CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ED-ARCH AA 2010/11
PROVA SCRITTA DI FISICA GENERALE DEL 19/Gen/2012 VIII°APPELLO
1) Una automobile viene accelerata da ferma lungo un rettilineo, con una accelerazione di equazione a(t)=ao+b·t dove ao=1m/s2.
Sapendo che dall’istante di partenza l’automobile percorre un tratto d=100m con una velocitá media pari a vm=50km/h, determinare
il valore della costante b. Considerare l’istante di partenza come istante iniziale t=0.
2) Un blocco di massa m, abbandonato da fermo da una altezza h=10m lungo un
piano inclinato scabro inclinato di un angolo α=30º, giunge strisciando alla base
h
del piano dove rimbalza con la stessa velocità e verso opposto, risalendo il piano
α
sino ad una altezza h’=6m. Determinare:
a) quanto vale il coefficiente di attrito dinamico µd del piano;
b) il tempo ∆t che il blocco impiega ad arrivare alla base del piano.
Utilizzare come valore per l’accelerazione di gravità g=10 m/s2
3) Si consideri il sistema mostrato in figura costituito da una tavola di lunghezza L=6m e
massa M=10kg sospesa per un estremo ad una corda inestensibile, di massa trascurabile e
lunghezza l=4m e per l’altro estremo da una fune elastica ideale di lunghezza a riposo l’= 4/5l e
costante elastica K=400N/m. Un uomo di massa m=70kg sale sulla tavola. a) Dire a quale
l
distanza d rispetto al punto A deve posizionarsi l’uomo sulla tavola affinché questa si disponga
m
?
M
orizzontalmente in equilibrio e b) quanto vale la tensione T della corda in questa situazione.
(Considerare la direzione della forza esercitata dalla fune elastica sempre perpendicolare
A
alla tavola)
4) Un disco omogeneo di massa M=2kg e diametro d= 60cm è disposto su di una parete verticale ed è
in grado di ruotare senza attriti intorno ad un asse orizzontale passante per il punto A (vedi figura).
A
Lungo il diametro AB del disco viene inoltre fissata una massa m=500g da considerarsi puntiforme a
O
distanza 2/3d da A. Un filo, collegato in B a formare un angolo retto con AB mantiene in equilibrio il
disco. La retta passante per AB forma inoltre un angolo pari a β=30° con la verticale. Determinare:
a) la distanza D del cdm del sistema (disco+massa m) dal centro O del disco;
b) quanto vale la tensione T del filo;
r
c) quanto vale la reazione vincolare RA in A;
β
m
B
Supponendo di tagliare il filo dire:
d) con quale accelerazione angolare α ruoterà il disco nell’istante in cui il filo è reciso.
(Momento di inerzia di un disco€omogeneo di raggio R rispetto ad un asse passante per il centro del
disco I = 1/2M R2 )
SCRIVERE IN MODO CHIARO – SINTETICAMENTE, GIUSTIFICARE IL PROCEDIMENTO E COMMENTARE I PASSAGGI – USARE GLI
STESSI SIMBOLI DEL TESTO – SOSTITUIRE I DATI NUMERICI SOLO ALLA FINE – SCRIVERE I RISULTATI CON LE UNITÁ DI MISURA
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SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DI FISICA GENERALE DEL 19/Gen/2012
1) Dall’integrazione la funzione a(t) con la condizione iniziale v(t=0)=0 e successivamente la funzione v(t) con la condizione
s(t=0)=0 si ottiene:
v(t) = a o t +
b 2
t
2
e
s(t ) =
ao 2
b 3
t +
t
2
6
Detto t1 l’istante in cui l’automobile ha percorso il tratto d si ha dalla definizione di velocitá media: t1= d / vm =7,2s da cui
2
3
€
a d
b d
s(t1) = d = o
+
2 vm
6 vm
2
v 3 a d
3
b = 6 m d - o
= 1, 2m / s
d
2 vm
⇒
€
2) a) Dalla conservazione dell’energia in meccanica si ha:
ΔT + ΔU = L nc
ΔT = 0
si ricava quindi:
con
ΔU = mg(h' −h)
e
h
h'
cos α
Lnc = −µ d N
+
( h + h')
= −µ d mg
sin α sinα
sin α
h − h'
µd = tanα
= 0,14
h + h'
€
b) Le equazioni della dinamica del sistema sono:
r r r
r
mg + N + Ad = m a
€
Da questa relazione vettoriale si ricava la relazione scalare:
mgsinα − µ d mg cos α€= m a
e quindi
h − h'
2h'
a = gsinα − sin α
gsinα = 3,75m / s 2
=
h + h' h + h'
Essendo l’accelerazione costante si ricava per il tempo:
€
Δt =
€
2h
= 3,3 s
asin α
3) Quando la tavola é orizzontale la lunghezza della molla dovrá essere pari a l ed
eserciterá pertanto sulla tavola una forza traente pari a:
K(l – l’ )=K l /5 .
