Lezione 11
Ideali degli anelli artiniani.
Sappiamo che ogni ideale massimale è primo, mentre non vale, in generale, il viceversa.
Si ha però la seguente
Proposizione 11.1 In un anello artiniano ogni ideale primo è massimale.
Dimostrazione: Sia A un anello artiniano non nullo, e sia P un suo ideale primo. Allora A / P è un
dominio d’integrità, artiniano in base alla Proposizione 10.16. Sia x ∈ A tale che x = x + P è non
nullo. Per la condizione della catena discendente, applicata alla catena
(x) ⊃ (x 2 ) ⊃ (x3) ⊃ ⊃ (x n ) ⊃ ,
di ideali di A / P , esiste un indice j tale che ( x j ) = ( x j +1 ) . Allora esiste y ∈ A tale che x j = x j +1 y ,
da cui 1 = x y . Quindi x è invertibile in A / P . Ciò prova che A / P è un campo.
Come immediata conseguenza della Proposizione 11.1 si ha
Corollario 11.2 Se A è un anello artiniano, allora nil( A) = J ( A).
Poiché in un dominio d’integrità l’ideale nullo è primo, si ha anche
Corollario 11.3 Ogni dominio d’integrità artiniano è un campo.
In particolare, ogni dominio d’integrità artiniano è locale. Questa affermazione si può generalizzare
nella maniera seguente.
Proposizione 11.4 Ogni anello artiniano è semilocale.
Dimostrazione: Sia A un anello artiniano. Sia S l’insieme di tutte le intersezioni di un numero finito
di ideali massimali di A; S è non vuoto, perché vi appartengono gli ideali massimali di A. Allora S
ammette un elemento minimale M 1 ∩ M 2 ∩ ∩ M r , ove Mi sono ideali massimali di A. Sia M un
ideale massimale di A. Allora M 1 ∩ M 2 ∩ ∩ M r ∩ M ⊂ M 1 ∩ M 2 ∩ ∩ M r , da cui, per
minimalità,
segue
che
M1 ∩ M 2 ∩ ∩ M r ∩ M = M1 ∩ M 2 ∩ ∩ M r ,
cioè
M 1 ∩ M 2 ∩ ∩ M r ⊂ M . In base alla Proposizione 2.30 (a), ciò implica che, per qualche indice i,
si ha M i ⊂ M , da cui, per la massimalità di Mi, M i = M . Segue che M 1 , M 2 , … , M r sono tutti gli
ideali massimali di A.
Nella Lezione 10 abbiamo visto che un modulo artiniano non è necessariamente noetheriano (vedi
Osservazione 10.15) e che un anello noetheriano non è necessariamente artiniano (vedi Esempio
10.19). Tuttavia:
Proposizione 11.5 Ogni anello artiniano è noetheriano.
Dimostrazione: Sia A un anello artiniano. In base alla Proposizione 11.4, A ha solo un numero finito
di ideali massimali, diciamo M 1 , M 2 , … , M r . Tali ideali sono a due a due coprimi. Quindi, in virtù
della Proposizione 1.12, si ha che I = M 1 M 2 M r = M 1 ∩ M 2 ∩ ∩ M r . Per la condizione della
catena discendente, la catena
I ⊃ I2 ⊃⊃ In ⊃⊃
è stazionaria. Sia j tale che I j = I
j +1
. Sia
J = 0: I j
(1)
Allora
J : I = (0 : I j ) : I = 0 : I j +1 = J
(2)
Proviamo che J = A. Supponiamo per assurdo che J ≠ A. Allora l’insieme S degli ideali che
contengono strettamente J è non vuoto, e quindi ammette un elemento minimale J ' . Sia x ∈ J '\J .
Per la minimalità di J ' , si ha che J + ( x ) = J ' . D’altra parte J ' / J non è il modulo nullo, e non
avendo sottomoduli propri non nulli, è finitamente generato.
