Esercizi su Chebyshev
1. Un ricercatore vuole stimare la media di una popolazione usando un campione grande
abbastanza da avere una probabilità del 95% che la media campionaria non differirà dalla media
della popolazione di più del 25% della deviazione standard. Quale dovrebbe essere l'ampiezza
del campione?
2. Dimostrare tramite la disuguaglianza di Jensen che la varianza è sempre positiva
3. Con quale probabilità una variabile aleatoria assume valori che si scostano dalla media per
meno di 2 volte la deviazione standard?
4. Si consideri una variabile aleatoria normale di media 1/2 e varianza 1/9. Si determini il limite
inferiore della probabilità che X si discosti dalla media per non più di 0.4. Si paragoni il limite
inferiore con il valore effettivo di tale probabilità.
Si consideri poi una variabile aleatoria Y di cui si sa solo avere la stessa media e la stessa
varianza di X. Si determini il limite inferiore della probabilità che Y non si discosti dal valore ½
per più di 1.2 .
5. Il diametro dei tubi prodotti da una fabbrica è una variabile aleatoria di media 50 mm e varianza
ignota. Se il diametro supera i 60 mm il tubo è da scartare. Qual è la probabilità che ciò
avvenga?
Il tubo è da scartare anche se il suo diametro è inferiore a 40 mm. Qual è la probabilità che il
tubo non sia da scartare, nelle ipotesi che si conosca la varianza pari a 25 mm2?
6. Il peso X del contenuto di certe confezioni alimentari prodotte in modo automatico è una
variabile aleatoria normale con media μ=250g e deviazione standard σ=3g. Utilizzando le
tavole: (a) calcolare la probabilità che una confezione pesi meno di 245g, pesi più di 250g,
abbia un peso tra 247g e 253g; (b) si determini il più piccolo numero k tale che P(μ − kσ < X <
μ + kσ) ≥ 0.99. Con il valore di k trovato, usando la disuguaglianza di Chebyshev si fornisca
una stima dal basso di P(μ − kσ < X < μ + kσ). Commentare la stima trovata con la stima fornita
al testo di 0.99. [(a) 0.0475; 0.5; 0.6826; (b) k=2.575; stima=0.849]
7. Il numero dei pezzi prodotti da una fabbrica in una settimana è una variabile aleatoria di media
50. (a) Usando la disuguaglianza di Markov, dare una stima dall’alto della probabilità che la
produzione superi i 75 pezzi. (b) Supponendo nota anche la varianza, pari a 25, rispondere alla
domanda precedente usando la disuguaglianza di Chebyshev. (c) Supponendo nota anche la
varianza, pari a 25, dare una stima dal basso della probabilità che la produzione sia compresa tra
i 40 e i 60 pezzi usando la disuguaglianza di Chebyshev. [66.67%; 4%; 75%]
8. Dall’esperienza passata, un docente sa che se si sceglie uno studente a caso, il suo punteggio
all’esame di fine corso di laurea sarà una variabile casuale di media 75. (a) Dare un limite
superiore alla probabilità che un punteggio superi o uguagli gli 85 punti. (b) Supponendo che
sia nota anche la varianza di tale variabile aleatoria, pari a 25, con quale valore minimo di
probabilità si può asserire che uno studente ottenga un punteggio compreso tra 65 e 85? [0.882,
0.75]
9. Il numero di clienti che visitano un concessionario di auto al sabato mattina è una variabile
aleatoria X con media μX = 16 e deviazione standard σX = 2.5. Con quale valore minimo di
probabilità si può asserire che il numero di clienti sia compreso tra 6 e 26? [0.9375]
10. Supponiamo che X sia una variabile aleatoria con media e varianza entrambe uguali a 20. Che
cosa si può dire sulla P [0 ≤ X ≤ 40] ? [0 ≤ P [0 ≤ X ≤ 40] ≤ 1]
11. Sia X una variabile aleatoria di media μX = 0. Verificare che per ogni e > 0 si ha P[|2X| >e]<
4E[X2]/e2
12. Se una popolazione ha σX = 2 e se Ẍ è la media di un certo numero di campioni di ampiezza
100, trovate i limiti entro i quali sarà compreso Ẍ- μX con probabilità 90%. Usate sia la
disuguaglianza di Chebychev che il teorema del limite centrale. Perchè i due risultati sono
diversi?
13. (a) Usate la disuguaglianza di Chebychev per trovare quante volte si deve lanciare una moneta
perchè la probabilità che Ẍ sia compreso tra 0.4 e 0.6 sia almeno del 90%. (b) Nella situazione
(a) come si potrebbe determinare con maggiore precisione il numero di lanci necessari in modo
da rendere la probabilità molto vicina al 90%? Qual è il numero di lanci che occorre effettuare?
14. (a) Data una variabile casuale X tale che E[X]=3 e E[X2]=13, usate la disuguaglianza di
Chebychev per determinare un estremo inferiore per P[-2 < X < 8]. (b) Sia X una variabile
casuale discreta con densità fX(x)=1/8 I{-1}(x)+6/8I{0}(x)+1/8I{1}(x). Attribuite un valore a P[|XμX|>k σX] per k = 2. (c) Se X è una variabile aleatoria con E[X]=μX che soddisfa P[X<0]=0,
mostrate che P[X>2μX ]<1/2.
