Fisica Generale B

Esercizio 1
Fisica Generale B
• Un filo rettilineo indefinito, costituito di materiale isolante, è
elettrizzato uniformemente con densità lineare di carica λ = 8.85×10−10
C/m.
• Quanto vale il campo elettrico in un punto P distante r = 0.5 m dal
filo?
1. Esercizi di Elettrostatica
http://campus.cib.unibo.it/2488/
Domenico Galli
April 25, 2016
Digitally signed by Domenico Galli
Date: 2016.04.25 22:14:44 +02'00'
2
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
Esercizio 1 (II)
Esercizio 1 (III)
• Consideriamo la superficie Σ di un cilindro avente sul filo il proprio
asse, di raggio r e altezza l, e applichiamo a essa la legge di Gauss.
• La carica elettrica totale contenuta nella superficie Σ è la carica
elettrica del tratto di filo che si trova dentro il cilindro:
Q = lλ
• Data la simmetria del problema, il campo elettrico deve avere
direzione radiale rispetto al filo e norma dipendente soltanto dalla
distanza dal filo.
• Per la legge di Gauss si ha:
• Sulle due basi del cilindro il flusso del campo elettrico deve perciò
essere nullo.


Q
φΣ E = 
∫∫ E i n̂ dS = ε
Σ
0
• Sulla superficie laterale del cilindro il campo elettrico deve avere
norma costante, e dunque il flusso vale:
l
E 2π rl =


φΣ E = 
∫∫ E i n̂ dS = 
∫∫ E n̂i n̂ dS = 
∫∫ E dS =
( )
Σ
Σ
= E
∫∫ dS = E Σ = E 2π rl
Σ
Σ
r
( )
1 λ
2πε 0 r
(
)
E 0.5m =
()
Σ r
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
()
E r =
 P
E
lλ
ε0
3
l
r
8.85 × 10−10
1
= 31.8 V m
−12
0.5
2 × 3.14 × 8.85 × 10
 P
E
()
Σ r
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
4
Esercizio 2
Esercizio 2 (II)
•  Un piano indefinito, costituito di materiale isolante, è
uniformemente elettrizzato, con densità superficiale di carica
σ = 4.43×10−6 C/m2.
•  Per ragioni di simmetria, il campo elettrico deve sempre essere
perpendicolare al piano.
•  Consideriamo la superficie Σ di un cilindro, con l’asse perpendicolare al
piano, che interseca il piano stesso e applichiamo a esso la legge di
Gauss.
•  Quanto vale il campo elettrico sui due lati del piano?
•  Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie laterale del
cilindro è nullo in quanto il vettore campo elettrico è sempre parallelo
alla superficie laterale.
•  Su ciascuna delle due basi il flusso del campo elettrico è dato da:
φΣ

b1


(E) = φ (E) = 
∫∫ E i n̂ dS = 
∫∫ E n̂i n̂ dS = 
∫∫ E dS =
Σb 2
Σb
= E
∫∫ dS = E Σ b = E π r
Σb
2
Σb
Σ b1
Σ

E
Σb
5
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
Esercizio 2 (II)
Σ b2

E
6
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
Esercizio 3
•  Il flusso totale (attraverso la superficie totale del cilindro) vale
perciò:
•  Due sferette uguali, di massa m = 10 g e carica q incognita, sono
appese con due fili isolanti di lunghezza ℓ = 100 cm allo stesso punto
del soffitto.
•  La carica contenuta nel cilindro è quella della porzione di piano
(cerchio) intercettato dal cilindro:
•  Le sferette si dispongono a una distanza di 5 cm l’una dall’altra.

φ Σ E = 2Eπ r 2
( )
•  Determinare la carica q.
Q = σπ r 2
•  Si ha perciò, per la legge di Gauss:


σ πr2
Q
2
φΣ E = 
E
i
n̂
dS
=
⇒
2E
π
r
=
∫∫
( )
Σ
ε0
ε0
σ
E=
2ε 0
E=
4.43 × 10−6
= 0.25 × 106 V m
2 × 8.85 × 10−12

Σ b1
Σ
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Σ b2

E
q

E
7
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica

d
q
8
Esercizio 3 (II)
Esercizio 3 (III)
•  D’altro canto abbiamo, geometricamente:
•  Detta T la tensione del filo, Fe la forza elettrostatica agente su una
sferetta e mg la forza peso di una sferetta, per la prima equazione
cardinale della statica si ha:
tan θ =
 
 
T + Fe + mg = 0
2 −
•  Questa equazione vettoriale corrisponde alle 2 equazioni scalari
(componenti orizzontale e verticale)
⎧⎪ F = T sin θ
ı̂ ⎧⎪−T sin θ + Fe = 0
⇒
⇒ ⎨ e
⎨
̂ ⎩⎪T cosθ − mg = 0
⎩⎪ mg = T cosθ
Fe
= tan θ
mg
1 q2
F
4πε 0 d 2
q2
1
tan θ = e =
=
4πε 0 mgd 2
mg
mg

q
θ 
d
q
=
4 − d 2
9

q
θ 
d
q
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
10
Esercizio 4
•  Una sferetta di massa m = 1 mg possiede una carica elettrica
q = 10 nC.
3
•  Essa è appesa a un filo isolante attaccato, all’altra estremità, a
una lastra piana verticale isolante, uniformemente elettrizzata in
superficie su entrambe le facce, con densità superficiale di carica σ.
42 − d 2
mgd 3
42 − d 2
•  Il filo forma un angolo θ = 30° con il piano.
•  Sostituendo i valori numerici:
q = 4πε 0
d
2
q2 ⎫
1
⎪
4πε 0 mgd 2 ⎪
q2
1
d
=
⎬ ⇒
2
d
42 − d 2 4πε 0 mgd
⎪
tan θ =
42 − d 2 ⎪⎭
d
mgd 3
q 2 = 4πε 0 mgd 2
= 4πε 0
42 − d 2
42 − d 2
•  Da cui:
q = 4πε 0
d
4
=
tan θ =
Esercizio 3 (IV)
mgd
2
•  Combinando i due risultati si ottiene:
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q 2 = 4πε 0
d
2
0.01× 9.81× 0.053
1
=
=
8.99 × 109
42 − d 2
4 × 12 − 0.052
•  Determinare la densità superficiale di carica σ della lastra.
mgd 3
1
1.226 × 10−5
1.226 × 10−5
1
=
=
1.999
8.99 × 109
8.99 × 109
3.998

