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Università degli Studi di Milano
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni
Anno accademico 2011/12, Laurea Triennale, Edizione diurna
FISICA
Lezione n. 7 (4 ore)
Statica e dinamica dei fluidi
Carlo Pagani (A-G) & Flavia Maria Groppi (H-Z)
Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA
Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)
web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani
e-mail: [email protected] & [email protected]
Meccanica dei Fluidi
Secondo il tipo e le condizioni ambientali la materia può
trovarsi in uno dei tre stati: solido, liquido, gassoso.
• un solido ha una forma ed un volume definiti,
• un liquido ha una volume definito ma non una forma
• un gas libero non ha né forma né volume definiti.
Ci sono sostanze che possono essere solide, liquide o
gassose (oppure una combinazione di queste) in funzione
della temperatura e della pressione.
Un fluido è un insieme di molecole che sono sistemate in
modo casuale e vengono tenute insieme da deboli forze di
coesione e da forze esercitate dalle pareti del contenitore.
Fluidi sono sia i liquidi sia i gas.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica - Lez 7 - 2011/12
La pressione
Il solo tipo di forza che può esercitare un fluido è quella perpendicolare ad
una superficie con cui è in contatto. Ad es. la forza esercitata da un fluido
su di un oggetto è sempre perpendicolare alle superfici dell’oggetto. Tale
forza ha origine dall’urto delle molecole del fluido con la superficie.
Ciascuna collisione dà luogo ad una inversione del vettore velocità della
molecola perpendicolare alla superficie.
Dal teorema dell’impulso e dalla terza legge di Newton,
ciascuna collisione produce una forza perpendicolare alla
superficie. Dal punto di vista macroscopico la somma di
queste forze si distribuisce su tutta l’area della superficie
ed è in relazione con la grandezza detta pressione.
F
p
A
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica - Lez 7 - 2011/12
Unità di misura della pressione
La pressione p è la componente normale alla superficie della
forza per unità di superficie. Nel SI si misura in N·m-2 = Pa
(pascal) le cui dimensioni sono [m-1 · kg · s-2]
1 Pa = 1 N m-2 = 1 kg m-1 s-2
L’atmosfera esercita una pressione sulla superficie terrestre
dovuta alla forza di gravità esercitata dalla terra sulla massa
d’aria che agisce su 1 m2 di suolo; si misurava in atmosfere
1 atm ≈ 1.013 ·105 Pa
Un multiplo del pascal ampiamente utilizzato perché di valore simile all’
atmosfere è il bar.
1 bar ≝ 1·105 Pa
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica - Lez 7 - 2011/12
Legge di Stevino: p = p(h)
Prendiamo un liquido di densità  a riposo e scegliamo un campione del
liquido contenuto in un immaginario cilindro di base A che si estende dalla
distanza generica d dalla superficie del liquido sino alla profondità (d+h).
Dato che il campione è fermo per la seconda legge di Newton la forza
risultante sul campione deve essere nulla.
F
y
 0  p A  p0 A  m g  0
pA  p0 A   g A h
m  V   Ah
p  p0   g h
Dove p è la pressione esercitata dal fluido, p0 la
pressione atmosferica esercitata sul cilindro se d = 0.
La pressione in un liquido aumenta linearmente con la
profondità h dentro il liquido. La pressione è la stessa in
tutti i punti che hanno la stessa profondità e questo
risultato è indipendentemente dalla forma del
contenitore:
Carlo Pagani & Flavia Groppi
Legge di Stevino
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Fisica x Informatica - Lez 7 - 2011/12
Legge di Pascal
Sulla base del risultato ottenuto, si può enunciare la legge di Pascal: ogni
variazione di pressione applicata ad un fluido chiuso è trasmessa
integralmente in ogni punto del fluido e alle pareti del contenitore.
Un’importante applicazione della legge di Pascal è la pressa idraulica..
Una forza F1 viene applicata ad un
piccolo pistone di area A1. La
pressione viene trasmessa attraverso
il fluido ad un grande pistone di area
A2 e viene esercitata una forza F2 sul
secondo pistone.
F1 F2
p 
A1 A2
A2
 F2  F1
A1
Attenzione: l’energia si conserva in quanto:
F1 x1  F2 x2 essendo x2 
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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A1
x1
A2
Fisica x Informatica - Lez 7 - 2011/12
Misure di pressione
Lo strumento per misurare la pressione atmosferica è il barometro
inventato da Torricelli (1608-1647). Un lungo tubo chiuso ad un’estremità
viene riempito con mercurio (Hg) e poi rovesciato in un recipiente pieno di
mercurio.
All’estremità chiusa del tubo si forma un vuoto totale e la
pressione è zero. In A la pressione dovuta alla colonna di
mercurio deve essere uguale alla pressione nel punto B
dovuta alla pressione atmosferica.
p0  Hg g h
Quando varia la pressione atmosferica varia l’altezza h
della colonna di mercurio. L’altezza della colonna di
mercurio per una pressione pari a 1 atm = 1.013 105 Pa è:
1.013105 Pa
h

 0.760 m
3
-3
-2
Hg g (13.6 10 kg m ) (9.80 m s )
p0
Il manometro a tubo aperto serve a misurare la pressione
di un gas contenuto in un recipiente.
p  p0   g h
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Il Principio di Archimede
La forza di galleggiamento è una forza (spinta) verso l’alto che si esercita su
di un oggetto circondato da un liquido (fluido). Il Principio di Archimede
afferma che: Ogni oggetto immerso totalmente o parzialmente in un fluido
subisce una spinta verso l’alto la cui intensità è uguale al peso del fluido
spostato dall’oggetto. (E’ una conseguenza della legge di Stevino)
Ai lati del cubo le forze che si esercitano sono uguali e
contrarie e la risultante delle forze orizzontali è zero. La
forza sulla superficie superiore del cubetto esercitata dal
fluido è minore di quella esercitata sulla superficie
inferiore. La forza verticale di spinta, B, esercitata dal
fluido sull’oggetto di volume Vog = Vfl è quindi (Stevino):
B  Ffluido  Fbasso  Falto  pbasso A  palto A 
 ( fl g (h  d )   fl g d ) A   fl g h A   fl g Vog   fl Vfl g  M fl g
Notiamo che fl Vfl = Mfl è la massa del fluido spostato
dalla presenza del cubetto, mentre la spinta B = Mfl g è
proprio uguale al peso del fluido spostato.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica - Lez 7 - 2011/12
Il Principio di Archimede - 2
Oggetto completamente immerso: Un oggetto di volume Vog
completamente immerso in un fluido di densità fl è sottoposto ad una
spinta di Archimede pari a: B = fl g Vog = fl g Vfl . Poiché l’oggetto è
totalmente immerso Vog = Vfl (volume del fluido spostato). Se l’oggetto ha
densità og, il suo peso è Mog g = og Vog g. La forza risultante su di esso è:
F  B  M
og
g  ( fl  og ) Vog g
Se l’oggetto ha densità minore di
quella del liquido la forza risultante è
positiva e l’oggetto accelera verso
l’alto, se l’oggetto ha densità maggiore
del fluido la forza risultante è negativa
e l’oggetto affonda.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica - Lez 7 - 2011/12
Il Principio di Archimede - 3
Corpo galleggiante: Un oggetto di volume Vog in equilibrio statico che
galleggia sulla superficie di un fluido. Il volume Vfl del fluido spostato
dall’oggetto è solo una frazione del volume totale Vog dell’oggetto. Il
volume del fluido spostato dall’oggetto corrisponde a quel volume
dell’oggetto al di sotto della superficie del fluido. Poiché l’oggetto è in
equilibrio, la spinta di Archimede è equilibrata dalla forza di gravità diretta
verso il basso che si esercita sull’oggetto.
F  0
B  Mog g
 fl Vfl g  og Vog g
og Vfl

