T1 – Analisi dei segnali

T1 – Analisi dei segnali
T1.1 – Un segnale determinato ha forma d’onda sinusoidale con periodo T = 1 ms e
valore iniziale pari al suo valore massimo positivo Y=100 mV. Qual è la sua
rappresentazione analitica, e quale la sua rappresentazione grafica nel dominio della
frequenza?
……………………………………………………………………………………………………..
T1.2 – Qual è la differenza fra i due segnali seguenti?
y’(t) = Y sen ωt ;
y ‘’(t) = Y cos ωt
......................................................................................................................................….
T1.3 – Lo spettro di ampiezza di un generico segnale è rappresentato graficamente,
sull’asse delle frequenze, da righe equidistanti di varia altezza. E’ sempre vero?
SI …………….……………………………………………………………………………
NO ……………….……………………………………………………………………….
T1.4 - Quali caratteristiche generali ha lo spettro di ampiezza di un segnale
periodico alternativo?
..………………………………………………………………………………………………
T1.5 – Quando è che, nello sviluppo in serie di Fourier di un segnale periodico di
periodo T, mancano le armoniche di ordine pari?
a
se y(t) = y(t + T/2) ………..…………………………………………………………
b
se y(t) = - y(t + T/2) …………………………………………………………………
T1.6 - Un segnale ad onda quadra con periodo T = 1 ms è applicato all’ingresso di
un filtro passa-basso ideale avente frequenza di taglio di 4 kHz. Determinare la
composizione armonica del segnale di uscita.
…………………………………………..……………………………………………………..
T1.7– Quali frequenze contiene un segnale ad onda quadra di periodo T=0,5 ms,
all’uscita di un filtro passa-basso ideale avente frequenza di taglio di 5 kHz?
a
0 – 5 kHz ….......…………………………………………………………………….
b
5 kHz ………………………………………………………………………………..
c
2 kHz ………………………………………………………………………………..
T1.8- Quanto vale all’incirca la costante di tempo di un segnale esponenziale
crescente con tempo di salita di 4,5 ms?
…………………………………………………………………..…………………………….
T1.9 – In quanto tempo si scarica un condensatore di capacità C= 2 µF, caricato alla
tensione V = 6 V, su una resistenza R = 27 kΩ alla temperatura θ = 22 °C ?
………………………………………………………………………………………………..
T1.10 – Indicare se le seguenti affermazioni relative all’analisi dei segnali sono vere
o false:
a)
La forma d’onda di un segnale periodico può esser visualizzata
sperimentalmente mediante un analizzatore di spettro.
V
…………………………………………………………………………………………..
F
…………………………………………………………………………………………..
b)
L’analisi dei segnali periodici nel dominio della frequenza è basata sul
teorema di Fourier.
V
…………………………………………………………………………………………..
F
…………………………………………………………………………………………..
c)
La trasformata di Fourier consente di effettuare l’analisi nel dominio della
frequenza per segnali non periodici.
V …………………………………………………………………………………………..
.
F …………………….……………………………………………………………………..
d)
Il numero delle componenti armoniche di un segnale periodico non
sinusoidale dipende dalla forma d’onda del segnale stesso.
V
…………………………………………………………………………………………..
F
…………………………………………………………………………………………..
e)
La larghezza di banda di un segnale periodico viene determinata
convenzionalmente in base allo spettro di ampiezza del segnale stesso.
V …………………………………………………………………………………………..
F …………………………………………………………………………………………..
T1.11 – Qual è il valore in bit/s della massima velocità di trasmissione teoricamente
consentita su un canale telefonico ideale privo di rumore e con banda di 3100 Hz, nel caso
di modulazione a 8 livelli?
a
3100 bit/s …………………………………………………………………………….
b
6200 bit/s ..........................................................................................................
c
18600 bit/s .........................................................................................................
Risposte
T1.1 - Il segnale assegnato ha frequenza f = 1 / T = 1 kHz e fase iniziale φ = 90° = π/2 rad.
Analiticamente, esprimendo l’ampiezza in volt e la frequenza in hertz, è dato da:
y (t) = 0,1 sen (2π·103 t + π/2) = 0,1 cos 2π·103 t
Graficamente nel dominio della frequenza il segnale è espresso dallo spettro di ampiezza e da quello
di fase, entrambi rappresentati da una sola riga in corrispondenza della frequenza di 1000 Hz: la prima di
valore 0,1 nella scala delle ampiezze (volt), la seconda di valore π/2 ≈1,57 nella scala delle fasi (radianti).
