Prova scritta del 23 giugno 2015

A.A. 2014-15
Fisica Generale
23-06-15
ESERCIZIO 1
Una particella si muove su una retta orizzontale x con accelerazione uguale a(t) = 18 t 8 (in SI). Sapendo
che all'istante iniziale t0 = 0 la sua posizione è x(t0) = 50 cm e la sua velocità è v(t0) = 2 m s1, calcolare:
a) la velocità all'istante t1= 2 s;
b) la posizione della particella allo stesso istante t1;
c) se all’istante t1 l’accelerazione data diventa istantaneamente nulla, e allo stesso tempo la particella
inizia a salire su un piano inclinato di angolo  = 30°, la distanza che percorrerà prima di arrestarsi.
Soluzione
a) Dalla definizione di accelerazione a = dv/dt si ottiene v(t) = v0 + a(t)dt = v0+1/2 18t28t= v0 + 9t28t.
Per t=2s, questo fornisce v(t=2)=22 m s1;
b) Allo stesso istante la posizione si calcola integrando l’espressione della velocità:
x(t)=x0+ v0t1/2 8t2+1/3 9t3= x0+ v0t4t2+3t3, che allo stesso istante vale x(t=2s)=12.5m.
c) se all’istante t1 l’accelerazione data diventa istantaneamente nulla, e allo stesso tempo la particella
inizia a salire su un piano inclinato di angolo =30°, l’accelerazione diventa: a1 = g sin;
(componente della accelerazione di gravità lungo un asse diretto lungo il piano inclinato, verso l’alto),
si ottiene:
49.4
ESERCIZIO 2
Due elementi materiali, A e B, di massa
rispettivamente mA = 1.2 kge mB = 2 mA, sono posti su
di un piano orizzontale e inizialmente entrambi a
riposo. Il primo,è appoggiato ad una molla ideale di costante elastica k = 400 N/m, parallela al piano,
vincolata ad un estremo e compressa di ∆x1 = 0.15 m,mentre il secondo è separato dal primo da una certa
distanza. Il piano che separa i due elementi materiali è liscio, ad eccezione di un tratto scabro di
lunghezza l e coefficiente di attrito dinamico tra corpo e piano μd= 0.08. Ad un certo istante la molla
viene sbloccata e l’elemento A inizia a muoversi sul piano verso B. L’intervallo di tempo impiegato dal
corpo ad attraversare il tratto scabro è pari a ∆t = 0.5 s. Dopo aver superato questo tratto scabro, quindi
nuovamente sul piano liscio, l’elemento A urta in modo completamente anelastico l’elemento B. I due
corpi uniti, infine, vanno a comprimere un’altra molla identica alla precedente, parallela al piano e
vincolata all’estremo opposto rispetto ai corpi. Determinare:
a) la lunghezza l del tratto scabro di piano;
b) la compressione ∆x2 della seconda molla.
Soluzione
a) La velocità iniziale dell’elemento A si calcola tramite la conservazione dell’energia:
½ k∆x12=½ mAv0A2, da cui: v0A= ∆x1(k/mA)1/2 = 2.74 ms1; quando A attraversa il tratto scabro, subisce
una accelerazione a=d g data dalla forza di attrito. Dall’equazione del moto si ha:
l = v0A∆t ½ d g∆t2= 1.27 m.
b) La velocità di A dopo il tratto scabro è: vA = v0Ad g∆t= 2.35 ms1. La conservazione della quantità di
moto fornisce: mAvA= (mA+mB) vf da cui vf = vA mA/(mA+mB)= vA mA/3mA=vA/3= 0.78ms1. Con la
conservazione dell’energia: ½ (mA+mB)vf2=½ k∆x22 da cui ∆x2 = vf [(mA+mB)/kA]1/2=7.4 cm.
ESERCIZIO 3
Il cilindro omogeneo di massa M e raggio R (vd. figura), può ruotare senza attrito
attorno al suo asse. Una corda inestensibile di massa e spessore trascurabili è avvolta
attorno al cilindro, e al suo estremo libero sono appesi due corpi di ugual massa m
uniti da una seconda fune ideale. Si lasciano i due corpi liberi di cadere. Supponendo
perfetta aderenza tra corda e cilindro,calcolare:
a) il modulo dell'accelerazione angolare del cilindro;
b) il modulo della tensione della fune che unisce i due corpi.
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Fisica Generale
23-06-15
Soluzione
a) Il sistema è mobile attorno all'asse fisso x; le forze esterne agenti sul sistema sono il peso del cilindro
e la reazione vincolare, che hanno momento nullo rispetto all’asse x, e le forze peso dei due corpi appesi
alla fune. La proiezione sull’asse di rotazione della II equazione cardinale della meccanica: è:
2
2
2
, dove
1⁄2
. La derivazione fornisce:
.
