Esercitazione_03_Risposte

Domande
1. La domanda e l’offerta del bene 1 sono date rispettivamente da:
DD
SS
10 0,2 2
2
5 0,5
a) Calcolare la quantità e il prezzo di equilibrio sapendo che il reddito a disposizione del
consumatore è pari 100 e che il prezzo del bene 2 è pari a10
b) I due beni sono sostituti o complementari?
2. Supponiamo che un consumatore consuma due beni, bene X e bene Y. Il prezzo del bene
X è pari 4 euro e quello de bene Y a 7 euro. Inoltre le preferenze del consumatore sono
rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U(X,Y)=X0,3Y0,7.
a) Rappresentare graficamente il vincolo di bilancio, indicando le intercette e l’inclinazione
sapendo che il reddito è di 280 euro.
b) Determinare la quantità dei beni (paniere) che il consumatore ritiene ottima sapendo che
le utilità marginali rispetto a X e Y sono
0,3 , , e
, 0,7 ,,
rispettivamente.
3. Supponete che la funzione di utilità di un consumatore sia U = X2 + XY, che il suo reddito
sia M = 24 e che i prezzi dei beni siano PX = 3 e PY = 0.5.
Determinare la quantità dei beni (paniere) che il consumatore ritiene ottimale. Inoltre le
utilità marginali rispetto a X e Y sono rispettivamente 2X+Y e X.
4. Supporre che un consumatore debba allocare il suo reddito nell’acquisto di due beni, X e Y.
La funzione di utilità di questo consumatore è pari a U = XY (quindi, l’utilità marginale
rispetto a X è U’X = Y, mentre quella rispetto a Y è U’Y = X). I prezzi dei beni sono PX = 3
e PY = 1, mentre il suo reddito è R = 360. Le utilità marginali rispetto a X e a Y sono Y e X
rispettivamente.
a) Qual è il paniere ottimo (X*, Y*) che il consumatore decide di acquistare?
b) Se a questo consumatore venisse offerto, in una promozione commerciale, il paniere X =
100 e Y = 100 con una spesa complessiva di 360 euro, il consumatore lo preferirebbe
rispetto al paniere trovato al punto (a)?
c) Supporre ora che, rispetto alla situazione iniziale, l’inclinazione del vincolo di bilancio
(rappresentato sul piano (X,Y)) si riduca della metà, ma il prezzo del bene Y rimanga
inalterato. Qual è ora il paniere ottimo?
5. Supponete che un’azienda che produce sedie stia operando, nel breve periodo, con
attrezzature fisse. L’azienda sa che quando il numero di lavoratori passa da 1 a 7, il
numero delle sedie prodotte varia nel modo seguente: 10, 17, 22, 25, 26, 25, 23.
a) Calcolate il prodotto medio e marginale del lavoro per questa funzione di produzione.
b) Questa funzione di produzione ha rendimenti crescenti o decrescenti di scala?
6. Riempire la seguente tabella:
7. Se, per ogni determinato livello di occupazione, il prodotto marginale del lavoro è maggiore
del prodotto medio del lavoro, il prodotto medio è crescente o decrescente?
8. Supponete che un’impresa possa vendere qualsiasi quantità desideri a 13 euro e che abbia
i seguenti costi (CT) per vari livelli di produzione (Q):
a) Tracciare le curve del ricavo marginale e del costo marginale.
b) Quale quantità deciderà di produrre?
9. Un’impresa ha le seguenti funzioni di costo:
Costo totale:
Costo marginale:
CT = 100 + q^2
CM = 2q
a) Calcolare il livello di produzione quando il prezzo di mercato è uguale a 80.
b) Calcolare il profitto dell’impresa.
Nota:
Per la soluzione di alcuni degli esercizi sarebbe utile ricordare le proprietà delle potenze. In
particolare:
Risposte
1.