q
= 6.823 × 10−16 = 2.61× 10−8 C = 26.1 nC
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θ 
d
q
11
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
12
Esercizio 4 (II)
Esercizio 4 (III)
•  Determiniamo innanzitutto il campo elettrico
prodotto da una lastra piana isolante
uniformemente elettrizzata in superficie su
entrambe le facce, con densità superficiale di
carica σ.
•  Il flusso del campo elettrico E attraverso la
superficie laterale Σl del cilindro è nulla, in
quanto le linee del campo sono parallele alla
superficie Σl e pertanto non la intersecano.
•  Il flusso del campo elettrico E attraverso la
base Σb(1) del cilindro è nullo in quanto la base Σb(1)
si trova sul piano mediano Πm della lastra, sul quale
il campo elettrico E è nullo.
•  Poiché la lastra è elettrizzata soltanto sulle due
superfici Π1 e Π2 (non all’interno), sarà presente
su tali superfici uno strato sottile di carica elettrica, con
densità superficiale σ.
•  Sulla base Σb(2) il campo elettrico E è invece perpendicolare
alla superficie, per cui il suo flusso vale:
•  Sul piano mediano Πm della lastra il campo elettrico E è nullo
per simmetria.
φ
•  Consideriamo ora una superficie cilindrica, di raggio r, con
asse perpendicolare alla lastra, avente la base Σb(1) giacente
sul piano Πm e la base Σb(2) esterna alla lastra.
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l
( )

1
Σ( )
b
Σ(b )
2
2
b
2
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14

(E) + φ ( ) (E) = E πr
•  Detta T la tensione del filo, Fe la forza elettrostatica agente sulla
sferetta e mg la forza peso della sferetta, per la prima equazione
cardinale della statica si ha:
2
 
 
T + Fe + mg = 0
2
Σb
•  La carica elettrica contenuta nel volume V(Σ),
delimitato dalla superficie chiusa cilindrica Σ è
quella della porzione del piano Π2 intercettato
dal cilindro:
•  Questa equazione vettoriale corrisponde alle 2 equazioni scalari
(componenti orizzontale e verticale)
⎪⎧ F = T sin θ
ı̂ ⎧⎪−T sin θ + Fe = 0
⇒
⇒ ⎨ e
⎨
̂ ⎩⎪T cosθ − mg = 0
⎪⎩ mg = T cosθ
σ
q
Fe qE
ε0
q σ
tan θ =
=
=
=
mg mg mg mg ε 0
Q = π r 2σ
•  Si ha perciò, per la legge di Gauss:

E
Q
Σ( )






π r 2σ
1
2
E
⋅
n̂
dS
ρ
dV
π
r
=
=
⇒
E

∫Σ∫
ε0
ε 0 V∫∫∫
(Σ)
φ

()
(E) = 
∫∫ E ⋅ n̂ dS = E Σ = E π r
Esercizio 4 (V)
•  Il flusso totale del campo elettrico E attraverso
la superficie totale Σ del cilindro è quindi:
( )
2
13
Esercizio 4 (IV)


φΣ E = φΣ E + φ

Σ(b )
⇒ E=
σ
ε0
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15
Fe
= tan θ
mg
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
16
Esercizio 4 (VI)
tan θ =
Esercizio 5
•  Una sfera isolante, uniformemente carica, di raggio R1 = 1 cm e carica
Q1 = 1 nC, viene posta entro un guscio sferico concentrico, anch’esso
uniformemente carico, di raggio interno R2 = 2 cm, raggio esterno R3 =
3 cm e carica Q2 = −2 nC.
q σ
mg ε 0
•  Avremo dunque:
•  Calcolare la componente radiale Er del campo elettrico (presa
positiva se centrifuga e negativa se centripeta) alla distanza
r = 4ξR1/1000 dal centro delle 2 sfere.
mgε 0
σ=
tan θ
q
Q2
•  Sostituendo i valori numerici:
σ=
mgε 0
10−6 × 9.81× 8.85 × 10−12
tan θ =
tan 30° =
q
10 × 10−9
Q1
10−6 × 9.81× 8.85 × 10−12
=
0.577 = 5 × 10−9 C m 2 =
10 × 10−9
= 5nC m 2
R3
17
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
Esercizio 5 (II)
R1
R2
18
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
Esercizio 5 (III)
•  La forma algebrica della soluzione dell’esercizio dipende dal valore
di r (dunque anche di ξ).
•  La distribuzione di carica ha simmetria sferica:
–  La densità di carica, in coordinate sferiche, dipende soltanto dalla coordinata r:
•  A seconda del valore di r (dunque di ξ) il punto P può trovarsi:
•  Non dagli angoli θ (colatitudine) e φ (longitudine).
1.  Entro la sfera centrale;
•  Anche il campo elettrico deve avere simmetria sferica;

–  In coordinate sferiche, E deve dipendere soltanto dalla coordinata r:
2.  Nell’intercapedine tra sfera e guscio sferico;
3.  Entro il guscio sferico;
4.  All’esterno del guscio sferico.
P
•  Nei 4 casi l’espressione algebrica del campo
elettrico è diversa.
P
R3
•  Non dagli angoli θ (colatitudine) e φ (longitudine).
P
r
r
r
P
 
E=E r

∂E 
=0
∂θ
∂E 
=0
∂ϕ
()
r
R1
R2
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
19
P
r
r
R3
R1
R2
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
20


Et ?
Er ?
Esercizio 5 (IV)
P
Esercizio 5 (V)
r
r
•  Il campo elettrico, in linea di principio, potrebbe avere:
R3
P
r
r

Et ?
R3
R1
R2
–  Se così fosse la circuitazione di E sarebbe non-nulla;

Er
–  Ipotesi impossibile, essendo E conservativo.
•  Il campo elettrico può avere soltanto componente
radiale:


E r = Er r = Er r n̂
()
•  Per calcolare il campo utilizziamo la superficie sferica Σ(r),
concentrica con le altre superfici e di raggio r, e applichiamo a essa la
legge di Gauss:

φΣ ( E )
q(r )






1

∫∫ E i n̂ dS = ε ∫∫∫ ρ dV
Σ
0 V (Σ)

Et ?
•  Tuttavia, se avesse un componente tangente, data
la simmetria sferica, esso dovrebbe avere lo stesso
orientamento su di un’intera circonferenza di
centro O:
()
•  Consideriamo innanzitutto il caso in cui r ≤ R1.
R2
–  Un componente radiale Er(r);
–  Un componente tangente Et(r).
R1
()
P
•  Il flusso del campo elettrico attraverso la
superficie chiusa Σ(r) si può scrivere come:

Et ?

