1 CAMPO NEL CORPO UMANO
Il corpo umano è, dal punto di vista elettromagnetico, un oggetto dielettrico (con
perdite) disomogeneo, e con una forma abbastanza irregolare. Ne segue che una valutazione
accurata del campo nel corpo umano, sia per scopi terapeutici e diagnostici, sia per scopi dosimetrici, richoiede tecniche numeriche 3D, che sono computazionalmente onerose.
Esistono però anche tecniche approssimate di valutazione, che, all’interno dei loro limiti
di validità, forniscono risultati con errori normalmente accettabili (5 ÷ 15 %), e che, con errori
superiori, possono anche essere estrapolate oltre questi limiti. Queste tecniche si basano su un
modello di corpo umano di forma geometrica regolare (sfera, cilindo, ellissoide) e composizione
costante, che consente una soluzione esatta della equazioni di Maxwell. Tuttavia, quella che
poi si utilizza è una soluzione approssimata, ottenuta o come apporssimazione della soluzione
esatta, oppure mediante tecniche approssimate di soluzione.
Noi considereremo qui solo l’interazione del campo (a bassa frequenza) con una sfera
di raggio a, inizialmente omogenea. Questo può essere un buon modello di testa ma, in prima
approssimazione, anche di tutto il corpo, almeno a scopi dosimetrici. In questo secondo caso, in
genere si utilizza una sfera di volume pari a quello del corpo umano (a ≃ 25 cm).
Assumendo una onda piana incidente, e scelto l’asse z nella direzione di propagazione,
e l’asse x in direzione del campo elettrico
Ei = E0 exp (−jβz) ix
Hi = H0 exp (−jβz) iy
con E0 = ζH0 , il campo all’interno della sfera puó essere, per sfera piccola, approssimato con
E = Ee + Em
(1)
con
Ee = E0
3
ix
ǫeq
(2)
r
Em = H0 jωµ0 (cos ϕ iθ − cos θ sin ϕ iϕ )
2
La (1) é una ottima approssimazione per βa < 0.1, ma fornisce valori ragionevoli, in
particolare per la potenza dissipata, anche per sfere piú grandi.
La densitá di potenza dissipata nella sfera vale
i
1 h
1
σ |E|2 = σ |Ee |2 + |Em |2 + 2Re Ee · E∗m
2 2
9 |E0 |2 r 2
1
∗
2
2
2
H
ωµ
+
= σ
cos
ϕ
+
cos
θ
sin
ϕ
+
2Re
E
·
E
0
0 e
m
2
|ǫeq |2
2
pD =
(3)
Per quanto riguarda l’ultimo termine nella (3), ricordando che ix · iθ = cos θ cos ϕ e
ix · iϕ = − sin ϕ, si ha
1
Ee ·
E∗m
3
r ∗
= E0
(cos ϕ cos θ cos ϕ − cos θ sin ϕ sinϕ )
H0 jωµ0
ǫeq
2
3
r ∗
= E0
H0 jωµ0
cos θ cos 2ϕ
ǫeq
2
La potenza dissipata totale vale
Z
Z
pD dV =
PD =
pD r 2 sin θ dr dθ dϕ
V
V
L’integrale (in dϕ) dell’ultimo termine della (3) é nullo, e resta (gli altri integrali in dϕ
valgono 2π per |Ee |2 e pi per |Em |2 )
1 9 |E0 |2
1
PD = σ
VS + σ
2
2 |ǫeq |
2
essendo
Z
a
0
Z
π
0
H0 ωµ0
Vs =
r 2
π 1 + cos2 θ r 2 sin θ dr dθ
2
4π 3
a
3
5
il volume della sfera. L’integrale in dr vale a /5, e quello in dθ vale
Z π
Z 1
1 + cos2 θ sin θ dθ = 2
(1 + x2 ) dx = 8/3
0
0
per cui, in definitva
PD =
1 9 |E0 |2
1
1
2 ωµ0 2 a5 8
9 |E0 |2
a 2
σ
V
+
σ
π
=
σ
V
+
ωµ
H0
H0
S
S
0 2 |ǫeq |2
2
2
5 3
2
|ǫeq |2
5
2
(4)
Il termine derivato da Em varia con a2 , rispetto all’altro termine, per cui, per raggi
elevati (e anche per le costanti dielettriche elevate dei tessuti biologici) questo termine predomina.
Se l’incidenza é dovuta a un dipolo (elettrico o magnetico) vicino, allora basta considerare come E0 ed H0 nella (4) i valori del campo incidente al centro della sfera. In tal caso
risulterá E0 = ZW E H0 per dipolo elettrico e E0 = ZW M H0 per dipolo magnetico. Nel secondo
caso, il termine dominante é, a maggior ragione, quello dovuto a Em . Nel caso di dipolo elettrico,
invece, la relazione tra i due termini va vista caso per caso.
2