Sostituendo l’espressione della accelerazione e il momento d’inerzia, si ottiene:
2
2
. Risolvendo per
, si ottiene:
b) L'equazione fondamentale della dinamica,
proiettata nella direzione del moto,
4
4
4
⁄
.
scritta per il corpo a quota inferiore e
, consente di ricavare il modulo T richiesto.
ESERCIZIO 4
Un cilindro di raggio r = 18 cm, con pareti termicamente conduttrici, contiene n= 5 moli di gas perfetto
monoatomico, a temperatura T0= 283 K. La pressione esterna é p0= 1.01⋅105Pa. Il cilindro,chiuso
superiormente da un pistone ideale (massa trascurabile e senza attrito), viene posto a contatto con una
sorgente a temperatura T1= 335K, di modo che il gas assorbe un calore Q= 2800J. Calcolare:
a) la temperatura finale del gas Tf;
b) nel caso in cui vi sia, la variazione di altezza del pistone rispetto al fondo del cilindro;
c) la variazione di entropia dell’universo ∆SU.
Soluzione
a) La trasformazione è isobara; il calore scambiato è quindi dato da Q = ncp (Tf – T0), con cp = 5/2 R,da
cui si ottiene immediatamente Tf = T0 + Q/(n cp) = 309.9 K;
b) La variazione di temperatura è T = Q/(n cp) = 2/5 Q/(n R) = 26.9 K. La variazione di volume del gas
è V =VfV0=nRT f/pfnRT 0 /p0= nRT f/p0nRT 0 /p0 =(nR/p0)(TfT0) = 2/5 (Q/p0) = 0.011 m3. La
sezione del cilindro è  = r2 = 0.1 m2; la variazione di altezza è quindi h = V/ = 11 cm.
c) La variazione di entropia dell’universo è: SU = Sgas+Ssorg= n cp ln Tf/T0+ (Q)/T1= 1.08 J/K.
ESERCIZIO 5
Nella figura è illustrata la disposizione di tre cariche, con a = 5 cm e q = 8·106 C.
Calcolare:
a) l’intensità del campo elettrico nel punto P;
b) la sua direzione e verso nello stesso punto;
c) il valore del potenziale elettrico
Soluzione
a) I campi elettrici generati dalle 2 cariche +q disposte sulla retta passante per P sono uguali in modulo e
direzione, opposti in verso, per cui si elidono. Resta il campo generato dalla carica +2q, a una distanza
dal punto P data da d=a/√2=3.5 cm; il suo valore è E=1/(40)2q/d2=1/(40) 4q/a2=1.15·108 V m1
b) Per le stesse ragioni esposte al punto a), la sua direzione è lungo la congiungente la carica +2q col
punto P, e il verso va dalla carica verso P.
c) Il potenziale nel punto P vale V(P)= 1/(40) (2q/d + q/d + q/d)= 1/(0) (q/d)=8.1·106 V
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Fisica Generale
23-06-15
ESERCIZIO 6
Sono date due spire circolare coassiali, di raggi rispettivamente R ed r (vd. figura).
La spira più piccola è posta al di sopra della spira più grande a una distanza x » R.
In queste condizioni il campo magnetico generato dalla corrente i che scorre nella
spira più grande si può considerare uniforme sulla superficie della spira piccola.
Supponendo che la distanza x tra le spire aumenti linearmente con velocità
dx/dt = v costante, calcolare:
a) il flusso del campo magnetico attraverso la spira piccola in funzione di x;
b) la f.e.m. generata nella spira piccola;
c) e determinare il verso della corrente indotta nella spira piccola.
Soluzione
a) Il campo magnetico generato da una spira circolare, sull’asse, ad una distanza molto maggiore del
raggio della spira R è dato dall'espressione B(x) = 0 iR2/2x3. La superficie della spira piccola è
 = r2. Il flusso è pertanto (B,x) = B = 0ir2R2/2x3.
b) La f.e.m. indotta è
=d/dt =d/dt[0ir2R2/2x3]=(0ir2R2)/2 d/dt[x3]=0ir2R2/2(/x4) dx/dt=+(30ir2R2v)/(2x4)
c) Il flusso tende a diminuire in quanto varia come 1/x. Per compensare tale diminuzione, la corrente
indotta nella spira piccola deve generare un campo che si sommi al campo generato dalla corrente
nella spira grande, quindi il verso di percorrenza della corrente indotta deve essere antiorario.
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