φΣ (r ) E =
=
R1
R3
R2
•  Per la legge di Gauss si ha:


φΣ ( E )
q(r )
2





 ⎧⎪ 
∫∫ Er ( r ) i n̂ dS = Er ( r ) 4π r
1
Σ (r )

∫∫ E i n̂ dS = ε ∫∫∫ ρ dV ⎪⎨
r3
Σ
0 V (Σ)
⎪ ∫∫∫ ρ dV = 3 Q1
(r ≤ R )

∫∫ E ( r ) dS = E ( r ) 
∫∫ dS = E ( r ) Σ ( r ) =
r
()
r
r
()
Σ r
()
R3
R2
22
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
•  Consideriamo ora il caso in cui R1 ≤ r ≤ R2.
•  La carica contenuta nella superficie Σ(r) è, in questo caso:
( ) ∫∫∫
()
()
R1
Esercizio 5 (VII)
Q1 4 3 r 3
4
q r = ∫∫∫ ρ dV = ρ1 ∫∫∫ dV = ρ1 π r 3 =
π r = 3 Q1
4 3 3
3
R1
V ( Σ ( r ))
V ( Σ ( r ))
π R1
3
1 Q1
Er r =
r
4πε 0 R13
r
()
()
Σ r
Σ r
21
•  La carica contenuta nel volume racchiuso dalla superficie chiusa Σ(r),
essendo la sfera interna uniformemente carica, è:
()
r
= Er r 4π r 2
Esercizio 5 (VI)
1 ⎛ r3 ⎞
Er r 4π r 2 = ⎜ 3 Q1 ⎟
ε 0 ⎝ R1 ⎠
()
Σ r
Σ r

Er
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
⎪V ( Σ ( r ))
⎩

( ) 
∫∫ E ( r ) i n̂ dS = 
∫∫ E ( r ) n̂i n̂ dS =

Er
r
r

Er

Et ?
q r =
( ( ))
ρ dV = Q1
V Σ r
•  Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie Σ(r), si può
perciò scrivere, come nel caso precedente:

φΣ (r ) E =

( ) 
∫∫ E ( r ) i n̂ dS = E ( r ) 4π r
R1
r
R3
Σ (r )
•  Per la legge di Gauss si ha:

φΣ ( E )
q(r )






1
E
i
n̂
dS
ρ
dV
=
⇒

∫∫
ε 0 V∫∫∫
Σ
Σ
( )
()
Σ r
R1
R2
1 Q1
Er r =
4πε 0 r 2
()
1
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
23
2
r
(
R1 ≤ r ≤ R2
()
Er r 4π r 2 =
)
1
Q
ε0 1
()
Σ r
r
R3
R1
R2
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
24
Esercizio 5 (VIII)
Esercizio 5 (IX)
•  Consideriamo poi il caso in cui R2 ≤ r ≤ R3.
•  Infine consideriamo il caso in cui r ≥ R3.
•  La carica contenuta nella superficie Σ(r) è, in questo caso:
•  La carica contenuta nella superficie Σ(r) è:
( ) ∫∫∫
ρ dV = Q1 +
q r =
3
3
2
3
2
r −R
3
3
R −R
( ( ))
•  Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie Σ(r), è sempre:


2
φΣ (r ) ( E ) = 
∫∫ E ( r ) i n̂ dS = Er ( r ) 4π r
V Σ r
()
Σ r
•  Per la legge di Gauss si ha:
(
)

φΣ E
( ) ∫∫∫
ρ dV = Q1 + Q2
( ( ))
•  Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie Σ(r), è sempre:
q r =
Q2
V Σ r

φΣ (r ) E =
()
Σ r
( )



q r
r

1

∫∫ E i n̂ dS = ε ∫∫∫ ρ dV
Σ
0 V (Σ)
Q1 r 3 − R23 Q2
+
ε 0 R33 − R23 ε 0
r 3 − R23 ⎞ 1
1 ⎛
Er r =
Q
+
Q⎟
⎜
4πε 0 ⎝ 1 R33 − R23 2 ⎠ r 2
R1
()
Er r 4π r 2 =
()
R3
(R
2
≤ r ≤ R3
)
⎧ 1 Q1
r r ≤ R1
⎪
3
4
πε
R
0
1
⎪
⎪ 1 Q
1
⎪
R1 ≤ r ≤ R2
2
⎪ 4πε 0 r
Er r = ⎨
3
3
⎪ 1 ⎛ Q + r − R2 Q ⎞ 1
⎪ 4πε ⎜⎝ 1 R3 − R3 2 ⎟⎠ r 2
0
3
2
⎪
⎪ 1 Q1 + Q2
r ≥ R3
⎪
2
⎩ 4πε 0 r
()

E
( )
Σ( )





1

∫∫ E i n̂ dS = ε ∫∫∫ ρ dV
Σ
0 V (Σ)
φ
q r
2
(
1 Q1 + Q2
Er r =
4πε 0 r 2
()
r
R1
)
R3
R2
(r ≥ R )
25
3
26
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
•  Un filo isolante, di lunghezza molto maggiore delle distanze radiali
considerate, uniformemente carico, di raggio R1 = 1 cm e densità
lineare di carica λ1 = 0.1 nC/m, viene posto entro una guaina cilindrica
isolante coassiale, uniformemente carica, di raggio interno R2 = 2 cm,
raggio esterno R3 = 3 cm e densità lineare di carica λ2 = 0.2 nC/m.
Q2
)
Q1
)
(
Σ r
Esercizio 6
•  In sintesi:
(
()
Σ r
•  Per la legge di Gauss si ha:
()
Esercizio 5 (X)
()
2
r
1
Q + Q2
Er r 4π r =
ε0 1
R2
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
(

