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Matematica - Algebra Lineare
Anno Accademico 2014/2015
Università Studi di Milano
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
Matematica - Algebra Lineare
1 / 32
Matrici e operazioni tra matrici
Indice
1
Matrici e operazioni tra matrici
2
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
3
Il Metodo di Gauss
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
Matematica - Algebra Lineare
2 / 32
Matrici e operazioni tra matrici
Vettori e matrici
Un vettore ad n componenti è una n−upla ordinata di numeri reali
a1 , a2 , . . . , an .
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
Matematica - Algebra Lineare
3 / 32
Matrici e operazioni tra matrici
Vettori e matrici
Un vettore ad n componenti è una n−upla ordinata di numeri reali
a1 , a2 , . . . , an . Possono essere elencati in colonna (vettore colonna)
 a 
1
 a2 
...
an
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
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3 / 32
Matrici e operazioni tra matrici
Vettori e matrici
Un vettore ad n componenti è una n−upla ordinata di numeri reali
a1 , a2 , . . . , an . Possono essere elencati in colonna (vettore colonna)
 a 
1
 a2 
...
an
o in riga (vettore riga) (a1 , a2 , . . . , an ).
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
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3 / 32
Matrici e operazioni tra matrici
Vettori e matrici
Un vettore ad n componenti è una n−upla ordinata di numeri reali
a1 , a2 , . . . , an . Possono essere elencati in colonna (vettore colonna)
 a 
1
 a2 
...
an
o in riga (vettore riga) (a1 , a2 , . . . , an ).
Esempio
2
0
1
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
!
oppure
(2, 0, 1).
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3 / 32
Matrici e operazioni tra matrici
Vettori e matrici
Una matrice a m righe ed n colonne (detta anche matrice m × n) è una tabella
di numeri reali della forma
 a
a12 . . . a1n 
11
 a21 a22 . . . a2n  = (aij )i=1,...,m,j=1,...,n ,
... ... ... ...
am1 am2 . . . amn
(i indice di riga, j indice di colonna).
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4 / 32
Matrici e operazioni tra matrici
Vettori e matrici
Una matrice a m righe ed n colonne (detta anche matrice m × n) è una tabella
di numeri reali della forma
 a
a12 . . . a1n 
11
 a21 a22 . . . a2n  = (aij )i=1,...,m,j=1,...,n ,
... ... ... ...
am1 am2 . . . amn
(i indice di riga, j indice di colonna).
Esempio


1 0 5 3
 0 −1 21 0  .
√
2 1 2
2
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Matrici e operazioni tra matrici
Somma e moltiplicazione per una costante
Due matrici con lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne
possono essere sommate:
(aij )i=1,...,m,j=1,...,n + (bij )i=1,...,m,j=1,...,n , = (aij + bij )i=1,...,m,j=1,...,n ,
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5 / 32
Matrici e operazioni tra matrici
Somma e moltiplicazione per una costante
Due matrici con lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne
possono essere sommate:
(aij )i=1,...,m,j=1,...,n + (bij )i=1,...,m,j=1,...,n , = (aij + bij )i=1,...,m,j=1,...,n ,
Esempio
1 −1 2
0 3 0
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
+
0 1 −1
1 2 0
=
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1 0 1
1 5 0
.
5 / 32
Matrici e operazioni tra matrici
Somma e moltiplicazione per una costante
Due matrici con lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne
possono essere sommate:
(aij )i=1,...,m,j=1,...,n + (bij )i=1,...,m,j=1,...,n , = (aij + bij )i=1,...,m,j=1,...,n ,
Esempio
1 −1 2
0 3 0
+
0 1 −1
1 2 0
=
1 0 1
1 5 0
.
Una matrice può essere moltiplicata per un numero reale λ ∈ R:
λ(aij )i=1,...,m,j=1,...,n = (λaij )i=1,...,m,j=1,...,n ,
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Matrici e operazioni tra matrici
Somma e moltiplicazione per una costante
Due matrici con lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne
possono essere sommate:
(aij )i=1,...,m,j=1,...,n + (bij )i=1,...,m,j=1,...,n , = (aij + bij )i=1,...,m,j=1,...,n ,
Esempio
1 −1 2
0 3 0
+
0 1 −1
1 2 0
=
1 0 1
1 5 0
.
Una matrice può essere moltiplicata per un numero reale λ ∈ R:
λ(aij )i=1,...,m,j=1,...,n = (λaij )i=1,...,m,j=1,...,n ,
Esempio
2
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
1 1
0 −2
3 1/2
!
=
2 2
0 −4
6 1
Matematica - Algebra Lineare
!
.
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Matrici e operazioni tra matrici
Prodotto di matrici
Si considerino:
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
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6 / 32
Matrici e operazioni tra matrici
Prodotto di matrici
Si considerino:

a11
 ...
A=
 ar1
...
am1
 b
11
b
B =  . .21.
bn1
a12
...
ar2
...
am2
...
...
...
...
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
...
...
...
...
...
b1s
b2s
...
bns
a1n
...
arn
...
amn
...
...
...
...


 matrice ad m righe e n colonne;

b1p 
b2p 
matrice ad n righe e p colonne.
...
bnp
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Matrici e operazioni tra matrici
Prodotto di matrici
Si considerino:


a11 a12 . . . a1n
 ... ... ... ... 