 fl Vog
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica - Lez 7 - 2011/12
Dinamica dei fluidi
In un fluido si possono caratterizzare due tipi principali di
flusso: flusso stazionario o laminare quando i cammini
seguiti da ciascuna particella del fluido sono scorrevoli e non
si intersecano tra loro. In condizione di flusso stazionario, la
velocità del fluido in ogni punto rimane costante nel tempo.
Per velocità superiori ad un certo valore critico, il flusso
diventa turbolento.
Il termine viscosità viene usato per definire il grado di attrito
interno nel flusso di un fluido. L’attrito interno è associato alla
resistenza tra due strati adiacenti di liquido in moto relativo.
La viscosità rappresenta una forza di tipo non conservativo,
parte dell’energia cinetica viene convertita in energia interna
(termica) quando strati di fluido slittano reciprocamente.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica - Lez 7 - 2011/12
Dinamica dei fluidi - 2
Per studiare in modo semplice il moto dei fluidi facciamo le
seguenti semplificazioni:
• Fluido non viscoso: l’attrito interno viene trascurato. Un oggetto
in moto in esso non è soggetto a forze d’attrito viscose.
• Fluido incompressibile: la densità del fluido rimane costante
nel tempo, indipendente dalla pressione nel fluido;
• Fluido stazionario: la velocità in ogni punto del fluido non varia
nel tempo;
• Fluido irrotazionale: il momento angolare del fluido in ogni
punto è nullo (non ci sono vortici).
Le prime due assunzioni sono le proprietà del fluido ideale, le
seconde due sono legate alla descrizione delle modalità di fluire
dei fluidi.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Equazione di continuità
Il cammino seguito da una particella di un fluido che si muove in regime di
flusso stazionario è detto linea di corrente. La velocità di ogni particella
del flusso risulta tangente in ogni punto alla sua linea di corrente. Un
insieme di linee di corrente formano un tubo di flusso.
Il volume di un fluido incompressibile è una grandezza che si
conserva:
A1 x1  A2 x2
A1 x1 A2 x2

t
t
A1 v1  A2 v2  Q
Equazione di continuità dei
fluidi: il prodotto dell’area e della
velocità del fluido, in tutti i punti
di un tubo è costante. Tale
prodotto è detto portata, Q
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Teorema di Bernoulli
Quando un fluido si muove in una regione in cui la sua velocità e/o la sua
altezza al di sopra della superficie terrestre cambia, la pressione cambia.
Il teorema di Bernoulli mostra esplicitamente la dipendenza della
pressione dalla velocità e dall’altezza. Consideriamo il flusso di un fluido
ideale attraverso un tubo di sezione variabile in un intervallo di tempo t.
Viene svolto del lavoro sul sistema da parte del
fluido esterno che si trova in contatto con le due
estremità del fluido del sistema e quindi l’energia
cinetica e potenziale variano di conseguenza.
L’equazione di continuità dell’energia è:
 K  U  W
Tra lo stato iniziale e finale varia solo x1 e x2
1
1
2
 K  ( m) v2  ( m) v12
2
2
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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U  ( m) g y2  ( m)g y1
Fisica x Informatica - Lez 7 - 2011/12
Teorema di Bernoulli - 2
W  F1 x1  F2 x2  p1 A1 x1  p2 A2 x2  p1 V  p2 V
 K  U  W
1
1
2
(m) v2  (m) v12  (m) g y2  (m) g y1  p1 V  p2 V
2
2
m
1 m 2 1 m 2 m
( ) v2  ( ) v1  ( ) g y2  ( ) g y1  p1  p2
V
V
2 V
2 V
1
1
2
p1   v1   g y1  p2   v22   g y2
2
2
1 2
p   v   g y  cost
2
Teorema di Bernoulli applicato ad un fluido ideale
dice che la somma della pressione, dell’energia
cinetica per unità di volume e dell’energia potenziale
gravitazionale per unità di volume è costante per tutti
i punti di una linea di corrente:
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Fisica x Informatica - Lez 7 - 2011/12
Teorema di Bernoulli - 3
1 2
p   v   g y  cost 
2
p v2

 y  cost  hp  ha  hg  cost
 g 2g
L’ultima relazione esprime la seconda avendo dato dei nomi ai suoi 3
termini che hanno le dimensioni di y, cioè di una lunghezza. In particolare
hp  p  g 
altezza piezometrica, indica quanto deve essere alta una
colonna del fluido in oggetto per produrre la pressione p sul fondo;
2
ha  v 2 g  altezza d’arresto, ovvero l’altezza cui giunge un corpo lanciato
verso l’alto con velocità v
hg  y 
altezza geometrica.
Per un condotto orizzontale essendo y1 = y2 si ha:
p1 
v12
2g
 p2 
v22
2g
Se il condotto ha sezione (area) costante si ricava che deve essere
costante anche la velocità. Ne consegue che la pressione è costante in
tutto il condotto. Se invece l’area della sezione diminuisce, per mantenere
costante la portata deve aumentare la velocità e ciò comporta una
diminuzione della pressione.
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Teorema di Bernoulli - 4
Si può calcolare la variazione di pressione in funzione de raggio r del
condotto:
2
2
v
S
r

v
p2  p1  (v12  v22 )  v1 1 22  v1 S1  v2 S2  Q  2  1  12
v1 S2 r2
2
2  v1 

 2
2 4

 2  r1 
p2  p1  v1 1  2  
2   r2  


Se r2 è minore di r1, data la dipendenza dalla quarta potenza del rapporto
tra i raggi, bastano piccole variazioni di r2 per produrre forti sbalzi di
pressione: addirittura p2 può diventare minore della pressione atmosferica
creando così l’effetto di aspirazione.
Nota: se il fluido non è in movimento, cioè se v = 0, la legge
di Bernoulli coincide con quella di Stevino
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica - Lez 7 - 2011/12
Viscosità
Strati adiacenti di un fluido sottoposto ad un carico di scorrimento sono
posti in moto relativo. Consideriamo due superfici piane e parallele una
fissa ed una in moto verso destra sotto l’azione di una forza F. A causa di
questo moto una parte del liquido ABCD viene spostata in AEFD dopo un
breve intervallo di tempo e il liquido ha subito una deformazione dovuta
allo scorrimento. La superficie superiore si muove con velocità v.
x / l v

