Aritmetica 2004-2005

COMPITO DI ARITMETICA
16 dicembre 2004
1. Definiamo per ricorrenza la successione fn , ponendo


f0 = 1
f1 = 1


fn+1 = 2fn + fn−1 per n ≥ 1.
Dimostrare che fn ≥ 2n−1 per ogni n ≥ 0, e che due termini consecutivi della
successione sono sempre coprimi.
2. Contare il numero dei divisori positivi di 24 35 57 che non sono quadrati.
3. Discutere la risolubilità del seguente sistema di congruenze e risolverlo, al variare
del parametro intero a
6x ≡ a (mod 35)
20x ≡ 4 (mod 77)
4. Risolvere la seguente congruenza
x2 + 3x + 22 ≡ 0 (mod 95).
5. Siano G e G0 gruppi. Indichiamo con Hom(G, G0 ) l’insieme degli omomorfismi ϕ :
G → G0 , e con e l’elemento neutro di G0 .
i) Dimostrare che H = {a ∈ G | ∀ϕ ∈ Hom(G, G0 ), ϕ(a) = e} è un sottogruppo
di G.
ii) Determinare esplicitamente il sottogruppo H nel caso in cui G = Z/30Z e
G0 = Z/42Z.
6. Sia f (x) = x3 + 2x + 1 ∈ Q[x]. Dimostrare che f (x) è irriducibile su Q. Detta
α ∈ C una radice di f (x), Dire se α2 + α è algebrico e determinarne il grado su Q.
1
su Q.
Calcolare il polinomio minimo di 1+α
COMPITO DI ARITMETICA
18 gennaio 2005
1. Definiamo per ricorrenza la successione fn , ponendo


f0 = 1
f1 = 1


fn+1 = 5fn − 2fn−1 per n ≥ 1.
Dimostrare che
i) fn è positiva e crescente;
ii) 3n ≤ fn+1 ≤ 5n per n ≥ 1;
iii) due termini consecutivi della successione sono sempre coprimi.
2.
i) Contare i numeri di tre cifre che nella loro espressione decimale contengono
esattamente uno zero.
ii) Contare i numeri n di tre cifre tali che (n, 12) = 2.
3. Discutere la risolubilità del seguente sistema di congruenze e risolverlo, al variare
del parametro intero a
ax ≡ 18 (mod 35)
24x ≡ 19 (mod 91)
4. Risolvere la seguente congruenza
x200 ≡ 1 (mod 91).
5. Sia G un gruppo abeliano denotato additivamente, tale che ∀g ∈ G si ha 6g = 0.
Indichiamo con G2 l’insieme degli elementi g ∈ G tali che 2g = 0 e con G3 quello
dei g ∈ G tali che 3g = 0. Dimostrare che G2 e G3 sono sottogruppi di G e che
G∼
= G2 ⊕ G3 .
√
6. Sia K = Q(i, 3 2).
i) Calcolare il grado di K su Q.
√
ii) Dimostrare che K = Q(i 3 2).
√
iii) Calcolare il polinomio minimo f di i 3 2 su Q.
iv) K è il campo di spezzamento di f su Q?
COMPITO DI ARITMETICA
8 febbraio 2005
1. Consideriamo la funzione φ : R → R definita da φ(a) = a2 − 1. Definiamo la
successione fn definita per ricorrenza ponendo f0 = −0.5, fn+1 = φ(fn ).
(a) Dimostrare che φ definisce una funzione bigettiva decrescente dell’intervallo
aperto (−1, 0) in se stesso.
(b) Determinare il valore α ∈ (−1, 0) tale che φ(α) = α.
(c) Dimostrare che fn > α ⇔ n è pari.
2. Calcolare la cardinalità dei seguenti insiemi:
i) {(a, b) ∈ N2 | ab = 5000000};
ii) {(a, b) ∈ N2 | ab = 5000000 e a|b};
iii) {d ∈ N | d|5000000 e d ≡ 1 (mod 3)}.
3. Discutere la risolubilità del seguente sistema di congruenze al variare del parametro
intero a, e risolverlo per a = 35
x ≡ 18 (mod a)
24x ≡ 19 (mod 91)
4. Contare gli omomorfismi e gli omomorfismi iniettivi del gruppo Z/20Z nel gruppo
Z/8Z ⊕ Z/30Z. Definire, se esiste, un omomorfismo tra questi due gruppi che abbia
immagine isomorfa a Z/5Z.
5. Sia G un gruppo, non necessariamente commutativo, e H ⊆ K suoi sottogruppi.
Definiamo L = {g ∈ G | ∀h ∈ H, ghg −1 ∈ K}.
(a) Calcolare L se G è il gruppo delle
matrici
reali 2 × 2 con determinante 1, H
1 a
è il sottogruppo delle matrici
e K è is sottogruppo delle matrici
0
1
b c
.
0 b−1
6. Sia p(x) = x4 + 2x − 2 ∈ Q[x].
(a) Dimostrare che p(x) è irriducibile in Q[x] ed ha almeno una radice reale. Sia
essa α.
(b) Dimostrare che x2 + 1 è irriducibile come polinomio in Q(α)[x].
(c) Determinare il grado su Q di α + i, dove i è l’unità immaginaria.
COMPITO DI ARITMETICA
3 giugno 2005
1. Siano a, b, c numeri reali. Definiamo per ricorrenza la successione fn , ponendo