Poiché I è contenuto in ogni ideale massimale di A, per il Lemma di Nakayama (Teorema 5.2),
segue che J ' / J ≠ I ( J ' / J ) = IJ '+ J / J , ossia IJ '+ J ⊂ J ' è un’inclusione stretta; ma si anche che
J ⊂ IJ '+ J = IJ + Ix + J = Ix + J ; per la minimalità di J ' si deduce che Ix + J = J , ossia, in base
all'Esercizio 1.31, Ix ⊂ J . Dunque, in base alla (2), x ∈ J : I = J , assurdo. Abbiamo così provato
che J = A. Da (1) segue allora che I j = (0) . Abbiamo la seguente catena discendente di ideali:
A ⊃ M 1 ⊃ M 1 M 2 ⊃ ⊃ M 1 M 2 M r −1 ⊃ M 1 M 2 M r = I ⊃ IM 1 ⊃ IM 1 M 2 ⊃ ⊃ IM 1 M 2 M r = I 2 ⊃ I 2 M 1 ⊃ ⊃ I 3 ⊃ ⊃ I j = (0).
(*)
Detto L un qualunque ideale di questa catena, l’ideale successivo è del tipo LM i ; si ha che L / LM i
è un sottomodulo di A / LM i , quindi è un A-modulo artiniano. Inoltre è uno spazio vettoriale sul
campo A / M i , ed i suoi sotto-A-moduli coincidono con i suoi sotto- A / M i -spazi. Dunque L / LM i ,
come spazio vettoriale su A / M i , è artiniano, per cui è anche noetheriano. Segue che L / LM i è
noetheriano come A-modulo. Se LM i è noetheriano, in virtù della Proposizione 10.4, segue che L è
noetheriano. Poichè l’ultimo ideale della catena è (0) (e quindi è banalmente noetheriano), per
induzione finita, risalendo la catena si arriva a concludere che A è noetheriano.
Osservazione 11.6 Dalla dimostrazione della Proposizione 11.5 è emerso che, in un anello
artiniano, una potenza del prodotto I di tutti gli ideali massimali è l’ideale nullo. Viceversa se si
verifica quest’ultima condizione, e l’anello è noetheriano e semilocale, allora, dal fatto che nella (*)
i quozienti di due moduli consecutivi sono artiniani e (0) è artiniano si deduce, risalendo la catena,
che A è artiniano.
Ora, due ideali massimali distinti sono sempre coprimi. Dunque, in virtù della Proposizione 1.12, il
prodotto di ideali massimali distinti coincide con la loro intersezione. In conclusione:
Corollario 11.7 Se l’anello A è artiniano, allora il suo radicale di Jacobson è nilpotente. Se A è
noetheriano e semilocale, vale anche il viceversa.
Osservazione 11.8 Si noti che la prima affermazione del Corollario 11.7 segue anche dal Corollario
11.2 e dalla Proposizione 11.5, alla luce dell’Esercizio 1.33 (applicato per I = (0). )
Corollario 11.9 Un anello locale artiniano ridotto è un campo.
Dimostrazione: In un anello locale l’unico ideale massimale coincide con il radicale di Jacobson. Se
l’anello è artiniano, questo è il nilradicale. Se l’anello è ridotto, quest’ultimo è nullo. Dunque
l’ideale nullo è un ideale massimale. Segue che è l’unico ideale proprio, cioè l’anello è un campo.
Gli anelli artiniani possono essere facilmente classificati.
Teorema 11.10 (Teorema di struttura per gli anelli artiniani) Ogni anello artiniano è isomorfo alla
somma diretta di un numero finito di anelli artiniani locali.
Dimostrazione: Sia A un anello artiniano. Allora A è semilocale in virtù della Proposizione 11.4.
Siano I1 ,..., I r gli ideali massimali di A. In base a quanto stabilito nell’Osservazione 11.6, esiste un
intero positivo s tale che ( I1 I r ) s = I1s I r s = (0) . In virtù dell'Esercizio 1.32, gli ideali I i s sono
a due a due coprimi. Dalla Proposizione 1.14 segue allora che l’omomorfismo di anelli
r
α : A → ⊕ A / Ii s
i =1
a ( a + I i s ) i =1,...,r
r
r
è suriettivo. Inoltre Kerα = ∩ I i s = ∏ I i s = (0) , per cui α è un isomorfismo. Poiché Ii è l’unico
i =1
i =1
s
ideale massimale contenente I i , dal teorema di corrispondenza per gli anelli segue che l’anello
A / I i s è locale con ideale massimale I i / I i s , ed è, inoltre, artiniano per la Proposizione 10.16. Ciò
conclude la dimostrazione.
A fronte della Proposizione 11.5 è naturale chiedersi sotto quali ipotesi un modulo artiniano sia
noetheriano. Ci occuperemo di questa domanda nel prossimo capitolo.