t
l
x
deformazione relativa 
l
Questa
equazione
dice
deformazione relativa è
che
la
velocità
di
v /l. Il coefficiente di viscosità
 per il fluido è definito come:
F / A Fl


v / l Av
Nel sistema SI la viscosità  si misura in N · s · m-2 ,
cioè  ha le dimensioni [lunghezza-1 · massa · tempo-1]
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Moto turbolento
A velocità sufficientemente alte il moto del fluido cambia da laminare a
moto irregolare e causale, che viene detto turbolento. La velocità a cui
inizia il moto turbolento dipende dalla geometria del mezzo che contiene il
fluido e dalla viscosità del fluido.
Sperimentalmente si è trovato che il passaggio a moto turbolento è
caratterizzato da un parametro adimensionale detto
numero di Reynolds RN dato da:
 vd
RN 

Alcuni esperimenti mostrano che se RN è minore di 2000 il moto di un
fluido in un tubo è laminare; la turbolenza avviene se RN > 3000
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica - Lez 7 - 2011/12
Esercizi Lezione 7
Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W. Jewett Jr.
Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).
15-2: Una donna di 50.0 kg sta in equilibrio su un tacco di una coppia di tacchi a spillo. Sapendo che il
tacco è circolare e ha raggio R = 0.500 cm, determinare la pressione che esercita sul pavimento, in
Pa e in atm. [ p=6,24 MPa = 61.6 atm]
15-3: Una molla di un misuratore di pressione relativa ha una costante elastica di 104 N/m e il pistone
sul quale si esercita la pressione da misurare ha il diametro D=2.00 cm. Determinare la profondità in
acqua alla quale va immerso il misuratore perché la molla risulti compressa di 5.00 mm. [ h=16.2 m ]
15.4: Calcolare l’area minima di contatto di una ventosa circolare completamente svuotata d’aria in
grado di sostenere il peso di una persona di 80 kg. [ A=77.4 cm2 ]
15-5: Pascal fece una copia del barometro di Torricelli utilizzando vino rosso di Bordeaux (b=984
kg/m3) al posto del mercurio (Hg=13.6 103 kg/m3). Determinare l’altezza della colonna di vino che fu
necessaria per equilibrare la pressione atmosferica. [ h=10.5 m ]
15-6: Una pallina da ping-pong ha un diametro di 3.80 cm e una densità media di 8.40·10-2 g/cm3.
Deteminate la forza necessaria per tenerla completamente immersa nell’acqua. [ F=0.258 N ]
15-7: Un cubo di legno di 20.0 cm di lato con una densità di 0.65 kg/dm3 galleggia sull’acqua.
Determinare a) la distanza tra la faccia superiore del cubo e il pelo dell’acqua, b) il volume di ferro
(Fe=7.8·103 kg/m3) che bisogna appoggiare sopra il cubo affinché la sua faccia superiore sia a livello
dell’acqua. [ h=7.00 cm , VFe=3.6·10-4 m3]
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica - Lez 7 - 2011/12
Esercizi Lezione 7 - continua
15-8: Determinare la quantità di elio (in metri cubi) necessaria per sollevare un pallone fino all’altezza
di 8 000 m, con un carico di 400 kg (He=180 g/m3) Si consideri che il volume del pallone rimanga
 z / 8000
costante e che la densità dell’aria diminuisca con l’altezza z secondo la relazione  ( z )   0 e
con 0=1.25 kg/m3. [ V=1.43·103 m3]
15-9: Una sfera di plastica galleggia in acqua con il 50% del suo volume immerso. Quasta stessa sfera
galleggia in olio con il 40% del volume immerso. Determinare la densità dell’olio e della sfera. [olio=
1.25·103 kg/m3, sfera=500 kg/m3]
15-10: Un largo serbatoio di raccolta acqua è riempito fino all’altezza h0=10 m. Nel serbatoio viene
aperto un foro all’altezza h=2m dal fondo. Utilizzando il teorema di Bernoulli determinare, prima in
forma generale e quindi numerica, la velocità di uscita dell’acqua e la distanza dal serbatoio alla quale
arriva il getto. [ v  2 g (h0  h) x(h)  4 h (h0  h) , x = 8 m ]
Un recipiente contiene dell’acqua di densità 1.00 g/cm3 sulla quale galleggia uno strato d’olio di densità
pari a 0.92 g/cm3. All’interfaccia tra l’acqua e l’olio è presente un corpo immobile. Sapendo che 1/3 del
volume di tale corpo è circondato da olio, si determini la densità del corpo. [ co=973 kg/m3 ]
Tre ragazzi, tutti di ugual massa pari a 37,4 kg, costruiscono una zattera con tronchi del diametro di 32
cm e lunghezza di 1.77 m. Sapendo che la densità del legno utilizzato è le=758 kg/m3, determinare il
numero di tronchi necessario per tenere a galla i tre ragazzi. [ 3.26 ⇒ 4 tronchi ]
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Fisica x Informatica - Lez 7 - 2011/12
Università degli Studi di Milano
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Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni
Anno accademico 2011/12, Laurea Triennale, Edizione diurna
FISICA
Lezione n. 8 (4 ore)
Termologia, calorimetria e
1° principio della termodinamica
Carlo Pagani (A-G) & Flavia Maria Groppi (H-Z)
Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA
Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)
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Termodinamica: introduzione
Abbiamo visto che, in presenza di sole forze conservative, si ha la
conservazione dell’energia meccanica:
K + U = Costante.
Nella realtà però si hanno quasi sempre anche forze non conservative (p.
es. attriti). Quindi, se si vuole mantenere un corpo in movimento, si deve
compiere del lavoro. Per esempio fornire energia con un motore per
mantenere la velocità costante.
Come possiamo ottenere questo lavoro?
Quanta è l’energia dissipata per attrito ?
Calore
(fluido caldo)
Combustibile
Reazione Chimica
Lavoro
Macchina Termica
La termodinamica è nata proprio per studiare questi problemi.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 8 - 2011/12
La Temperatura - 1
La Temperatura è una delle 7 grandezze fondamentali del sistema SI.
La Temperatura è la conseguenza dell’energia cinetica con cui si muovono gli
atomi e le molecole che costituiscono la materia: solida, liquida o gassosa.
Gassosa
Liquida
Solida
La temperatura si misura in gradi Kelvin [K]. La scala dei gradi Kelvin parte da 0
in corrispondenza di quello che è chiamato lo zero assoluto.
Lo zero assoluto è la temperatura alla quale l’energia cinetica associata al
movimento degli atomi (molecole) è nulla.
La scala delle temperature in gradi Kelvin è definita prendendo come valore zero
lo zero assoluto, ed assegnando il valore 273.15 K alla temperatura del punto
triplo dell’acqua (coesistenza in equilibrio degli stati solido liquido e gassoso), che
rappresenta lo zero della scala dei gradi centigradi (Celsius).
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 8 - 2011/12
La Temperatura - 2
PRINCIPIO ZERO della Termodinamica: equilibrio
termico.
Se due corpi isolati sono messi in contatto tra di loro, dopo un sufficiente