( ) 
∫∫ E ( r ) i n̂ dS = E ( r ) 4π r
R3
(R
2
≤ r ≤ R3
)
R1
•  Calcolare la norma del campo elettrico alla distanza r = 4ξR1/1000
dall’asse del sistema.
R2
)
λ2
•  La forma algebrica della soluzione
dell’esercizio dipende dal valore di r.
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
R2
27
λ1
R1
R3
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
28
Esercizio 6 (II)
Esercizio 6 (III)
•  La forma algebrica della soluzione dell’esercizio dipende dal valore
di ξ.
•  Osserviamo inoltre che la carica elettrica ha simmetria cilindrica, per
cui anche la norma del campo elettrico deve avere simmetria
cilindrica (cioè deve dipendere soltanto da r) per cui sulla superficie
laterale di Σ(r) la norma del campo elettrico deve essere costante.
•  Consideriamo innanzitutto il caso in cui r < R1.
•  Per calcolare il campo utilizziamo la superficie cilindrica
Σ(r), coassiale con il filo e con le altre superfici, di
R1
raggio r e altezza l, e applichiamo a essa la legge
di Gauss.
•  La carica contenuta nella superficie Σ(r), essendo
il filo uniformemente carico, è:
( )
q r,l = π r 2 l ρ1 = π r 2 l
dq1
dq1
r2
= π r 2l
=
lλ
dV
π R12dl R12 1
•  Osserviamo che il campo elettrico ha sempre
la stessa direzione della normale n̂ alla
superficie laterale di Σ(r).
()
•  Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie Σ(r), si può
perciò scrivere come (il flusso è nullo attraverso le due basi):
r Σ r


φΣ E = 
∫∫ E i n̂ dS = E Σ = E 2π rl
l
R1
()
()
•  La carica contenuta nella superficie Σ(r) è:
πR
2
1
= l λ1
R1
r
( )
( )
()
E r =
1 λ1
2πε 0 r
⇒ E 2π rl =
(R < r < R )
1
2
30
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
( )
q r,l = l λ1 +
1
lλ
ε0 1
r 2 − R22
R32 − R22
l λ2
•  Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie Σ(r), è:


φΣ E = 
∫∫ E i n̂ dS = E Σ = E 2π rl
( )
Σ


q r,l
E =
∫Σ∫ E i n̂ dS = ε
0
R2
•  La carica contenuta nella superficie Σ(r) è:
l
•  Per la legge di Gauss si ha:
φΣ
()


E =
∫∫ E i n̂ dS = E Σ = E 2π rl
( )
)
R1
•  Consideriamo poi il caso in cui R2 < r < R3.
Σ r
•  Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie
Σ(r), si può perciò scrivere come:
φΣ
R3
()
Σ r
r
Esercizio 6 (V)
•  Consideriamo ora il caso in cui R1 < r < R2.
λ1
(
29
Esercizio 6 (IV)
( )
( )
( )
R2
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
q r,l = π R12 l ρ1 = π R12 l
Σ
•  Per la legge di Gauss si ha:


q r,l
φΣ E = 
∫Σ∫ E i n̂ dS = ε
0
1 r2
E2π r l =
lλ
ε 0 R12 1
r
1
E r =
λ1 2 r < R1
2πε 0 R1
Σ r
r
R3
( )
()
Σ r
r
R3
R1
R2
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
31
()
Σ r
Σ
•  Per la legge di Gauss si ha:


q (r )
φΣ ( E ) = 
∫Σ∫ E i n̂ dS = ε
0
l λ r 2 − R22 l λ2
E2π rl = 1 + 2
ε 0 R3 − R22 ε 0
r 2 − R22 ⎞ 1
1 ⎛
E (r ) =
λ
+
λ
2πε 0 ⎜⎝ 1 R32 − R22 2 ⎟⎠ r
r
R1
(R
2
< r < R3
)
R3
R2
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
32
Esercizio 6 (VI)
Esercizio 7
•  Infine consideriamo il caso in cui r > R3.
•  Una sfera conduttrice di raggio r1 = (ξ/1000) cm è circondata da due
gusci sferici conduttori concentrici di raggio r2 = 2 cm e r3 = 4 cm e
spessore trascurabile (vedi figura).
•  La carica contenuta nella superficie Σ(r) è:
( )
q r,l = l λ1 + l λ2
•  Il guscio sferico di raggio r2 è caricato con una carica q2 = ξ× 10−8 C.
•  Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie Σ(r), è:


φΣ E = 
∫∫ E i n̂ dS = E Σ = E 2π rl
( )
Σ
•  Per la legge di Gauss si ha:
()


q r
φΣ E = 
∫Σ∫ E i n̂ dS = ε
0
( )
E2π rl =
()
E r =
1
l λ + l λ2
ε0 1
(
1 λ1 + λ2
2πε 0 r
•  La sfera di raggio r1 e il guscio sferico di raggio r3 sono poi posti a
contatto con un filo conduttore passante per un piccolo forellino
praticato sul guscio sferico di raggio r2, che non tocca quest’ultimo
guscio sferico.
()
Σ r
r
•  Calcolare la carica elettrica q1 indotta sulla sfera di raggio r1.
R1
)
R3
⎧
347
cm = 0.347 cm
⎪r1 =
ξ = 347 ⇒ ⎨
1000
⎪q = 347 × 10−8 C = 3.47 × 10−6 C
⎩ 2
R2
(r > R )
3
33
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
Esercizio 7 (II)
Esercizio 7 (III)
•  I campi nelle intercapedini.
•  Le cariche: poiché i gusci 1 e 3
sono inizialmente neutri, mentre il
guscio 2 ha carica q2, si ha:
⎧q1 + q3 = q1 + q3′ + q3′′ = 0
⎨
⎩q2′ + q2′′ = q2 ≠ 0
•  Per la legge di Gauss applicata
alla superficie Σd si ha:
q1 + q2 + q3′ = q1 + q2′ + q2′′ + q3′ = 0
⇒ q2′′ + q3′ = 0
•  Nell’intercapedine 1-2, applicando la
legge di Gauss alla superficie Σa, si ha:

