11.2 La legge generale dell’induzione
389
D is c o
M
C
A
Figura 11.2: il disco metallico D ruota nel campo magnetico
prodotto dal magnete M .
A
I
D
A
B
M
Figura 11.3: il disco metallico D ruota nel campo magnetico
prodotto dal magnete M .
11.2
La legge generale dell’induzione
Quando una concezione si diffonde all’interno di un collettivo
di pensiero e lo permea abbastanza fortemente, fino a penetrare nella vita quotidiana e nelle locuzioni linguistiche, quando
diventa un modo di vedere nel senso letterale del termine, una
contraddizione sembra impensabile e inimmaginabile.
Ludvik Fleck
L’espressione della forza di Lorentz:
+ v × B)
F = q(E
suggerisce di definire la forza elettromotrice indotta E nel modo se-
Estratto da: Lineamenti di elettromagnetismo
G. Giuliani e I. Bonizzoni
La Goliardica Pavese, 2004
390
Capitolo 11. Induzione elettromagnetica
guente:
E=
l
=
+ vcarica × B)
· dl
(E
l
· dl+
E
l
(11.1)
· dl
(vcarica × B)
dove, per ragioni che diverranno chiare in seguito, si è posto in evidenza che la velocità che compare nella (11.1) è quella della carica.
Nel vuoto, il secondo termine che compare al secondo membro della
= vcarica dt. Più avanti si vedrà come questo
(11.1) è nullo perché dl
termine possa essere diverso da zero in un conduttore.
Ricordando che:
Estratto da: Lineamenti di elettromagnetismo
G. Giuliani e I. Bonizzoni
= −grad ϕ − ∂ A
E
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∂t
la (11.1) diventa:
E =−
perché:
l
∂A
+
· dl
∂t
l
l
· dl
(vcarica × B)
(11.2)
=0
grad ϕ · dl
La (11.2) è la legge generale dell’induzione elettromagnetica. Essa
mostra che:
la f em indotta può essere espressa come la circuitazione del
i:
campo elettrico indotto, E
i = − ∂ A + vcarica × B
E
∂t
la f em indotta è data dalla somma di due termini: il primo
derivante dalla variazione temporale del potenziale vettore (e
del campo magnetico); il secondo derivante dalla componente
magnetica della forza di Lorentz.
Quando il campo magnetico non dipende dal tempo, la f em indotta si riduce a:
· dl
E = (vcarica × B)
(11.3)
l
11.2 La legge generale dell’induzione
391
perché:
l
∂A
=
· dl
∂t
∂A
· n̂ dS =
rot
∂t
S
S
∂ rot A
· n̂ dS =
∂t
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G. Giuliani e I. Bonizzoni
∂B
· n̂ dS = 0
∂t
=
S
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Ritornando all’equazione generale dell’induzione (11.2), si osservi che:
vcarica = vlinea + vd
dove vlinea è la velocità dell’elemento di circuito che contiene la carica
e vd è la velocità di deriva della carica.
Essendo vlinea c e vcarica c, possiamo usare la legge di
composizione delle velocità di Galileo.
ne segue che la
Nel caso di fili, vd è parallela all’elemento di linea dl;
legge generale dell’induzione assume la forma:
E =−
∂A
+
· dl
∂t
l
l
· dl
(vlinea × B)
(11.4)
L’equazione generale dell’induzione può anche essere scritta in un’altra
forma. Ripartendo dalla (11.1), si inizia con il calcolo dell’integrale
(figura 11.4):
l
=
· dl
E
S
· n̂ dS = −
rot E
S
∂B
· n̂ dS
∂t
(11.5)
dove è stata utilizzata l’equazione di Maxwell (3.3, pagina 96) relativa
al rotore del campo elettrico.
Se la superficie S non varia in funzione di t – se cioè la linea l non
varia in funzione di t – si ottiene:
l
=−d
· dl
E
dt
· n̂ dS = − dΦ(B)
B
dt
S
(11.6)
392
Capitolo 11. Induzione elettromagnetica
n
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S
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l
Figura 11.4: per la derivazione della legge dell’induzione elettromagnetica in funzione del campo magnetico.
Quando la linea l varia in funzione del tempo, il passaggio dalla (11.5)
alla (11.6) non può essere compiuto; in questo caso si ha (sezione
11.2.1, pagina 393):
S
∂B
d
· n̂ dS =
∂t
dt
· n̂ dS +
B
S
l
· dl
(vlinea × B)
(11.7)
Pertanto, nel caso
dove vlinea è la velocità dell’elemento di linea dl.
generale, la (11.6) deve essere sostituita dalla:
l
=−d
· dl
E
dt
In conclusione:
E =
d
−
dt
+
l
S
S
· n̂ dS −
B
· n̂ dS −
B
l
l
· dl
(vlinea × B)
+
· dl
(vlinea × B)
(11.8)
· dl
(vcarica × B)
Questa equazione è equivalente alla (11.2), che trascriviamo qui per
comodità:
∂A
+ (vcarica × B)
· dl
E =−
· dl
(11.9)
l ∂t
l
I due termini della (11.8), posti tra parentesi quadra per sottolinearne
la comune origine matematica e fisica, sono equivalenti al primo ter
mine della (11.9): la loro somma è nulla quando ∂ B/∂t
= 0; l’ultimo
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11.2 La legge generale dell’induzione
393
termine di entrambe le equazioni deriva dalla componente magnetica
della forza di Lorentz.
Nel caso di circuiti filiformi, il contributo della velocità di deriva
alla forza elettromotrice indotta è nullo; pertanto, la (11.8) si riduce
alla:
d
· n̂ dS = − dΦ(B)
E=−
B
(11.10)
dt S
dt
che è la cosiddetta legge del flusso. Essa predice correttamente la
forza elettromotrice indotta, ma ne oscura l’origine fisica che è invece
trasparente nella (11.9): in questi casi, la legge del flusso costituisce
una comoda regola di calcolo.
La (11.10) è valida anche quando, pur non essendo i circuiti filiformi, essi sono in quiete; essa è valida anche nel vuoto.
11.2.1
Derivazione dell’equazione (11.7)
In riferimento alla figura 11.5, si consideri, all’istante t − dt, la superficie S1 (con la linea l1 come contorno) e si supponga che ogni elemento
dS1 infinitesimo di essa si sposti con velocità v (x, y, z): all’istante t la
superficie si sarà trasformata in S2 (con la linea l2 come contorno).
S
l2
2
v d t
S
d l
1
l1
Figura 11.5: per il calcolo del flusso di un vettore attraverso
una superficie mobile. La superficie S2 ha una forma diversa
da quella della superficie S1 per porre in evidenza il fatto che il
vettore velocità v può variare da punto a punto sulla superficie
S1 . La normale n̂ alle superficı̂ è assunta entrante per S1 ed
uscente per S2 (in modo tale che la componente normale di G
non cambi segno passando da S1 ad S2 ).
