Programma del corso di Analisi Matematica I * (9 cfu)

Programma del corso di Analisi Matematica I – (9 cfu)
Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica
Gruppo (J-Z) — a.a. 2012/13
Dott. Rosaria Di Nardo
Numeri reali - Gli assiomi del sistema dei numeri reali; la densità di Q in R (s.d.);
radice n-ma (s.d.); rappresentazione decimale dei numeri reali. Estremo superiore,
estremo inferiore, massimo e minimo.
Numeri complessi - Forma algebrica e forma trigonometrica; radici n-me dei
numeri complessi. Principio d’identità dei polinomi; scomposizione di un polinomio.
Funzioni elementari
Successioni - Limite di una successione; prime proprietà dei limiti. Operazioni
con i limiti e forme indeterminate. Successioni monotone, il numero e. Media
aritmetiche e media geometrica. Criterio di Cauchy (s.d.)
Funzioni - Limiti di funzioni e relative proprietà. Operazioni con i limiti e forme
indeterminate. Funzioni monotone, funzioni continue; funzioni inverse; funzioni
composte: limite di una funzione composta; massimi e minimi assoluti: teorema di
Weierstrass (s.d.); teorema degli zeri e conseguenze.
Calcolo differenziale - Definizione di derivata e regole di derivazione; derivate
delle funzioni elementari. Massimi e minimi relativi: condizione necessaria. Teoremi
di Rolle e di Lagrange, e conseguenze; funzioni monotone e strettamente monotone
in un intervallo. I teorema di de l’Hopital; II teorema di de l’Hopital (s.d.); calcolo
dei limiti che si presentano in forma indeterminata. Infinitesimi e infiniti: principio
di cancellazione. Formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange. Massimi
e minimi relativi: condizioni sufficienti. Convessità e concavità in un intervallo;
proprietà` delle funzioni convesse e concave (s.d.); flessi; asintoti; grafici di funzioni.
Calcolo integrale - Primitive e integrazione indefinita. Regole di integrazione
indefinita: decomposizione in somma, integrazione per parti, integrazione per sostituzione,
integrazione di funzioni razionali. Area di un rettangoloide; l’integrale di
Riemann di una funzione limitata in un intervallo compatto; proprietà dell’integrale
definito. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Regole di integrazione definita.
Generalizzazione del concetto di integrale e sommabilità. criteri di sommabilità
(s.d.).
Serie numeriche - Definizioni e prime proprietà; operazioni con le serie. Serie
geometrica, serie armonica e serie armonica generalizzata. Criterio di Cauchy per le
serie (s.d.). Serie a termini non negativi: criterio del rapporto, criterio della radice,
criterio del confronto, criterio degli infinitesimi. Serie a segni alterni; criterio di Leibnitz
(s.d.). Serie assolutamente convergenti e loro proprietà. Criterio dell’integrale
(s.d.).
Fanno parte integrante del programma esercizi relativi a tutti gli argomenti
indicati.
s.d.=senza dimostrazione
TESTI CONSIGLIATI
P. Marcellini - C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica I - Ed. Liguori
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica (vol. 1) - Ed. Liguori