero 15 indica, come ordinale, il posto occupato dall’alunno Lombardi sul registro di classe, in ordine alfabetico.
63
Es er2cizi
I numeri: naturali,
decimali, interi relativi
UNITÀ
Dall’idea di numero ai numeri naturali
CONOSCERE E APPLICARE
IMPARA CON METODO
Studia e applica la teoria rispondendo ai seguenti quesiti.
I numeri naturali
1. Barra la casella opportuna.
Un numero naturale esprime la caratteristica comune degli insiemi finiti che hanno:
lo stesso tipo di elementi;
la stessa quantità di elementi;
lo stesso ordine tra gli elementi.
1
Qual è il numero naturale che si può associare ai seguenti insiemi? ..........
B
A
re
do
C
mi
2. Completa scegliendo tra i termini: zero, uno, precedente, consecutivo, successivo.
successivo
“Ogni numero naturale ha sempre un numero naturale suo ...............................
e, tranne
zero
precedente
..............................., un numero naturale suo ...............................”
Completa le seguenti scritture con il numero naturale opportuno:
1
1 è il successivo di 0;
100 è il successivo di 99.
0 è il precedente di ..........;
..........
..........
3. Barra la casella opportuna.
L’insieme dei numeri naturali:
a) si indica con:
N
n
Na
b) se privato dello zero, si indica con:
N0
N0
N0
c) è un insieme:
finito
infinito
indeterminato
Rappresenta per elencazione gli insiemi:
• dei numeri naturali:
• dei numeri naturali privati dello zero:
N {..................................................}
..........
N0 {..................................................}
..........
73
Ripassare ragionando
Ripassare ragionando
Ripasso dell’unità
Ripassa ciò che hai studiato in questa unità rispondendo sul quaderno alle domande degli esercizi.
1. Considera il numeri 450,023; 399,9; 450,00.
A. Confronta i numeri completando con i simboli oppure :
Confronto di
numeri decimali
Ripassa
...
> 450,00
450,023 ..........
> 399,9
450,00 ..........
< 450,023
399,9 ..........
B. Quale numero può essere scritto anche come numero
450
naturale? ..........
Il sistema di numerazione
decimale
Indica il nome e l’ordine di ogni unità di questo numero:
4: centinaia, III ord.
........................................;
5: decine, II ord.
.........................................;
0: unità, I ord.
........................................
No
Ha unità del quarto ordine? ..........
2. Considera il numero formato da 2 decine e 1 unità.
2 10 1 1
A. Scrivilo in forma polinomiale ......................................
Scrittura polinomiale
B. Quale, tra i seguenti insiemi, ha come numero cardinale il numero 21?
Numero cardinale
Ripassa
...
L’insieme A dei numeri dispari.
L’insieme B di tutti i numeri che hanno due cifre.
L’insieme C delle lettere dell’alfabeto italiano dalla a
alla z.
Che cosa indica un numero naturale come cardinale di
un insieme finito?
C. Se ti riferisci all’insieme scelto al punto precedente, che
cosa indica il numero 21 come numero ordinale?
La lettera z
......................................
Che cosa indica un numero naturale come ordinale di
un insieme ordinato?
Numero ordinale
91
E
E
E
s
s
s
e
e
e
r
r
r
c
c
c
i
i
i
z
z
z
i
i
i
Unità 2. I numeri: naturali, decimali, interi relativi
3. Considera il numero 145.
146; 144
A. Scrivi il suo successivo e il suo precedente .......................
Numeri naturali
Ripassa
...
Sì
Tutti i numeri naturali hanno un successivo? ...............
No
Tutti i numeri naturali hanno un precedente? ..............
Numeri interi relativi
B. Fai precedere 145 dal segno opportuno e indica:
145
• il numero intero positivo: ...............
145
• il numero intero negativo: ...............
Fai un esempio della vita quotidiana in cui puoi inconConti...............
bancari, ............
…
trare questi due numeri ...............
C. Scrivi un numero decimale che abbia le stesse cifre di
145 ma tale che 1 siano le unità, 4 i decimi e 5 i centesimi: .............
Numeri decimali
Fai un esempio della vita quotidiana in cui puoi inconPrezzi, misure, …
trare questo numero ....................................................
Esercizi di Riepilogo
4. Osserva questo schema. In ogni cerchietto scrivi i numeri da 1 a 8, senza mai ripeterli e
in modo che due numeri collegati tra loro da un segmento non siano mai consecutivi, cioè
tali che uno segua l’altro.
5. Scrivi in forma posizionale e polinomiale tutti i numeri con tre cifre e composti soltanto dai
simboli 1 e 0. Quanti sono?
