Modello di un Motore DC
Modello Motore DC (2010)
1
Modello Motore DC (2010)
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Leggi Fisiche che agiscono in un Motore
Elemento infinitesimo (carica)
Conduttore (elem. finito)
Spira (set conduttori)
Motore (set conduttori/spire)
Lorentz
Faraday - Henry
r
r r
F = qv × B
dΦ m
dt
E=lvB
E = −ω h l B cos θ
N Φm
E=
ωm = K e ωm
2π
F=IlB
τ = I h l B cos θ
N Φm
τm =
I = Kt I
2π
E=−
Modello Elettrico
dI
⎧
⎪V = RI + L dt + E Modello din. elettrico
⎨
⎪E = K eω m
Relazione meccanico - elettrica
⎩
Modello Motore DC (2010)
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Modello Meccanico
Modello semplificato Motore-Giunto rigido senza attriti:
f
ωm
τm
v
R
ωl
v
r
τl
f
Rel. Cinematica (sempre valida):
v = ωm r = ωl R
Si definisce il rapporto di trasmissione:
n ≡ |ωm| / |ωl| = R / r
ωl = 1/n ωm
(con i versi in figura)
Ne segue:
Δθl = 1/n Δθm
τl = n τm
(solo a regime)
La potenza in ingresso ed in uscita si conservano (idealmente):
Se intervengono delle perdite (per attrito):
P m = η Pl
Pm ≡ τm ωm = τl ωl ≡ Pl
dove η è il rendimento
Durante il transitorio (valori positivi secondo i versi in figura):
⎧ dω m
⎪J m dt = τ m − r f
⎪ dθ
⎪ m = ωm
⎪ dt
⎪n = R
⎪
r
⎨
1
⎪ω l = ωm
n
⎪
dω
⎪J
l
⎪ l dt = R f − τ l
⎪ dθ
⎪ l = ωl
⎩ dt
Eq. dinamica Motore
Rel. costitutiva
Eq. cinematica
Eq. dinamica Giunto
Modello Motore DC (2010)
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Sostituendo:
⎧⎛
J l ⎞ dω m
τl
⎪⎜ J m + n 2 ⎟ dt = τ m − n
⎠
⎪⎝
dθ
⎪ m =ω
m
⎪ dt
⎨
⎪n = R
r
⎪
⎪
1
⎪ω l = ω m
n
⎩
Eq. dinamica Motore
Rel. costitutiva
Eq. cinematica
Introducendo anche l’attrito viscoso (Dm e Dl proporzionali alla velocità) sul motore e sul giunto, e
l’attrito coulombiano τC, si ottiene:
⎧⎛
J l ⎞ dωm ⎛
Dl
⎪⎜ J m + n 2 ⎟ dt + ⎜ D m + n
⎝
⎠
⎪⎝
dθ
⎪ m =ω
m
⎪ dt
⎨
⎪n = R
r
⎪
⎪
1
⎪ω l = ωm
n
⎩
τ
⎞
⎟ω m = τ m − l − τ C
n
⎠
τl
⎧ dωm
⎪J dt + D ω m = τ m − n − τ C
⎪ dθ
⎪ m = ωm
⎪ dt
⎨
R
⎪n =
r
⎪
⎪ω = 1 ω
⎪⎩ l n m
Eq. dinamica Motore
Rel. costitutiva
Eq. cinematica
Eq. dinamica Motore
Rel. costitutiva
Eq. cinematica
Modello Motore DC (2010)
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Modello Meccanico-Elettrico di Motore + Trasmissione + Giunto con attriti
dI
⎧
⎪V = RI + L dt + E
⎪
⎪E = K e ω m
⎪
⎪τ = K I
t
⎪ m
⎪ dω m
τ
+ D ωm = τ m − l − τ C
⎨J
n
⎪ dt
⎪ dθ m = ω
m
⎪ dt
⎪
R
⎪n =
r
⎪
⎪ωl = 1 ω m
n
⎩
Mod. din. elettrico Motore
Rel. meccanico - elettrica
Rel. elettro - meccanica
Mod. din. meccanico Motore + Trasm. + Giunto
(1)
Rel. costitutiva Trasmissione
Eq. cinematica Motore/Giunto
È un modello dinamico del III ordine nelle variabili di stato (I, ωm, θm).
Sostituendo, si riconduce a 3 equazioni dinamiche + 1 equazione cinematica:
⎧ dI
⎪L dt + RI = −K e ωm + V
⎪ dω
τ
⎪J m + D ω m = K t I − l − τ C
⎪ dt
n
⎨ dθ
m
⎪
= ωm
⎪ dt
1
⎪
⎪⎩θ l = n θ m
Mod. din. elettrico Motore
Mod. din. meccanico Motore + Trasm. + Giunto
(2)
Eq. cinematica Motore/Giunto
In formato matriciale:
1
⎧ &I
⎡− R L − K e L 0⎤ I
0
L
⎪
⎢
⎥
Kt
τ
&m = ⎢ J
− D J 0⎥ ⋅ ωm + 0 ⋅ V + − l nJ − τc J
⎪ω
⎪ θ&
1
0⎥⎦ θ m
0
0
⎪ m ⎢⎣ 0
⎨
I
⎪
⎪ θ l = [0 0 1 n ]⋅ ωm
⎪
θm
⎪⎩
(3)
Applicando la Trasformata di Laplace:
⎧
⎪sLI + RI = −K eωm + V
⎪
τ
⎪sJωm + Dωm = K t I − l − τC
⎪
n
⎨
⎪sθ m = ωm
⎪
⎪θ = − 1 θ
m
⎪⎩ l
n
Mod. din. elettrico Motore
Mod. din. meccanico Motore + Trasm. + Giunto
Eq. cinematica Motore/Giunto
Modello Motore DC (2010)
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⎧
⎪(1 + sL/R)R I = − K e ω m + V
⎪
τ
⎪⎪(1 + sJ/D)D ω m = K t I − l − τ C
n
⎨
⎪θ m = 1 ω m
s
⎪
1
⎪θ = − θ
m
⎪⎩ l
n
Mod. din. elettrico Motore
Mod. din. meccanico Motore + Trasm. + Giunto
Eq. cinematica Motore/Giunto
Schema a blocchi:
Modello Motore DC (2010)
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Legenda (grandezze e simboli SI):
V
I
R
L
E
Ke
Kt
τm
Jm
Dm
θm
ωm
Jl
Dl
θl
ωl
n
τl
τC
[V]
[A]
[Ω]
[H]
[V]
[V / rad/s]
[N m / A]
[N m]
[Kgm m2]
[Kgm m2/s]
[rad]
[rad/s]
[Kgm m2]
[Kgm m2/s]
[rad]
[rad/s]
adimens.
[N m]
[N m]
tensione d’armatura applicata al motore
corrente d’armatura
resistenza elettrica degli avvolgimenti
induttanza degli avvolgimenti
forza controelettromotrice indotta
costante di forza controelettromotrice
costante di coppia
coppia motrice generata dal motore
momento di inerzia del rotore rispetto al suo asse di rotazione
coefficiente d’attrito viscoso sul rotore
angolo di rotazione del rotore
velocità angolare del motore
momento di inerzia del giunto + carico rispetto all’asse di rotazione del giunto
coefficiente d’attrito viscoso sul giunto
angolo di rotazione del giunto
velocità angolare del giunto
rapporto di trasmissione
coppia resistente dovuta al carico (disturbo)
coppia resistente dovuta all’attrito coulombiano (disturbo)
Modello Motore DC (2010)
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