f0 = a



f = b
1

f2 = c



fn+1 = fn + fn−1 − fn−2 per n ≥ 2.
Dimostrare che
i) se a < b < c la successione fn è crescente;
ii) se a = 1, b = 2, c = 4 allora fn = 23 n + 1.
2. Sia X = {1, . . . , n}. Calcolare la cardinalità dell’insieme
{f : X → X | MCD(x, 10) = MCD(f (x), 10) ∀x ∈ X}
per n = 10, n = p (p numero primo) e n = p2 .
3. Risolvere il seguente sistema di congruenze al variare del parametro intero a:
x ≡ 4 (mod 10)
45x ≡ a (mod 78)
4. Sia G un gruppo abeliano, sia k un intero positivo e sia Gk = {xk | x ∈ G}.
i) Dimostrare che Gk è un sottogruppo di G.
ii) Sia ϕk : G → G definita da ϕk (x) = xk . Dimostrare che ϕk è un omomorfismo.
iii) Sia G ciclico di ordine n, dire per quali valori di k l’omomorfismo ϕk è surgettivo.
5. Fattorizzare il polinomio p(x) = x5 + x4 − 2x − 2 in Q[x], F5 [x] e in F7 [x].
6. Sia α una radice del polinomio f (x) = x4 − 2x2 − 2
(a) Determinare il polinomio minimo di α + 1 su Q.
(b) Scrivere
1
α2 +1
in termini della base 1, α, α2 , α3 .
(c) Dire per quali valori di λ ∈ Q, l’elemento α2 + λα ha grado 2 su Q.
COMPITO DI ARITMETICA
27 giugno 2005
Tutte le risposte vanno adeguatamente dimostrate.
1. Sia a un numero reale. Definiamo per ricorrenza la successione fn , ponendo
f0 = 1,
f1 = a,
fn+1 = 3fn − fn−1 per n > 1.
(a) Determinare per quali valori di a la successione è crescente.
(b) Posto a = 1, determinare n̄ tale che se n ≥ n̄ allora fn > 2n .
(c) Determinare a1 e a2 tali che |a1 − a2 | ≤ 1/100 e che:
i. se a = a1 la successione sia definitivamente crescente
(ossia esista n̄ tale che la successione sia crescente al di sopra di n̄)
ii. se a = a2 non lo sia.
2. Sia X = {1, 2, . . . , 1000}. Sia X l’insieme delle funzioni f : X → X tali che per
ogni n ∈ X sia f (n) − n ≡ f (1) − 1 (mod 10).
(a) Quanti elementi ha X ?
(b) Quanti elementi di X sono funzioni iniettive?
(c) Quanti elementi di X sono funzioni crescenti?
3. Consideriamo il seguente sistema di congruenze al variare del parametro intero a:
7x ≡ a
(mod a + 5)
x ≡ 4
(mod 55)
(a) Studiarne la risolubilità al variare di a
(b) Risolverlo per a = 13 e a = 28
4. Sia G un gruppo abeliano (in notazione additiva); sia n un intero positivo e sia
Gn = {x ∈ G | nx = 0}.
(a) Dimostrare che Gn è un sottogruppo di G.
(b) Sia f : G → G un omomorfismo. Dimostrare che f (Gn ) ⊆ Gn .
(c) Calcolare, in funzione di n, la cardinalità di Gn quando G = Z/6Z ⊕ Z/10Z ⊕
Z/100Z.
5. Consideriamo il polinomio f (x) = x5 − 2 ∈ Z/pZ al variare del numero primo p.
(a) Fattorizzare il polinomio quando p = 5
(b) Dimostrare che se p 6≡ 1 (mod 5) allora f ha un’unica soluzione in Fp .
(c) Dimostrare che se p2 ≡ −1 (mod 5) allora f (x) ha un’ unica soluzione in Fp2 .
(d) Dimostrare che se p2 ≡ −1 (mod 5)allora f (x) si fattorizza in Fp [x] in un
polinomio di primo ed uno di quarto grado.
√
6. Sia K = Q( 2 + i)
(a) Calcolare il grado di K su Q.
√
(b) Dimostrare che K = Q( 2, i)
(c) Enumerare i campi L con L ⊆ K.
COMPITO DI ARITMETICA