T1.2 - Entrambe le funzioni esprimono un segnale a forma d’onda sinusoidale, ma la prima è di tipo
dispari [ y(t) = - y(-t) ] mentre la seconda è di tipo pari [ y(t) = y((-t) ].
T1.3 - NO
Il segnale deve essere periodico, altrimenti lo spettro non è a righe ma continuo.
T1.4 - Manca la componente a frequenza zero. Se il segnale non è sinusoidale, oltre alla frequenza
fondamentale, sono presenti armoniche superiori con frequenza multipla della fondamentale.
T1.5 - b
Nel primo caso mancano le armoniche d’ordine dispari (ma il caso è banale perché
significa che il segnale è in realtà di periodo T/2).
T1.6 - Il segnale d’ingresso è privo di armoniche d’ordine pari, pertanto in uscita si ha soltanto
l’armonica fondamentale e la terza armonica, rispettivamente a 1 kHz e a 3 kHz. La quinta armonica e le
successive sono bloccate dal filtro.
T1.7 - c All’uscita del filtro è presente solo l’armonica fondamentale F = 1 / T = 2 kHz, perché il
filtro considerato taglia tutte le armoniche superiori dell’onda quadra in ingresso (la più bassa di queste,
infatti, ha frequenza 3 x 2 = 6 kHz, in quanto l’onda quadra non contiene armoniche d’ordine pari).
T1.8 - Dalla (1.32) si ottiene:
τ≅
ts
4,5
=
≅ 2 µs
2,2 2,2
T1.9 - Si applica la formula (1.33) che tiene conto della tensione di rumore termico alla
temperatura T = 273 + θ = 295 °C. Si ottiene:
t L = RC ln CV 2 / kT = 27 ⋅10 3 × 2 ⋅10 −6 ln 2 ⋅10 −6 × 6 2 / 1,38 ⋅10 −23 × 295 ≅ 1 s
T1.10 - a) F L’analizzatore di spettro opera nel dominio della frequenza e pertanto consente di
visualizzare lo spettro di ampiezza del segnale. Per visualizzare la forma d’onda si impiega l’oscilloscopio,
operante nel dominio del tempo.
b) V
Nota l’espressione analitica della forma d’onda del segnale periodico (rappresentazione
nel dominio del tempo), il teorema di Fourier permette di determinare in ampiezza e fase le componenti
armoniche del segnale stesso (rappresentazione nel dominio della frequenza), oltre all’eventuale valore
medio (componente a frequenza zero).
c) V
La trasformata di Fourier non è altro che l’estensione del lo sviluppo in serie di Fourier al
caso di segnali non periodici.
d) F Teoricamente le armoniche sono in numero infinito, anche se le loro ampiezze
diminuiscono al crescere del numero d’ordine dell’armonica, divenendo praticamente trascurabili da un certo
numero d’ordine in poi.
e) V La banda del segnale è individuata dall’intervallo di frequenza in cui le componenti
armoniche hanno ampiezza tale da contribuire sensibilmente alla formazione del segnale. Non è possibile
dire a priori qual è il numero delle armoniche necessarie a riprodurre con sufficiente approssimazione la
forma d’onda del segnale: orientativamente si può soltanto dire che tale numero è tanto maggiore quanto più
il segnale ha carattere “impulsivo” (cioè tale da presentare valore nullo per una certa parte del suo periodo).
T1.11– Per un canale telefonico ideale privo di rumore, con banda passante B = 3100 Hz, il criterio
di Nyquist fissa una velocità di modulazione massima [v. (1.51)]:
vb(max) = 2B = 2 x 3100 = 6200 baud
a cui corrisponde nel nostro caso una velocità di trasmissione [v.(1.52)]:
v(max) = vb(max) log2 L = 6200 log2 8 = 18600 bit / s
Si può osservare che la modulazione a 8 livelli raggruppa a tre a tre i bit erogati dalla sorgente ( 23 = 8
), per cui la velocità di modulazione è 1/3 di quella di trasmissione (infatti: 18600 / 3 = 6200).