Prendendo come polo per il calcolo dei momenti il punto A si ha all’equilibrio:
(M +m)g = T + K l /5
equilibrio delle forze
Mg L/2 +mg d – Kl /5 L=0 equilibrio dei momenti
Dalle due relazioni si ricava:
a)
L⋅[ Kl/5– Mg /2]
d =
= 2.37 m
mg
b)
T= (M +m)g – Kl /5= 465 N
l
d
T
K·( l – l’ )
A
Mg
mg
€
4) a) Utilizzando la proprietà associativa del cdm si ricava che:
d
1
cos β
= −1,73cm
6
m+M
d
1
= −m sin β
= −1 cm
6
m+ M
x cm = −m
y cm
dove le coordinate sono riferite al sistema Oxy mostrato in figura in cui l’orine O coincide con il centro del disco. Si ricava inoltre
d m
che la distanza D dal centro
2
€ del disco è pari a: D = x cm
+ y 2cm =
= 2cm
6 m+ M
b) La tensione T del filo può essere ricavata dalla condizione di equilibrio per il sistema. Scegliendo il polo in A
dall’equazione dei momenti:
d
2
sin β
4
Mg €sin β − T d + mg d sin β = 0
⇒ T=
g M + m = 6,54N
2
3
2
3
r
y
c) Dall’equilibrio delle forze si ottiene per la reazione RA :
r
A
RA
€
RA,x = T cos β = 5, 66N
RA,y =€(M + m )g − T sin β = 21, 25N
2 + R 2 = 22N
R = RA,x
A,y
€
x
β
si ha
m
B
r
T
d) Dalla dinamica rotatoria di un corpo rigido intorno ad un asse fisso si ricava per l’accelerazione angolare del sistema all’istante
€
t=0 in cui la fune è recisa:
€
α (t = 0) =
M Aext (t = 0)
ext
dove M A (t = 0) è il momento assiale delle forze esterne calcolato con polo in A nell’istante t=0 e Itot
I tot
è il momento di inerzia totale calcolato rispetto all’asse di rotazione e dato da in base al teorema di Huigens-Steiner:
€
d 2 1 d 2
2d 2 3
16 d 2
I tot = Mr 2 + I D + I m = M + M + m = M + m = 0,35 kg m2
2
2 2
3
2
9 2
dove con Im si è indicato il momento di inerzia della massa puntiforme.
Essendo il momento assiale:
€
4 d
sin β = 3, 92 N m
M + m g
3 2
si ottiene per l’accelerazione angolare:
4
M + m g sin β
M ext
(t
=
0)
3
α (t = 0) = A
=
= 11, 2 rad / s2
I tot
3
16 d
M + m
2
9 2
€
€
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PROVA SCRITTA DI FISICA GENERALE DEL 19/Gen/2011 VIII°APPELLO
DOMANDE DI TEORIA
Rispondere alle seguenti domande (verrà valutata l'esattezza, la chiarezza, la completezza e la sintesi delle risposte). Le risposte debbono
essere redatte esclusivamente sul foglio fornito dal docente che assiste alla prova debitamente compilato con nome, cognome e numero di
matricola dello studente. L'uso corretto e la scrittura dei simboli utilizzati sarà oggetto di valutazione. Si raccomanda inoltre di scrivere in
modo ordinato e con calligrafia chiara e comprensibile. Elaborati non conformi alle indicazioni riportate saranno valutati negativamente.
1) Definire la velocità istantanea e l'accelerazione istantanea di un punto materiale. a) La velocità istantanea è sempre tangente alla
traiettoria? b) L'accelerazione istantanea è sempre tangente alla traiettoria? Motivare adeguatamente le risposte ai due quesiti.
2) Cosa si intende in meccanica per forza elastica? Indicare l'espressione analitica generale della forza (legge di forza) fornendo la
definizione e le unità di misura dei parametri in essa contenuti. Scrivere inoltre l'equazione differenziale del moto di un punto materiale
soggetto ad una forza elastica commentando le caratteristiche cinematiche della soluzione.
3) Ricavare analiticamente la legge di Stevino per i fluidi pesanti partendo dall'ipotesi di equilibrio locale ed applicarla all’equilibrio di
due liquidi non miscibili di differente densità presenti all’interno di un tubo ad “U”.
