PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA A
CORSO DI LAUREA TRIENNALE IN MATEMATICA – 15 CF
A.A. 2016-17
Le indicazioni dei capitoli e dei paragrafi si riferiscono al libro:
• C.D. Pagani, S. Salsa. Analisi Matematica 1 Zanichelli Editore, 2015
• Cap. 1– Elementi di teoria degli insiemi – Par. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
1: Nozioni di logica matematica. Connettivi logici. Quantificatori.
2: Simboli e operazioni insiemistiche fondamentali. Unione, intersezione, differenza e
differenza simmetrica. Complementazione.
3: Relazioni. Prodotto cartesiano. Ordinamenti: definizioni di maggiorante, minorante,
massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore.
4: Funzioni. Nozione intuitiva di funzione. Dominio, codominio, immagine. Funzioni
composte. Funzioni iniettive e suriettive. Funzioni inverse.
5: Il principio di induzione.
6: Formula del binomio di Newton.
7: Insiemi infiniti (cenni). Insiemi numerabili. Il prodotto di un insieme finito di insiemi
numerabili è numerabile.
• Cap. 2 –Insiemi numerici – Par. 1, 2, 3, 4
1: N, Z, Q. I numeri naturali, i numeri interi relativi e i numeri razionali.
2: I numeri reali. Cenni sulla definizione di numero reale come allineamento decimale.
Ordinamento e struttura algebrica. Proprietà di completezza. Potenza del continuo.
3: Radicali, potenze e logaritmi. Radici n-esime aritmetiche. Potenze con esponente reale
e logaritmi. Disuguaglianza triangolare.
4: I numeri complessi. Operazioni e struttura di campo. Potenze e radici.
• Cap. 3 –Spazi euclidei – Par. 1, 2
1: Gli spazi euclidei Rn e Cn . Spazi vettoriali lineari. Base e dimensione di uno spazio.
Prodotto scalare in Rn , norma in Rn . Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Angolo fra due vettori. Distanza in Rn . Intorni sferici di un punto in Rn .
2: Elementi di topologia in Rn . Punti interni, esterni e di frontiera. Punti di accumulazione e punti isolati. Insiemi aperti, chiusi e limitati. Unione e intersezione di famiglie
di insiemi aperti e chiusi. Frontiera di un insieme. Chiusura di un insieme. Teorema
di Bolzano-Weierstrass. Insiemi compatti. Teorema di Heine-Borel. Insiemi
connessi e insiemi convessi.
• Cap. 4 – L’operazione di limite – Par. 1, 2, 3, 4
1: Funzioni reali di variabile reale. Positività e simmetrie. Funzioni pari e dispari. Funzioni limitate. Estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo di una funzione.
Funzioni monotone. Esempi: potenze, esponenziali e logaritmi.
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2: Limiti di funzioni R → R. Definizione di limite. Proprietà vere definitivamente. Limiti
destro e sinistro, limite per eccesso e per difetto. Limiti e ordinamento.
Teorema di permanenza del segno. Teorema del confronto.
Algebra dei limiti.
Esempi di non esistenza del limite. Esistenza del limite di una funzione composta.
Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone.
Infinitesimi e infiniti. I simboli o, O, ∼, e loro relazioni. Confronti fra infinitesimi e
infiniti. Asintoti.
3: Successioni a valori in R. Limite di una successione. Esempi: successione geometrica.
Relazione fra limite di successioni e limite di funzioni. Il numero e. Alcuni limiti
notevoli. Esistenza del limite.
Massimo limite, minimo limite e valore limite di una successione.
Esistenza del limite finito: criterio di Cauchy. Definizione di successione fondamentale.
Teorema: criterio di convergenza di Cauchy.
4: Limiti in C e limiti in Rn . Funzioni da Rn a Rm e loro limiti. Esempi di non
esistenza del limite. Successioni e topologia in Rn . Le successioni convergenti sono
limitate. Da ogni successione limitata si può estrarre una sottosuccessione convergente.
Caratterizzazione degli insiemi chiusi e compatti utilizzando le successioni. Il criterio
di Cauchy. Definizione di spazio metrico completo.
• Cap. 5 – Funzioni continue – Par. 1, 2, 3
1: Funzioni continue da R in R. Definizione di continuità. Teorema di continuità delle
funzioni composte. Punti di discontinuità. Teorema sulle possibili discontinuità
di una funzione monotona.