A=
 ar1 ar2 . . . arn  matrice ad m righe e n colonne;
... ... ... ...
am1 am2 . . . amn
 b
b1s . . . b1p 
11 . . .
b
... b
... b
B =  . .21. . . . . .2s. . . . . .2p.  matrice ad n righe e p colonne.
bn1 . . . bns . . . bnp
Quindi: il numero delle colonne di A è uguale al numero delle righe di B!
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Matrici e operazioni tra matrici
Prodotto di matrici
Si considerino:


a11 a12 . . . a1n
 ... ... ... ... 

A=
 ar1 ar2 . . . arn  matrice ad m righe e n colonne;
... ... ... ...
am1 am2 . . . amn
 b
b1s . . . b1p 
11 . . .
b
... b
... b
B =  . .21. . . . . .2s. . . . . .2p.  matrice ad n righe e p colonne.
bn1 . . . bns . . . bnp
Quindi: il numero delle colonne di A è uguale al numero delle righe di B!
Si può definire una matrice
C =A·B
con m righe e p colonne, detta prodotto riga per colonna di A per B, dove
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6 / 32
Matrici e operazioni tra matrici
Prodotto di matrici
Si considerino:


a11 a12 . . . a1n
 ... ... ... ... 

A=
 ar1 ar2 . . . arn  matrice ad m righe e n colonne;
... ... ... ...
am1 am2 . . . amn
 b
b1s . . . b1p 
11 . . .
b
... b
... b
B =  . .21. . . . . .2s. . . . . .2p.  matrice ad n righe e p colonne.
bn1 . . . bns . . . bnp
Quindi: il numero delle colonne di A è uguale al numero delle righe di B!
Si può definire una matrice
C =A·B
con m righe e p colonne, detta prodotto riga per colonna di A per B, dove
crs = ar1 b1s + ar2 b2s + · · · + arn bns .
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6 / 32
Matrici e operazioni tra matrici
Prodotto di matrici
Ad esempio, se consideriamo
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
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Matrici e operazioni tra matrici
Prodotto di matrici
Ad esempio, se consideriamo
A=
1 0 2
−1 3 0
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
e
B=
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2 0 1 0
5 1 −3 1
0 0 1 0
!
,
7 / 32
Matrici e operazioni tra matrici
Prodotto di matrici
Ad esempio, se consideriamo
A=
1 0 2
−1 3 0
e
B=
2 0 1 0
5 1 −3 1
0 0 1 0
!
,
si ha
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7 / 32
Matrici e operazioni tra matrici
Prodotto di matrici
Ad esempio, se consideriamo
2 0 1 0
5 1 −3 1
0 0 1 0
!
A=
1 0 2
−1 3 0
A·B=
2+0+0
0+0+0 1+0+2 0+0+0
−2 + 15 + 0 0 + 3 + 0 −1 − 9 + 0 0 + 3 + 0
e
B=
,
si ha
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7 / 32
Matrici e operazioni tra matrici
Prodotto di matrici
Ad esempio, se consideriamo
2 0 1 0
5 1 −3 1
0 0 1 0
!
A=
1 0 2
−1 3 0
A·B=
2+0+0
0+0+0 1+0+2 0+0+0
−2 + 15 + 0 0 + 3 + 0 −1 − 9 + 0 0 + 3 + 0
e
B=
,
si ha
=
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
2 0
3
0
13 3 −10 3
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.
7 / 32
Matrici e operazioni tra matrici
Prodotto di matrici: esempio
A = tabella dei prezzi in euro degli articoli H, K e L per bambini (b), donne
(f ) e uomini (m)
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
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8 / 32
Matrici e operazioni tra matrici
Prodotto di matrici: esempio
A = tabella dei prezzi in euro degli articoli H, K e L per bambini (b), donne
(f ) e uomini (m)
* b
f
m
H 20 50 50
A = K 30 40 30
L 10 10 20
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
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8 / 32
Matrici e operazioni tra matrici
Prodotto di matrici: esempio
A = tabella dei prezzi in euro degli articoli H, K e L per bambini (b), donne
(f ) e uomini (m)
* b
f
m
H 20 50 50
A = K 30 40 30
L 10 10 20
B = tabella della composizione delle famiglie F1 e F2 in termini di bambini
(b), donne (f ) e uomini (m).
*
b
B= f
m
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
F1
1
1
2
F2
3
1
1
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8 / 32
Matrici e operazioni tra matrici
Prodotto di matrici: esempio
A = tabella dei prezzi in euro degli articoli H, K e L per bambini (b), donne
(f ) e uomini (m)
* b
f
m
H 20 50 50
A = K 30 40 30
L 10 10 20
B = tabella della composizione delle famiglie F1 e F2 in termini di bambini
(b), donne (f ) e uomini (m).
*
b
B= f
m
20
Poniamo A = 30
10
50
40
10
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
F1
1
1
2
50
1
30 e B = 1
20
2
F2
3
1
1
3
1
1
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8 / 32
Matrici e operazioni tra matrici
Prodotto di matrici: esempio
La matrice
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9 / 32
Matrici e operazioni tra matrici
Prodotto di matrici: esempio
La matrice
C =A·B
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Matematica - Algebra Lineare
9 / 32
Matrici e operazioni tra matrici
Prodotto di matrici: esempio
La matrice
C =A·B
permette di ottenere la tabella della spesa in euro delle famiglie F1 e F2 per
gli articoli H, K e L.
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
Matematica - Algebra Lineare
9 / 32
Matrici e operazioni tra matrici
Prodotto di matrici: esempio
La matrice
C =A·B
permette di ottenere la tabella della spesa in euro delle famiglie F1 e F2 per
gli articoli H, K e L.
*
H
C= K
L
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
F1
170
130
60
F2
160
160
60
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9 / 32
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Indice
1
Matrici e operazioni tra matrici
2
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
3
Il Metodo di Gauss
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10 / 32
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Sistema lineari
Sistema di m equazioni lineari nelle n incognite x1 , x2 , . . . , xn
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
Matematica - Algebra Lineare
(aij , bh ∈ R):
11 / 32
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Sistema lineari
Sistema di m equazioni lineari nelle n incognite x1 , x2 , . . . , xn