Osservazione: prima di procedere alla soluzione dell’esercizio notate che la domanda del
bene 1 dipende dal prezzo di un altro bene (bene 2 con prezzo ).
a) Questo esercizio è simile all’esercizio n. 8 dell’esercitazione 2. Per risolvere il punto
a) si parte della definizione di equilibrio del mercato. Sappiamo che in equilibrio la
quantità domandata del bene è uguale alla quantità offerta e che il prezzo offerto
dal consumatore corrisponde al prezzo richiesto dal produttore. Di conseguenza i
valori di equilibrio verificano contemporaneamente le equazioni della domanda e
dell’offerta, possiamo affrontare il problema della determinazione del prezzo e della
quantità di equilibrio ricercando la soluzione di un sistema a due equazioni in due
incognite.
10 0,2 2
2
5 0,5
Ora sostituiamo i valori del reddito e del prezzo del bene 2 nella prima equazione:
10 0,2 100 2
2 10
5 0,5
Facendo la moltiplicazione otteniamo:
10 20 2
20
5 0,5
50 2
5 0,5
Ora poniamo la prima equazione uguale alla seconda perché in equilibrio la quantità
domandata è uguale alla quantità offerta:
50 2
50 2
5 0,5
Risolvendo la seconda equazione si ottiene il prezzo di equilibrio:
50 2
55 2,5
50 2
22
La quantità si trova sostituendo nella funzione di domanda o di offerta (è
indifferente). In questo caso 6.
b) La domanda del bene 1 dipende positivamente dal prezzo del bene 2. Ciò implica
che i due beni sono sostituti.
2.
a) Sappiamo che la retta del vincolo di bilancio è:
e che le intercette sono date da:
! e !
"
#
Sostituendo i valori del reddito e dei prezzi si ottiene che x = 70 e y = 40.
Sappiamo anche che l’inclinazione del vincolo del bilancio è pari al prezzo relativo ovvero a
!
$
- !# = -.
"
La rappresentazione grafica è la seguente:
40
70
b) Il paniere ottimale si trova nel punto in cui il vincolo di bilancio è tangente alla curva di
indifferenza. Matematicamente il problema si risolve nel modo seguente: si massimizza
l’utilità rispettando il vincolo di bilancio ovvero
max U(x,y)
s.t. Abbiamo già visto che per una funzione non lineare la pendenza non è costante, ma va
calcolata in ogni punto. La pendenza di una curva in un determinato punto è la
pendenza della tangente che passa per quel punto. E’ la derivata prima.
Nel caso di una funzione non lineare come quella dell’utilità %&% %&% ("
.
(#
Inoltre
)"
.
)#
La soluzione del problema è data dal seguente sistema con due equazioni e due
incognite:
%&% )"
.
)#
Prima di andare aventi calcoliamo il SMS...
0,3 , ,
0,3 *,*,+ *,*,+
0,3 0,3
,
,
0,7
0,7
0,7
0,7
...e lo sotituiamo nella prima equazione insieme alle altre variabili i cui valori
conosciamo.
%&% ,
, $
280 4 7
,
,
$
280 4 7
21 28
280 4 7
.
280 4 7
.
280 4 7
28
21
.
5880 84 196
.
5880 280
Quindi la quantità ottimale di è 21. Sostituendo il valore di X in .
si ottiene
anche la quantità ottima di Y, 28. Questo è il paniere ottimale che il consumatore
sceglie.
3.
%&% )"
.
)#
(
)
Ricordando che SMS = ∆Y/∆X = −(" = − (2X+Y)/X e dato che −)" . = −3/0.5 = -6,
#
allora
#
Dalla prima si ricava che Y = 4X, quindi si sostituisce nella seconda 24 = 3X + 0,5(4X). Risolvendo
si ricaverà Y* = 19,2 e X* = 4,8.
4.
a. Il procedimento per trovare il paniere ottimale è uguale ai due esercizi preceenti.
Dovremo, cioè, uguagliare saggio marginale di sostituzione a rapporto tra i prezzi,
tenendo in considerazione il vincolo di bilancio:
%&% )"
.