q

∫∫ E i n̂ dS = 1
ε0
q1
q
′
V1
q
q
1
2
q2′′
1
E4π r 2 = 1 ⇒ E =
2
q3′
q2
ε0
4πε 0 r
q3′′ q
•  Nell’intercapedine 2-3, applicando
3
V2
la legge di Gauss alla superficie Σc, si
ha:

q +q
V3

∫∫ E i n̂ dS = 1 ε 2
Σc
0
+
q
q
1 q1 + q2
1 q2′′
2
E4π r 2 = 1
⇒ E=
=
2
ε0
4πε 0 r
4πε 0 r 2
Σd
•  Per la legge di Gauss applicata
alla superficie Σb si ha:
q1 + q2′ = 0
34
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
q3′
q3′′ q
3
q2′′
q2′
q2
q1
V1
Σa
Σb
Σa
Σc
V2
V3
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
35
Σd
Σa
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
Σb
Σc
36
Esercizio 7 (IV)
Esercizio 7 (V)
•  I potenziali: poiché i gusci sferici 1
e 3 sono collegati con un filo
conduttore V1 = V3.
•  Dai risultati sui potenziali otteniamo:
q1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎫
−
⎪
4πε 0 ⎜⎝ r2 r1 ⎟⎠ ⎪
⎛ 1 1⎞
⎛ 1 1⎞
⎪
V3 = V1
⎬ ⇒ q1 ⎜ − ⎟ = − q2′′⎜ − ⎟
⎝ r2 r1 ⎠
⎝ r3 r2 ⎠
q′′ ⎛ 1 1 ⎞ ⎪
V3 − V2 = 2 ⎜ − ⎟ ⎪
4πε 0 ⎝ r3 r2 ⎠ ⎪⎭
Σd
•  Integrando lungo una linea radiale
si ha inoltre:
q1
⌠
1 q1 
q
′
V1
2
q2′′
V2 − V1 = − ⎮
n̂idP =
2
πε
4
r
q3′
q2
⌡
0
γ ( r1 ,r2 )
q
′′
3
r
q3
q ⎡1⎤ 2
q ⎛ 1 1⎞
V2
= 1 ⎢ ⎥ = 1 ⎜ − ⎟
4πε 0 ⎣ r ⎦ r 4πε 0 ⎝ r2 r1 ⎠
1
e analogamente:
V
Σa
Σb
V2 − V1 =
⎧ ⎛ 1 1⎞
⎛ 1 1⎞
⎪q2′ ⎜ − ⎟ = q2′′⎜ − ⎟
⎝ r3 r2 ⎠
⎨ ⎝ r2 r1 ⎠
⎪
⎩q2′ + q2′′ = q2
3
consente di determinare
q1 = − q2′ e q2′′.
q2′′ ⎛ 1 1 ⎞
⌠
1 q2′′ 
V3 − V2 = − ⎮
=
−
n̂idP
2
4πε 0 ⎜⎝ r3 r2 ⎟⎠
⌡ 4πε 0 r
γ ( r2 ,r3 )
q3′
q2′
q2′′
q1
V1
q2
q3′′ q
3
Σa
Σb
Σc
V2
V3
37
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
Esercizio 7 (VI)
38
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
Esercizio 7 (VII)
•  Risolvendo:
•  Infine:
⎛ 1 1⎞
⎛ 1 1⎞
q2′ ⎜ − ⎟ = q2′′⎜ − ⎟
⎝ r2 r1 ⎠
⎝ r3 r2 ⎠
q2′ + q2′′ = q2
Σd
•  Il sistema algebrico:
Σc
⇒ q2′ + q2′
q2
r3 r1 − r2
1+
r1 r2 − r3
−q2
q1 = − q2′ =
r r −r
1+ 3 1 2
r1 r2 − r3
r1 − r2
r1r2
r r −r
= q2′ 3 1 2
r2 − r3
r1 r2 − r3
r3r2
⎛
r r −r ⎞
⇒ q2′ ⎜ 1 + 3 1 2 ⎟ = q2
r1 r2 − r3 ⎠
⎝
1 1
−
r2 r1
⇒ q2′′ = q2′
= q2′
1 1
−
r3 r2
r3 r1 − r2
= q2
r1 r2 − r3
q1 =
−q2
−3.47 × 10−6 C
−3.47 × 10−6
=
=
C = −3.30 × 10−7 C
4 0.347 − 2
4 1.653
r3 r1 − r2
1+
1+
1+
0.347 2 − 4
0.347 2
r1 r2 − r3
Σd
Σd
q2′ =
q3′
q3′′ q
3
q2′′
q2′
q2
q1
V1
Σa
Σb
q3′
q3′′ q
3
Σc
V2
q2′
q2
q1
V1
Σa
Σb
Σc
V2
V3
V3
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
q2′′
39
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
40
Esercizio 8
Esercizio 8 (II)
•  Ricordando che l’energia potenziale elettrostatica di un sistema di
cariche puntiformi è data da:
3ξ
nC, sono
•  Tre cariche puntiformi, q1 = 1nC, q2 = 2 nC, q3 = − 1000
rispettivamente disposte, in quiete, nei punti di coordinate cartesiane
P1(1 cm, 0, 0), P2(0, 1 cm, 0), P3(0, 1 cm, 1 cm), in una prefissata terna
cartesiana ortogonale.
•  Calcolare l’energia potenziale del sistema costituito da queste tre
cariche (presa zero l’energia potenziale corrispondente alla
configurazione in cui le cariche sono infinitamente distanti l’una
dall’altra).
3 × 123
nC = −0.369 nC = −0.369 × 10−9 C
1000
x
O
P1
P2
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
si ha, nel nostro caso:
1 Q
r̂
4πε 0 r 2
q
q ⎞
1 3 qi
1 ⎛ q1
r̂ =
r̂ + 22 r̂2 + 23 r̂3 ⎟
∑
⎜
2 i
2 1
4πε 0 i=1 ri
4πε 0 ⎝ r1
r2
r3 ⎠
dove:
y
(
)
= 8.99 × 109 × 1.4142 × 10−16 − 7.3800 × 10−17 − 2.1304 × 10−17 J =
9
= 8.99 × 10 × 4.63 × 10
−17
−7
J = 4.16 × 10 J
41
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
42
•  da cui:
x
 P3
r3
O 
r r2 P2
P1 1
⎛ 10−9