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1


a x + a x + ··· + a x = b
21 1
22 2
2n n
2
.
.
.
.
.
.



am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
Matematica - Algebra Lineare
(aij , bh ∈ R):
11 / 32
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Sistema lineari
Sistema di m equazioni lineari nelle n incognite x1 , x2 , . . . , xn

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1


a x + a x + ··· + a x = b
21 1
22 2
2n n
2
.
.
.
.
.
.



am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm
Esempio
Considero
(aij , bh ∈ R):

 x1 − 2x2 + x3 = 0
x2 − x3 = 0

x1 + x2 + x3 = 3
Si tratta di un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite.
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Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Soluzioni
Una soluzione di un sistema lineare è una n−upla di numeri reali
(s1 , s2 , . . . , sn ) tali che

a11 s1 + a12 s2 + · · · + a1n sn = b1


a s + a s + ··· + a s = b
21 1
22 2
2n n
2
.
.
.
.
.
.



am1 s1 + am2 s2 + · · · + amn sn = bm
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12 / 32
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Soluzioni
Una soluzione di un sistema lineare è una n−upla di numeri reali
(s1 , s2 , . . . , sn ) tali che

a11 s1 + a12 s2 + · · · + a1n sn = b1


a s + a s + ··· + a s = b
21 1
22 2
2n n
2
.
.
.
.
.
.



am1 s1 + am2 s2 + · · · + amn sn = bm
Esempio
La tripla (1, 1, 1) è una soluzione del sistema lineare di tre equazioni in tre
incognite descritto sopra.
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12 / 32
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Soluzioni
Un sistema lineare si dice impossibile se non ammette alcuna soluzione.
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13 / 32
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Soluzioni
Un sistema lineare si dice impossibile se non ammette alcuna soluzione.
Si dice determinato se ammette una ed una sola soluzione.
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
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13 / 32
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Soluzioni
Un sistema lineare si dice impossibile se non ammette alcuna soluzione.
Si dice determinato se ammette una ed una sola soluzione.
Si dice indeterminato se ha più di una soluzione (ed in tal caso ne ha infinite).
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
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13 / 32
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Soluzioni
Un sistema lineare si dice impossibile se non ammette alcuna soluzione.
Si dice determinato se ammette una ed una sola soluzione.
Si dice indeterminato se ha più di una soluzione (ed in tal caso ne ha infinite).
Esempio
n
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
x +y = 0
x +y = 1
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13 / 32
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Soluzioni
Un sistema lineare si dice impossibile se non ammette alcuna soluzione.
Si dice determinato se ammette una ed una sola soluzione.
Si dice indeterminato se ha più di una soluzione (ed in tal caso ne ha infinite).
Esempio
n
x +y = 0
x +y = 1
è impossibile;
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13 / 32
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Soluzioni
Un sistema lineare si dice impossibile se non ammette alcuna soluzione.
Si dice determinato se ammette una ed una sola soluzione.
Si dice indeterminato se ha più di una soluzione (ed in tal caso ne ha infinite).
Esempio
n
x +y = 0
x +y = 1
n
x +y = 0
x
=1
è impossibile; il sistema
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Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Soluzioni
Un sistema lineare si dice impossibile se non ammette alcuna soluzione.
Si dice determinato se ammette una ed una sola soluzione.
Si dice indeterminato se ha più di una soluzione (ed in tal caso ne ha infinite).
Esempio
n
x +y = 0
x +y = 1
n
x +y = 0
x
=1
è impossibile; il sistema
è determinato ed ha come unica soluzione (x, y) = (1, −1) ;
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Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Soluzioni
Un sistema lineare si dice impossibile se non ammette alcuna soluzione.
Si dice determinato se ammette una ed una sola soluzione.
Si dice indeterminato se ha più di una soluzione (ed in tal caso ne ha infinite).
Esempio
n
x +y = 0
x +y = 1
n
x +y = 0
x
=1
è impossibile; il sistema
è determinato ed ha come unica soluzione (x, y) = (1, −1) ; il sistema
n
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x +y = 0
2x +2y = 0
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13 / 32
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Soluzioni
Un sistema lineare si dice impossibile se non ammette alcuna soluzione.
Si dice determinato se ammette una ed una sola soluzione.
Si dice indeterminato se ha più di una soluzione (ed in tal caso ne ha infinite).
Esempio
n
x +y = 0
x +y = 1
n
x +y = 0
x
=1
è impossibile; il sistema
è determinato ed ha come unica soluzione (x, y) = (1, −1) ; il sistema
n
x +y = 0
2x +2y = 0
è indeterminato ed ha le infinite soluzioni (x, y) = (k, −k), al variare di k.
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13 / 32
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Matrici associate a sistemi
Si consideri un sistema lineare. Allora,
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14 / 32
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Matrici associate a sistemi
Si consideri un sistema lineare. Allora,
 a
11
a21