tempo, assumeranno la stessa temperatura, detta temperatura di
equilibrio termico.
Corollario: se due corpi A e B si trovano in equilibrio termico con un terzo
corpo T, allora essi sono in equilibrio termico tra di loro.
Questa legge zero, che appare ovvia, è la conseguenza dello scambio
di energia cinetica tra le molecole dei due corpi che entrano in
contatto. Gli urti sono di tipo elastico e si ha quindi trasferimento di
quantità di moto tra le molecole del corpo più caldo verso quelle del corpo
più freddo. L’energia così assorbita viene poi, nello stesso modo,
ridistribuita tra le molecole del corpo più freddo che ha ricevuto energia da
quello più caldo. L’opposto succede al corpo che ha ceduto energia.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 8 - 2011/12
Temperatura - 3
Le relazioni tra le temperature misurate con diverse scale di misura sono
le seguenti:
TK [K] = TC [°C] + 273.15 ovvero TC [°C] = TK [K] - 273.15
K = gradi Kelvin °C = gradi Celsius (centigradi)
La relazione tra i gradi Celsius e i gradi Fahrenheit è più complicata
perché quest’ ultima non usa come riferimento il punto triplo dell’acqua:
TC [°C] = (5 / 9) ‧ (TF [°F] – 32) ovvero TF [°F] = (9 / 5) ‧ (TC [°C]) + 32
La temperatura si misura con i termometri che utilizzano uno degli effetti
che la temperatura ha sulla materia, per esempio quella di dilatarla.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 8 - 2011/12
Temperatura e calore
Il calore è una forma di energia, quindi si misura in joule [J].
Il calore è l’energia che viane trasferita tra un sistema ed un’altro, per
esempio tra uno di noi e l’ambiente circostante, a causa della differenza
di temperatura esistente tra di essi.
Il calore è l’energia trasferita da un sistema ad un’altro che si trova a
a temperatura più bassa: il calore va dalla temperatura più alta a quella più
bassa.
Usando il sistema SI, il calore va espresso in joule, come ogni altra forma di
energia. Una unità di misura molto diffusa del calore è la caloria [cal].
1 cal = la quantità di calore (energia) necessaria per innalzare la temperatura di 1 g di
acqua pura da 14.5 °C a 15.5 °C. Molto usata la chilocaloria: 1 Cal = 1000 cal
1 cal = 4,186 J
Carlo Pagani & Flavia Groppi
1 Cal = 1 kcal = 4186 J
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Fisica x Informatica – Lez. 8 - 2011/12
Dilatazione Termica nei solidi – 1
Quasi tutti i corpi se riscaldati si dilatano e se raffreddati riducono il loro
volume. Questo è il fenomeno della dilatazione termica.
Nei solidi si descrive il fenomeno attraverso il coefficiente di dilatazione
termica (lineare). Il coefficiente di dilatazione termica, indicato con , è in
genere debolmente dipendente dalla temperatura.
Presa una barra di un qualunque materiale, la sua lunghezza L dipenderà
dalla temperatura T cui si trova al momento della misura (attenzione che
questo vale anche per il metro che si usa per misurarla):
L(T) = L(To) +  L(To) (T-To) ⇒ L/L
= T
Nel caso del volume, per i materiali “isotropi” (cioè che hanno le stessa
proprietà indipendentemente dalla direzione), si ha una legge analoga e il
coefficiente di dilatazione volumica  = 3 (poiché  << 1)
V/V = T
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 8 - 2011/12
Dilatazione termica nei solidi - 2
I valori di  sono molto piccoli ma possono produrre effetti disastrosi.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 8 - 2011/12
Calore specifico di solidi e liquidi
La capacità termica C di un oggetto è la
costante di proporzionalità tra la quantità di
calore e la variazione di temperatura che
essa produce:
Q = C T = C ( Tf – Ti )
Il calore specifico cs è la capacità termica
per unità di massa. Non è più riferito
all’oggetto ma alla massa unitaria della
sostanza che lo compone:
Q = cs m T = cs m ( Tf – Ti )
I calori specifici delle sostanze in tabella hanno valori molto differenti. Se guardiamo invece l’ultima
colonna, che riporta i calori specifici molari, i valori sono molto simili.
Da un punto di vista termodinamico, statistico, il comportamento di sistema non dipende tanto dalla
sua massa ma piuttosto dal numero di componenti elementari (atomi o molecole) di cui il sistema è
composto. Questa unità di misura è detta mole [ mol ]. La mole è una delle 7 unità di misura fondamentali
del sistema internazionale SI.
1 mol = l’insieme di “costituenti elementari” (building blocks) pari al numero degli atomi di
(carbonio 12) contenuti in 12 g.
12C
mole è l’abbreviazione di “grammo-molecola”. Una mole di sostanza data sono tanti grammi quanto è il
valore del suo peso molecolare.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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La mole e il numero di Avogadro
Il numero di costituenti elementari che definiscono 1 mol (una mole) è
detto Numero di Avogadro, NA.
NA = 6.022 x 1023 [mol-1]
Ogni sostanza pura ha una massa molecolare A [g mol-1]. A è circa dato
dalla somma delle masse dei costituenti (vedi dopo).
La massa M [kg] di n [mol] moli di una sostanza è quindi data da:
M [kg] = n [mol] · A [g·mol-1] · 10-3
Analogamente il numero di moli n [mol] di una sostanza di massa M [kg] è:
n [mol] = 103 · M [kg] / A [g·mol-1]
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Peso atomico e peso molecolare
Nella Tavola periodica gli elementi sono ordinati secondo il numero atomico Z. Il
numero di massa A (neutroni+protoni nel nucleo) è una prima stima del peso
atomico. Per l’idrogeno è circa 1. Per parecchi elementi leggeri è circa il doppio
del numero atomico. Il carbonio ha Z=6, e A=12.
6 x 12 + 1 x 14 = 86 !
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Calore latente
Il calore latente, di fusione e di evaporazione, è la quantità di calore, per unità
di massa, necessario per passare dallo stato solido allo stato liquido e dallo stato
liquido allo stato gassoso. La quantità di calore è misurata a temperatura costante,
rispettivamente temperatura di fusione e di evaporazione. Il calore latente è detto
anche calore di trasformazione.
I calore latenti di fusione ed evaporazione sono indicati rispettivamente:
Lv = calore (latente) di evaporazione
LF = calore (latente) di fusione
Nota: durante il passaggio di stato, la temperatura del sistema rimane costante in quanto
calore è assorbito dal calore latente, alla temperatura di equilibrio.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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l’apporto di
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Densità
La densità  di una sostanza è definita come il rapporto tra la massa m
[kg] della sostanza e il suo volume V [m3]. E’ più propriamente chiamata
massa volumica.  [kg m-3]
m

