Risoluzione Questionario Q 1. ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = 2 ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 = 3 𝐴𝐵̂𝐶 = 𝛽 Dalla trigonometria sappiamo che : “ L’area di un triangolo è uguale al semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo da essi formato” Quindi deve aversi 1 2 ∙ 3𝑠𝑒𝑛𝛽 = 3 2 da cui facilmente si ricava : senβ = 1 e quindi 𝛽 = 𝜋 2 perciò il triangolo è rettangolo e i lati dati sono i cateti. Pertanto il terzo lato è l’ipotenusa che misura: √4 + 9 = √13 Q 2. Siano k(x) = f(x) – f(2x) e g(x) = f(x) – f(4x), Si ha 𝑘 ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) − 2𝑓 ′ (2𝑥) aversi: e 𝑔′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) − 4𝑓 ′ (4𝑥) e quindi deve 𝑘 ′ (1) = 𝑓 ′ (1) − 2𝑓 ′ (2) = 5 (a) 𝑘 ′ (2) = 𝑓 ′ (2) − 2𝑓 ′ (4) = 7 Da cui 2𝑓 ′ (2) − 4𝑓 ′ (4) = 14 (b) Sommando membro a membro le relazioni ( a ) e ( b) si ottiene : 𝑓 ′ (1) − 4𝑓 ′ (4) = 19 che è proprio il valore 𝑔′ (1) che viene richiesto. Q 3. Il procedimento più snello ed elegante per determinare tale retta è, a nostro avviso, il seguente. Prescindiamo dalle coordinate di A e B che consideriamo, per il momento, solo come due punti generici di un piano α . Sia n la perpendicolare per B al segmento AB; in tal caso la distanza di A da n è AB. Sia t una qualsiasi altra retta per B, la distanza di t da A sia AH; allora nel triangolo AHB l’angolo AHB è retto, AB l’ipotenusa e AH un cateto, per cui AB > AH Essendo t una retta qualsiasi se ne deduce che la retta per B che ha la massima distanza da A è la retta per B perpendicolare al segmento AB; nel nostro caso tenendo conto delle coordinate di A e di B essa ha equazione : 8x + 7y + 104 = 0 Naturalmente si può risolvere il quesito anche per via analitica ma tale procedimento è più lungo e meno elegante. In questo caso i passi del procedimento sono i seguenti: a) Si scrive l’equazione di una retta per B avente un generico coefficiente angolare m. b) Si calcola, in funzione di m, la distanza f (m) di tale retta da A c) Si calcola il massimo di f (m) Q 4. Disegniamo la piramide da cui il tronco di cono è stato ottenuto. Poniamo : ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = 𝑎; ̅̅̅̅̅̅ 𝐴′𝐵′ = 𝑏; ̅̅̅̅̅ 𝐻𝐻′ = ℎ; ̅̅̅̅̅ 𝑉𝐻′ = 𝑥 Il volume VT del tronco di piramide è uguale al volume della piramide di vertice V e base il quadrato di lato a diminuito della piramide di vetrice V e base il quadrato di lato b. Pertanto: 1 1 1 3 3 3 𝑉𝑇 = 𝑎2 (ℎ + 𝑥) − 𝑏 2 𝑥 = [𝑎2 ℎ + (𝑎2 − 𝑏 2 )𝑥] (1) D’altra parte, per un noto teorema, le aree delle basi delle due piramidi, che sono le basi del tronco di piramide, stanno tra loro come i quadrati delle loro distanze dal vertice V, e quindi : 𝑏2 𝑥2 𝑏 𝑥 = 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑖 = → 𝑏ℎ + 𝑏𝑥 = 𝑎𝑥 𝑎2 (ℎ + 𝑥)2 𝑎 𝑥+ℎ Da qui si ottiene : 𝑥 = 𝑏 𝑎−𝑏 ℎ. Sostituendo tale valore nella (1) si ottiene: 1 𝑏 1 𝑉𝑇 = [𝑎2 ℎ + (𝑎2 − 𝑏 2 ) ℎ] = ℎ(𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑎𝑏) 3 𝑎−𝑏 3 Q 5. Supponiamo che il corpo abbia la forma di un parallelepipedo di dimensioni a, b,e c. Il suo volume è V = abc. Con l’aumento della temperatura, la dimensione a assumerà il valore a1 = a + 