2 × 10−9
−0.369 × 10−9 ⎛ ̂ + k̂ ⎞ ⎞ V
−
̂
+
E = 8.99 × 109 × ⎜ −4 −ı̂ +
⎜−
⎟⎟ =
10−4
2 × 10−4 ⎝
2 ⎠⎠ m
⎝ 10
( )
y
(
9
−5
−5
−5
)
)
ı̂ − 1.87 × 10 ̂ + 0.13 × 10 k̂ V m =
)
= −8.99 × 104 ı̂ − 1.68 × 105 ̂ + 1.17 × 104 k̂ V m
E y = −1.68 × 105 V m
)
⎛ 10−9

2 × 10−9
−0.369 × 10−9 ⎛ ̂ + k̂ ⎞ ⎞ V
− ̂ +
E = 8.99 × 109 × ⎜ −4 −ı̂ +
⎜−
⎟⎟
−4
10
2 × 10−4 ⎝
2 ⎠⎠ m
⎝ 10
( )
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
(
× ( −10
( )
= 8.99 × 109 × −10−5 ı̂ − 2 × 10−5 ̂ + 0.13 × 10−5 ̂ + 0.13 × 10−5 k̂ V m =
= 8.99 × 10
⎧

⎪
−2
⎧r = O − P = −10−2 ı̂
⎧
r
=
10
1
⎪r̂1 = −ı̂
⎪⎪ 1 1
⎪
⎪
⎪
−2
−2
⇒ ⎨r2 = 10
⇒ ⎨r̂2 = − ̂
⎨r2 = O − P2 = −10 ̂



⎪
⎪
⎪
−2
−2
⎪⎩r3 = 2 × 10
⎪r̂ = − ̂ + k̂
⎪⎩r3 = O − P3 = −10 ̂ + k̂
⎪⎩ 3
2
per cui:
( )
y
⎛ 10−9 × 2 × 10−9 2 × 10−9 × 0.369 × 10−9 0.369 × 10−9 × 10−9 ⎞
−
−
= 8.99 × 109 × ⎜
⎟J=
10−2
⎝
⎠
2 × 10−2
3 × 10−2
z
(
P2
Esercizio 8 (IV)
e il principio di sovrapposizione, si ha, nel nostro caso:

E=
O
P1
j≠i
•  Ricordando il campo elettrico generato da una carica puntiforme:
()
x
1 3 3 ⎛ 1 qi q j ⎞
1 ⎛ q1q2 q2 q3 q3q1 ⎞
E = ∑∑⎜
+
+
=
⎟=
2 i=1 j=1 ⎝ 4πε 0 rij ⎠ 4πε 0 ⎜⎝ r12
r23
r31 ⎟⎠
Esercizio 8 (III)
 
E r =
P3
j≠i
•  Calcolare inoltre la componente y del campo elettrico generato dal
sistema nell’origine O(0, 0, 0) della terna
z
cartesiana: Ey(0, 0, 0).
P3
ξ = 123 ⇒ q3 = −
z
1 n n ⎛ 1 qi q j ⎞
E = ∑∑⎜
⎟
2 i=1 j =1 ⎝ 4πε 0 rij ⎠
z
x
43
 P3
r3
O 
r r2 P2
P1 1
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
y
44
Esercizio 9
Esercizio 9 (II)
•  Un condensatore, a cui è applicata una differenza di potenziale
ΔV = 100 V, possiede una carica Q = 7× 10−6 C.
•  La capacità è la costante di proporzionalità tra Q e ΔV.
Q
7 × 10−6 C
C=
=
= 7.00 × 10−8 F = 70.0 nF
100 V
ΔV
•  Qual è la sua capacità?
•  Se il condensatore è piano, con le armature distanti l = 10−3 m, qual è
la loro area?
•  Per un condensatore piano:
C = ε0
•  Che lavoro è stato necessario compiere per caricare il condensatore?
•  Qual è la forza con cui si attraggono le armature del condensatore?
Q
S
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

E
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
S
l
⇒ S=

E
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−Q
l
Cl 7 × 10−8 F × 10−3 m
=
= 7.91m 2
ε0
8.85 × 10−12 F m
•  Il lavoro necessario a caricare il condensatore è pari all’energia
potenziale elettrostatica accumulata nel condensatore:
−Q
(
)
2
−6
1 Q 2 1 7 × 10 C
E=
=
= 3.50 × 10−4 J
2 C 2 7 × 10−8 F
l
45
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
Esercizio 9 (III)
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
46
Esercizio 10
•  Per calcolare la forza con cui si attraggono le armature, consideriamo
il lavoro necessario per portare le armature dalla distanza l alla
distanza l + dl.
•  Un conduttore di capacità C = 4×10−11 F possiede una carica
Q = 8×10−10 C.
•  Qual è il suo potenziale?
•  Tale lavoro si può scrivere sia in funzione della forza e dello
spostamento, sia in funzione della variazione dell’energia potenziale
elettrostatica:
dL = F dl ⎫
dE
⎬ ⇒ F=
dl
dL = dE ⎭
•  Poiché:
1 Q2 1 Q2 l
=
E=
2 C 2 ε0 S
2
si ha:
7 × 10−6 C
dE 1 Q 2 1
F=
=
=
= 0.350 N
dl 2 ε 0 S 2 8.85 × 10−12 F m × 7.91m 2
(
Q
S
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
)
Q
S
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica

