Anteprima Estratta dall` Appunto di Appunti di analsi

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Appunti di analsi maematica 2
Università : Politecnico di Bari
Facoltà : Ingegneria
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L' Appunto
Le Domande d'esame
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APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA II
Definizione 1. Si dice spazio metrico la coppia ordinata (X, d) costituita da
un insieme non vuoto X (i cui elementi si diranno punti) e da un’applicazione
d : X × X → R detta distanza o metrica tali che, per ogni x, y, z ∈ X:
•
•
•
•
d (x, y) ≥ 0
d (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y
d (x, y) = d (y, x)
d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z)
m
Una metrica su uno spazio vettoriale reale V può essere ottenuta definendo su
quest’ultimo una norma.
e.
kvk ≥ 0 ∀v ∈ V
kvk = 0 ⇐⇒ v = 0 ∀v ∈ V
kavk = |a| kvk ∀a ∈ R, ∀v ∈ V
ku + vk ≤ kuk + kvk ∀u, v ∈ V
rib
•
•
•
•
co
Definizione 2. Sia V uno spazio vettoriale reale. Si chiama norma su V un’applicazione k·k : V → R che verifica le seguenti condizioni:
AB
Ct
L’ultima condizione è nota come disuguaglianza triangolare.
Si verifica facilmente che, assegnata una norma su V, posto
d (u, v) := ku − vk
per ogni u, v ∈ V, l’applicazione d è una distanza su V. A sua volta, una norma
su uno spazio vettoriale reale V può essere indotta da un prodotto scalare.
Definizione 3. Assegnato uno spazio vettoriale reale V, dicesi prodotto scalare
su V un’applicazione · : V × V → R tale che
•
•
•
•
u · v = v · u ∀u, v ∈ V
u · (v + w) = u · v + u · w ∀u, v, w ∈ V
a (u · v) = (au) · v = u · (av) ∀a ∈ R, ∀u, v ∈ V
u · u ≥ 0 ∀u ∈ V e u · u = 0 ⇐⇒ u = 0
E’ semplice provare che, ponendo per ogni v ∈ V
kvk :=
√
v·v
l’applicazione k·k è una norma su V.
Esempio 4. Nello spazio vettoriale reale Rn (con n ≥ 1) il prodotto scalare
standard è definito da
x·y =
n
X
xi yi = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn
i=1
1
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APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA II
2
per ogni x = (x1 , x2 , . . . , xn ) , y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn . Nel seguito denoteremo
gli elementi di Rn anche come vettori colonna


x1
 x2 


x= . 
 .. 
xn
o, anche



x=

x1
x2
..
.

 
 = x1

x2
...
xn
T
xm
n
m
La norma indotta su R dal prodotto scalare standard, detta norma euclidea,
è definita da
v
u n
q
uX
kxk := t x2i = x21 + x22 + · · · + x2n
co
i=1
i=1
Ct
rib
e.
per ogni x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn . Si osservi che per n = 1 la norma euclidea coincide con il valore assoluto. Infine, la distanza su Rn indotta dalla norma
euclidea, detta distanza o metrica euclidea, è definita da
v
u n
q
uX
2
2
2
2
d (x, y) := kx − yk = t
(xi − yi ) = (x1 − y1 ) + (x2 − y2 ) + · · · + (xn − yn )
AB
per ogni x = (x1 , x2 , . . . , xn ) , y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn .
In uno spazio metrico è possibile estendere il concetto di limite introdotto per
funzioni reali di una variabile reale nel corso di Analisi Matematica I; concetto che
si basava su quello di intorno di un punto di R. A tale scopo si introducono le
seguenti definizioni.
Definizione 5. Sia (X, d) uno spazio metrico. Se x0 ∈ X e r > 0, dicesi intorno
sferico (o palla aperta) di centro x0 e raggio r, il sottoinsieme di X così definito
Br (x0 ) := {x ∈ X | d (x, x0 ) < r}
Osservazione 6. Ogi intorno sferico Br (x0 ) contiene x0 dal momento che d (x0 , x0 ) =
0 < r. Inoltre, se n = 1
Br (x0 ) = {x ∈ R | |x − x0 | < r} = (x0 − r, x0 + r)
Definizione 7. Siano (X, d) uno spazio metrico, x0 ∈ X e V ⊆ X un sottoinsieme
non vuoto di X. V si dice intorno di x0 se esiste r>0 tale che
Br (x0 ) ⊆ V
Osservazione 8. Tale definizione è del tutto generale, ma nella pratica si utilizzano
prevalentemente intorni sferici.
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APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA II
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Definizione 9. Sia A ⊆ X un sottoinsieme non vuoto di uno spazio metrico (X, d).
Un punto x0 ∈ X dicesi punto di accumulazione per A se per ogni intorno V di
x0 risulta
V ∩ A \ {x0 } =
6 ∅
x0 si dice punto isolato di A se esiste un intorno U di x0 tale che
U ∩ A = {x0 }
L’insieme dei punti di accumulazione per A dicesi derivato di A e si denota con
D (A).
Possiamo ora definire il concetto di limite in un contesto più generale.
Definizione 10. Siano assegnati due spazi metrici (X, d) e (Y, d0 ), una funzione
f : A → Y con ∅ 6= A ⊆ X, l ∈ Y e x0 punto di accumulazione per A. Si dice che
f tende a l per x che tende a x0 e si scrive
lim f (x) = l
x→x0
m
se per ogni intorno V di l esiste un intorno U di x0 tale che
co
∀x ∈ U ∩ A \ {x0 } : f (x) ∈ V
rib
e.
Osservazione 11. Si tratta di una ovvia generalizzazione della definizione di limite
di una funzione reale di una variabile reale. Considerando gli intorni sferici V =
Bε (l) ⊆ Y e U = Bδ (x0 ) ⊆ X, con ε > 0 e δ > 0 (piccoli a piacere)
lim f (x) = l ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 30 ∀x ∈ A \ {x0 } , d (x, x0 ) < δ : d0 (f (x) , l) < ε
o, equivalentemente
Ct
x→x0
AB
lim f (x) = l ⇐⇒ lim d0 (f (x) , l) = 0
x→x0
x→x0
Nel corso di Analisi Matematica II, si lavorerà con gli spazi metrici X = Rn
e Y = Rm dotati, rispettivamente, della corrispondente metrica euclidea. Si
considereranno, pertanto, funzioni
f : A ⊆ R n → Rm
Se n ≥ 2 e m = 1, si parlerà di funzioni reali di più variabili reali. Se n ≥ 2
e m ≥ 2, si parlerà di funzioni vettoriali di più variabili reali, denotate anche
con f = (f1 , f2 , . . . , fm ) o


f1
 f2 


f = . 
 .. 
fm
Al fine di non creare confusione, le funzioni vettoriali saranno denotate con il
grassetto. In modo analogo, i vettori di Rn con n ≥ 2, saranno evidenziati con il
grassetto e la rispettiva norma euclidea sarà indicata con
kxk
distinguendola dal valore assoluto di un numero reale x ∈ R (n = 1) denotata
con
|x|
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