La matrice A =
...
am1
coefficienti del sistema;
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a12
a22
...
am2
...
...
...
...
a1n 
a2n 
è detta matrice dei
...
amn
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14 / 32
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Matrici associate a sistemi
Si consideri un sistema lineare. Allora,
 a
11
a21

La matrice A =
...
am1
coefficienti del sistema;
a12
a22
...
am2
...
...
...
...
a1n 
a2n 
è detta matrice dei
...
amn
 b 
1
b
Il vettore b =  . .2.  è detto vettore dei termini noti.
bm
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14 / 32
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Matrici associate a sistemi
Si consideri un sistema lineare. Allora,
 a
11
a21

La matrice A =
...
am1
coefficienti del sistema;
a12
a22
...
am2
...
...
...
...
a1n 
a2n 
è detta matrice dei
...
amn
 b 
1
b
Il vettore b =  . .2.  è detto vettore dei termini noti.
bm

a11 a12
 a21 a22
La matrice [A|b] = 
... ...
am1 am2
completa.
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...
...
...
...
a1n
a2n
...
amn
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
| b1
| b2 
è detta matrice
| ... 
| bm
14 / 32
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Matrici associate a sistemi
Utilizzando la notazione del prodotto riga per colonna il sistema
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15 / 32
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Matrici associate a sistemi
Utilizzando la notazione del prodotto riga per colonna il sistema

a x + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1

 11 1

a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
......



am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm
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Matematica - Algebra Lineare
15 / 32
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Matrici associate a sistemi
Utilizzando la notazione del prodotto riga per colonna il sistema

a x + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1

 11 1

a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
......



am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm
può anche essere scritto come
A·x=b
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Matematica - Algebra Lineare
15 / 32
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Matrici associate a sistemi
Utilizzando la notazione del prodotto riga per colonna il sistema

a x + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1

 11 1

a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
......



am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm
può anche essere scritto come
A·x=b
dove Aè la matrice
dei coefficienti del sistema, b è la colonna dei termini noti
x1 
x
e x =  . .2.  è il vettore colonna delle incognite.
xn
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15 / 32
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Matrici associate a sistemi
In notazione matriciale, una soluzione del sistema lineare è una n-upla
ordinata
 s 
1
s2 

s=
...
sn
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16 / 32
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Matrici associate a sistemi
In notazione matriciale, una soluzione del sistema lineare è una n-upla
ordinata
 s 
1
s2 

s=
...
sn
tale che
As = b.
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16 / 32
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
Matrici associate a sistemi
In notazione matriciale, una soluzione del sistema lineare è una n-upla
ordinata
 s 
1
s2 

s=
...
sn
tale che
As = b.
Esercizio
Verificare questa identità negli esempi precedenti!
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Il Metodo di Gauss
Indice
1
Matrici e operazioni tra matrici
2
Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni
3
Il Metodo di Gauss
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17 / 32
Il Metodo di Gauss
Obiettivo
Dato un sistema lineare con matrice completa

a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n
[A|b] =  . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn
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
| b1
| b2 
| ... 
| bm
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Il Metodo di Gauss
Obiettivo
Dato un sistema lineare con matrice completa

a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n
[A|b] =  . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn

| b1
| b2 
| ... 
| bm
ridurre [A|b] in una forma a gradini del tipo:






1
0
0
...
0
0
∗
0
0
...
0
0
∗
1
0
...
0
0
∗
∗
1
...
0
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
|
|
|
...
|
|

∗
∗ 
∗ 



∗
∗
in cui in ogni riga compaiono meno incognite della riga precedente.
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18 / 32
Il Metodo di Gauss
I sistemi con matrici a gradini sono facili da risolvere!
Consideriamo il sistema lineare

 x + 2y − z = 2
y + 3z + w = 0

z − 3w = 4
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19 / 32
Il Metodo di Gauss
I sistemi con matrici a gradini sono facili da risolvere!
Consideriamo il sistema lineare

 x + 2y − z = 2
y + 3z + w = 0

z − 3w = 4
con matrice completa
1 2 −1 0 | 2
0 1 3
1 | 0
0 0 1 −3 | 4
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
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!
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Il Metodo di Gauss
I sistemi con matrici a gradini sono facili da risolvere!
Consideriamo il sistema lineare

 x + 2y − z = 2
y + 3z + w = 0

z − 3w = 4
con matrice completa
1 2 −1 0 | 2
0 1 3
1 | 0
0 0 1 −3 | 4
!
Dall’ultima equazione si ricava z = 3w + 4;
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Il Metodo di Gauss
I sistemi con matrici a gradini sono facili da risolvere!
Consideriamo il sistema lineare

 x + 2y − z = 2
y + 3z + w = 0

z − 3w = 4
con matrice completa
1 2 −1 0 | 2
0 1 3
1 | 0
0 0 1 −3 | 4
!
Dall’ultima equazione si ricava z = 3w + 4;
Sostituendo nella seconda equazione si trova
y = −3z − w = −3(3w + 4) − w = −10w − 12;
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Il Metodo di Gauss
I sistemi con matrici a gradini sono facili da risolvere!
Consideriamo il sistema lineare