E
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
•  Se il conduttore è di forma sferica, qual è il suo raggio?
•  Ponendo in contatto con il conduttore dato un altro conduttore
(scarico), si osserva che il potenziale diminuisce di ΔV = 1 V.
• Qual è la capacità del nuovo conduttore?
−Q
Q
l
47
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
48
Esercizio 10 (II)
Esercizio 11
•  Si ha, per la definizione di capacità di un conduttore:
•  Un sfera costituita di materiale conduttore, di raggio R = 5 cm viene
collegata, tramite un filo conduttore di resistenza trascurabile, a un
cavo dell’alta tensione, il cui potenziale varia nel tempo come:
Q 8 × 10−10 C
⇒ V= =
= 20 V
C 4 × 10−11 F
Q = CV
()
•  Se il conduttore è sferico, la sua capacità è data da:
C = 4πε 0 R
per cui il suo raggio è:
( )
V t = V0 cos ω t
con V0 = 100 kV e ω = 2π×50 Hz.
1
R=
C = 8.99 × 109 F m × 4 × 10−11 F = 0.360 m
4πε 0
•  Calcolare la massima intensità di corrente che scorre nel filo.
•  Il sistema formato dai 2 conduttori posti a contatto ha una capacità
pari alla somma delle 2 capacità:
Ctot = C + C ′
Poiché la carica totale non cambia, si ha:
(
) (
Q − C (V − ΔV )
=
C′ =
)(
)
(
)
(
Q = Ctot V − ΔV = C + C ′ V − ΔV = C V − ΔV + C ′ V − ΔV
V − ΔV
()
()
i t
Q
8 × 10−10 C
−C =
− 4 × 10−11 F = 2.11pF
20 V− 1V
V − ΔV
Q
49
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
Esercizio 11 (II)
Esercizio 11 (III)
•  La carica Q presente sulla sfera è data da:
•  Tale sfera, per mantenere il proprio potenziale uguale a quello del
cavo dell’alta tensione (che varia nel tempo) deve continuamente
cedere o acquistare carica elettrica.
e dunque l’intensità della corrente che scorre nel filo è data da:
d
dQ
dV
t =C
t = CV0 cos ω t = −CV0ω sin ω t
i t =
dt
dt
dt
•  La massima intensità della corrente che scorre nel filo è perciò:
()
( )
()
i t
( )
()
+ +
+
+
+ +
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
()
()
( )
( )
dove:
C = 4πε 0 R = 4π × 8.85 × 10−12 F m × 5 × 10−2 m =
V t0 = −V0
i
( )
imax = CV0ω
( )
V t0 = V0
()
Q t = CV t = CV0 cos ω t
•  La carica elettrica ceduta o acquistata dalla sfera, passa attraverso
il filo, determinando in esso una corrente elettrica i(t) variabile nel
tempo.
()
50
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
•  La corrente che scorre nel filo è dovuta alla capacità non nulla della
sfera conduttrice.
V t = V0 cos ω t
( )
V t = V0 cos ω t
)
= 5.56 × 10−12 F
i
•  Si ha perciò:
− −
−
−
− −
51
()
( )
V t = V0 cos ω t
imax = CV0ω = 5.56 × 10−12 F × 105 V × 2π × 50s −1 =
()
i t
= 17.5 × 10−5 A = 175 µ A
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
52
Esercizio 12
Esercizio 12 (II)
•  Due sfere conduttrici cariche positivamente, entrambe di raggio
R = 0.1 cm, sono disposte con i centri a una distanza d = 6 cm e si
respingono con una forza di intensità F = 4×10−5 N.
•  Se le due sfere di uguale dimensione, dopo essere state poste a
contatto, si respingono con forza diversa da prima:
–  Significa che esse prima possedevano carica e potenziale diverso, mentre dopo
esse possiedono potenziale uguale e anche carica uguale (avendo la stessa
dimensione e dunque la stessa capacità).
•  Se le due sfere sono poste a contatto e in seguito ridisposte nelle
precedenti posizioni, la forza di repulsione risulta k2F, con k = 1.5.
•  Se chiamiamo q1 e q2 le cariche delle 2 sfere prima del contatto e qf la
carica di entrambe le sfere dopo il contatto, si ha:
•  Calcolare le cariche iniziali e finali di entrambe le sfere.
q1 + q2
2
•  La forza repulsiva, prima e dopo il contatto, vale:
qf =
•  Calcolare i potenziali iniziali e finali di entrambe le sfere (preso zero
il potenziale all’infinito).
⎧
1 q1q2
⎪F =
4πε 0 d 2
⎪⎪
2
⎛ q1 + q2 ⎞
⎨
2
⎜
⎟
⎪
1 qf
1 ⎝ 2 ⎠
1 q1 + q2
⎪k 2 F =
=
=
2
2
4πε 0 d
4πε 0
4πε 0 4d 2
d
⎪⎩
•  Calcolare il valore del campo elettrico nel punto intermedio O del
segmento congiungente i centri A e B delle 2 sfere dopo il contatto.
d
A
O
(
B
53
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Esercizio 12 (III)
)
2
d
A
O
B
54
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
Esercizio 12 (IV)
•  Si ha perciò:
•  Note le cariche, possiamo calcolare i potenziali. Inizialmente si ha:
⎧⎪q1q2 = 4πε 0 d F
⎨
⎩⎪q1 + q2 = 4dk πε 0 F
2
⎧q = 4dk πε F − q
0
1
⎪ 2
⇒ ⎨
2
⎪⎩q1 4dk πε 0 F − q1 = 4πε 0 d F
(
⎧
q1
= 9.4 × 104 V
⎪V1 =
4
πε
R
⎪
0
⎨
⎪V = q2 = 1.4 × 104 V
⎪ 2 4πε R
0
⎩
mentre nello stato finale si ha:
q1 + q2
qf
V1 f = V2 f =
= 2 = 5.4 × 104 V
4πε 0 R 4πε 0 R
)
q12 − 4dk πε 0 F q1 + 4πε 0 d 2 F = 0
q1 = 2dk πε 0 F ± 4d 2 k 2πε 0 F − 4πε 0 d 2 F
(
)
(
q1 = 2dk πε 0 F ± 2d πε 0 F k 2 − 1 = 2d πε 0 F k ± k 2 − 1
(
(
)
)
⎧q = 2d πε F k ± k 2 − 1
0
⎪ 1
⎨
⎪q2 = 2d πε 0 F k  k 2 − 1
⎩
q +q
q f = 1 2 = 6.00 nC
2
)
⎧⎪q = 10.47 nC
⇒ ⎨ 1
⎪⎩q2 = 1.53nC
•  Dopo il contatto, essendo uguale la carica delle 2 sfere, nel punto
intermedio O il campo elettrico è nullo.
d
d
A
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O
B
A
55
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
O
B
56
Esercizio 12
Esercizio 12 (II)
•  In una data terna cartesiana Oxyz, un piano indefinito conduttore
Π = {(x, y, z) ∈ R3; z = 0} è mantenuto a potenziale uniforme nullo
V ≡ 0 rispetto a terra.
•  Nella stessa terna cartesiana, nel punto P+ (0, 0, h), con h = 3 cm è
posto una particella elettrizzata con carica elettrica q = 10 nC.
•  Determinare la densità superficiale di carica elettrica σ(0, l, 0),
indotta dalla carica puntiforme sul piano conduttore nel punto
P′(0, l, 0), con l = ξ cm.