8 settembre 2005
Tutte le risposte vanno adeguatamente dimostrate.
1. Sia a un numero reale. Definiamo per ricorrenza la successione fn , ponendo f0 = a,
fn+1 = fn − fn2 .
(a) Determinare per quali valori di a la successione è (strettamente) decrescente.
(b) Determinare per quali valori di a la successione è positiva.
2. Calcolare la cardinalità dei seguenti insiemi:
i) {d|10100 | d non è quadrato di un numero intero};
ii) {d|10100 | d non è ne’ un quadrato ne’ un cubo di un numero intero};
iii) {d|10100 | d ≡ 1 (mod 7)}.
3. Consideriamo il seguente sistema di congruenze al variare del parametro intero a:
6x ≡ a2 + 2
(mod 35)
x ≡ 11
(mod 7a)
(a) Studiarne la risolubilità al variare di a
(b) Risolverlo per a = 13 e a = 15.
4. Sia G = {x ∈ Q | 0 ≤ x < 1} e definiamo ⊕ : G × G → G ponendo x ⊕ y =
x + y − [x + y] ([a] denota la parte intera di a).
(a) Dimostrare che (G, ⊕) è un gruppo commutativo.
(b) Sia e l’identità di G e sia Gn = {x ∈ G | x ⊕ · · · ⊕ x = 0}, dove l’operazione è
ripetuta su n operandi. Dimostrare che Gn è isomorfo a Z/n.
5. Sia α una radice del polinomio f (x) = x4 + 3x + 1
(a) Dire se 1, α, α1 , α2 + 3 sono linearmente dipendenti o indipendenti su Q.
(b) Determinare il polinomio minimo di
1
α
− 3 su Q.
2
(c) Dimostrare che Q(α + α) = Q(α).
6. Calcolare il grado del campo di spezzamento del polinomio f (x) = x3 + x + 1 su Q
su F2 e su F3 .
COMPITO DI ARITMETICA
22 settembre 2005
Tutte le risposte vanno adeguatamente dimostrate.
1. Definiamo per ricorrenza la successione fn , n ∈ N ponendo
f0 = f1 = f2 = 1, fn+3 = fn + fn+1 .
(a) Dimostrare che la successione fn è non-decrescente;
(b) determinare m tale che la successione fn+m , n ∈ N, sia (fortemente) crescente;
(c) determinare (se esiste) il minimo m tale che
∀r∀s(r ≡ s
(mod m)) ⇒ (fr ≡ fs
(mod 2)).
2. Sia X Q
= {1, 2, . . . , 20}. Pper ogni sottinsieme non vuoto A di X indichiamo con
πA = a∈A a il prodotto degli elementi di A. Calcolare la cardinalità dei seguenti
insiemi:
(a) {A ⊆ X | 3 divide πA };
(b) {A ⊆ X | 9 divide πA }.
3. Consideriamo il seguente sistema di congruenze al variare del parametro intero a:
x ≡ a2 + 2
(mod 35)
3x ≡ 11
(mod 7a)
(a) Studiarne la risolubilità al variare di a
(b) Risolverlo per a = 13 e a = 40.
4. Si consideri il gruppo moltiplicativo (Z/91Z)∗ .
(a) Determinare, per ogni numero naturale n, il numero di elementi di G di ordine
n e il numero di sottogruppi ciclici di G di ordine n.
(b) Dare un esempio di un sottogruppo non ciclico di G di ordine 4.
5. Sia GL2 (Z) il gruppo moltiplicativo
delle matrici 2 × 2 con
coefficienti in Z e
1 − n −n
determinante uguale ±1. Sia G =
|n∈Z .
n
1+n
Dimostrare che G è un sottogruppo di GL2 (Z) e che G è isomorfo a Z . Esistono in
G elementi di ordine finito?
6. Sia α =
√
2+
√
−2.
√
(a) Determinare il polinomio minimo di α su Q(i) e su Q( 2).
(b) Determinare il polinomio minimo di α su Q.
(c) Dimostrare che Q(α) è il campo di spezzamento di α su Q.