 x + 2y − z = 2
y + 3z + w = 0

z − 3w = 4
con matrice completa
1 2 −1 0 | 2
0 1 3
1 | 0
0 0 1 −3 | 4
!
Dall’ultima equazione si ricava z = 3w + 4;
Sostituendo nella seconda equazione si trova
y = −3z − w = −3(3w + 4) − w = −10w − 12;
Sostituendo la z e la y nella prima si ricava anche
x = −2y + z + 2 = −2(−10w − 12) + (3w + 4) + 2 = 23w + 30.
Quindi le soluzioni del sistema sono {(23t + 30, −10t − 12, 3t + 4, t) : t ∈ R}.
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Il Metodo di Gauss
I sistemi con matrici a gradini sono facili da risolvere!
Consideriamo il sistema lineare

 x + 2y − z = 2
y + 3z + w = 0

0=4
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Il Metodo di Gauss
I sistemi con matrici a gradini sono facili da risolvere!
Consideriamo il sistema lineare

 x + 2y − z = 2
y + 3z + w = 0

0=4
con matrice completa
1 2 −1 0 | 2
0 1 3 1 | 0
0 0 0 0 | 4
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!
.
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Il Metodo di Gauss
I sistemi con matrici a gradini sono facili da risolvere!
Consideriamo il sistema lineare

 x + 2y − z = 2
y + 3z + w = 0

0=4
con matrice completa
1 2 −1 0 | 2
0 1 3 1 | 0
0 0 0 0 | 4
!
.
Il sistema è evidentemente impossibile! Ho una riga con 0 = 4!
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Il Metodo di Gauss
Come fare
Voglio modificare l’"aspetto" di un sistema senza modificarne le soluzioni.
Passo da un sistema ad uno equivalente, ovvero a uno con lo stesse soluzioni
di quello dato, ma di forma più semplice: a gradini.
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Il Metodo di Gauss
Come fare
Voglio modificare l’"aspetto" di un sistema senza modificarne le soluzioni.
Passo da un sistema ad uno equivalente, ovvero a uno con lo stesse soluzioni
di quello dato, ma di forma più semplice: a gradini.
Le operazioni che posso fare (sulla matrice completa e NON solo su quella
dei coefficienti) sono le seguenti:
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Il Metodo di Gauss
Come fare
Voglio modificare l’"aspetto" di un sistema senza modificarne le soluzioni.
Passo da un sistema ad uno equivalente, ovvero a uno con lo stesse soluzioni
di quello dato, ma di forma più semplice: a gradini.
Le operazioni che posso fare (sulla matrice completa e NON solo su quella
dei coefficienti) sono le seguenti:
1 Scambiare due righe tra loro.
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21 / 32
Il Metodo di Gauss
Come fare
Voglio modificare l’"aspetto" di un sistema senza modificarne le soluzioni.
Passo da un sistema ad uno equivalente, ovvero a uno con lo stesse soluzioni
di quello dato, ma di forma più semplice: a gradini.
Le operazioni che posso fare (sulla matrice completa e NON solo su quella
dei coefficienti) sono le seguenti:
1 Scambiare due righe tra loro.
Esempio
Scambio la prima riga R1 con la terza riga R3 :
!
3 2 −1 1 | 0
R ∼R3
−1 3 2 0 | −1
−−1−−→
1 0 1 3 | 2
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1 0 1 3 | 2
−1 3 2 0 | −1
3 2 −1 1 | 0
!
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Il Metodo di Gauss
Come fare
2 Moltiplicare una riga per una costante diversa da zero.
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Il Metodo di Gauss
Come fare
2 Moltiplicare una riga per una costante diversa da zero.
Esempio
Moltiplico la seconda riga per 3 (scriveremo: 3R2 )
!
!
3 2 −1 1 | 0
3 2 −1 1 | 0
3R2
−1 3 2 0 | −1
−3 9 6 0 | −3
−−→
1 0 1 3 | 2
1 0 1 3 | 2
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Il Metodo di Gauss
Come fare
3 Sommare ad una riga il multiplo di un’altra.
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Il Metodo di Gauss
Come fare
3 Sommare ad una riga il multiplo di un’altra.
Esempio
Sommiamo alla prima riga 3 volte la seconda (scriviamo: R1 + 3R2 )
!
!
3 2 −1 1 | 0
0 11 5 1 | −3
R1 +3R2
−1 3 2 0 | −1
−1 3 2 0 | −1
−−−−→
1 0 1 3 | 2
1
0 1 3 | 2
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Il Metodo di Gauss
Riassunto
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Il Metodo di Gauss
Riassunto
Parto da un sistema lineare;
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Il Metodo di Gauss
Riassunto
Parto da un sistema lineare;
Usando le tre operazioni elementari riduco la matrice in forma a gradini
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24 / 32
Il Metodo di Gauss
Riassunto
Parto da un sistema lineare;
Usando le tre operazioni elementari riduco la matrice in forma a gradini
Si tratta di un algoritmo:
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24 / 32
Il Metodo di Gauss
Riassunto
Parto da un sistema lineare;
Usando le tre operazioni elementari riduco la matrice in forma a gradini
Si tratta di un algoritmo: dopo un numero finito di passi si ottiene una
matrice dalla quale risulta evidente se il sistema ammette soluzioni oppure no
e che, in caso affermativo, permette di trovare le soluzioni ricavando via via le
incognite a partire dall’ultima equazione e procedendo a ritroso.
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Il Metodo di Gauss
Come creare i gradini
Salvo effettuare scambi di righe, si parte da una matrice in cui la prima
incognita compaia nella prima equazione.
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Il Metodo di Gauss
Come creare i gradini
Salvo effettuare scambi di righe, si parte da una matrice in cui la prima
incognita compaia nella prima equazione.
(A) Moltiplicando la prima riga per una costante (non nulla) si ottiene una
matrice in cui il primo elemento della prima riga è 1
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25 / 32
Il Metodo di Gauss
Come creare i gradini
Salvo effettuare scambi di righe, si parte da una matrice in cui la prima
incognita compaia nella prima equazione.
(A) Moltiplicando la prima riga per una costante (non nulla) si ottiene una
matrice in cui il primo elemento della prima riga è 1
(B) Applico ora le regole (2) e (3):
 1
 a
 b

...
...
a12
a22
a32
...
...