Proprietà delle funzioni continue su un intervallo. Teorema della permanenza del segno.
Teorema di esistenza degli zeri. Teorema (di Weierstrass) di esistenza del
massimo e del minimo di una funzione continua su un intervallo [a, b].
La nozione di uniforme continuità. Esempi di funzioni continue non uniformemente
continue.
2: Funzioni continue da Rn a Rm . Caratterizzazione delle funzioni continue. Continuità
delle funzioni lineari.
Funzioni continue su un compatto. L’immagine continua di un insieme compatto è un
insieme compatto. Teorema di Weierstrass. Teorema di Cantor-Heine di uniforme
continuità di una funzione continua su un compatto.
Funzioni continue su un connesso. Continuità della funzione inversa di una funzione
continua su un intervallo.
3: Funzioni elementari. Funzioni razionali intere e polinomi. Funzioni razionali fratte e
funzioni algebriche. Esponenziali e logaritmi. Funzioni iperboliche. Funzioni circolari
e loro inverse. Esponenziale complesso.
• Cap. 6 – Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale – Par. 1, 2, 3
1: Derivata e differenziale. Rapporto incrementale e suo significato geometrico. Definizione
di derivata. Continuità delle funzioni derivabili. Esempi di funzioni continue e non
derivabili. Punti angolosi, flessi verticali e cuspidi. Derivate successive.
Algebra delle derivate. Derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni derivabili.
Linearità della derivata. Derivata di una funzione composta. Derivata di una funzione
inversa. Il differenziale.
2: I teoremi fondamentali del calcolo differenziale. I punti critici di una funzione. Il
teorema di Fermat e gli estremi locali di una funzione.
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I teoremi di Rolle e Cauchy. Il teorema Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange: test di monotonia, riconoscimento della natura dei punti stazionari. Definizione
di primitiva. Il teorema di de L’Hospital.
La formula di Taylor con il resto secondo Peano e secondo Lagrange. Sviluppi di Mac
Laurin di alcune funzioni elementari.
3: Applicazioni del calcolo differenziale. Funzioni convesse.
Applicazioni della formula di Taylor: determinazione della natura dei punti stazionari;
calcolo di ordini di infinito o infinitesimo; calcolo del valore approssimato di una funzione e stima dell’errore.
Determinazione del grafico di una funzione.
• Cap. 7 – Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili – Par. 1, 2, 3
1: Funzioni da Rn a R. Derivate direzionali e derivate parziali. Gradiente. Differenziale
e funzioni differenziabili. Relazione fra derivabilità e differenziabilità. Teorema di
continuità e derivabilità delle funzioni differenziabili. Teorema: se f è di classe
C 1 in un aperto A ⊂ Rn allora è differenziabile in ogni punto di A.
Derivate di ordine superiore. Teorema (di Schwartz) di uguaglianza delle derivate
seconde miste. Matrice Hessiana. Formula di Taylor.
Funzioni omogenee. Teorema (di Eulero) sul gradiente di funzioni omogenee. Funzioni
convesse e concave.
2: Funzioni a valori vettoriali. Matrice Jacobiana. Esempi di funzioni: R → R2 , R → R3 ,
R2 → R3 . Differenziale delle funzioni composte. Il teorema di inversione locale.
3: Funzioni implicite. Esempi di funzioni definite implicitamente. Il teorema del Dini
in R2 . Insiemi di livello e punti singolari. Ortogonalità di gradiente e linee di livello.
Il teorema delle funzioni implicite in piú di due variabili. Funzioni definite da un
sistema di equazioni. L’analogo non lineare del teorema di Rouché Capelli.
• Cap. 8 – Integrali di funzioni di una variabile. Serie numeriche – Par. 1, 2, 3
1: Integrale di Riemann. Partizione di un intervallo, somme superiori, somme inferiori e
definizione di integrale. Caratterizzazione dell’integrale e significato geometrico.
Classi di funzioni integrabili. Teorema di integrabilità delle funzioni continue.
Integrabilità delle funzioni monotone.
Proprietà dell’integrale: linearità, monotonia, teorema della media, additività rispetto
all’intervallo di integrazione. Primo teorema fondamentale del calcolo integrale.