0,38% a = 𝑎 + 0,0038𝑎 = 𝑎(1 + 0,0038) = 𝑎(1,0038) Analogamente si avrà: b1 = b(1,0038) e c1 = c(1,0038) Il nuovo volume del corpo sarà : V1 = a1b1c1 = V(1,0038)3 = V(1,01144) = = 𝑉 + 0,01144V = 𝑉 + 1,14 100 𝑉 = 𝑉 + 1,14%𝑉 Quindi: Accrescimento = V1 – V = 1,14% V ( circa) Per ciò che riguarda l’aumento della superficie del corpo, per l’addidività della percentuale, possiamo limitarci a fare i calcoli solo per la superficie di una faccia per esempio quella di dimensioni a e b. Si ha: S = ab e S1 = a1b1 = S(1,0038)2 = S(1,0076) = S + 0,0076S = S + 0,76%S Per quanto visto la proposizione è vera. Q 6. a) Numero posizione occupata 7654321 5040a posizione 7654312 5039a posizione 7654231 5038a posizione 7654213 5037a posizione 7654132 5036a posizione b) Con la cifra 1 al primo posto vi sono 720 numeri ,corrispondenti al numero delle permutazioni delle altre sei cifre : 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 . Questi numeri occupano le prime 720 posizioni Parimenti vi sono 720 numeri con la cifra 2 al primo posto ; essi occupano le successive 720 posizioni. 720 + 720 = 1140 e quindi nella posizione 1141 a vi sarà il più piccolo numero che inizia con la cifra 3 e cioè: 3124567. Q 7. Il numero delle possibili coppie è dato da : (10 ) mentre il numero delle coppie di 2 persone in cui nessuna ha gli occhi azzurri è: (42) . Pertanto la probabilità richiesta è data da : (42) (10 2) = 4! 8!2! 2!2! 10! = 2 15 Q 8. Il limite al primo membro è la derivata della funzione 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑥 calcolata nel punto x = π; ora 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑒 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑑𝑖 𝑓 ′ (𝜋) = 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝜋 cosπ = e0(-1) = -1 Q 9. Ricordiamo il seguente Teorema: Se A è un insieme di potenza superiore al numerabile e B un suo sottoinsieme numerabile allora l’insieme differenza A – B ha la stessa potenza di A. Applichiamo tale teorema all’insieme R dei reali e al suo sottoinsieme Q dei razionali. R ha la potenza del continuo quindi superiore al numerabile Q, sottoinsieme di R, è numerabile Allora indicato con I l’insieme dei numeri irrazionali si ha I = R – Q e quindi I ha la potenza di R che è superiore al numerabile che è la potenza di Q. Pertanto esistono più numeri irrazionali che razionali. Q 10. L’equazione proposta è equivalente al seguente sistema : { 𝑦 = 3𝑥 2 − 𝑥 3 𝑦=𝑘 Con facili calcoli si vede che la funzione 𝑦 = 3𝑥 2 − 𝑥 3 ammette un massimo di coordinate M ( 2 ; 4 ) ed ha il seguente grafico: Pertanto l’equazione ammette due soluzioni distinte appartenenti all’intervallo [0 ; 3] per 0 ≤ k < 4 e la maggiore di esse è maggiore di 2. Per k = 3 l’equazione diventa : x3 - 3x2 + 3 = 0; sia f (x) = x3 - 3x2 + 3 e sia α la radice cercata; si ha 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 6𝑥 = 3𝑥(𝑥 − 2) > 0 𝑝𝑒𝑟 𝑥 > 2. Quindi per x > 2 f( x) è crescente e poiché f (2)·f (3) < 0 nell’intervallo [2;3] c’è una sola radice che calcoliamo col metodo di bisezione: f(2) = - 1 < 0 f(3) = 3 > 0 f(2,5) = - 0,125 < 0 perciò 2<α<3 perciò 2,5 < α < 3 così continuando si perviene al valore : α = 2,53.