1
 0
R −aR

−−−2−−−1−→  0
R3 −bR1 ,...,... 
0
0
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...
...
...
...
...
a1n
a2n
a3n
...
...
| b1
| b2
| b3
| ...
| ...
a12
a022
a032
...
...
...
...
...
...
...
a1n
a02n
a03n
...
...
Matematica - Algebra Lineare




| b1
| b02
| b03
| ...
| ...





25 / 32
Il Metodo di Gauss
Come creare i gradini
(C) A questo punto, dalla seconda equazione in poi non compare più la
prima incognita. Compaiono al più n − 1 incognite.
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Il Metodo di Gauss
Come creare i gradini
(C) A questo punto, dalla seconda equazione in poi non compare più la
prima incognita. Compaiono al più n − 1 incognite.
(D) Su questo sistema, con una equazione in meno e con meno incognite, si
opera analogamente a quanto visto sopra.
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Il Metodo di Gauss
Come creare i gradini
(C) A questo punto, dalla seconda equazione in poi non compare più la
prima incognita. Compaiono al più n − 1 incognite.
(D) Su questo sistema, con una equazione in meno e con meno incognite, si
opera analogamente a quanto visto sopra.
Dobbiamo sempre tenere presente che:
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26 / 32
Il Metodo di Gauss
Come creare i gradini
(C) A questo punto, dalla seconda equazione in poi non compare più la
prima incognita. Compaiono al più n − 1 incognite.
(D) Su questo sistema, con una equazione in meno e con meno incognite, si
opera analogamente a quanto visto sopra.
Dobbiamo sempre tenere presente che:
Se nel corso della procedura, una riga della matrice si annulla
interamente (cioè diventa (0 0 0 . . . | 0), la cancello cancellata
(corrisponde all’equazione 0 = 0).
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Il Metodo di Gauss
Come creare i gradini
(C) A questo punto, dalla seconda equazione in poi non compare più la
prima incognita. Compaiono al più n − 1 incognite.
(D) Su questo sistema, con una equazione in meno e con meno incognite, si
opera analogamente a quanto visto sopra.
Dobbiamo sempre tenere presente che:
Se nel corso della procedura, una riga della matrice si annulla
interamente (cioè diventa (0 0 0 . . . | 0), la cancello cancellata
(corrisponde all’equazione 0 = 0).
Se nel corso della procedura, una riga della matrice si annulla in tutte le
entrate salvo che nell’ultima (cioè diventa (0 0 0 . . . | k), k 6= 0), il
sistema è impossibile (corrisponde all’equazione 0 = k).
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Il Metodo di Gauss
Come creare i gradini
(C) A questo punto, dalla seconda equazione in poi non compare più la
prima incognita. Compaiono al più n − 1 incognite.
(D) Su questo sistema, con una equazione in meno e con meno incognite, si
opera analogamente a quanto visto sopra.
Dobbiamo sempre tenere presente che:
Se nel corso della procedura, una riga della matrice si annulla
interamente (cioè diventa (0 0 0 . . . | 0), la cancello cancellata
(corrisponde all’equazione 0 = 0).
Se nel corso della procedura, una riga della matrice si annulla in tutte le
entrate salvo che nell’ultima (cioè diventa (0 0 0 . . . | k), k 6= 0), il
sistema è impossibile (corrisponde all’equazione 0 = k).
Alla fine della procedura la matrice è ridotta a gradini, e il sistema, se
risolubile, può essere risolto a partire dall’ultima equazione a ritroso.
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Il Metodo di Gauss
Esempio A
Consideriamo il sistema lineare:

2x − 2y + 4z = 0


 x + 2z = 2
z = −1



3x − 3y = 6
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27 / 32
Il Metodo di Gauss
Esempio A
Consideriamo il sistema lineare:

2x − 2y + 4z = 0


 x + 2z = 2
z = −1



3x − 3y = 6


2 −2 4 | 0
 1 0 2 | 2 
 0 0 1 | −1 
3 −3 0 | 6
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Il Metodo di Gauss
Esempio A
Consideriamo il sistema lineare:

2x − 2y + 4z = 0


 x + 2z = 2
z = −1



3x − 3y = 6



2 −2 4 | 0
 1 0 2 | 2  (1/2)R1 
 0 0 1 | −1  −−−−→ 
3 −3 0 | 6
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)

1 −1 2 | 0
1 0 2 | 2 
0 0 1 | −1 
3 −3 0 | 6
Matematica - Algebra Lineare
27 / 32
Il Metodo di Gauss
Esempio A
Consideriamo il sistema lineare:

2x − 2y + 4z = 0


 x + 2z = 2
z = −1



3x − 3y = 6



2 −2 4 | 0
 1 0 2 | 2  (1/2)R1 
 0 0 1 | −1  −−−−→ 
3 −3 0 | 6

1 −1 2
 0 1
0
 0 0
1
0 0 −6
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)

