Soluzione quesiti

Risoluzione Questionario
Q 1.
̅̅̅̅
𝐴𝐵 = 2
̅̅̅̅
𝐵𝐶 = 3
𝐴𝐵̂𝐶 = 𝛽
Dalla trigonometria sappiamo che : “ L’area di un triangolo è uguale al semiprodotto
di due lati per il seno dell’angolo da essi formato”
Quindi deve aversi
1
2 ∙ 3𝑠𝑒𝑛𝛽 = 3
2
da cui facilmente si ricava : senβ = 1 e quindi 𝛽 =
𝜋
2
perciò il triangolo è rettangolo
e i lati dati sono i cateti. Pertanto il terzo lato è l’ipotenusa che misura: √4 + 9 =
√13
Q 2.
Siano
k(x) = f(x) – f(2x)
e g(x) = f(x) – f(4x),
Si ha 𝑘 ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) − 2𝑓 ′ (2𝑥)
aversi:
e
𝑔′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) − 4𝑓 ′ (4𝑥) e quindi deve
𝑘 ′ (1) = 𝑓 ′ (1) − 2𝑓 ′ (2) = 5
(a)
𝑘 ′ (2) = 𝑓 ′ (2) − 2𝑓 ′ (4) = 7
Da cui
2𝑓 ′ (2) − 4𝑓 ′ (4) = 14
(b)
Sommando membro a membro le relazioni ( a ) e ( b) si ottiene :
𝑓 ′ (1) − 4𝑓 ′ (4) = 19 che è proprio il valore 𝑔′ (1) che viene richiesto.
Q 3.
Il procedimento più snello ed elegante per determinare tale retta è, a nostro avviso, il
seguente.
Prescindiamo dalle coordinate di A e B che consideriamo, per il momento, solo
come due punti generici di un piano α .
Sia n la perpendicolare per B al segmento AB; in tal caso la distanza di A da n è
AB. Sia t una qualsiasi altra retta per B, la distanza di t da A sia AH; allora nel
triangolo AHB l’angolo AHB è retto, AB l’ipotenusa e AH un cateto, per cui
AB > AH
Essendo t una retta qualsiasi se ne deduce che la retta per B che ha la massima
distanza da A è la retta per B perpendicolare al segmento AB; nel nostro caso
tenendo conto delle coordinate di A e di B essa ha equazione :
8x + 7y + 104 = 0
Naturalmente si può risolvere il quesito anche per via analitica ma tale procedimento
è più lungo e meno elegante. In questo caso i passi del procedimento sono i seguenti:
a) Si scrive l’equazione di una retta per B avente un generico coefficiente
angolare m.
b) Si calcola, in funzione di m, la distanza f (m) di tale retta da A
c) Si calcola il massimo di f (m)
Q 4.
Disegniamo la piramide da cui il tronco di cono è stato ottenuto.
Poniamo : ̅̅̅̅
𝐴𝐵 = 𝑎;
̅̅̅̅̅̅
𝐴′𝐵′ = 𝑏;
̅̅̅̅̅
𝐻𝐻′ = ℎ;
̅̅̅̅̅
𝑉𝐻′ = 𝑥
Il volume VT del tronco di piramide è uguale al volume della piramide di vertice V
e base il quadrato di lato a diminuito della piramide di vetrice V e base il quadrato
di lato b. Pertanto:
1
1
1
3
3
3
𝑉𝑇 = 𝑎2 (ℎ + 𝑥) − 𝑏 2 𝑥 = [𝑎2 ℎ + (𝑎2 − 𝑏 2 )𝑥]
(1)
D’altra parte, per un noto teorema, le aree delle basi delle due piramidi, che sono le
basi del tronco di piramide, stanno tra loro come i quadrati delle loro distanze dal
vertice V, e quindi :
𝑏2
𝑥2
𝑏
𝑥
=
𝑑𝑎
𝑐𝑢𝑖
=
→ 𝑏ℎ + 𝑏𝑥 = 𝑎𝑥
𝑎2 (ℎ + 𝑥)2
𝑎 𝑥+ℎ
Da qui si ottiene : 𝑥 =
𝑏
𝑎−𝑏
ℎ. Sostituendo tale valore nella (1) si ottiene:
1
𝑏
1
𝑉𝑇 = [𝑎2 ℎ + (𝑎2 − 𝑏 2 )
ℎ] = ℎ(𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑎𝑏)
3
𝑎−𝑏
3
Q 5.