•  Le linee di campo del campo elettrico E devono avere tutte origine
nella particella carica puntiforme q e devono essere perpendicolari
alla superficie del piano conduttore.
⊙
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57
Esercizio 12 (III)
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
58
Esercizio 12 (IV)
•  Metodo della carica immagine:
•  Potenziale particella carica puntiforme:
–  Si cerca un problema di più facile soluzione, in cui il campo elettrico sia il
medesimo del nostro problema:
–  2 particelle cariche:
•  Potenziale dipolo:
•  la carica q in P+ (0, 0, h);
•  la carica –q in P– (0, 0, h).
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59
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
60
Esercizio 12 (V)
Esercizio 12 (VI)
•  Potenziale dipolo:
•  Componente z campo dipolo:
•  Componente z campo dipolo:
•  Componente z campo dipolo a z = 0:
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61
Esercizio 12 (VII)
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Esercizio 12 (VIII)
•  Componente z campo dipolo a z = 0:
•  Densità superficiale di carica sul piano:
•  Legge di Gauss:
dφ = E dS
E
− − − − −− −− −−−− −
−
dq = σ dS
σ(x,y)
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63
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
64
Esercizio 13
Esercizio 13 (II)
•  Una particella puntiforme, avente carica elettrica q = 10 nC, è posta
alla distanza d = (12 + ξ/100) cm dal centro di una sfera conduttrice,
di raggio R = 10 cm, messa a terra.
•  Determinare:
•  Una sfera conduttrice collegata a massa ha sempre potenziale
elettrico V = 0.
•  Se la sfera è spazialmente isolata (nel senso che essa è lontana da
ogni altra carica elettrica) questo significa che anche la carica Q della
sfera è nulla:
a.  La carica Q indotta dalla carica q sulla sfera conduttrice;
b.  Il potenziale elettrostatico V in un punto P situato a una distanza r = 5 cm
dall’asse del sistema, su di un piano perpendicolare all’asse e distante z = 11 cm dal
centro della sfera.
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–  valendo la relazione Q = CV, dove C è la capacità, per un conduttore spazialmente
isolato.
65
Esercizio 13 (III)
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66
Esercizio 13 (IV)
•  Se invece si avvicina una corpo elettrizzato, di carica elettrica q, alla
sfera conduttrice collegata a massa:
•  La carica Q′ è subito neutralizzata dalle cariche negative libere
disponibili dal collegamento di massa;
•  La carica Q′ non è neutralizzata.
•  Il movimento delle cariche cessa quando il campo elettrico E′,
prodotto dalla carica accumulata Q′, equilibra il campo elettrico E
prodotto dalla carica q:
–  Il campo elettrico E, prodotto da q e presente anche entro la sfera conduttrice,
muove le cariche elettriche libere nella sfera:
–  Producendo, sulla superficie sferica (induzione elettrostatica):
•  Un accumulo di cariche Q′, di segno opposto a quello della carica q, nella parte più
prossima alla carica q;
•  Un accumulo di cariche Q′ nella parte più lontana dalla carica q.
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Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
68
Esercizio 13 (V)
Esercizio 13 (VI)
•  In condizioni statiche, la sfera conduttrice, ha una carica elettrica
netta Q′ di segno opposto alla carica q :
•  Metodo della carica immagine:
–  Cerchiamo un sistema elettrostatico — più semplice da affrontare di quello dato —
che produca, all’esterno della sfera, lo stesso potenziale elettrico V e lo stesso
campo elettrico E del sistema dato.
–  Tentiamo (ansatz, ipotesi di lavoro da verificare a posteriori) con un sistema
elettrostatico costituito da due cariche puntiformi:
–  Anche se non necessariamente dello stesso modulo:
–  Distribuita sulla superficie della sfera, con densità superficiale di carica σ più
elevata nella parte della superficie che si trova più prossima alla carica q.
•  La carica q data;
•  Una seconda carica, q′, detta carica immagine, disposta sull’asse z del sistema in una
opportuna posizione.
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Esercizio 13 (VII)
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 1. Esercizi di Elettrostatica
70
Esercizio 13 (VIII)
•  Potenziale di una carica puntiforme isolata Q:
•  Sfera a massa, potenziale ovunque nullo nel volume della sfera:
–  In particolare sulla sua superficie:
•  Per il principio di sovrapposizione, nel nostro caso:
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•  Sulla superficie della sfera:
71
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Esercizio 13 (IX)
Esercizio 13 (X)
•  Dobbiamo scegliere q′ e d′ (se è possibile) in modo tale che questa
espressione sia identicamente nulla sulla superficie della sfera:
–  Indipendentemente dalla direzione del versore
•  Il flusso di E per la sfera e per la carica immagine deve essere uguale:
:
•  Per la legge di Gauss:
•  Questa condizione può essere verificata
soltanto se:
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Esercizio 13 (XI)
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Esercizio 13 (XII)
•  Sostituendo i valori trovati d′ = R2/d e q′ = R q/d nell’espressione
del potenziale:
•  Poiché
•  Considerando
•  Considerando
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:
:
:
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http://campus.cib.unibo.it/2488/
Domenico Galli
Dipartimento di Fisica
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http://lhcbweb2.bo.infn.it/bin/view/GalliDidattica