V
Volumi uguali di sostanze differenti hanno masse diverse e, conseguentemente,
diverse densità. Le densità dei gas sono inferiori rispetto a quelli dei solidi e dei
liquidi in quanto le molecole di un gas sono relativamente distanti tra loro. Un
volume di gas contiene una frazione relativamente grande di spazio vuoto.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Pressione
Se si immette aria in un pneumatico, si aumenta il numero di molecole di gas
all’interno del pneumatico stesso e la forza complessiva che queste esercitano
contro le sue pareti aumenta.
La molecole di aria all’interno del pneumatico sono libere di migrare in tutto il suo
volume. Tuttavia non possono uscirne. Gli urti che si producono continuamente tra
le molecole del gas e le pareti del pneumatico permettono al gas di esercitare una
forza contro ogni parte della superficie delle pareti (principio di Pascal).
La pressione è il modulo della forza agente
perpendicolarmente ad una superficie, diviso per
l’area A della superficie stessa
La pressione è una grandezza scalare
P
  Pa  105 bar 
P  N 2  Kg
m s2 m
F
A
L’unità di misura della pressione è il pascal [Pa].
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Riassunto delle Definizioni
Termodinamica
La termodinamica è la branca della fisica che studia le modalità con cui i corpi si scambiano
calore e come questo possa essere trasformato in lavoro.
Sistema
Si definisce sistema l’insieme dei corpi che si sta studiando.
Ambiente
Si definisce ambiente tutto ciò che non appartiene al sistema.
Stato del sistema
Si definisce stato del sistema l’insieme delle condizioni fisiche del sistema stesso specificate
dalle osservabili fisiche come: pressione,volume e temperatura.
Funzione di stato
Si definisce funzione di stato del sistema una osservabile il cui valore dipende solo dallo
stato in cui si trova il sistema e non dalle modalità con cui è stato raggiunto.
Equilibrio Termico
Due sistemi sono detti in equilibrio termico se, quando sono portati a contatto termico, è
nulla la quantità totale di energia termica che si trasmette (→ Legge zero)
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 8 - 2011/12
1° Principio della Termodinamica
Quando un sistema assorbe una quantità di calore Q e compie una
quantità di lavoro L, l’energia interna del sistema Eint varia di una quantità
Eint. La relazione tra le grandezze è la seguente:
Eint  Eint, f  Eint,i  Q  L
dEint  dQ  dL
Il primo principio della termodinamica è un principio di conservazione
dell’energia. L’equivalente del principio di conservazione dell’energia
meccanica.
Il lavoro ha segno positivo se è fatto dal sistema, è negativo se fatto sul
sistema.
Il calore è positivo se è assorbito dal sistema, negativo se è ceduto dal
sistema.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 8 - 2011/12
Lavoro compiuto dal sistema
Considerando il sistema rappresentato
in figura, al quale viene fornita una
quantità di calore (energia), a causa
dell’aumento di temperatura del gas, il
sistema si espande e compie lavoro.
 
dL  F  ds  ( pA)(ds )  ( p)( Ads )  p dV
Vf
L   dL   p dV
Vi
Il lavoro è compiuto dal sistema (il suo
volume aumenta) e quindi è positivo.
Dalla relazione del 1° Principio
Eint  Eint, f  Eint,i  Q  L
notiamo che la variazione dell’energia
interna del sistema (da cui deriva tra l’
altro la sua variazione di temperatura)
è minore del calore fornito
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 8 - 2011/12
Esercizi Lezione 8
Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W.
Jewett Jr. Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).
16-2: L’azoto liquido ha il punto di ebollizione a -195,81 °C, alla pressione atmosferica.
Esprimere questa temperatura in: a) gradi Fahrenheit, b) gradi kelvin. [ a) -320 °F, b) 77.3 K ]
Convertire nelle altre 2 unità di misura (K, °C, °F) le seguenti temperature: 451 °F, 0 K,
100 °C, 310 K, 86 °F, -40 °C. [451°F=238°C=506K; 0K=-273.15°C=524°F; 100°C=212°F=373K;
310K=36.85°C=98.3°F; 86°F=30°C=303K; -40°C=233K=-40°F]
17-1: Un ferro di cavallo di 1.5 kg inizialmente a 600 °C è lasciato cadere in un secchio
contenente 20.0 kg di acqua a 25 °C. Sapendo che il calore specifico del ferro è cFe = 448
J kg-1 K-1, determinare la temperatura finale del sistema. (Nota: trascurare il calore
specifico del recipiente e assumere che soltanto una trascurabile quantità di acqua
vaporizzi). [ T = 29.6 °C = 302.8 K ]
T.E. - In un bicchiere grande si mettono 100 g di ghiaccio alla temperatura di 0 C° e poi si
versa una lattina di CocaCola da 0.5 litri, alla temperatura ambiente di 25 °C.
Supponendo che non ci sia scambio di calore con il mondo esterno e che la CocaCola si
comporti come l’acqua, determinare:
a) di equilibrio alla quale si porta il sistema nel caso in cui il calore trovato al punto il
calore massimo che la CocaCola potrebbe cedere se si portasse a 0 °C [ Qmax = 52.3 kJ
= 12.5 kcal ]
b) la temperatura precedente sia sufficiente a scogliere tutto il ghiaccio (il calore latente
di fusione dell’acqua è: LF = 0.333 MJ/kg.). [ Tf = 7.6 °C = 280.7 K ]
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 8 - 2011/12
Esercizi Lezione 8 - continua
Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W.
Jewett Jr. Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).
17-3: In un recipiente isolato si aggiungono 250 g di ghiaccio a 0 °C a 600 g di acqua a 18
°C. Determinare : a) la temperatura finale del sistema, b) la quantità rimanente di
ghiaccio. [ a) 0°C, b) 114 g ]
17-2: Un proiettile di piombo di massa 3.00 g alla temperatura di 30.0 °C e alla velocità di
240 m/s colpisce un blocco di ghiaccio a 0 °C rimanendovi conficcato. Determinala la
quantità di ghiaccio che fonde ( cPb = 128 J kg-1 K-1 , LF = 333 kJ/kg). [ mg = 0.294 g ]
17-5: Un sistema termodinamico subisce una trasformazione durante la quale la sua
energia interna diminuisce di 500 J. Sapendo che durante la trasformazione si compie sul
sistema un lavoro pari a 220 J, determinare l’energia trasferita al sistema, o fornita dal
sistema, sotto forma di calore. [ Q= -720 J ]
16-3: L’elemento attivo di un certo laser è costituito da una sbarretta di vetro lunga 30.0
cm con un diametro di 1.50 cm. Sapendo che la temperatura della sbarretta aumenta di
65.0 °C e che il suo coefficiente di dilatazione lineare è  = 9.00 x 10-6 K-1, trovare
l’aumento: a) della lunghezza, b) del diametro, c) del volume [ a) L= 1.76 x 10-4 m, b)
=8.78 x 10-6 m, c) V= 93.0 x 10-9 m3 ]
Determinare il numero di moli ed il numero di molecole contenute in una bottiglia di acqua
minerale da 1.5 litri. (Aacqua = 18 g/mol) [ n = 83.3 mol; N = 5.02·1025 ]
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 8 - 2011/12
Università degli Studi di Milano
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni
Anno accademico 2011/12, Laurea Triennale, Edizione diurna
FISICA
Lezione n. 9 (4 ore)
Trasformazioni termodinamiche,
legge dei gas perfetti e teoria cinetica
Carlo Pagani (A-G) & Flavia Maria Groppi (H-Z)
Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA
Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)
web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani
e-mail: [email protected] & [email protected]
Trasformazioni Termodinamiche
Limitandoci a considerare un sistema gassoso, in cui tipo e quantità di
gas non cambiano (sistema chiuso), notiamo che:
lo stato del sistema è determinato dalla conoscenza delle grandezze
pressione, volume e temperatura.
Queste grandezze: p, V e T sono dette variabili di stato.
Una trasformazione termodinamica rappresenta l’evoluzione del
sistema da uno stato iniziale ad uno stato finale, attraverso il passaggio
da infiniti stati intermedi contigui. Vari sono i modi di passare da uno
stato iniziale ad uno stato finale
Come in meccanica abbiamo definito il Diagramma Orario per mettere
in forma di grafico le caratteristiche principali del moto di un corpo,
così in termodinamica si usa generalmente il Diagramma pV - con il
volume del sistema, V, in ascisse (asse delle x) e la pressione, p, in ordinate (asse
delle y) - per mettere in forma grafica una trasformazione termodinamica,
cioè l’evoluzione degli stati da cui passa un sistema da uno stato iniziale a
uno stato finale
Carlo Pagani & Flavia Groppi
2
Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2011/12
Esempi di trasformazioni
Alcuni esempi di trasformazioni sono riportati qui sotto sul diagramma pV,
con l’indicazione del lavoro compiuto dal sistema.
 