)#
)
dove SMS = − Y / X e – )" = − 3. Quindi, il sistema è:
#
Dalla prima relazione si può ricavare che Y = 3X. Sostituendola nella seconda si ha che
360 = 3X + 3X = 6X → X* = 360/6 = 60. Di conseguenza Y* = 3×60 = 180. Il paniere che il
consumatore decide di acquistare sarà allora (X*, Y*) = (60, 180).
b.
Qui l’idea è che al consumatore viene offerta la possibilità di acquistare a fronte di
una spesa totale di 360 euro un paniere di 100 unità di X e 100 di Y, a prescindere
dai prezzi (si pensi ad una vendita abbinata promozionale). In questo caso, dato
che il consumatore spende sia per (100, 100) che per (60, 180) un totale di 360, si
dovrà andare a vedere qual è il paniere che fornisce una maggiore utilità al
consumatore. Allora, dato che U(X,Y) = X×Y, si deve confrontare U(100,100) =
100×100 = 10000 e U(60,180) = 60×180 = 10800. Il consumatore deciderà di
consumare il paniere (60,180).
c. Questo punto si risolve esattamente come il punto a), solo che, in questo caso –
PX/PY = 1.5, dato che si è detto che la pendenza della retta di bilancio si è
dimezzata, a parità di prezzo del bene Y.
5.
a. Il prodotto medio del lavoro, è pari a Q/L. Il prodotto marginale del lavoro è pari a
∆Q/∆L. Quindi:
b. Questo processo di produzione è caratterizzato da rendimenti decrescenti del
lavoro,il che è comune a tutte le funzioni di produzione con un fattore fisso. Ogni
unità aggiuntiva di lavoro genera un aumento di prodotto inferiore all’ultima unità di
lavoro impiegata.
6. Indicando con “L” l’input variabile, ricordarsi che il prodotto marginale è ∆Q/∆L, mentre il
prodotto medio è Q/L. La tabella si ricava usando le informazioni a disposizione. Ad
esemipio, il prodotto totale relativo a 2 lavoratori, si ottiene da Q/2 = 200 → Q = 400, di
conseguenza il prodotto marginale sarà 400 − 150 = 250.
7. Se il prodotto marginale del lavoro è maggiore del prodotto medio del lavoro, allora ogni
unità aggiuntiva di lavoro è più produttiva della media di tutte le unità precedentemente
impiegate. Aggiungendo l’ultima unità, la media di tutte le unità aumenta. Il prodotto medio
è massimo quando la produttività dell’ultima unità impiegata è pari alla media di tutte le
unità precedenti.
8.
a.
Dire che la società può vendere qualsiasi quantità voglia (ignorando vincoli interni)
significa che si trova davanti ad una curva di domanda perfettamente elastica, cioè
orizzontale al piano delle ascisse nel piano (P,Q). Il costo marginale si ricava dalla
relazione ∆C/∆Q. Si avrà, quindi:
E, graficamente, avremo:
b. La condizione di ottimo è COSTO MARGINALE = RICAVO MARGINALE. Nel
caso in questione, dato che stiamo considerando quantità discrete, possiamo usare
un’approssimazione (numerica). Avremo quindi che la quantità che l’impresa decide
di produrre è Q = 7. (Riflettere: Perché non Q = 8 visto che comunque la differenza
in valore assocuto tra costo e ricavo marginale è sempre 1?).
9.
a. La condizione sotto la quale il profitto è massimo è la stessa dell’esercizio
precedente ovvero COSTO MARGINALE = RICAVO MARGINALE.
Il ricamo marginale è & ∆ 2
∆3
∆*)3+
∆3
)∆3
∆3
4.
Quindi la condizione di massimo profitto diventa P=CMg. Sostituendo i numeri nell’ultima
formula si ottiene 80 = 2q e si ricava q = 40.
b. Il profitto dell’impresa è dato da RT - CT.
Il RT = p*q, quindi RT = 80*40 = 3200.
Il CT = 100 + 40^2 = 1700 (abbiamo sostituito q nella funzione del CT).
Il profitto è RT – CT = 3200 – 1700 = 1500.
Volendo si può calcolare anche il CMg = CT/Q = 1700/40 = 42,5.