1 −1 2 | 0
1 0 2 | 2  R2 −R1
−−−−→
0 0 1 | −1  R4 −3R1
3 −3 0 | 6

| 0
| 2 
| −1 
| 6
Matematica - Algebra Lineare
27 / 32
Il Metodo di Gauss
Esempio A
Consideriamo il sistema lineare:

2x − 2y + 4z = 0


 x + 2z = 2
z = −1



3x − 3y = 6



2 −2 4 | 0
 1 0 2 | 2  (1/2)R1 
 0 0 1 | −1  −−−−→ 
3 −3 0 | 6

1 −1 2
 0 1
0
 0 0
1
0 0 −6
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)

1 −1 2 | 0
1 0 2 | 2  R2 −R1
−−−−→
0 0 1 | −1  R4 −3R1
3 −3 0 | 6


| 0
| 2  R4 +6R3 
−−−−→ 
| −1 
| 6
Matematica - Algebra Lineare

1 −1 2 | 0
0 1 0 | 2 
0 0 1 | −1 
0 0 0 | 0
27 / 32
Il Metodo di Gauss
→
−
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
1 −1 2 | 0
0 1 0 | 2
0 0 1 | −1
Matematica - Algebra Lineare
!
28 / 32
Il Metodo di Gauss
→
−
1 −1 2 | 0
0 1 0 | 2
0 0 1 | −1
!
Abbiamo quindi trovato il sistema equivalente (stesse soluzioni di quello di
partenza):

 x − y + 2z = 0
y=2

z = −1
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
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28 / 32
Il Metodo di Gauss
→
−
1 −1 2 | 0
0 1 0 | 2
0 0 1 | −1
!
Abbiamo quindi trovato il sistema equivalente (stesse soluzioni di quello di
partenza):

 x − y + 2z = 0
y=2

z = −1
La soluzione è quindi:
(x, y, z) = (4, 2, −1).
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
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28 / 32
Il Metodo di Gauss
→
−
1 −1 2 | 0
0 1 0 | 2
0 0 1 | −1
!
Abbiamo quindi trovato il sistema equivalente (stesse soluzioni di quello di
partenza):

 x − y + 2z = 0
y=2

z = −1
La soluzione è quindi:
(x, y, z) = (4, 2, −1).
Il sistema è determinato.
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28 / 32
Il Metodo di Gauss
Esempio B
Consideriamo il sistema lineare:

 − 3x + y = 4
+ x − 2y = 3

− x − 3y = 8
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Matematica - Algebra Lineare
29 / 32
Il Metodo di Gauss
Esempio B
Consideriamo il sistema lineare:

 − 3x + y = 4
+ x − 2y = 3

− x − 3y = 8
con matrice completa
−3 1 | 4
1 −2 | 3
−1 −3 | 8
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
Matematica - Algebra Lineare
!
29 / 32
Il Metodo di Gauss
Esempio B
Consideriamo il sistema lineare:

 − 3x + y = 4
+ x − 2y = 3

− x − 3y = 8
con matrice completa
−3 1 | 4
1 −2 | 3
−1 −3 | 8
−−−−→
R1 ∼R2
1 −2 | 3
−3 1 | 4
−1 −3 | 8
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
!
!
Matematica - Algebra Lineare
29 / 32
Il Metodo di Gauss
Esempio B
Consideriamo il sistema lineare:

 − 3x + y = 4
+ x − 2y = 3

− x − 3y = 8
con matrice completa
−3 1 | 4
1 −2 | 3
−1 −3 | 8
−−−−→
R1 ∼R2
1 −2 | 3
−3 1 | 4
−1 −3 | 8
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
!
R2 +3R1
−−−−→
R3 +R1
Matematica - Algebra Lineare
!
1 −2 | 3
0 −5 | 13
0 −5 | 11
!
29 / 32
Il Metodo di Gauss
Esempio B
Consideriamo il sistema lineare:

 − 3x + y = 4
+ x − 2y = 3

− x − 3y = 8
con matrice completa
−3 1 | 4
1 −2 | 3
−1 −3 | 8
−−−−→
R1 ∼R2
−−−−−→
(−1/5)R2
1 −2 | 3
−3 1 | 4
−1 −3 | 8
!
1 −2 |
3
0 1 | −13/5
0 −5 |
11
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
R2 +3R1
−−−−→
R3 +R1
!
−−−−→
R3 +5R2
Matematica - Algebra Lineare
!
1 −2 | 3
0 −5 | 13
0 −5 | 11
!
1 −2 |
3
0 1 | −13/5
0 0 |
−2
!
29 / 32
Il Metodo di Gauss
Esempio B
Consideriamo il sistema lineare:

 − 3x + y = 4
+ x − 2y = 3

− x − 3y = 8
con matrice completa
−3 1 | 4
1 −2 | 3
−1 −3 | 8
−−−−→
R1 ∼R2
−−−−−→
(−1/5)R2
1 −2 | 3
−3 1 | 4
−1 −3 | 8
!
1 −2 |
3
0 1 | −13/5
0 −5 |
11
R2 +3R1
−−−−→
R3 +R1
!
−−−−→
R3 +5R2
!
1 −2 | 3
0 −5 | 13
0 −5 | 11
!
1 −2 |
3
0 1 | −13/5
0 0 |
−2
!
Il sistema quindi è impossibile.
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
Matematica - Algebra Lineare
29 / 32
Il Metodo di Gauss
Esempio C
Consideriamo il sistema lineare:

 x − 2y + z = 0
2x + y = 1

− 3x − 4y + z = −2
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
Matematica - Algebra Lineare
30 / 32
Il Metodo di Gauss
Esempio C
Consideriamo il sistema lineare:

 x − 2y + z = 0
2x + y = 1

− 3x − 4y + z = −2
1 −2 1 | 0
2
1 0 | 1
−3 −4 1 | −2
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
!
Matematica - Algebra Lineare
30 / 32
Il Metodo di Gauss
Esempio C
Consideriamo il sistema lineare:

 x − 2y + z = 0
2x + y = 1

− 3x − 4y + z = −2
1 −2 1 | 0
2
1 0 | 1
−3 −4 1 | −2
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
!
R2 −2R1
−−−−→
R3 +3R1
1 −2
1 | 0
0
5
−2 | 1
0 −10 4 | −2
Matematica - Algebra Lineare
!
30 / 32
Il Metodo di Gauss
Esempio C
Consideriamo il sistema lineare:

 x − 2y + z = 0
2x + y = 1

− 3x − 4y + z = −2
1 −2 1 | 0
2
1 0 | 1
−3 −4 1 | −2
!
R2 −2R1
−−−−→
R3 +3R1
1 −2
1
| 0
0
1
−2/5 | 1/5
0 −10
4
| −2
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
1 −2
1 | 0
0
5
−2 | 1
0 −10 4 | −2
!
−−−−→
(1/5)R2
!
Matematica - Algebra Lineare
30 / 32
Il Metodo di Gauss
Esempio C
Consideriamo il sistema lineare:

 x − 2y + z = 0
2x + y = 1

− 3x − 4y + z = −2
1 −2 1 | 0
2
1 0 | 1
−3 −4 1 | −2
!
R2 −2R1
−−−−→
R3 +3R1
1 −2
1
| 0
0
1
−2/5 | 1/5
0 −10
4
| −2
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
1 −2
1 | 0
0
5
−2 | 1
0 −10 4 | −2
!
−−−−−→
R3 +10R2
Matematica - Algebra Lineare
!
−−−−→
(1/5)R2
1 −2
1
| 0
0 1 −2/5 | 1/5
0 0
0
| 0
!
30 / 32
Il Metodo di Gauss
Esempio C
Consideriamo il sistema lineare:

 x − 2y + z = 0
2x + y = 1

− 3x − 4y + z = −2
1 −2 1 | 0
2
1 0 | 1
−3 −4 1 | −2
!
R2 −2R1
−−−−→
R3 +3R1
1 −2
1
| 0
0
1
−2/5 | 1/5
0 −10
4
| −2
1 −2
1 | 0
0
5
−2 | 1
0 −10 4 | −2
!
−−−−−→
R3 +10R2
!
−−−−→
(1/5)R2
1 −2
1
| 0
0 1 −2/5 | 1/5
0 0
0
| 0
!
2t+1
Le soluzioni sono: {( −t+2
5 , 5 , t) : t ∈ R}.
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
Matematica - Algebra Lineare
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Il Metodo di Gauss
Esempio C
Consideriamo il sistema lineare:

 x − 2y + z = 0
2x + y = 1

− 3x − 4y + z = −2
1 −2 1 | 0
2
1 0 | 1
−3 −4 1 | −2
!
R2 −2R1
−−−−→
R3 +3R1
1 −2
1
| 0
0
1
−2/5 | 1/5
0 −10
4
| −2
1 −2
1 | 0
0
5
−2 | 1
0 −10 4 | −2
!
−−−−−→
R3 +10R2
!
−−−−→
(1/5)R2
1 −2
1
| 0
0 1 −2/5 | 1/5
0 0
0
| 0
!
2t+1
Le soluzioni sono: {( −t+2
5 , 5 , t) : t ∈ R}. Il sistema è indeterminato.
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
Matematica - Algebra Lineare
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Il Metodo di Gauss
Esercizi 1
Per ciascuna di queste matrici stabilire se rappresenta un sistema determinato,
indeterminato o impossibile.
!
!
1 0 −1 | 3
1 −1 0 | 0
0 0 1 | 0
0 1 6 | 1
A=
B=
0 0 0 | 0
0 0 1 | 0
!
!
1 2 0 | 5
1 −1 0 |
0
0 0 1 | 3
0 1 6 |
1
C=
D=
,
0 0 0 | −4
0 0 0 | h−1
!
!
1 −1
0
|
0
1 2
0
| 5
0 1
6
|
1
0 1
1
| 3
E=
F=
,
0 0 k+3 | 0
0 0 r2 − 1 | r + 1
al variare dei numeri reali h, k e r.
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
Matematica - Algebra Lineare
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Il Metodo di Gauss
Esercizi 1
Stabilire se i seguenti sistemi lineari hanno soluzioni, ed, in caso
affermativo, determinarle.

(
−2y −2z = 1

x
+z −w = 0
x −y
=1
y
+z
=2
 x +y +2z = 0
x
+2y
+z
+w
=4
2x −2y −z = 2
Al variare del parametro reale h, stabilire se ciascuno dei seguenti
sistemi lineari è determinato, indeterminato o impossibile.

(
+z
=0
 x
x
−y
=2
y
+z
=
2
−x +2y +2z
=0
y
−z
=
1

y
+2z = h + 1
x +2y +hz = h + 2
Paolo Stellari (Università Studi di Milano)
Matematica - Algebra Lineare
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