Vf
dL  F  ds  ( pA)(ds)  ( p)(Ads)  p dV  L   dL   p dV
V
i
Nota: si suppone che le trasformazioni avvengano molto lentamente,
passando per stati di equilibrio.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
3
Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2011/12
Trasformazioni particolari
Trasformazione adiabatica: il sistema è completamente isolato e non
si verifica nessun trasferimento di calore con l’ambiente esterno.
Eint   L
Trasformazione a volume costante o isocora: durante la
trasformazione il volume del sistema non cambia.
Eint  Q
Trasformazione isoterma: durante la trasformazione la temperatura
del sistema non cambia. Per trattarla non basta il 1° Principio.
Trasformazione ciclica: sono trasformazioni nelle quali, dopo alcuni
scambi di calore e lavoro si ripristina lo stato iniziale del sistema.
QL
Trasformazione di espansione libera: è l’espansione di un gas da un recipiente a un
ambiente in cui ci sia il vuoto. E’ anomala perché non passa da stati di equilibrio però
possiamo scrivere.
QL0
Carlo Pagani & Flavia Groppi

ΔEint  0  T  0
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Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2011/12
Espansione libera
L’espansione libera è un processo irreversibile, che non passa per stati di
equilibrio. Risulta anche molto difficile da realizzare perché come il gas
entra nella seconda camera la condizione di vuoto non è più rispettata.
Questo processo ideale risulta però molto utile concettualmente perché,
non cambiando la temperatura, le variabili termodinamiche che
definiscono il sistema nel suo stato finale sono facilmente calcolabili.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2011/12
Legge dei gas perfetti (ideali)
In tutti i gas, monoatomici o molecolari, le variabili di stato sono legate
tra di loro da una legge fondamentale che, nel caso dei gas ideali, è:
pV = nRT [J].
Questa legge, Legge dei gas perfetti, vale in ottima approssimazione se
le densità non sono troppo elevate e si è lontani dalla transizione di fase.
– p [Pa] è la pressione – [Pa] = [N m-2] = [kg m s-2] [m-2] = [kg m-1 s-2] = [J m-3]
– V [m3] è il suo volume
– n [mol] è il numero di moli di cui è composto
– R [J mol-1 K-1] è la costante dei gas – R = 8.31 [J mol-1 K-1]
– T [K] è la temperatura di equilibrio del sistema
p [J m-3] ·V [m3] = n [mol] ·R [J mol-1 K-1] ·T [K]
La costante dei gas R deriva da due costanti molto importanti nella fisica:
R = k NA
NA = numero di Avogadro = 6.02 · 1023 [mol-1]
k = costante di Boltzmann = 1.38 · 10-23 [J/K]
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2011/12
Note sulla legge dei gas perfetti
Si può esprimere utilizzando k e N= n·NA (N è quindi il numero di
molecole di cui è composto il sistema termodinamico in oggetto) e si ottiene
pV=NkT
In una trasformazione isoterma (T = costante) si ha, quindi:
p V = n R T = cost ⇒ p V = cost
Notiamo che in una trasformazione isoterma
è necessario uno scambio di energia con l’ambiente
esterno. Infatti se il sistema si espande da Vi a
Vf > Vi , esso compie un lavoro che, a T = cost,
deve essere compensato da un apporto
esterno di energia: Eint = 0 = Q – L
In una trasformazione isocora (V = costante) si ha
V = (n R T)/p = cost ⇒ (n R T)/p = cost
In una trasformazione isobara (p = costante) si ha
p = (n R T)/V = cost ⇒ (n R T)/V = cost
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2011/12
Esercizio: Lavoro isoterma
Una mole di ossigeno O2 (supposto gas ideale) si espande a temperatura
ambiente di 310 K da un volume Vi di 12 litri a un volume Vf di 19 litri. Determinare
il lavoro svolto dal gas e la quantità di energia termica che l’ambiente deve fornire
al sistema perché la trasformazione risulti isoterma. Ricordiamo che la trasformazione
deve essere sufficientemente lenta !
Il lavoro si ottiene integrando la pressione rispetto
al volume del gas:
Vf
L   p dV ma
Vi
p V  n R T  costante 
1
1
 costante