Funzioni integrali e secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive e integrale indefinito.
Integrazione per scomposizione, per parti e per sostituzione. Cambiamenti di variabile
come cambiamenti di scala.
Integrali dipendenti da un parametro. Continuità e formula di derivazione sotto il
segno di integrale.
2: Serie numeriche. Definizione di serie e di somma di una serie. Serie convergenti, divergenti e irregolari. Proprietà elementari. Esempi di serie convergenti e divergenti: le
serie geometriche, la serie armonica. Criterio di Cauchy di convergenza. Condizione
necessaria di convergenza di una serie.
Serie a termini non negativi. Criterio del rapporto e della radice. Criterio del confronto e del confronto asintotico.
Convergenza e convergenza assoluta. Criterio (di Leibniz) di convergenza di serie a
segni alternati.
3: Estensioni dell’integrale di Riemann. Integrali impropri: integrazione su insiemi illimitati e integrazione di funzioni illimitate.
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Criteri di convergenza. Criterio del confronto e del confronto asintotico.
Serie numeriche e integrali impropri.
• Equazioni Differenziali Gli argomenti di questo capitolo si possono trovare in molti testi.
Per esempio in: ”M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 2, Capitolo1”
Modelli differenziali.
Equazioni differenziali del primo ordine. Definizione di soluzione. Problema di Cauchy.
Integrale generale.
Equazioni a variabili separabili.
Equazioni lineari del primo ordine. Integrale generale.
Equazioni lineari del secondo ordine. Forma generale dell’equazione e problema di Cauchy.
Struttura dell’integrale generale nel caso di un’equazione omogenea o non omogenea. Equazioni
omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti. Equazione caratteristica.
• Serie di potenze e Serie di Fourier
Definizione di serie di potenze. Raggio di convergenza. Relazione fra serie di potenze e
serie di Taylor. Derivabilità della somma di una serie di potenze.
Polinomi trigonometrici: scrittura reale e complessa. Coefficienti di Fourier. Somme
parziali di Fourier. Prodotto scalare e norma quadratica. Un sistema di funzioni ortonormali in [0, 2π]. La proprietà di migliore approssimazione in norma quadratica delle somme
parziali di Fourier. Convergenza in norma quadratica delle serie di Fourier. Funzioni regolari a tratti. Convergenza puntuale della serie di Fourier di una funzione regolare a tratti.
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Teoremi di cui è richiesta la conoscenza della dimostrazione
(1) [Cap 3, Teor 1.1] disuguaglianza di Cauchy-Schwartz.
(2) [Cap 3, Teor 2.4] (di Bolzano-Weierstrass) ogni sottoinsieme limitato e infinito di Rn ha
almeno un punto di accumulazione.
(3) [Cap 3, Teor 2.5] (di Heine-Borel) un sottoinsieme di Rn è compatto se e solo se è chiuso
e limitato.
(4) [Cap 4, Teor 2.3] della permanenza del segno.
(5) [Cap 4, Teor 2.10] di esistenza del limite per funzioni monotone.
(6) [Cap 5, Teor 1.2] sulle possibili discontinuità di una funzione monotona.
(7) [Cap 5, Teor 1.4] degli zeri.
(8) [Cap 5, Teor 2.4, Cor. 2.5] (di Weierstrass) di esistenza del massimo e minimo di una
funzione continua su un compatto.
(9) [Cap 5, Teor 2.7] (di Cantor Heine) di uniforme continuità di una funzione continua su un
compatto.
(10) [Cap 6, Teor 2.1] di Fermat (di annullamento della derivata nei punti di massimo/minimo).
(11) [Cap 6, Teor 2.4] di Lagrange.
(12) [Cap 7, Teor 1.1] le funzioni f : Rn → R differenziabili sono continue, derivabili e vale
Dv f (x) = h∇f (x), vi.
(13) [Cap 7, Teor 3.1] del Dini in R2 .
(14) [Cap 8, Teor 1.5] di integrabilità delle funzioni continue.
(15) [Cap 8, Teor 1.10] primo teorema fondamentale del calcolo integrale.
(16) [Cap 8, Teor 1.11] secondo teorema fondamentale del calcolo integrale.
(17) [Cap 8, Teor 2.4, Cor 2.5] del confronto e del confronto asintotico per serie a termini
positivi.
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