Supponiamo che il corpo abbia la forma di un parallelepipedo di dimensioni a, b,e c.
Il suo volume è V = abc. Con l’aumento della temperatura, la dimensione a
assumerà il valore a1 = a + 0,38% a = 𝑎 + 0,0038𝑎 = 𝑎(1 + 0,0038) =
𝑎(1,0038)
Analogamente si avrà: b1 = b(1,0038)
e c1 = c(1,0038)
Il nuovo volume del corpo sarà : V1 = a1b1c1 = V(1,0038)3 = V(1,01144) =
= 𝑉 + 0,01144V = 𝑉 +
1,14
100
𝑉 = 𝑉 + 1,14%𝑉
Quindi: Accrescimento = V1 – V = 1,14% V ( circa)
Per ciò che riguarda l’aumento della superficie del corpo, per l’addidività della
percentuale, possiamo limitarci a fare i calcoli solo per la superficie di una faccia per
esempio quella di dimensioni a e b.
Si ha: S = ab e S1 = a1b1 = S(1,0038)2 = S(1,0076) = S + 0,0076S = S + 0,76%S
Per quanto visto la proposizione è vera.
Q 6.
a)
Numero
posizione occupata
7654321
5040a
posizione
7654312
5039a
posizione
7654231
5038a
posizione
7654213
5037a
posizione
7654132
5036a
posizione
b)
Con la cifra 1 al primo posto vi sono 720 numeri ,corrispondenti al numero delle
permutazioni delle altre sei cifre : 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 . Questi numeri occupano le
prime 720 posizioni
Parimenti vi sono 720 numeri con la cifra 2 al primo posto ; essi occupano le
successive 720 posizioni. 720 + 720 = 1140 e quindi nella posizione 1141 a vi sarà il
più piccolo numero che inizia con la cifra 3 e cioè: 3124567.
Q 7.
Il numero delle possibili coppie è dato da : (10
) mentre il numero delle coppie di
2
persone in cui nessuna ha gli occhi azzurri è: (42) . Pertanto la probabilità richiesta è
data da :
(42)
(10
2)
=
4! 8!2!
2!2! 10!
=
2
15
Q 8.
Il limite al primo membro è la derivata della funzione 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑥 calcolata nel
punto x = π; ora 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑒 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑑𝑖 𝑓 ′ (𝜋) = 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝜋 cosπ = e0(-1) = -1
Q 9.
Ricordiamo il seguente Teorema:
Se A è un insieme di potenza superiore al numerabile e B un suo sottoinsieme
numerabile allora l’insieme differenza A – B ha la stessa potenza di A.
Applichiamo tale teorema all’insieme R dei reali e al suo sottoinsieme Q dei
razionali.
R ha la potenza del continuo quindi superiore al numerabile
Q, sottoinsieme di R, è numerabile
Allora indicato con I l’insieme dei numeri irrazionali si ha I = R – Q e quindi I
ha la potenza di R che è superiore al numerabile che è la potenza di Q.
Pertanto esistono più numeri irrazionali che razionali.
Q 10.
L’equazione proposta è equivalente al seguente sistema :
{
𝑦 = 3𝑥 2 − 𝑥 3
𝑦=𝑘
Con facili calcoli si vede che la funzione 𝑦 = 3𝑥 2 − 𝑥 3 ammette un massimo di
coordinate M ( 2 ; 4 ) ed ha il seguente grafico:
Pertanto l’equazione ammette due soluzioni distinte appartenenti all’intervallo [0 ; 3]
per 0 ≤ k < 4 e la maggiore di esse è maggiore di 2.
Per k = 3 l’equazione diventa : x3 - 3x2 + 3 = 0; sia f (x) = x3 - 3x2 + 3 e sia α la
radice cercata; si ha 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 6𝑥 = 3𝑥(𝑥 − 2) > 0 𝑝𝑒𝑟 𝑥 > 2.
Quindi per x > 2 f( x) è crescente e poiché f (2)·f (3) < 0 nell’intervallo [2;3] c’è
una sola radice che calcoliamo col metodo di bisezione:
f(2) = - 1 < 0
f(3) = 3 > 0
f(2,5) = - 0,125 < 0
perciò
2<α<3
perciò
2,5 < α < 3
così continuando si perviene al valore : α = 2,53.