V
V
Vf
V f dV
1
L   (nRT ) dV  nRT 

Vi
Vi V
V
Vf 
V
L  nRT ln V  Vif  nRT ln   
 Vi 
p  n RT

pi = 21.5 bar
pf = 13.6 bar

 19 
 1mol  8.31 J mol 1 K 1 310K  ln   1180 J
 12 
Nella Figura la linea verde rappresenta nel diagramma pV la
trasformazione isoterma. Il lavoro compiuto dal gas durante
l’espansione è rappresentato dall’area colorata sottesa
dall’isoterma tra i punti Vi e Vf:
Il calore apportato dal mondo esterno al sistema durante la
trasformazione deve compensare il lavoro svolto.
Eint = 0 = Q – L ⇒ Q = L = 1180 J = 0.28 kcal = 0.28 Cal
Carlo Pagani & Flavia Groppi
8
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Teoria cinetica dei gas - I
Supponiamo che un gas ideale sia confinato entro un
recipiente cubico di lato L.
Dato il gran numero di molecole possiamo supporre che il loro
comportamento sia puramente statistico. La velocità media v è data dalla
2
2
2
2
relazione: v  vx  v y  vz e i valori medi delle componenti della velocità
nelle 3 direzioni sono uguali: vx  v y  vz e anche vx2  v 2y  vz2  v 2 / 3
Consideriamo ora una molecola in moto lungo l’asse x con velocità media vx.
Se la molecola parte a t=0 da una parete, urta quella opposta dopo un tempo
L/vx e ritorna alla partenza dopo Δt = 2L/vx
Supponiamo l’urto elastico. L’impulso ceduto è Jx = px = (-mvx) - (mvx) =
- 2mvx
La forza esercitata dalla parete sulla molecola è
J x  p x  2m v x
mvx2
Fi 



2 L / vx
L
t
t
Quella sulla parete è uguale e opposta !
Carlo Pagani & Flavia Groppi
9
Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2011/12
Teoria cinetica dei gas - II
La forza che ogni molecola esercita sulla parete in questione è quindi:
m v x2
Fi 
L
Velocità quadratica media
Mentre la forza totale esercitata dalle N
molecole per il moto lungo l’asse x, è data da:
Ftot , x
Passando alla pressione si ha:
p
•
Ftot , x
L2
1 m v 2 
N m v  2
2N
2

 N

K
3
V
3 L
3
3V
2
m vx2 
N
L
Energia cinetica
media
N
k N AT  N k T
Usando la legge dei gas p V  n R T 
NA
si trova:
2
3
p V  n R T  N k T  N  K  dove  K   k T
3
2
Carlo Pagani & Flavia Groppi
10
Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2011/12
P e T dalla teoria cinetica
Abbiamo quindi visto che la temperatura è una variabile termodinamica
(statistica) legata all’energia cinetica media delle molecole del sistema, cioè in
ultima analisi alla loro velocità quadratica media.
Anche la pressione di un gas è una variabile termodinamica conseguenza della
velocità media delle molecole in quanto è determinata dalle forze impulsive sulle
pareti.
Abbiamo infine capito il significato dell’importantissima costante di Boltzmann, k
[J/K] che rappresenta proprio un’unità elementare di energia per grado di
temperatura dato che l’energia cinetica media delle molecole è:
3
K   kT
2
Questa è, nel caso del gas ideale, l’energia interna per
molecola monoatomica!
Le relazioni che abbiamo ottenuto permettono di stimare la velocità quadratica
media, nota la temperatura T
1
3
3RT
2
2
 3 R T  vqm 
m vqm  k T  M vqm
2
2
M
Basta ricordare che:
Carlo Pagani & Flavia Groppi
M  NA m
e
vqm = velocità quadratica media
M = massa molare (massa di 1 mol)
R  k NA
11
Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2011/12
Esempio
L’aria è una miscela di azoto (N2’ (M(N2) = 28.0 u)) ossigeno (O2, (M(O2) =
32.0 u)) ed argon (Ar, (M(Ar) = 39.9 u)). Alla temperatura di 20 °C (293 K)
la velocità quadratica media di ciascun gas sarà:
vqm
3kT
3kT
3  1.38 1023  293

 vqm (O2 ) 

 478 m / s
m
m
32  1.66 10 27
3kT
3  1.38 10 23  293
vqm ( N 2 ) 

 511 m / s
 27
m
28  1.66 10
3kT
3  1.38 10 23  293
 vqm ( Ar ) 

 428 m / s
 27
m
39.9  1.66 10
Ci vogliono argomenti più sofisticati per mostrare che la distribuzione di
velocità è la cosiddetta distribuzione di Maxwell
Carlo Pagani & Flavia Groppi
12
Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2011/12
Calori specifici molari dei gas - 1
Per quello che abbiamo visto risulta chiaro che, nel caso dei gas, il calore
specifico si definirà per mole invece che per unità di massa. Da cui il nome di
calore specifico molare.
Un’altra cosa che succede con i gas è che il calore specifico molare, cioè la
quantità di calore necessaria per far aumentare la temperatura di una mole di gas
di un grado kelvin, dipende dalle condizioni in cui facciamo variare la temperatura:
a volume costante o a pressione costante.
Ricordando che l’espressione dell’energia cinetica media delle molecole è
proporzionale alla temperatura e che l’energia interna è la somma delle
energie cinetiche medie delle molecole che lo compongono, possiamo scrivere:
K  32 k T  Eint  n N A  K  n N A 

3
2

k T  32 n R T
gas mono-atomico
Fornendo calore al sistema a volume costante, il sistema non compie lavoro:
Eint  Q  L  Q  Eint  n CV T 
Eint
Q

ma Eint  32 n R T  CV  32 R  12.5 [J/(mol K)]
n T n T
Il CV ottenuto è il calore specifico molare a volume costante di un gas
monoatomico. Nel caso dei gas biatomici (N2, O2, H2, aria. Ecc.) si ha:
CV 
Eint  52 n R T 
Carlo Pagani & Flavia Groppi
CV  52 R  20.8 [J/(mol K)]
13
gas bi-atomico
Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2011/12
Calori specifici molari dei gas - 2
In tabella sono riportati i calori
specifici molari a volume costante
di alcuni gas, monoatomici,
biatomici e poliatomici. Si noti come
per i gas monoatomici reali il valore
sia molto simile a quello ottenuto per i
gas ideali. Lo stesso vale per i
biatomici.
Per quanto riguarda il calore specifico molare a pressione costante, Cp,
notiamo che, se si mantiene la pressione costante al variare della temperatura, il
volume del sistema deve variare, poiché pV ∝ T e p = costante.
Ne consegue che il lavoro compiuto dal sistema è diverso da zero: L ≠ 0. In
sostanza, dalla solita formula si ha: Q= Eint +L. Dalle formule già ricavate:
Q  n C p T
Eint  Q  L
Eint  32 n R T
CV  C p  R