6. Dato il numero abcd le cui cifre a, b, c, d sono numeri naturali, rispondi alle seguenti domande.
a) Quale lettera indica le migliaia, quale le centinaia, quale le decine e quale le unità?
b) Quale, tra le seguenti, è la sua forma polinomiale corretta?
a 1000 b 100 c 10 d 0
a 1000 b 100 c 10 d 1
7. Se n è un numero naturale maggiore di 3, considera i seguenti numeri e scrivili in ordine crescente:
n1
92
n1
n4
n2
n3
[n 3; n 2; n 1; n 1; n 4]
Verifico le mie conoscenze
L
I
O
P
O
R
T
F
O
L
I
O
P
O
R
T
F
O
L
I
O
P
O
R
T
F
O
L
I
O
97
P
Scegli la risposta corretta segnando la casella corrispondente. Attento! In alcuni casi le risposte ti sembreranno tutte corrette: scegli quella completa. Controlla poi i risultati alla fine del volume.
I numeri naturali
1 Ricordando che N {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …} possiamo dire che:
a
Ogni numero naturale ha sempre un numero naturale suo successivo e un numero naturale suo precedente.
b Ogni numero naturale ha sempre un numero naturale suo successivo e, tranne lo zero, un numero natu
c
rale suo precedente
Ogni numero naturale ha sempre un numero suo successivo
2 Con il simbolo N si indica l’insieme:
0
a
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…}
b {1, 2, 3, 4, 5, 6...}
c
{0}
3 Nella frase “Elena compie gli anni il 13 agosto e pesa 19 kg”:
a
b
c
19 è un numero ordinale e 13 è un numero cardinale
13 e 19 sono numeri cardinali
13 è un numero ordinale e 19 è un numero cardinale
Confronto di numeri naturali
4 La scrittura 3 5 indica che:
a
b 3 è diverso da 5
3 è minore di 5
c
3 è maggiore di 5
5 La frase “8 è compreso fra 7 e 9”, in forma simbolica si scrive:
a 789
b
789
c
897
6 La scrittura 3 a 5 significa che il numero naturale a può essere:
a
b
3, 4, 5
c 4, 5
3, 4
7 Il numero naturale a (a 0), il suo precedente e il suo successivo sono nella seguente relazione:
a
aa1a1
b a1aa1
c
a1aa1
8 Si dice che N è un insieme:
a ordinato e discreto
b
ordinato e continuo
c
discreto
I numeri decimali e i numeri interi relativi
9 Il numero 7,004 si legge:
a
7 e 4 centesimi
b 7 e 4 millesimi
c
7 virgola 4
10 Nella frase “Oggi, 28 gennaio, fa freddo e la temperatura è di 32° sotto lo zero”:
a il numero 32 è un numero intero relativo e si scrive 32
b
c
11
il numero 28 è un numero intero relativo e si scrive 28
il numero 32 è un numero naturale
u
Al punto A sulla retta corrisponde il numero:
a
2
b
0,2
c 2
A
O
Verifico le mie abilità
Scegli la risposta corretta segnando la casella corrispondente. Controlla poi i risultati alla fine del volume.
Conoscere i numeri
1 Nell’insieme N il numero:
a 7 è il successivo di 6
b
c
7 è il precedente di 6
8 è il successivo di 6
2 Dato l’insieme A dei numeri naturali minori di 5, allora la rappresentazione per elencazione dell’insieme A è:
a
b
c
A {0, 1, 2, 3, 4, 5}
A {1, 2, 3, 4}
A {0, 1, 2, 3, 4}
Contare con il sistema di numerazione decimale
3 Quale tra le seguenti informazioni è vera?
a 38
b
87
c
56
4 Quale tra le seguenti informazioni è vera?
a
423
b
c 234
342
5 Il numero 1034 rappresenta:
a 4 unità, 3 decine, 0 centinaia, 1 migliaio
b
c
4 unità, 3 decine, 10 migliaia
4 unità, 3 decine, 1 centinaio
6 La forma polinomiale del numero 2305 è:
a
2 1000 3 100 5 10
b 2 1000 3 100 0 10 5 1
c
2 1000 3 10 5 1
7 Data la seguente semiretta graduata:
i punti indicati dalle lettere A, B, C rappresentano i numeri naturali:
a
5, 6, 7
b
5, 6, 8
c 4, 5, 8
Confrontare i numeri decimali e i numeri interi relativi
8 Quale tra le seguenti relazioni è vera?
a 5,24 5,240
b
c
5,24 5,240
5,24 5,3
9 Data la retta orientata, ai punti indicati dalle lettere A, B e C corrispondono, nell’ordine, i numeri:
u
3, 0, 1
b 4, 1, 2
c 4, 1, 2
a
A
B
10 Quale tra le seguenti relazioni è vera?
a
98
3 4
b
3 4
c 3 4
O
C
Uso le mie competenze
Gli stati della materia
1
COMPRENDERE
Una sostanza può presentarsi, a seconda delle condizioni, in tre diversi stati di
aggregazione: lo stato solido, lo stato liquido e lo
stato gassoso. Il ghiaccio, l’acqua e il vapore acqueo,
ad esempio, sono i tre stati di aggregazione della
stessa sostanza. Un particolare stato della materia
dipende, tra l’altro, dalla sua temperatura e i cambiamenti da uno stato ad un altro prendono il nome di
passaggio di stato.