CV  32 R
L  p V  n R T
Eint  n CV T
C p  CV  R
gas mono- e poli-atomici
C p  CV  R
Nota: questa previsione teorica concorda molto bene con i dati sperimentali
Carlo Pagani & Flavia Groppi
14
Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2011/12
Trasformazioni adiabatiche - I
Grazie alla legge del gas ideale possiamo rappresentare le principali
trasformazioni subite dal gas sul piano p-V:
• Trasformazione isoterma: pV = costante, iperbole
• Trasformazione isobara: p = costante, tratto orizzontale
• Trasformazione isocora: V = costante, tratto verticale
Possiamo rappresentare sul piano p-V anche le trasformazioni
adiabatiche, ovvero quelle caratterizzate da uno scambio nullo di energia
con l’esterno: Q = 0. Questo è tipicamente verificato nel caso di
trasformazioni sufficientemente rapide (propagazione delle onde sonore)
oppure eseguite in un ambiente ben isolato.
Per le trasformazioni adiabatiche vale che:
pV   costante


piVi  p f V f
Carlo Pagani & Flavia Groppi
; 
Cp
CV
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Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2011/12
Trasformazioni adiabatiche - II
Il fatto che nelle trasformazioni adiabatiche valga la relazione:

pV  costante

Cp
CV

5/3 = 1.67 per gas mono-atomico
7/5 = 1.40 per gas bi-atomico
si dimostra facilmente dalla proprietà dQ = 0 e dall’espressione che
abbiamo ricavato per la variazione dell’Energia interna. Infatti si ha:
dQ  0

dEint   dL   p dV   p (V ) dV   n R T
gas mono - atomico (He, Ar...) dEint  dEint 
dV
V
Cp 5
3
  1.67
n R dT   
CV 3
2
gas bi - atomico (H 2 , O2 , N 2 , aria...) dEint  dEint 
Cp 7
5
  1.40
n R dT   
CV 5
2
dT
dV
dT
dV
7 dV
2 dV
5 dV
2 dV

 (1  )
 (1   )
ovvero

 (1  )
 (1   )
T
V
T
V
5 V
5 V
3 V
3 V
quindi in entrambi i casi abbiamo :
ln T  (1   ) ln V  cost. 
Carlo Pagani & Flavia Groppi
T V  1  cost. 
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p V   costante
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Esercizi Lezione 9
Un bollitore viene riempito con un litro d’acqua a 20 °C. Supponendo che non ci sia
scambio termico con l’ambiente esterno, sapendo che la resistenza R che riscalda
l’acqua consuma 1200 W e che la tensione fornita dalla rete elettrica è 220 V,
determinare: a) il valore della resistenza R, b) il tempo necessario per portare l’acqua alla
temperatura di ebollizione, c) il tempo che sarebbe necessario per far evaporare tutta
l’acqua contenuta nel bollitore, una volta raggiunta la temperatura di ebollizione,
lasciando accesa la resistenza riscaldante. LV = 2256 kJ/kg. [ a) R = 40.3 , b) tebol. = 279 s, c)
tevap. = 1880 s ]
In un bicchiere viene versata una lattina di CocaCola (330 cc) alla temperatura ambiente
di 27 °C. Determinare la temperatura alla quale si porta la bibita se vengono versati nel
bicchiere 100 g di cubetti di giaccio a 0° C. [ Tfin = 2.2 °C ]
17-8: Un sistema formato da una mole di gas idrogeno è riscaldato a pressione costante
da 300 K a 420 K. Calcolare: a) l’energia trasferita al gas come calore, b) l’incremento
dell’energia interna del gas, c) il lavoro svolto sul gas. [a) Q = n Cp T = 3.5 kJ, b) Eint = n
CV T = 2.5 kJ, c) Lsul gas = - Ldal gas = Eint – Q = - 1.0 kJ ]
17-7: Due moli di elio gassoso, inizialmente alla temperatura di 300 K e alla pressione di
0.400 atm, subiscono una compressione isoterma fino alla pressione di 1.2 atm.
Assumendo che il gas si comporti come un gas ideale, determinare: a) il volume finale del
gas, b) il lavoro compiuto dal gas, c) la variazione dell’energia interna del gas, d) il calore
che il gas riceve dall’ambiente. 1 atm = 1.013 x 105 Pa. [ a) 0.0410 m3, b) L = -5.48 kJ, c) Eint =
0,
d) Q = -5.58 kJ ]
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Esercizi Lezione 9 - continua
17-4: Un gas ideale si espande al doppio del suo volume iniziale di 1.00 m3, seguendo
una trasformazione quasi-statica data dalla relazione p =  V2, dove  = 5.00 atm/m6.
Determinare il lavoro che il gas compie durante la trasformazione. [ L = 1.18 x 106 J ]
16-8: Dato un sistema termodinamico formato dal gas elio contenuto in un pallone del
diametro di 30.0 cm, alla temperatura di 20 °C e alla pressione di 1 atm, determinare: a)
da quante moli di gas elio è composto il sistema, b) da quanti atomi, c) la massa dell’elio,
d) la massa di un atomo di elio, e) il valore dell’energia cinetica media degli atomi. f) il
valore della velocità quadratica media degli atomi. Il valore della massa atomica dell’elio è
M = 4.00 g/mol. [ V = 1.41 x 10-2 m3, a) n = 0.588 mol, b) N = 3.54 x 1023, c) 2.35 g, d) 6.65 x 10-27
kg, e) 6.07 x 10-21 J, f) 1.35 x 103 m/s ]
17-6: Un gas ideale inizialmente a 300 K è sottoposto a una trasformazione isobara alla
pressione di 2.50 kPa. Se durante la trasformazione il gas aumenta il suo volume da 1.00
m3 a 3.00 m3 e riceve una quantità di calore Q=12.5 kJ, determinare: a) la variazione
dell’energia interna, b) la temperatura finale del gas [ Eint = 7500 J, Tf = 900 K ]
17-9: Un campione di 2.00 moli di gas perfetto biatomico si espande lentamente e
adiabaticamente da una pressione di 5 atm e un volume di 12 litri a un volume di 30.0 litri.
Determinare: a) la pressione finale del gas, b) le temperature iniziale e finale, c) le tre
grandezze che compaiono nel primo principio della termodinamica. [ 1.39 atm=1.4·105 Pa, Ti
= 366 K e Tf = 253 K, Eint = -4.7 kJ, Q = 0, L = 4.7 kJ ]
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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