GAS
CONDENSAZIONE
VAPORIZZAZIONE
LIQUIDO
SOLIDIFICAZIONE
FUSIONE
L
I
O
P
O
R
T
F
O
L
I
O
P
O
R
T
F
O
L
I
O
P
O
R
T
F
O
L
I
O
99
P
Le diverse sostanze passano da uno stato all’altro a
SOLIDO
temperature diverse; l’ossigeno, ad esempio, come
puoi vedere nella rappresentazione grafica sotto, raggiunge il punto di fusione (la temperatura in cui passa dallo stato solido, indicato dalla riga azzurra, allo stato liquido, indicato dalla riga rossa,) a 219 °C e raggiunge il punto di ebollizione (la temperatura in cui passa dallo stato liquido allo stato gassoso, indicato dalla riga blu) a 183 °C. Nella prima rappresentazione, i
valori della temperatura sono stati approssimati alla decina più vicina, mentre nella seconda, che rappresenta
l’ingrandimento della parte cerchiata, i valori vengono indicati con meno approssimazione e la temperatura
corrisponde esattamente al punto di fusione e di ebollizione.
300
Ossigeno
200
220
100
210
200
190
Punti di fusione e di ebollizione di alcune sostanze
Sostanze
Punto di fusione °C
Punto di ebollizione °C
219
183
Acqua
(210)
……….
(0)
……….
(196)
……….
(100)
……….
Idrogeno
(259)
……….
(253)
……….
Ossigeno
Azoto
Azoto
Acqua
Idrogeno
100
0
200 °C
180
170 °C
Solido
Liquido
Gas
• Individua ora i punti di fusione e di ebollizione di azoto, acqua e idrogeno ricavandoli dalle diverse rappresentazioni (riportate
sotto); completa quindi la tabella assegnata
e rispondi alle domande.
220
215
210
205
200
195 °C
100
50
0
50
100
150 °C
265
260
255
250
245
240 °C
Gassoso
• A temperatura pari a 251 °C in quale stato di aggregazione si troverà l’idrogeno? .....................
Sì
• La temperatura di ebollizione dell’azoto è maggiore della temperatura di fusione dell’idrogeno? .......
• La temperatura di fusione dell’acqua è maggiore o minore della temperatura di fusione dell’idrogeno? .......
2
COMUNICARE
Nella tabella ti vengono forniti i punti di fusione e di ebollizione di altre sostanze
(contrassegnate con A, B e C). Rappresenta i dati sulle linee dei numeri (scegli tu le unità di misura più adatte).
Sostanze
Punto di fusione °C
Punto di ebollizione °C
A
18
26
B
270
120
C
2300
900
°C
A
°C
B
°C
C
3
CORRELARE
Osservando la linea dei numeri “ingrandita” relativa all’alcol etilico, sai dire a quale tem115,5°C
peratura fonde esattamente l’alcol etilico? .......................
150
Alcol etilico
100
50
0
120 119 118117116115
• Sai dire a che cosa corrisponde una sola tacchetta nell’ultima rappresentazione proposta? ...........
0,5 Una tacLa metà
chetta che cosa indica rispetto all’unità?......................
Nello stesso punto
• Se il valore fosse stato 115,500 °C dove si sarebbe trovato sulla linea dei numeri? .....................................
• Se il valore fosse stato 115,0500 °C, anziché 115,50 °C, la temperatura sarebbe minore o maggioMaggiore
re? ..................
• Se consideri i due numeri 115,05 e 115,50, puoi osservare che sono formati dalle stesse cifre. Come mai
Perché il valore numerico delle singole cifre dipende dalla posizione
rappresentano valori diversi? .......................................................................................................................................
che esse hanno nel numero
......................................................................................................................................................................................
4
ORGANIZZARE
Per rispondere utilizza la gabbia che ti viene fornita senza lasciare nessuno spazio bianco.
Considera di nuovo i due numeri 115,50 e 115,05; come sono composti?
centinaia
decine
unità
decimi
centesimi
millesimi
1
1
5
5
0
0
1
1
5
0
5
0
e ora valuto...
... le mie conoscenze:
... le mie abilità:
... le mie competenze:
Complessivamente:
Mi sembra di aver lavorato bene: non ho incontrato grosse difficoltà.
Penso di non aver studiato abbastanza: infatti, ho incontrato qualche difficoltà, soprattutto in “Verifico le mie conoscenze”.
Credo di non essermi esercitato a sufficienza: le difficoltà che ho incontrato sono prevalentemente in “Verifico le mie abilità”.
Nella sezione “Uso le mie competenze” ho avuto qualche difficoltà negli esercizi:
COMPRENDERE
COMUNICARE
100
CORRELARE
ORGANIZZARE